Natural ədədlər: mərtəbələr, bölünmə, ƏBOB və ƏKOB

Həqiqi ədədlər · Mövzu 1 / 46

Natural ədədlər: mərtəbələr, bölünmə, ƏBOB və ƏKOB

Bu dərsi bir səfər hekayəsi ilə keçəcəyik: sinif qatarla dağ kəndinə ekskursiyaya gedir. Vağzalda, vaqonda və tunel qarşısında qarşılaşdığımız suallar bizi natural ədədlərin əsas mövzularına aparacaq: mərtəbələr, bölünmə, sadə vuruqlar, ƏBOB və ƏKOB, qüvvətin son rəqəmi və hərəkət məsələsi.

≈ 45 dəqiqə5 fəsil10 DİM tapşırığı5–7-ci sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• aralıqdakı natural ədədləri saymağı və ədədi mərtəbə vahidlərinə ayırmağı;
• ədədi sadə vuruqlara ayırmağı, ƏBOB və ƏKOB-u tapmağı, ƏBOB · ƏKOB = a · b xassəsini tətbiq etməyi;
• böyük qüvvətin son rəqəmini dövrə görə tapmağı;
• qatarın tuneldən keçməsinə aid hərəkət məsələsini həll etməyi.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Vurma cədvəli və qalıqlı bölmə.
• Qüvvət: aⁿ = a·a·…·a; (aᵏ)ᵖ = aᵏᵖ.
• 1 km = 1000 m, 1 saat = 60 dəq.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: qatarlar nə vaxt yenə birlikdə yola düşəcək?hekayə və təxmin
2. Fəsil 1Natural ədədlər, mərtəbələr və rəqəmləraralıqda say · mərtəbə · rəqəmlərlə yazılış
3. Fəsil 2Bölünmə, sadə ədədlər və sadə vuruqlarbölünmə əlamətləri · sadə vuruqlar · DİM 13.07.2025
4. Fəsil 3ƏBOB və ƏKOBortaq bölən · ortaq bölünən · DİM 06.07.2025
5. Fəsil 4Qüvvətin son rəqəmidövrilik · DİM 24.05.2026
6. Fəsil 5Hərəkət məsələsi: qatar tuneldən keçirs = v·t · qatarın uzunluğu · DİM 15.03.2026
7. Məşqİmtahan tapşırıqları ilə məşq5 DİM tapşırığı: cavab və rəsmi izah
8. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
9. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: qatarlar nə vaxt yenə birlikdə yola düşəcək?

Hekayə

Sinif qatarla dağ kəndinə ekskursiyaya gedir. Şagirdlər səhər tezdən vağzala gəlib, platformada gözləyirlər. Platformanın hər iki tərəfində elektrik qatarı dayanıb: sol xətt üzrə qatarlar hər 12 dəqiqədən bir, sağ xətt üzrə isə hər 18 dəqiqədən bir yola düşür.

Saat 08:00-da hər iki xəttin qatarı eyni anda yola düşdü. Tabloda növbəti birgə yola düşmə vaxtı yazılmayıb. Müəllim soruşur: iki xəttin qatarları növbəti dəfə saat neçədə yenə eyni anda yola düşəcək?

Platforma, iki xətt və tablo: qatarlar hər 12 və hər 18 dəqiqədən bir yola düşür.Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, qatarlar növbəti dəfə saat neçədə birlikdə yola düşəcək? Təxminini seç: 3-cü fəsildə birlikdə hesablayacağıq.

Fəsil 1

Natural ədədlər, mərtəbələr və rəqəmlər

Saymaq üçün işlətdiyimiz 1, 2, 3, 4, … ədədləri natural ədədlər adlanır. Ən kiçik natural ədəd 1-dir, ən böyük natural ədəd isə yoxdur: hər natural ədəddən sonra ondan 1 vahid böyük ədəd gəlir. 0 natural ədəd deyil.

Aralıqda neçə ədəd var?

a < b natural ədədlər olsun. Aralıqdakı natural ədədlərin sayı:

a ≤ n ≤ b → b − a + 1a ≤ n < b və ya a < n ≤ b → b − aa < n < b → b − a − 1

Səbəbi sadədir: a-dan b-yə qədər ardıcıl ədədlərin sayı “sonuncu − birinci + 1”-dir (1, 2, 3 — üç ədəd: 3 − 1 + 1). Sərhədlərdən biri daxil deyilsə, bir ədəd azalır, ikisi də daxil deyilsə — iki ədəd.

Nümunə 1

12 < n ≤ 30 şərtini ödəyən n natural ədədlərinin sayını tapın.

1. Sol sərhəd daxil deyil, ilk ədəd 13-dür. Sağ sərhəd daxildir, son ədəd 30-dur.
2. Say: 30 − 13 + 1 = 18.Niyə belədir?

   Ardıcıl ədədlərin sayı: sonuncu − birinci + 1.

3. Qısa yol: sərhədlərdən biri daxildir, o biri yox, ona görə 30 − 12 = 18.
4. Cavab: 18.

Özün yoxla

25 ≤ n ≤ 40 şərtini ödəyən natural ədədlərin sayı neçədir?

Hər iki sərhəd daxildir: b − a + 1.

Ədədləri on rəqəmlə (0, 1, …, 9) yazırıq, rəqəmin qiyməti isə onun yerindən — mərtəbəsindən asılıdır. Sağdan sola mərtəbələr: təklər, onluqlar, yüzlüklər, minliklər, on minliklər, yüz minliklər, milyonlar və s. Mərtəbələr üç-üç siniflərə qruplaşdırılır: təklər sinfi, minlər sinfi, milyonlar sinfi.

Neçə minlik var? Sağdan üç rəqəmi at. Neçə yüzlük? Sağdan iki rəqəmi at.

Diqqət: “minliklər mərtəbəsindəki rəqəm” ilə “ədəddə neçə minlik var” fərqli suallardır. 4507216 ədədində minliklər mərtəbəsində 7 rəqəmi durur, amma ədəddə cəmi 4507 minlik var, çünki 4507216 = 4507·1000 + 216.

Rəqəmləri hərflərlə verilən ədədin üstündən xətt çəkilir: abc — yüzlükləri a, onluqları b, təkləri c olan ədəddir. Onu mərtəbə vahidləri ilə açırıq: abc = 100a + 10b + c. Ədədin sonuna rəqəm yazmaq onu 10 dəfə böyütmək və həmin rəqəmi əlavə etmək deməkdir:

ab4 = 10·ab + 4

Nümunə 2

İkirəqəmli ədədin rəqəmlərinin cəmi 11-dir. Rəqəmlərin yerini dəyişsək, ədəd 27 vahid artır. Ədədi tapın.

1. Ədədi ab kimi yazırıq: ab = 10a + b, tərsi ba = 10b + a.
2. Fərq: (10b + a) − (10a + b) = 9(b − a) = 27, buradan b − a = 3.Niyə belədir?

   Rəqəmlərin yeri dəyişəndə fərq həmişə 9-a bölünür — bu, yaxşı yoxlamadır.

3. a + b = 11 və b − a = 3: b = 7, a = 4. Yoxlama: 74 − 47 = 27.
4. Cavab: 47.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 19.04.2026

Üçrəqəmli ədəd 4 rəqəmi ilə qurtarır. Bu rəqəmi pozduqda alınan ikirəqəmli ədəd verilən ədəddən 472 vahid kiçik olar. Bu üçrəqəmli ədədi tapın.

1. Axtarılan ədədi ab4, rəqəmi pozanda alınan ədədi ab ilə işarə edirik. Mərtəbələrə görə ab4 = 10·ab + 4.Niyə belədir?

   4 rəqəmi pozulanda a və b bir mərtəbə sağa sürüşür: yüzlüklər onluq, onluqlar tək olur. Ona görə üçrəqəmli ədəd ikirəqəmlinin 10 mislindən 4 vahid böyükdür.

2. Şərt: 10·ab + 4 − ab = 472, yəni 9·ab = 468.
3. ab = 468 : 9 = 52, axtarılan ədəd 524-dür. Yoxlama: 524 − 52 = 472.
4. Cavab: 524.

DİM-in rəsmi izahı (19.04.2026)

a̅b̅4̅ − a̅b̅ = 472; 10·a̅b̅ + 4 − a̅b̅ = 472; 9·a̅b̅ = 468; a̅b̅ = 52; a̅b̅4̅ = 524Mənbə: DİM izahı — 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF)

Özün yoxla

Üçrəqəmli ədəd 7 rəqəmi ilə qurtarır. Bu rəqəmi pozduqda alınan ikirəqəmli ədəd verilən ədəddən 349 vahid kiçik olur. Üçrəqəmli ədədi tapın.

9·ab + 7 = 349.

Fəsil 2

Bölünmə, sadə ədədlər və sadə vuruqlar

Əgər a = b·k olarsa (k — natural ədəd), deyirlər ki, a ədədi b-yə qalıqsız bölünür; bu halda b ədədi a-nın böləni, a isə b-nin mislidir. Məsələn, 57k ədədi k-nın istənilən natural qiymətində 57-yə bölünür.

Bölünmə əlamətləri

2-yə: son rəqəm cütdür (0, 2, 4, 6, 8);5-ə: son rəqəm 0 və ya 5-dir; 10-a: son rəqəm 0-dır;4-ə: son iki rəqəmdən düzələn ədəd 4-ə bölünür;3-ə (9-a): rəqəmlərin cəmi 3-ə (9-a) bölünür.

Bir faktı da yadda saxla: cəmin və hasilin son rəqəmi yalnız toplananların (vuruqların) son rəqəmlərindən asılıdır. Məsələn, 100k ədədi k-nın hər bir natural qiymətində 0 ilə qurtarır.

Tərif

Yalnız iki natural böləni (1 və özü) olan ədəd sadə ədəd adlanır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … İkidən çox böləni olan natural ədəd mürəkkəb ədəddir. 1 nə sadə, nə də mürəkkəb ədəddir; 2 isə yeganə cüt sadə ədəddir.

Hesabın əsas teoremi

Hər mürəkkəb ədəd sadə vuruqların hasili şəklində yazıla bilər və bu yazılış (vuruqların sırasını nəzərə almasaq) yeganədir.

Ayırmanı istənilən vuruqlardan başlamaq olar — nəticə həmişə eyni olur.

Praktikada ədədi əvvəl bölündükcə 2-yə, sonra 3-ə, 5-ə, 7-yə və s. bölürük, eyni vuruqları isə qüvvət şəklində yığırıq: 360 = 2³·3²·5. Qüvvəti də sadə vuruqlara ayırmaq olar: 9²ⁿ = (3²)²ⁿ = 3⁴ⁿ.

Diqqət

DİM tapşırıqlarında sadə vuruqların sayı dedikdə təkrarlananlar da daxil olmaqla bütün vuruqlar sayılır, yəni ayrılışdakı üstlərin cəmi: 360 = 2·2·2·3·3·5 — 6 sadə vuruq. Müxtəlif sadə vuruqlar isə cəmi üçdür: 2, 3, 5.

Nümunə 3

x = 8ⁿ · 27 ədədinin sadə vuruqlarının sayı 9-dur. n-i tapın.

1. Əsasları sadə vuruqlara ayırırıq: 8ⁿ = (2³)ⁿ = 2³ⁿ,  27 = 3³.Niyə belədir?

   Qüvvətin qüvvətində üstlər vurulur: (aᵏ)ᵖ = aᵏᵖ.

2. Vuruqların sayı üstlərin cəmidir: 3n + 3 = 9, buradan n = 2.
3. Yoxlama: 8² · 27 = 1728 = 2⁶·3³ — 9 vuruq.
4. Cavab: n = 2.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 13.07.2025

x = 9²ⁿ · 25ᵐ ədədinin sadə vuruqlarının sayı 10 olarsa, m-in ala biləcəyi qiymətlərin cəmini tapın (n ∈ N, m ∈ N).

“Sadə vuruqların sayı” — təkrarlananlar da daxil olmaqla sayılır (yuxarıdakı “Diqqət” qutusuna bax).

A) 7B) 4C) 3D) 6E) 5

1. Əsasları sadə vuruqlara ayırırıq: 9 = 3², 25 = 5². Onda x = (3²)²ⁿ · (5²)ᵐ = 3⁴ⁿ · 5²ᵐ.Niyə belədir?

   Qüvvətin qüvvəti: üstlər vurulur.

2. Sadə vuruqların sayı üstlərin cəmidir: 4n + 2·m = 10, yəni 2n + m = 5.Niyə belədir?

   3⁴ⁿ — 4n dənə 3 vuruğu, 5²ᵐ — 2m dənə 5 vuruğu deməkdir.

3. n və m natural olmalıdır: n = 1 olduqda m = 3; n = 2 olduqda m = 1; n = 3 olduqda m = −1 alınır, bu isə natural deyil.Niyə belədir?

   m ≥ 1 olduğundan 2n ≤ 4, yəni n yalnız 1 və ya 2 ola bilər.

4. m-in qiymətlərinin cəmi: 3 + 1 = 4.
5. Cavab: 4 (B variantı).

DİM-in rəsmi izahı (13.07.2025)

x = 9²ⁿ · 25ᵐ = (3²)²ⁿ · (5²)ᵐ = 3⁴ⁿ · 5²ᵐ. Tapşırıqda verilənə əsasən 4n+2m=10. 2n+m=5; n=1 olduqda m=3, n=2 olduqda m=1 olur. m-in qiymətləri cəmi 3+1=4 olur.Mənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

72 ədədinin sadə vuruqlarının sayını (təkrarlananlar da daxil olmaqla) tapın.

72 = 2³·3².

Fəsil 3

ƏBOB və ƏKOB

Hekayə

Qatar yola düşdü. Vaqonda müəllim yol üçün aldığı iki qutunu açır: birində 48 alma, o birində 36 şüşə şirə var. O, sinfi elə qruplara bölmək istəyir ki, hər qrupa eyni sayda alma və eyni sayda şirə düşsün, heç nə artıq qalmasın.

Ən çoxu neçə qrup yaratmaq olar və hər qrupa nə düşəcək?

Vaqonun keçidində iki qutu: 48 alma və 36 şüşə şirə.

Qrupların sayı həm 48-in, həm də 36-nın böləni olmalıdır, çünki hər iki qutu qalıqsız bölünməlidir. Belə ədədlər ortaq bölənlər adlanır, bizə onların ən böyüyü lazımdır.

Tərif

a və b ədədlərinin hər birinin bölündüyü ən böyük natural ədəd onların ən böyük ortaq böləni (ƏBOB) adlanır. a və b ədədlərinin hər birinə bölünən ən kiçik natural ədəd isə onların ən kiçik ortaq bölünəni (ƏKOB) adlanır.

Qayda

Hər iki ədədi sadə vuruqlara ayır. ƏBOB — ortaq sadə vuruqların ən kiçik üstlərlə hasilidir; ƏKOB — iştirak edən bütün sadə vuruqların ən böyük üstlərlə hasilidir.

Nümunə 4

ƏBOB(48; 36) və ƏKOB(48; 36)-nı tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Sadə vuruqlara ayırırıq: 48 = 2·2·2·2·3 = 2⁴·3, 36 = 2·2·3·3 = 2²·3².
2. Ortaq vuruqlar: 2, 2, 3. ƏBOB = 2²·3 = 12.Niyə belədir?

   2 hər ikisində var, ən kiçik üstü 2-dir (36-da); 3 də hər ikisində var, ən kiçik üstü 1-dir.

3. Bütün vuruqlar ən böyük üstlərlə: ƏKOB = 2⁴·3² = 144.Niyə belədir?

   ƏKOB hər iki ədədin bütün vuruqlarını “örtməlidir”: 2⁴ (48-dən) və 3² (36-dan).

4. Cavab: ƏBOB = 12, ƏKOB = 144.

Hekayə

Deməli, müəllim ən çoxu 12 qrup yarada bilər: hər qrupa 48 : 12 = 4 alma və 36 : 12 = 3 şüşə şirə düşür. Qrup 12-dən çox olsa, ya almalar, ya da şirələr bərabər bölünməz.

İndi platformadakı suala qayıdaq. Sol xəttin qatarları 0-cı dəqiqədən sonra 12, 24, 36, 48, … dəqiqələrdə, sağ xəttinkilər 18, 36, 54, … dəqiqələrdə yola düşür. Birgə yola düşmə anı həm 12-nin, həm də 18-in misli olmalıdır — ən yaxını isə ƏKOB-dur.

Hekayə

12 = 2²·3, 18 = 2·3², deməli ƏKOB(12; 18) = 2²·3² = 36. Qatarlar 36 dəqiqədən sonra — saat 08:36-da yenə birlikdə yola düşəcək. 12 + 18 = 30 cavabı səhvdir (30 heç 12-yə bölünmür), 12·18 = 216 isə ortaq misil olsa da, ən kiçiyi deyil.

Xassə

İstənilən iki natural a və b ədədi üçün:

ƏBOB(a; b) · ƏKOB(a; b) = a · b

Yoxla: 12 · 144 = 1728 = 48 · 36. Səbəb: ƏBOB hər ortaq vuruğu kiçik üstlə, ƏKOB isə böyük üstlə götürür; ikisinin hasilində hər sadə vuruq a·b-də olduğu qədər iştirak edir. ƏBOB-u 1 olan ədədlər qarşılıqlı sadə ədədlər adlanır (məsələn, 8 və 15); onlar üçün ƏKOB(a; b) = a · b.

Laboratoriyada iki xəttin cədvəlini bir oxda görəcəksən: yuxarıda a-nın mislləri, aşağıda b-nin mislləri. Qızılı xətt onların ilk birgə nöqtəsini — ƏKOB-u göstərir. a = 12, b = 18 ilə başla, sonra qarşılıqlı sadə ədədlər seç (məsələn, 8 və 15).

Laboratoriya · iki cədvəl, bir ox: ƏKOB-u tapa (birinci xətt, dəq)12b (ikinci xətt, dəq)18İmtahanda belə soruşulurDİM · 06.07.2025

(104·240)/ƏKOB(104; 240) ifadəsinin qiymətini hesablayın.

A) 6B) 4C) 3D) 2E) 8

1. Xassəyə görə 104 · 240 = ƏBOB(104; 240) · ƏKOB(104; 240). Hər iki tərəfi ƏKOB-a bölsək, ifadə ƏBOB(104; 240)-ya bərabər olur.Niyə belədir?

   Xassə böyük hasili (104·240 = 24960) və ƏKOB-u hesablamaqdan xilas edir.

2. Sadə vuruqlara ayırırıq: 104 = 2³·13, 240 = 2⁴·3·5.
3. Ortaq sadə vuruq yalnız 2-dir, ən kiçik üstü 3: ƏBOB = 2³ = 8.
4. Cavab: 8 (E variantı).

DİM-in rəsmi izahı (06.07.2025)

İki natural ədədin ƏBOB və ƏKOB-unun məlum xassəsinə görə (104·240)/ƏKOB(104; 240) = ƏBOB(104; 240) yazmaq olar. ƏBOB(104; 240) isə həmin ədədlərin ortaq sadə vuruqlarının hasilinə bərabərdir. 104 = 2·2·2·13 və 240 = 2·2·2·2·3·5 olduğu üçün ƏBOB(104; 240) = 2·2·2 = 8Mənbə: DİM izahı — 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

ƏBOB(a; b) = 6 və a · b = 540 olarsa, ƏKOB(a; b)-ni tapın.

ƏBOB · ƏKOB = a · b.

Fəsil 4

Qüvvətin son rəqəmi

Böyük qüvvəti hesablamaq çətindir, amma onun son rəqəmini tapmaq asandır, çünki hasilin son rəqəmi yalnız vuruqların son rəqəmlərindən asılıdır. Ardıcıl qüvvətlərin son rəqəmlərini yazaq: 3¹ = 3, 3² = 9, 3³ = 27, 3⁴ = 81, 3⁵ = 243 — son rəqəmlər 3, 9, 7, 1, 3, … təkrarlanır.

Son rəqəmlər dövri təkrarlanır: dövr 4, 2 və ya 1-dir.Qayda

Son rəqəmi 2, 3, 7 və ya 8 olan ədədin qüvvətlərində son rəqəmlər 4 addımdan bir təkrarlanır. Üstü 4-ə böl: qalıq r olarsa, son rəqəm dövrün r-ci üzvüdür, qalıq 0 olarsa — 4-cü üzvüdür. Xüsusən, üstü 4-ə bölünən 3ᵏ və 7ᵏ qüvvətləri 1 ilə qurtarır.

Nümunə 5

2²⁰²⁶ ədədinin son rəqəmini tapın.

1. 2-nin qüvvətlərinin son rəqəmləri: 2, 4, 8, 6 — dövr 4-dür.
2. 2026 = 4·506 + 2, qalıq 2-dir.Niyə belədir?

   Hər tam dövr (4 addım) son rəqəmi əvvəlki yerinə qaytarır, ona görə yalnız qalıq vacibdir.

3. Son rəqəm dövrün 2-ci üzvüdür, yəni 2² kimi: 4.
4. Cavab: 4.

Özün yoxla

8³⁵ ədədinin son rəqəmini tapın.

8-in dövrü: 8, 4, 2, 6; 35 = 4·8 + 3.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 24.05.2026

m ∈ N, n ∈ N və 3^(16+5m) · 7^(4+3n) hasilinin sonuncu rəqəmi 1 olarsa, (m + n) cəminin ən kiçik qiymətini tapın.

A) 2B) 6C) 4D) 3E) 5

1. Üstləri ayırırıq: 3¹⁶⁺⁵ᵐ · 7⁴⁺³ⁿ = 3¹⁶ · 7⁴ · 3⁵ᵐ · 7³ⁿ.
2. 16 və 4 ədədləri 4-ə bölünür, ona görə 3¹⁶ və 7⁴ 1 ilə qurtarır. Deməli, 3⁵ᵐ · 7³ⁿ hasili də 1 ilə qurtarmalıdır.Niyə belədir?

   1 ilə qurtaran ədədə vurmaq son rəqəmi dəyişmir.

3. 3-ün dövrü 3, 9, 7, 1; 7-nin dövrü 7, 9, 3, 1. Son rəqəmlərin hasili 1 ilə qurtaran cütlər: (3; 7), (9; 9), (7; 3), (1; 1). Hər cütdə üstlərin, yəni 5m və 3n-in 4-ə bölünməsindən alınan qalıqlar eynidir.Niyə belədir?

   3·7 = 21, 9·9 = 81, 7·3 = 21, 1·1 = 1. Hər cütdə iki son rəqəm öz dövrlərində eyni yerdədir.

4. Kiçik cəmləri yoxlayırıq. m + n = 2: (1; 1) — 5 və 3, qalıqlar 1 və 3, fərqlidir. m + n = 3: (1; 2) — 5 və 6, qalıqlar 1 və 2; (2; 1) — 10 və 3, qalıqlar 2 və 3, fərqlidir. m + n = 4: (1; 3) — 5 və 9, qalıqlar 1 və 1, uyğundur.
5. Cavab: m + n = 4 (C variantı).

DİM-in rəsmi izahı (24.05.2026)

m ∈ N, n ∈ N üçün 3^(16+5m) · 7^(4+3n) ifadəsini vuruqlarına ayırdıqda, 3^(16+5m) · 7^(4+3n) = 3¹⁶ · 3^(5m) · 7⁴ · 7^(3n) alarıq. Əvvəlcə hasilin son rəqəmi haqda fikir irəli sürmək üçün 3 və 7-in qüvvətlərinin son rəqəmləri müəyyən olunmalıdır. … 3¹⁶ = (3⁴)⁴ və 7⁴ sonu 1 olan qiymət aldığından verilmiş hasilin 1 ilə bitməsi üçün 3^(5m) · 7^(3n) hasili 1 ilə bitməlidir. Bu 3^(5m) və 7^(3n) -in qiymətlərinin son rəqəmləri uyğun olaraq (3 və 7), (7 və 3) , ( 9 və 9), (1 və 1) olduqda mümkündür. Son rəqəmlərin belə olması üçün 5m və 3n-in 4-ə bölünməsindən alınan qalıq eyni, yəni ( 1 və 1) , (2 və 2), (3 və 3) olmalı, yaxud 5m və 3n 4-ə qalıqsız bölünməlidir. (m;n) cütləri (1,1), (1,2), (2, 1) olduqda 5m və 3n-in 4-ə bölünməsindən alınan qalıqlar fərqlidir. Deməli, verilmiş hasilin son rəqəminin 1 olması üçün ( m və n) –in ən kiçik qiymətləri uyğun olaraq (1 və 3) , (2 və 2) , (3 və 1) və (4 və 4) ; m+n cəmi isə 1+3=4, 2+2=4, 3+1=4, 4+4=8 olur. Beləliklə m+n cəminin ən kiçik qiyməti 4-ə bərabərdir.Mənbə: DİM izahı — 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

Fəsil 5

Hərəkət məsələsi: qatar tuneldən keçir

Hekayə

Yolun sonunda qatar dağa yaxınlaşır. Qabaqda uzunluğu 480 m olan tunel var. Bələdçi deyir ki, qatarın uzunluğu 120 m-dir, tuneldə isə sürəti 36 km/saat olacaq.

Şagirdlərdən biri saniyəölçəni hazırlayır: qatarın başı tunelə girdiyi andan qatar tuneldən tamamilə çıxana qədər neçə saniyə keçəcək?

Qatar (120 m) 36 km/saat sürətlə uzunluğu 480 m olan tunelə yaxınlaşır.

Hərəkət məsələlərinin əsas düsturu s = v · t-dir: yol = sürət · zaman. Hesablamadan əvvəl vahidləri uyğunlaşdır: 1 km = 1000 m, 1 saat = 60 dəq = 3600 s. Məsələn, 36 km/saat = 36000 m : 3600 s = 10 m/s.

Qayda

Uzunluğu ℓ olan qatar uzunluğu L olan tuneldən (körpüdən) tam keçəndə — başının girdiyi andan arxasının çıxdığı ana qədər — qatarın hər bir nöqtəsi, məsələn, ən arxa nöqtəsi ℓ + L yol gedir.

Başlanğıcda arxa nöqtə tunelin girişindən ℓ qədər geridədir, sonda isə tunelin çıxışındadır.Hekayə

Arxa nöqtə 120 + 480 = 600 m yol gedir. 36 km/saat = 10 m/s olduğundan t = 600 : 10 = 60 s, yəni düz 1 dəqiqə. Şagirdin saniyəölçəni də 60 s göstərdi. Qatarın uzunluğunu unutsaydıq, 480 : 10 = 48 s alardıq — 12 saniyə səhv.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 15.03.2026

Uzunluqları 500 m və 300 m olan iki tuneldən birincinin son nöqtəsi ilə ikincinin başlanğıc nöqtəsi arasındakı məsafə 15 km-dir. Uzunluğu 200 m və sürəti 64 km/saat olan qatar I tunelə girməyə başladığı andan neçə dəqiqə sonra II tuneldən tamamilə çıxar?

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Qatarın ən arxa nöqtəsini izləyək. Başlanğıcda qatarın başı I tunelin girişindədir, arxa nöqtə isə girişdən 200 m geridədir.
2. Sonda arxa nöqtə II tunelin çıxışındadır. Bu müddətdə o, 200 + 500 + 15000 + 300 = 16000 m = 16 km yol gedir.Niyə belədir?

   15 km = 15000 m: toplamazdan əvvəl bütün uzunluqlar eyni vahidlə yazılmalıdır.

3. Zaman: t = 16 : 64 = 0,25 saat = 0,25 · 60 dəq = 15 dəq.Niyə belədir?

   Sürət km/saatla verildiyi üçün yolu km-lə götürmək rahatdır; sonra saatı dəqiqəyə çeviririk.

4. Cavab: 15 dəq.

DİM-in rəsmi izahı (15.03.2026)

Uzunluğu 200 m olan qatar I tunelə girən andan II tuneldən tamamilə çıxan ana qədər qatarın ən arxa nöqtəsi 200 + 500 + 15000 + 300 = 16000 (m) məsafə qət etmiş olur. Beləliklə, qatar 16 km məsafəni 64 km/ saat sürətlə 16:64 = 0,25 (saat)=15 (dəq) zaman müddətində qət etmiş olar.Mənbə: DİM izahı — 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

Özün yoxla

Uzunluğu 300 m olan qatar 54 km/saat sürətlə uzunluğu 900 m olan körpüdən keçir. Qatarın başı körpüyə çatdığı andan qatar körpüdən tamamilə çıxana qədər neçə saniyə keçər?

54 km/saat = 15 m/s; yol 300 + 900.

Məşq

İmtahan tapşırıqları ilə məşq

DİM · 09.03.2026

17 ≤ n < 23 şərtini ödəyən n natural ədədlərinin sayını tapın.

A) 4B) 8C) 6D) 5E) 7Cavab və DİM izahı

Cavab: 6 (C variantı).

Bu şərti ödəyən natural ədədlərin sayı 23–17=6 olur.Mənbə: DİM izahı — 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

DİM · 12.07.2026

1389214 ədədində neçə minlik var?

A) 13B) 1389C) 9000D) 13892E) 138Cavab və DİM izahı

Cavab: 1389 (B variantı).

1389214=1389 ·10³+214 ayrılışına əsasən ədədin 1389 minliyi var.Mənbə: DİM izahı — 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 01.06.2025

Ədəd elə üç natural ədədin cəmindən ibarətdir ki, onlardan birincisi 57-yə, ikincisi 24-ə, üçüncüsü isə 19-a tam bölünür və alınan qismətlər bərabərdir. Verilmiş ədədin axırıncı rəqəmini tapın.

A) 5B) 0C) 7D) 9E) 4Cavab və DİM izahı

Cavab: 0 (B variantı).

Verilmiş ədədi a ilə işarə edək. Şərtə görə a ədədi elə x, y və z ədədlərinin cəmindən ibarətdir ki, x = 57k, y = 24k, z = 19k -dır. Sonuncudan a = x + y + z = 57k + 24k + 19k = 100k. Bu o deməkdir ki, k-nın istənilən natural qiymətində a ədədinin axırıncı rəqəmi 0 olacaqdır.Mənbə: DİM izahı — 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 05.07.2026

a = 4^(2n) · 9^m ədədinin sadə vuruqlarının sayı 12 olarsa, m-in ala biləcəyi qiymətlərin cəmini tapın (n ∈ N, m ∈ N).

Sadə vuruqlar təkrarlananlar da daxil olmaqla sayılır (2-ci fəsil).

A) 4B) 9C) 7D) 6E) 8Cavab və DİM izahı

Cavab: 6 (D variantı): n = 1, m = 4 və n = 2, m = 2.

a ədədini sadə vuruqların hasili kimi yazsaq: a = 4^(2n) · 9^m = (2²)^(2n) · (3²)^m = 2^(4n) · 3^(2m) Burada sadə vuruqların sayı 4n + 2m = 12 , 2n + m = 6 … 4 + 2 = 6Mənbə: DİM izahı — 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 07.06.2026

Qarşılıqlı sadə a və b natural ədədləri üçün ƏKOB(a; b) = 126 və a + b = 23 olarsa, a² + b² ifadəsinin qiymətini tapın.

A) 289B) 277C) 269D) 261E) 265Cavab və DİM izahı

Cavab: 277 (B variantı).

a və b qarşılıqlı sadə ədədlər olduğu üçün ƏKOB(a,b)= a · b olar. Şərtə görə, {ab = 126; a + b = 23}. Məlumdur ki, bu sistemin həlli var. Odur ki, a² + b² = (a + b)² − 2ab = 23² − 2·126 = 529 − 252 = 277.Mənbə: DİM izahı — 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Yekun

Yadda saxla

• Aralıqda say: a ≤ n ≤ b → b − a + 1; bir sərhəd daxil deyilsə → b − a.
• “Neçə minlik var?” — sağdan üç rəqəmi at: 4507216 = 4507·10³ + 216.
• Rəqəmlərlə yazılış: abc = 100a + 10b + c, ab4 = 10·ab + 4.
• Sadə vuruqların sayı təkrarlananlarla sayılır: 3⁴ⁿ·5²ᵐ → 4n + 2m vuruq.
• ƏBOB — ortaq vuruqlar kiçik üstlərlə, ƏKOB — bütün vuruqlar böyük üstlərlə; ƏBOB · ƏKOB = a · b.
• Qarşılıqlı sadə ədədlər üçün ƏKOB(a; b) = a · b.
• Son rəqəmi 2, 3, 7, 8 olan ədədlərin qüvvətlərində dövr 4-dür: üstü 4-ə böl, qalığa bax.
• Qatar tuneldən tam keçir: yol ℓ + L, zaman t = s : v.

Tipik səhvlər

“17 ≤ n < 23 aralığında 23 − 17 + 1 = 7 ədəd var”

23 daxil deyil: 17, 18, …, 22 — cəmi 6 ədəd. “+1” yalnız hər iki sərhəd daxil olanda yazılır.

“4507216 ədədində 7 minlik var”

7 — minliklər mərtəbəsindəki rəqəmdir. Ədəddə cəmi 4507 minlik var.

“Sadə vuruqların sayı — müxtəlif sadə vuruqların sayıdır”

DİM tapşırıqlarında təkrarlananlar da sayılır: 360 = 2³·3²·5 ədədinin 6 sadə vuruğu var, 3 yox.

“Qatar tuneldən keçəndə tunelin uzunluğu qədər yol gedir”

Qatar tam çıxana qədər öz uzunluğu qədər də yol gedir: s = ℓ + L.

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

25 < n ≤ 40 şərtini ödəyən natural ədədlərin sayı:

26, 27, …, 40: bir sərhəd daxil deyil, 40 − 25 = 15.

2 · 1-ci səviyyə

6038152 ədədində neçə on minlik var?

Sağdan dörd rəqəmi atırıq: 6038152 = 603·10⁴ + 8152.

3 · 2-ci səviyyə

ƏBOB(84; 126) neçəyə bərabərdir?

84 = 2²·3·7, 126 = 2·3²·7; ƏBOB = 2·3·7 = 42.

4 · 2-ci səviyyə

7²⁰²⁶ ədədinin son rəqəmi:

7-nin dövrü 7, 9, 3, 1; 2026 = 4·506 + 2, son rəqəm 9.

5 · DİM səviyyəsi

Qarşılıqlı sadə a və b natural ədədləri üçün ƏKOB(a; b) = 40 və a + b = 13-dür. a² + b² ifadəsinin qiyməti:

ab = ƏKOB = 40; a² + b² = 13² − 2·40 = 169 − 80 = 89.

6 · DİM səviyyəsi

Uzunluğu 150 m olan qatar 72 km/saat sürətlə hərəkət edir. Başı uzunluğu 450 m olan tunelə girdiyi andan qatar tuneldən tamamilə çıxana qədər neçə saniyə keçər?

72 km/saat = 20 m/s; (150 + 450) : 20 = 30 s.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Natural ədədlər (A variantı, 16; B-22, C-14, D-4)
2. 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Natural ədədlər (A variantı, 13; B-13, C-13, D-8)
3. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Natural ədədlər (A variantı, 17; B-9, C-8, D-22)
4. 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Natural ədədlər (A variantı, 65; B-67, C-62, D-66)
5. 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Natural ədədlər (A variantı, 75; B-78, C-74, D-75)
6. 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF) — Natural ədədlər üzərində əməllər (A variantı, 77; B-77, C-77, D-78)
7. 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Natural ədədlər (A variantı, 18; B-18, C-5, D-6)
8. 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Natural ədədlər (A variantı, 17; B-18, C-1, D-9)
9. 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Natural ədədlər (A variantı, 14; B-12, C-13, D-7)
10. 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Natural ədədlər (A variantı, 12; B-14, C-6, D-7)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.