Действительные числа: рациональные, иррациональные, модуль, среднее арифметическое

Действительные числа · Тема 3 / 46

Действительные числа: рациональные, иррациональные, модуль, среднее арифметическое

Этот урок пройдём через историю переезда: семья переезжает в новый дом. Лифт, квадратный стол и термометр на балконе познакомят нас с «семьёй» чисел: натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (как расстояние) и среднее арифметическое.

≈ 45 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 5материал 6–9 классов

После урока ты сможешь

• относить числа к множествам N, Z, Q, R, переводить периодическую дробь в обыкновенную;
• распознавать иррациональные числа и оценивать корень между двумя десятичными дробями;
• понимать модуль как расстояние на прямой и раскрывать модуль;
• находить неизвестное число по среднему арифметическому.

Перед началом вспомни

• Действия с обыкновенными и десятичными дробями, с отрицательными числами.
• Квадратный корень: √9 = 3, 1,5² = 2,25.
• Теорема Пифагора: c² = a² + b².

Содержание

1. ВведениеСитуация: на сколько метров поднимется лифт?история и предположение
2. Глава 1Натуральные, целые и рациональные числаN, Z, Q · периодическая дробь → обыкновенная
3. Глава 2Иррациональные и действительные числа√2 · R = Q ∪ I · оценка корня · ДИМ 09.03.2025
4. Глава 3Координатная прямая и модульопределение модуля · расстояние |a − b| · лаборатория
5. Глава 4Раскрытие модуляопредели знак · |A| = ±A · ДИМ 01.06.2025, 12.07.2026
6. Глава 5Среднее арифметическоесумма = количество · среднее · ДИМ 02.03.2025
7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 1, с ответом и официальным пояснением
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: на сколько метров поднимется лифт?

История

Семья переезжает в новый дом. Машина стоит на самом нижнем уровне подземной парковки. Перед зданием стеклянный лифт, на его кнопках уровни подписаны так: −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. Здесь 0 — уровень входа в здание, а отрицательные числа — уровни парковки под землёй.

Коробки погружены в кабину, лифт должен подняться с уровня −2 на уровень 4, где находится квартира. Высота каждого уровня — 3 м. На сколько метров поднимется кабина?

Лифт поднимается с уровня −2 на уровень 4; каждый уровень — 3 м.Сначала предположи

Как ты думаешь, на сколько метров поднимется кабина? Выбери ответ — посчитаем вместе в 3-й главе.

Глава 1

Натуральные, целые и рациональные числа

Посмотри на числа на кнопках лифта. Числа 1, 2, 3, …, которыми мы пользуемся при счёте, — натуральные (множество N). Натуральные числа, противоположные им числа (−1, −2, −3, …) и 0 вместе образуют множество целых чисел (Z). Уровни парковки −1 и −2 — целые числа, но не натуральные.

Определение

Число, которое можно записать в виде m/n, где m — целое, n — натуральное, называется рациональным. Множество рациональных чисел обозначают Q. Каждое целое число рационально: −5 = −5/1.

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, делим числитель на знаменатель. Возможны два случая: деление заканчивается (3/4 = 0,75 — конечная десятичная дробь) или остатки начинают повторяться и цифры периодически повторяются (1/3 = 0,333… = 0,(3), 49/30 = 1,6333… = 1,6(3) — периодическая десятичная дробь, период пишут в скобках).

Теорема

Каждое рациональное число записывается конечной или периодической десятичной дробью. Обратно, каждая конечная и каждая периодическая десятичная дробь — рациональное число.

Значит, периодическая дробь, хоть и бесконечна, — рациональное число: её всегда можно перевести в обыкновенную дробь. Для этого умножаем дробь на такие степени 10, чтобы периоды после запятой совпали, и вычитаем равенства.

Пример 1

Переведите периодические дроби 1,(6) и 1,6(3) в обыкновенные.

1. Пусть x = 1,(6). Период — одна цифра, поэтому умножаем на 10: 10x = 16,(6).Почему так?

   У чисел 10x и x одинаковые части после запятой (0,666…), при вычитании период исчезает.

2. Вычитаем: 10x − x = 16,(6) − 1,(6) = 15, откуда x = 15/9 = 5/3.
3. Теперь y = 1,6(3). Перед периодом одна цифра (6), поэтому пишем два равенства: 10y = 16,(3) и 100y = 163,(3).Почему так?

   В обоих числах после запятой остаётся один и тот же период: 0,333…

4. Вычитаем: 90y = 163 − 16 = 147, y = 147/90 = 49/30. Проверка: 49 : 30 = 1,6333….
5. Ответ: 1,(6) = 5/3; 1,6(3) = 49/30.

Проверь себя

Запишите периодическую дробь 2,(7) в виде обыкновенной дроби (например, как 7/3).

x = 2,(7), 10x = 27,(7); 9x = 25.

Проверь себя

Сколько целых чисел среди чисел −3,5; 0; 7; −12; 2/3; 4,(1)?

0 — тоже целое число.

Глава 2

Иррациональные и действительные числа

История

Первым делом в квартире поставили стол в комнате рядом с кухней. Стол квадратный, его сторона 1 м. Мама хочет положить на стол декоративную ленту от одного угла до противоположного — по диагонали. У неё есть 1,4 м ленты.

Какова длина диагонали и хватит ли этой ленты? Рулетка показывает примерно 1,414 м, но она измеряет лишь с точностью до миллиметра. Можно ли записать диагональ точной десятичной дробью?

Сторона квадратного стола 1 м, диагональ неизвестна; на столе лента длиной 1,4 м.

Две стороны стола и диагональ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора d² = 1² + 1² = 2, т. е. d = √2. Ищем число, квадрат которого равен 2. Доказано, что такого рационального числа нет: √2 нельзя записать обыкновенной дробью, его десятичная запись 1,41421356… бесконечна и непериодична.

Определение

Число, которое записывается бесконечной непериодической десятичной дробью, называется иррациональным: √2, √3, π = 3,14159…. Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел (R).

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; иррациональные числа — часть R, не входящая в Q.Как распознать иррациональное число?

1) Если натуральное n не является точным квадратом, то √n иррационально; если является — корень целый: √9 = 3, √16 = 4.2) Сумма и разность рационального и иррационального чисел иррациональны; произведение ненулевого рационального числа на иррациональное иррационально: 2 + √3, −√2, 3√5.3) Знак корня ещё не означает иррациональность: √0,25 = 0,5, √(4/9) = 2/3 — рациональные числа.

Иррациональное число нельзя точно записать десятичной дробью, но его можно оценить между двумя десятичными дробями. Для положительных чисел p < q ⇔ p² < q², поэтому из p² < n < q² следует p < √n < q.

История

Оценим диагональ стола: 1,4² = 1,96 < 2 < 2,25 = 1,5², значит 1,4 < √2 < 1,5. Точнее: 1,41² = 1,9881 < 2 < 2,0164 = 1,42², т. е. 1,41 < √2 < 1,42. Лента немного короче √2 — не хватает! Мама покупает в магазине 1,5 м ленты: так как √2 < 1,5, этой ленты хватит, лишнее отрежут.

Пример 2

Между какими двумя соседними десятыми долями (дробями с одним знаком после запятой) находится √5?

1. Сначала проверяем целые: 2² = 4 < 5 < 9 = 3², значит 2 < √5 < 3.Почему так?

   Вместо извлечения корня сравниваем квадраты — это работает без калькулятора.

2. Проверяем десятые: 2,1² = 4,41, 2,2² = 4,84, 2,3² = 5,29.
3. Так как 4,84 < 5 < 5,29, то 2,2 < √5 < 2,3.
4. Ответ: 2,2 < √5 < 2,3.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2025

Какая часть чисел в таблице иррациональна?

Таблица: 1-я строка — π, √3, √9, 1,6(3), −√2; 2-я строка — 1,(6), 3√5, −5, 3/4, 6.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 0,5B) 0,6C) 0,8D) 0,7E) 0,4

1. Упрощаем корни: √9 = 3 — целое число, значит рациональное.Почему так?

   9 — точный квадрат. Смотрим не на знак корня, а на значение корня.

2. Периодические дроби рациональны: 1,6(3) = 49/30, 1,(6) = 5/3. −5, 3/4 и 6 тоже рациональны.Почему так?

   Периодическая десятичная дробь всегда переводится в обыкновенную (глава 1).

3. Остальные четыре числа иррациональны: π; √3 и −√2 (3 и 2 — не точные квадраты); 3√5 (произведение рационального числа на иррациональное).Почему так?

   Вопрос «какая часть» спрашивает отношение количества иррациональных чисел к количеству всех чисел.

4. В таблице 10 чисел, из них 4 иррациональны: 4/10 = 0,4.
5. Ответ: 0,4 (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (09.03.2025)

Из 10 чисел таблицы четыре — π, √3, −√2, 3√5 — иррациональные. Значит, иррациональна 4/10 = 0,4 часть чисел таблицы.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Проверь себя

Сколько иррациональных чисел среди чисел π; √16; 0,(5); √7; −2,5; 2√3; √0,04?

√16 = 4, √0,04 = 0,2, 0,(5) = 5/9 — рациональны.

Проверь себя

Между какими двумя последовательными натуральными числами находится √40? Запишите меньшее из них.

6² = 36, 7² = 49.

Глава 3

Координатная прямая и модуль

Каждое действительное число изображается точкой на координатной прямой, и наоборот, каждой точке прямой соответствует действительное число. Кнопки лифта — это, по сути, вертикальная координатная прямая: 0 — вход, вверху положительные, внизу отрицательные уровни.

Определение

Модуль (абсолютная величина) числа a определяется так: при a ≥ 0 |a| = a, при a < 0 |a| = −a. Геометрический смысл: |a| — расстояние на координатной прямой от точки a до 0.

Внимание: когда a отрицательно, −a положительно. Например, |−7| = −(−7) = 7. Модуль никогда не бывает отрицательным. А расстояние между двумя точками — это модуль разности:

Расстояние между точками a и b на прямой

ρ(a; b) = |a − b| = |b − a|

Расстояние между −2 и 4 равно 6: 4 − (−2) = 4 + 2.История

Теперь вернёмся к вопросу о лифте. Кабина поднимается с уровня −2 на уровень 4: |4 − (−2)| = 4 + 2 = 6 уровней. Каждый уровень — 3 м, поэтому кабина поднимается на 6 · 3 = 18 м. Ответ 4 − 2 = 2 → 6 м неверен: в нём потерян знак минус. А 4 · 3 = 12 м отсчитывает от 0 и забывает про уровни парковки.

В лаборатории двигай точки a и b: красный отрезок показывает расстояние между ними, а полоски внизу — расстояние от каждой до 0. Обрати внимание, что происходит, когда точки по разные стороны от 0.

Лаборатория · модуль — расстояние на прямойa (кабина)-2b (квартира)4Свойства модуля

|a| ≥ 0, равенство только при a = 0;|−a| = |a|,   |a·b| = |a|·|b|;√(a²) = |a|,   |a|² = a² — например, √((−3)²) = 3.

Пример 3

Найдите значение выражения 20x² − 4|x| + 1 при x = −0,3.

1. Модуль: |x| = |−0,3| = 0,3.Почему так?

   x отрицательно, поэтому |x| = −x = 0,3.

2. Квадрат: x² = (−0,3)² = 0,09.Почему так?

   Квадрат отрицательного числа положителен; не забывай скобки.

3. Подставляем: 20 · 0,09 − 4 · 0,3 + 1 = 1,8 − 1,2 + 1 = 1,6.
4. Ответ: 1,6.

Проверь себя

Найдите значение выражения x² − 3|x| + |x − 1| при x = −2.

|−2| = 2, |−2 − 1| = 3.

Глава 4

Раскрытие модуля

Чтобы снять знак модуля, сначала нужно определить знак выражения под модулем. Это главный шаг в заданиях ДИМ.

Правило

Если выражение неотрицательно, знак модуля просто снимаем: A ≥ 0 ⇒ |A| = A. Если выражение отрицательно, снимаем модуль и ставим перед выражением минус: A < 0 ⇒ |A| = −A.

Пример 4

Найдите значение выражения |√10 − 3| + |√10 − 4|.

1. Оцениваем корень: 3² = 9 < 10 < 16 = 4², значит 3 < √10 < 4.Почему так?

   Чтобы определить знак, достаточно сравнить √10 с целыми числами.

2. √10 − 3 > 0, поэтому |√10 − 3| = √10 − 3; √10 − 4 < 0, поэтому |√10 − 4| = 4 − √10.
3. Сумма: √10 − 3 + 4 − √10 = 1.Почему так?

   Геометрический смысл: сумма расстояний от точки √10 до 3 и до 4 равна длине отрезка от 3 до 4, потому что точка лежит между ними.

4. Ответ: 1.

Полезное следствие

Если p ≤ x ≤ q, то |x − p| + |x − q| = q − p.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

Вычислите значение выражения |√5 − 2,3| + |√5 − 2,2|.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 4,5B) 0,8C) 2√5D) 4,5 − 2√5E) 0,1

1. Сравниваем √5 с 2,2 и 2,3: 2,2² = 4,84 < 5 < 5,29 = 2,3², значит 2,2 < √5 < 2,3.Почему так?

   Чтобы сравнить положительные числа, достаточно сравнить их квадраты.

2. √5 − 2,3 < 0, поэтому |√5 − 2,3| = 2,3 − √5; √5 − 2,2 > 0, поэтому |√5 − 2,2| = √5 − 2,2.
3. Сумма: 2,3 − √5 + √5 − 2,2 = 0,1.Почему так?

   По полезному следствию: точка √5 лежит между 2,2 и 2,3, сумма расстояний 2,3 − 2,2 = 0,1. Вариант D (4,5 − 2√5) получается, если раскрыть модули без проверки знака.

4. Ответ: 0,1 (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)

Так как √5 < 2,3 и √5 > 2,2, то |√5 − 2,3| + |√5 − 2,2| = −√5 + 2,3 + √5 − 2,2 = 0,1Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите значение выражения |√3 − 2| + |√3 − 1|.

1 < √3 < 2.

Иногда знак выражения подсказывает само равенство в условии. Из определения модуля:

Знак из равенства

|A| = A ⇔ A ≥ 0;    |A| = −A ⇔ A ≤ 0

Пример 5

Найдите значение выражения |x − 7| − |5 − x|, если |x − 5| + x = 5.

1. Из условия |x − 5| = 5 − x = −(x − 5), т. е. модуль равен противоположному выражению. Значит, x − 5 ≤ 0, x ≤ 5.Почему так?

   |A| = −A верно только при A ≤ 0.

2. Так как x − 7 < 0, то |x − 7| = 7 − x; так как 5 − x ≥ 0, то |5 − x| = 5 − x.
3. Разность: (7 − x) − (5 − x) = 2 — не зависит от x.
4. Ответ: 2.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

Если для действительных чисел a, b выполняются условия |3a − 2| + 3a = 2 и |2b − 3| + 3 = 2b, упростите выражение (1 − a)/(|a − b| + |a − 1| − |1 − b|).

Рисунок меняется вместе с шагами.A) −2B) 1C) 2D) 0,5E) −0,2

1. Первое условие: |3a − 2| = 2 − 3a, т. е. |3a − 2| = −(3a − 2). Это возможно только при 3a − 2 ≤ 0: a ≤ 2/3.Почему так?

   Правило: |A| = −A ⇔ A ≤ 0.

2. Второе условие: |2b − 3| = 2b − 3, т. е. 2b − 3 ≥ 0: b ≥ 3/2.Почему так?

   Правило: |A| = A ⇔ A ≥ 0.

3. Значит, a ≤ 2/3 < 1 < 3/2 ≤ b. Раскрываем модули: |a − b| = b − a, |a − 1| = 1 − a, |1 − b| = b − 1.Почему так?

   Все три выражения a − b, a − 1 и 1 − b отрицательны, поэтому каждый модуль равен «противоположному» выражению.

4. Знаменатель: (b − a) + (1 − a) − (b − 1) = 2 − 2a = 2(1 − a).
5. Так как a ≤ 2/3, то 1 − a ≠ 0, сокращаем: (1 − a)/(2(1 − a)) = 1/2 = 0,5.Почему так?

   Сокращать на ноль нельзя, поэтому проверяем, что 1 − a ≠ 0.

6. Ответ: 0,5 (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)

Из данных условий можно записать соотношения |3a − 2| = 2 − 3a, |2b − 3| = 2b − 3. Отсюда по определению модуля получаем, что 3a − 2 ≤ 0 и 2b − 3 ≥ 0, или a ≤ 2/3 и b ≥ 3/2. Учитывая последние соотношения в данном выражении, получим (1 − a)/(|a − b| + |a − 1| − |1 − b|) = (1 − a)/(b − a + 1 − a + 1 − b) = (1 − a)/(2 − 2a) = (1 − a)/(2(1 − a)) = 1/2.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите значение выражения (|x − y| − |y − 1| + |1 − x|) / (1 − x), если |2y − 6| = 2y − 6 и |x − 1| = 1 − x (x ≠ 1).

y ≥ 3, x ≤ 1: числитель y − x − (y − 1) + 1 − x = 2 − 2x.

Глава 5

Среднее арифметическое

История

В неделю после переезда ученик для школьного проекта каждое утро записывает показания термометра на балконе. Первые три дня: −6 °C, −2 °C, +1 °C. А запись четвёртого дня расплылась и не читается.

На сайте метеослужбы написано: средняя температура этих четырёх утр была −1 °C. Сколько градусов показывал термометр на четвёртое утро?

Термометр на балконе и записи за четыре дня; средняя температура −1 °C.Определение

Отношение суммы n чисел к их количеству называется средним арифметическим этих чисел:

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n

В задачах полезнее всего обратная запись: сумма = количество · среднее, т. е. x₁ + x₂ + … + xₙ = n · x̄. Если известно среднее, сначала находим сумму, потом неизвестное число.

История

Сумма температур четырёх утр 4 · (−1) = −4. Сумма первых трёх утр −6 + (−2) + 1 = −7. Значит, на четвёртое утро термометр показывал −4 − (−7) = 3 °C — теплеет!

Сумма отклонений чисел от среднего всегда равна 0: среднее «уравновешивает» числа.Пример 6

Среднее арифметическое шести чисел равно 5. После того как одно из них убрали, среднее оставшихся пяти чисел стало 4. Какое число убрали?

1. Сумма шести чисел: 6 · 5 = 30.Почему так?

   сумма = количество · среднее.

2. Сумма пяти чисел: 5 · 4 = 20.
3. Убранное число: 30 − 20 = 10.
4. Ответ: 10.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

Если среднее арифметическое баллов, набранных учеником на олимпиаде по математике за первые три из 4 вопросов, равно 8, а за все четыре — 7, то сколько баллов он получил за четвёртый вопрос?

1. Сумма баллов за первые три вопроса: x₁ + x₂ + x₃ = 3 · 8 = 24.Почему так?

   Если среднее 8, то сумма трёх чисел равна 3 · 8.

2. Сумма баллов за четыре вопроса: 4 · 7 = 28.
3. Балл за четвёртый вопрос: x₄ = 28 − 24 = 4.Почему так?

   Проверка: (24 + 4) : 4 = 7. Среднее уменьшилось с 8 до 7, потому что четвёртый балл меньше 8.

4. Ответ: 4.

Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)

Пусть баллы, набранные учеником, соответственно номерам вопросов равны x₁, x₂, x₃, x₄. По условию (x₁ + x₂ + x₃)/3 = 8 ⇒ x₁ + x₂ + x₃ = 24. С другой стороны, (x₁ + x₂ + x₃ + x₄)/4 = 7 ⇒ (24 + x₄)/4 = 7 ⇒ x₄ = 4.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Проверь себя

Среднее арифметическое 5 чисел равно 12, а среднее арифметическое четырёх из них — 10. Найдите пятое число.

5 · 12 − 4 · 10.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 09.03.2026

Найдите значение выражения 10x² − 5|x| + 3 при x = −0,4.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 2,6.

10x² − 5|x| + 3 = 10·(−0,4)² − 5·|−0,4| + 3 … = 1,6 − 2 + 3 = 2,6.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Итоги

Запомни

• N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; рациональное число — m/n (m целое, n натуральное).
• Конечные и периодические десятичные дроби рациональны: 1,(6) = 5/3, 1,6(3) = 49/30.
• Иррациональное — бесконечная непериодическая дробь: √2, √3, π, 3√5; но √9 = 3 рационально.
• Оценка корня: p² < n < q² ⇒ p < √n < q.
• Модуль: a ≥ 0 ⇒ |a| = a, a < 0 ⇒ |a| = −a; |a − b| — расстояние между a и b.
• Перед раскрытием модуля определи знак; |A| = A ⇔ A ≥ 0, |A| = −A ⇔ A ≤ 0.
• Среднее арифметическое: x̄ = (x₁ + … + xₙ)/n; сумма = количество · среднее.

Типичные ошибки

«Каждое число со знаком корня иррационально»

√9 = 3, √0,25 = 0,5 — рациональные числа. Корень иррационален, если под корнем не точный квадрат.

«Периодическая дробь бесконечна, значит, иррациональна»

Периодическая дробь всегда переводится в обыкновенную: 1,(6) = 5/3. Иррациональное число — бесконечная и непериодическая дробь.

«|√5 − 2,3| = √5 − 2,3»

√5 < 2,3, выражение отрицательно: |√5 − 2,3| = 2,3 − √5. Модуль никогда не бывает отрицательным.

«Между уровнями −2 и 4 всего 4 − 2 = 2 уровня»

Расстояние — это модуль разности: |4 − (−2)| = 6. Вычесть отрицательное число — значит прибавить его модуль.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Какое число иррационально?

12 — не точный квадрат: √12 = 2√3. √16 = 4, 0,(3) = 1/3 — рациональны.

2 · Уровень 1

Значение выражения |−8| − |3 − 5|:

|−8| = 8, |3 − 5| = |−2| = 2; 8 − 2 = 6.

3 · Уровень 2

Какой обыкновенной дроби равна периодическая дробь 0,(45)?

x = 0,(45), 100x = 45,(45); 99x = 45, x = 45/99 = 5/11.

4 · Уровень 2

Значение выражения |√11 − 3| + |√11 − 4|:

9 < 11 < 16, 3 < √11 < 4: √11 − 3 + 4 − √11 = 1.

5 · Уровень ДИМ

Средний балл 20 учеников класса равен 7. В класс пришли 5 новых учеников со средним баллом 8. Каков теперь средний балл класса?

(20 · 7 + 5 · 8) : 25 = (140 + 40) : 25 = 7,2.

6 · Уровень ДИМ

Для действительного a выполняются |a + 2| = a + 2 и |a − 1| = 1 − a. Значение выражения |a + 2| + |a − 1|:

a ≥ −2 и a ≤ 1: (a + 2) + (1 − a) = 3.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 79; B-79, C-79, D-79
2. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 64; B-63, C-72, D-72
3. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 14; B-1, C-15, D-19
4. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 78; B-78, C-78, D-74
5. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 9; B-22, C-15, D-18

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.