Определённый интеграл и площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком y = f(x) (f ≥ 0), осью Ox и прямыми x = a, x = b. Чтобы приближённо найти её площадь, делим отрезок [a; b] на n частей, строим прямоугольники и складываем их площади. С ростом n сумма приближается к точной площади — этот предел и есть определённый интеграл: ∫ₐᵇ f(x) dx.

Интеграл вычисляют по формуле Ньютона–Лейбница: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), где F — первообразная f (F′ = f). Например, ∫₀³ x² dx = 3³/3 − 0 = 9; ∫₀^π sin x dx = −cos π + cos 0 = 2.

S = ∫ₐᵇ f(x) dxплощадь криволинейной трапеции∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a)формула Ньютона–ЛейбницаF′(x) = f(x)первообразная: x² → x³/3, sin x → −cos xменяй функцию, a, b и число прямоугольников ↓3 прямоугольника — грубое приближение

Зелёная область — криволинейная трапеция, жёлтые прямоугольники — её приближение (высота каждого — значение в середине части). С ростом числа прямоугольников их сумма приближается к интегралу.

f(x)a0b3Число прямоугольников, n6

• Сумма площадей прямоугольников
• Погрешность

Задание 1 / 3○○○

Покажи, что ∫₀³ x² dx = 9.

Настрой ползунки и кнопки…

Что показывает симуляция?

языком ползунков

• f = x², [0; 3]: с 6 прямоугольниками сумма ≈ 8,9, точное значение 9.
• Увеличь n до 60: погрешность падает до 0,01%.
• f = 2x + 1 — линейная: методом средних точек сумма точна при любом n — трапеция просто трапеция.
• f = sin x, [0; π]: площадь под одной «аркой» синусоиды ровно 2.
• При a = b площадь равна нулю.

Таблица первообразных

самые нужные

f(x)	F(x)	Пример
xⁿ (n ≠ −1)	xⁿ⁺¹ / (n+1)	∫₀² x³ dx = 4
k (константа)	kx	∫₁⁴ 3 dx = 9
sin x	−cos x	∫₀^π sin x dx = 2
cos x	sin x	∫₀^(π/2) cos x dx = 1
1/x	ln |x|	∫₁^e dx/x = 1
eˣ	eˣ	∫₀¹ eˣ dx = e − 1

Самые частые ошибки

красной ручкойПисать F(a) − F(b)

Правильно: из значения на верхнем пределе вычесть значение на нижнем — F(b) − F(a).

Считать первообразной sin x функцию cos x

(cos x)′ = −sin x, поэтому первообразная sin x — это −cos x.

Считать интеграл отрицательной функции площадью

Если график ниже оси Ox, интеграл отрицателен. Для площади берут модуль.

Разобранные задачи

сначала реши сам

Задача 1

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком y = x², осью Ox и прямыми x = 1, x = 2.

Показать решениеS = ∫₁² x² dx = x³/3 |₁²= 8/3 − 1/3 = 7/3

Ответ: 7/3.

Задача 2

Вычислите ∫₀^(π/2) cos x dx.

Показать решениеF(x) = sin xsin(π/2) − sin 0 = 1

Ответ: 1.

В реальной жизни: путь по графику скорости

интеграл в физикеАвтомобиль трогается со скоростью v = 2t (м/с)

В физике интеграл повсюду: по скорости находят путь, по силе — работу, по плотности — массу. Одометр автомобиля, по сути, «интегрирует» скорость по времени.

Проверь себя: 5 тестовых заданий

5 вопросов

1Чему равен ∫₀³ x² dx?

2Какая функция — первообразная для sin x?

3Какова формула Ньютона–Лейбница?

4Чему равен ∫₀^π sin x dx?

5Открытый вопрос: чему равен ∫₁³ (2x + 1) dx? Запиши ответ числом.

Источник

Программа вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Первообразная и интеграл: первообразная, определённый интеграл, формула Ньютона–Лейбница, площадь криволинейной трапеции.