Комбинаторика: перестановки, размещения и сочетания

Перестановки — число способов выстроить в ряд все n различных элементов: Pₙ = n! = 1 · 2 · … · n. Например, 4 книги на полке можно расставить 4! = 24 способами.

Когда из n элементов выбирают k, главный вопрос: важен ли порядок? Если важен (председатель и заместитель, 1-е и 2-е место) — размещения: Aₙᵏ = n! / (n − k)!. Если не важен (команда, группа) — сочетания: Cₙᵏ = n! / (k! · (n − k)!).

Pₙ = n!выстроить все элементыAₙᵏ = n! / (n − k)!выбрать k и упорядочитьCₙᵏ = Aₙᵏ / k!выбрать k, порядок не важенвыбери вид подсчёта, меняй n и k ↓Перестановки 3 элементов: 3! = 6

Вверху n различных элементов (цветные буквы). Внизу все варианты построчно: в размещениях AB и BA — разные варианты, в сочетаниях — одинаковые. Если вариантов много, показаны первые 60.

Что считаем?n4k2

• Число вариантов
• Важен ли порядок?

Задание 1 / 3○○○

Покажи число команд из 3 человек из 5.

Настрой ползунки и кнопки…

Что показывает симуляция?

языком ползунков

• Перестановки, n = 3: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA — 3! = 6 вариантов.
• Размещения, n = 4, k = 2: AB и BA считаются отдельно — 12 вариантов.
• Сочетания, n = 4, k = 2: AB и BA одинаковы — 6 вариантов, в 2! = 2 раза меньше, чем размещений.
• Увеличивай n: число перестановок растёт очень быстро — 8! = 40 320.
• C₅² = C₅³ = 10: выбрать 2 человек — то же, что «выбрать» остальных 3.

Какую формулу выбрать?

два вопроса

Все элементы?	Порядок важен?	Формула	Пример
да	да	Pₙ = n!	5 человек в очередь: 5! = 120
нет (k штук)	да	Aₙᵏ = n! / (n − k)!	председатель и заместитель из 5: 20
нет (k штук)	нет	Cₙᵏ = n! / (k!(n − k)!)	команда из 3 человек из 5: 10
0! = 1, Cₙ⁰ = Cₙⁿ = 1, Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ

Самые частые ошибки

красной ручкойПутать размещения и сочетания

«Команда», «группа», «выбрать» — порядок не важен, сочетания. «Председатель и заместитель», «1-е, 2-е, 3-е место», «число из цифр» — порядок важен, размещения.

Считать 0! равным 0

По определению 0! = 1. Поэтому Cₙⁿ = n! / (n! · 0!) = 1.

Не сокращать факториалы

A₁₀² = 10! / 8! = 10 · 9 = 90 — факториалы целиком считать не нужно.

Разобранные задачи

сначала реши сам

Задача 1

В классе 25 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

Показать решениеПорядок важен (разные должности) → размещенияA₂₅² = 25 · 24 = 600

Ответ: 600.

Задача 2

Сколькими способами можно выбрать делегацию из 3 человек из 10?

Показать решениеПорядок не важен → сочетанияC₁₀³ = 10 · 9 · 8 / (3 · 2 · 1) = 120

Ответ: 120.

В реальной жизни: насколько надёжен 4-значный PIN-код?

комбинаторика в безопасности4-значный PIN-код телефона: на каждом месте одна из цифр 0–9

Комбинаторика позволяет оценить надёжность шифров и паролей: каждый лишний символ многократно увеличивает число вариантов. Для пароля из 8 символов с маленькими и большими буквами и цифрами вариантов 62⁸ — больше 200 триллионов.

Проверь себя: 5 тестовых заданий

5 вопросов

1Чему равно 5!?

2Сколькими способами можно выбрать пару из 6 человек?

3Сколькими способами можно выбрать председателя и заместителя из 5 кандидатов?

4Какое равенство верно?

5Открытый вопрос: чему равно C₅³? Запиши ответ числом.

Источник

Программа вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания и их формулы.