Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)

НОД — наибольшее число, на которое делятся оба числа: НОД(12; 18) = 6. НОК — наименьшее число, которое делится на оба числа: НОК(12; 18) = 36.

Удобнее всего разложить числа на простые множители. Произведение общих множителей — это НОД. Для НОК берём все множители обоих чисел, общие считаем один раз. Проверка: a · b = НОД · НОК.

12 = 2 · 2 · 3разложение на простые множителиНОД = общая частьпроизведение множителей в пересечении круговНОК = всё вместепроизведение всех множителей в обоих кругахменяй числа a и b и смотри на множители ↓12 и 18: общие множители 2 и 3 → НОД = 6, НОК = 36

Зелёный круг — простые множители a, красный — множители b. Чёрные множители в середине есть у обоих. НОД — произведение средних, НОК — произведение всех множителей в кругах.

a12b18НОД(a; b)6НОК(a; b)36

• a · b = НОД · НОК216 = 6 · 36 ✓
• Взаимно простые?нет

Задание 1 / 3○○○

Выбери два числа с НОД = 6 и НОК = 60.

Настрой ползунки и кнопки…

Что показывает симуляция?

языком ползунков

• 12 = 2 · 2 · 3, 18 = 2 · 3 · 3. В середине одна 2 и одна 3: НОД = 6. Все вместе 2 · 2 · 3 · 3 = 36 — НОК.
• Сделай b = 24: 24 делится на 12, поэтому НОД = 12 (меньшее число), НОК = 24 (большее).
• Поставь a = 8, b = 15: пересечение пустое. НОД = 1 — такие числа называют взаимно простыми, а НОК — просто произведение: 120.
• Выбери простое число (например, 13): в его круге всего один множитель.
• В любом случае выполняется a · b = НОД · НОК — удобно для проверки ответа.

Как найти НОД и НОК

метод простых множителей

Шаг	НОД(24; 36)	НОК(24; 36)
1. Разложи на простые множители	24 = 2³ · 3; 36 = 2² · 3²	24 = 2³ · 3; 36 = 2² · 3²
2. Выбери множители	общие, с меньшей степенью: 2², 3	все, с большей степенью: 2³, 3²
3. Перемножь	4 · 3 = 12	8 · 9 = 72
Проверка	24 · 36 = 864 = 12 · 72 ✓

Самые частые ошибки

красной ручкойПутать НОД и НОК

НОД не может быть больше самих чисел, а НОК не может быть меньше их. Если ответ этому не соответствует, ты перепутал их местами.

Всегда брать произведение как НОК

a · b — это НОК только для взаимно простых чисел. Для 12 и 18 произведение 216, а НОК 36.

Считать общий множитель дважды

В НОК общие множители берут один раз. Для 12 и 18 не 2 · 2 · 3 · 2 · 3 · 3, а 2 · 2 · 3 · 3 = 36.

Разобранные задачи

сначала реши сам

Задача 1

Найдите НОД(48; 60) и НОК(48; 60).

Показать решение48 = 2⁴ · 3; 60 = 2² · 3 · 5НОД = 2² · 3 = 12; НОК = 2⁴ · 3 · 5 = 240

Ответ: 12 и 240. Проверка: 48 · 60 = 2880 = 12 · 240 ✓.

Задача 2

32 яблока и 24 груши делят между детьми так, чтобы каждому досталось одинаковое число яблок и одинаковое число груш. Какое наибольшее число детей может быть?

Показать решениеЧисло детей должно быть делителем и 32, и 24Наибольшее: НОД(32; 24) = 8

Ответ: 8 детей — каждому по 4 яблока и 3 груши.

В реальной жизни: когда автобусы снова встретятся?

НОК в расписании8:00 — два автобуса вместе отправляются с одной остановки

Расписания автобусов и поездов, графики дежурств, обороты шестерёнок — вопрос «когда снова вместе?» решает НОК. А НОД отвечает на вопрос о «наибольшей равной части»: чтобы разрезать ленты длиной 12 м и 18 м на самые длинные одинаковые куски, каждый кусок должен быть НОД(12; 18) = 6 м.

Проверь себя: 5 тестовых заданий

5 вопросов

1Чему равен НОД(16; 24)?

2Чему равно НОК(6; 8)?

3Какие числа взаимно простые?

4a · b = 180, НОД(a; b) = 6. Чему равно НОК(a; b)?

5Открытый вопрос: два автобуса отправляются с одной остановки каждые 12 и 18 минут. В 8:00 они уехали вместе. Через сколько минут они снова отправятся вместе? Запиши ответ числом.

Источник

Программа вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Натуральные числа: простые и составные числа, разложение на простые множители, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.