Cəbri ifadələr və çoxhədlilər: qiymət, dərəcə, eynilik, ən kiçik qiymət

Rasional ifadələr · Mövzu 6 / 46

Cəbri ifadələr və çoxhədlilər: qiymət, dərəcə, eynilik, ən kiçik qiymət

Bu dərsi həyətdəki abadlıq işləri ilə keçəcəyik: hovuzun ətrafına kafel, daş kublardan piramida və iki çiçək ləki. Hər işdə hesablama cəbri ifadəyə çevrilir: onun qiymətini, birhədli və çoxhədlilər üzərində əməlləri, eyniliyi, P(x + 1) − P(x) fərqlərini və ifadənin ən kiçik qiymətini öyrənəcəyik.

≈ 45 dəqiqə6 fəsil5 DİM tapşırığı7–9-cu sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• cəbri ifadənin qiymətini mənfi ədədlərlə səhvsiz hesablamağı;
• birhədli və çoxhədlini standart şəklə gətirməyi, dərəcəsini tapmağı;
• çoxhədliləri toplamağı, çıxmağı, vurmağı və eyniliklərdə əmsalları müqayisə etməyi;
• P(x + 1) − P(x) fərqlərini zəncir kimi toplamağı və kvadratlar cəminin ən kiçik qiymətini tapmağı.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Müsbət və mənfi ədədlər üzərində əməllər.
• Qüvvətin xassələri: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
• Paylama qanunu: a(b + c) = ab + ac.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: hovuzun ətrafına neçə kafel lazımdır?hekayə və təxmin
2. Fəsil 1Cəbri ifadə və onun qiymətidəyişən, qiymət, işarələr · DİM 19.04.2026
3. Fəsil 2Birhədlilərstandart şəkil, əmsal, dərəcə
4. Fəsil 3Çoxhədlilər: standart şəkil, dərəcə, əməlləroxşar hədlər, dərəcə, vurma · DİM 25.05.2025
5. Fəsil 4Eynilik və əmsalların müqayisəsieynilik · DİM 13.07.2025
6. Fəsil 5Çoxhədlinin qiymətləri: P(x + 1) − P(x) fərqləriP(a), P(x + 1), fərqlər zənciri · DİM 12.07.2026
7. Fəsil 6Kvadratlar cəmi və ifadənin ən kiçik qiymətia² ≥ 0 · ƏKQ · DİM 07.06.2026
8. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
9. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: hovuzun ətrafına neçə kafel lazımdır?

Hekayə

Ailə yazda həyəti abadlaşdırmağa başlayıb. Həyətin ortasında kvadrat formalı kiçik hovuz var. Usta onun ətrafına eni 1 m olan cığır düzür: cığır tərəfi 1 m olan kvadrat kafellərdən ibarətdir.

Hovuzun tərəfi 6 m-dir. Kafeli mağazadan sifariş etmək lazımdır, artıq almaq istəmirlər. Cığır üçün cəmi neçə kafel lazımdır?

Hovuzun tərəfi 6 m, cığırın eni 1 m; kafellərin bir hissəsi hələ qoyulmayıb.Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, cığır üçün neçə kafel lazımdır? Təxminini seç: 1-ci fəsildə birlikdə hesablayacağıq.

Fəsil 1

Cəbri ifadə və onun qiyməti

Ustanın məsələsini istənilən ölçülü hovuz üçün həll edək. Hovuzun tərəfini x ilə işarə edək. Cığırın hər tərəfində hovuzun tərəfi boyunca x kafel var, dörd tərəfdə — 4x kafel. Bundan başqa, dörd küncdə bir kafel qalır. Deməli, kafellərin sayı 4x + 4-dir.

Tərif

Ədədlərdən, dəyişənlərdən (hərflərdən), əməl işarələrindən və mötərizələrdən düzələn yazılış cəbri ifadə adlanır: 4x + 4, 2a²b, 3(x − y). Dəyişənin yerinə ədəd yazıb əməlləri yerinə yetirsək, ifadənin qiyməti alınır. Dəyişən ifadəyə bölmə olmayan ifadə tam ifadədir.

Hekayə

Hovuzun tərəfi x = 6 olduğundan 4x + 4 = 4·6 + 4 = 28. Ustaya düz 28 kafel lazımdır. 24 cavabı küncləri unudur, 32 isə künclərin hər birini iki dəfə sayır (4·8 = 32), 36 isə hovuzun öz sahəsidir.

Mənfi ədədi ifadəyə yazanda onu mütləq mötərizəyə al. Cüt üstdə mənfi ədəd müsbət olur, tək üstdə işarəsini saxlayır: (−1)² = 1, (−1)³ = −1, amma −3² = −9 ≠ (−3)² = 9. Əməllərin ardıcıllığı: əvvəl qüvvət, sonra vurma və bölmə, ən sonda toplama və çıxma.

Nümunə 1

x = −2, y = 3 olduqda x²y − 2xy² + 5 ifadəsinin qiymətini tapın.

1. Mötərizə ilə yazırıq: (−2)²·3 − 2·(−2)·3² + 5.Niyə belədir?

   Mötərizəsiz yazsaq, −2² = −4 kimi səhv oxunar.

2. Qüvvətlər: (−2)² = 4, 3² = 9. Onda 4·3 − 2·(−2)·9 + 5.
3. 12 + 36 + 5 = 53.Niyə belədir?

   İki mənfi vuruğun hasili müsbətdir: −2·(−2) = 4, 4·9 = 36.

4. Cavab: 53.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 19.04.2026

x = −1 olduqda 2x³ + 3x² − 3x + 1 ifadəsinin qiymətini hesablayın.

A) –4B) –3C) –5D) 5E) 1

1. Qüvvətləri hesablayırıq: (−1)³ = −1, (−1)² = 1.Niyə belədir?

   Üst tək olduqda işarə saxlanır, cüt olduqda “−” yox olur.

2. Yerinə yazırıq: 2·(−1) + 3·1 − 3·(−1) + 1.
3. −2 + 3 + 3 + 1 = 5.Niyə belədir?

   −3·(−1) = +3: “−” işarəsi ilə mənfi ədədin hasili müsbətdir — ən çox burada səhv edirlər.

4. Cavab: 5 (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (19.04.2026)

2·(−1)³ + 3·(−1)² − 3·(−1) + 1 = 5Mənbə: DİM izahı — 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF)

Özün yoxla

a = −3 olduqda 3a² − 2a + 1 ifadəsinin qiymətini tapın.

3·(−3)² = 27, −2·(−3) = +6.

Fəsil 2

Birhədlilər

Cəbri ifadələrin ən sadə “kərpicləri” birhədlilərdir. Çoxhədli məhz onlardan qurulur, ona görə əvvəlcə birhədli ilə tanış olaq.

Tərif

Ədədlərin, dəyişənlərin və onların natural üstlü qüvvətlərinin hasili birhədli adlanır: 7, x, −5x³y², 2a·3ab. Birhədlinin standart şəkli: əvvəldə bir ədədi vuruq — əmsal, sonra hər dəyişən bir dəfə, qüvvət şəklində. Standart şəkildə dəyişənlərin üstlərinin cəmi birhədlinin dərəcəsidir.

Birhədlinin dərəcəsi ən böyük üst deyil, bütün üstlərin cəmidir.

Məsələn, 2a·3ab yazılışı standart şəkildə deyil; onu 6a²b kimi yazırıq. Sıfırdan fərqli ədəd sıfırıncı dərəcəli birhədlidir. Hərfi hissəsi eyni olan birhədlilər oxşar birhədlilər adlanır: 3x²y və −8x²y oxşardır, x²y və xy² isə oxşar deyil.

Birhədlilər üzərində əməllər

Oxşar birhədliləri toplayanda əmsallar toplanır, hərfi hissə dəyişmir: 3x²y + 5x²y = 8x²y. Birhədliləri vuranda əmsallar vurulur, eyni dəyişənin üstləri toplanır: 2x²y · (−3xy³) = −6x³y⁴. Qüvvətə yüksəldəndə hər vuruq qüvvətə yüksəldilir: (−2a³b)² = 4a⁶b².

Nümunə 2

3x · (−2xy)² · y³ birhədlisini standart şəklə gətirin və dərəcəsini tapın.

1. Əvvəl qüvvət: (−2xy)² = 4x²y².Niyə belədir?

   Mötərizədəki hər vuruq kvadrata yüksəlir, (−2)² = 4.

2. Əmsallar: 3·4 = 12; x: x·x² = x³; y: y²·y³ = y⁵.
3. Standart şəkil 12x³y⁵, dərəcəsi 3 + 5 = 8.
4. Cavab: 12x³y⁵, dərəcəsi 8.

Özün yoxla

−7a²b · (ab³)² birhədlisinin dərəcəsini tapın.

(ab³)² = a²b⁶; standart şəkil −7a⁴b⁷.

Fəsil 3

Çoxhədlilər: standart şəkil, dərəcə, əməllər

Tərif

Birhədlilərin cəmi çoxhədli adlanır; birhədlilər onun hədləridir. Oxşar hədləri toplamaq (oxşar hədlərin islahı) və hər həddi standart şəklə gətirmək çoxhədlini standart şəklə gətirmək deməkdir. Standart şəkildə hədlərin dərəcələrinin ən böyüyü çoxhədlinin dərəcəsidir (DİM tapşırıqlarında “qüvvəti” də deyilir). Dəyişənsiz hədd sərbəst hədddir.

Diqqət: dərəcəni yalnız standart şəkildə oxumaq olar. Hədlər bir-birini yox edə bilər və “ən böyük üst” itər.

Nümunə 3

5x³ − 2x + 4x² − 5x³ + 7x − 1 çoxhədlisini standart şəklə gətirin və dərəcəsini tapın.

1. Oxşar hədləri qruplaşdırırıq: (5x³ − 5x³) + 4x² + (−2x + 7x) − 1.Niyə belədir?

   Oxşar hədlər eyni hərfi hissəyə malikdir: x³ ilə x³, x ilə x.

2. 5x³ − 5x³ = 0, ona görə standart şəkil: 4x² + 5x − 1.Niyə belədir?

   x³ hədləri bir-birini yox etdi — dərəcə 3 deyil.

3. Cavab: 4x² + 5x − 1, dərəcəsi 2.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 25.05.2025

a və b-nin hansı qiymətlərində 3x⁸ + bx⁶ − x⁵ − ax⁸ + 2x⁶ + 4x² + 1 çoxhədlisinin qüvvəti 5-ə bərabər olar?

A) a = −3; b = 2B) a = 0; b = 0C) a = −2; b = 3D) a = 3; b = −2E) a = −1; b = 1

1. Oxşar hədləri toplayırıq: (3 − a)x⁸ + (b + 2)x⁶ − x⁵ + 4x² + 1.Niyə belədir?

   3x⁸ ilə −ax⁸, bx⁶ ilə 2x⁶ oxşar hədlərdir: əmsallar toplanır.

2. Dərəcə 5 olsun deyə x⁸ və x⁶ hədləri yox olmalıdır: 3 − a = 0, b + 2 = 0.Niyə belədir?

   −x⁵ həddinin əmsalı −1 ≠ 0-dır, ona görə x⁸ və x⁶ yox olanda dərəcə dəqiq 5 olur.

3. Buradan a = 3, b = −2.
4. Cavab: a = 3; b = −2 (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (25.05.2025)

Tapşırığın həlli üçün verilmiş çoxhədlini standart şəkildə yazmaq … lazımdır.3x⁸ + bx⁶ − x⁵ − ax⁸ + 2x⁶ + 4x² + 1 == (3 − a)x⁸ + (b + 2)x⁶ − x⁵ + 4x² + 1Çoxhədlinin qüvvətinin 5 olması üçün, x⁸ və x⁶ hədlərinin əmsalı 0 olmalıdır. Yəni,3 – a = 0, b + 2 = 0.a = 3, b = –2.Mənbə: DİM izahı — 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

Çoxhədliləri toplayanda və çıxanda mötərizələri açıb oxşar hədləri toplayırıq; mötərizə qarşısında “−” varsa, içindəki bütün işarələr dəyişir: (3x² − x) − (x² − 4x + 2) = 2x² + 3x − 2. Çoxhədlini çoxhədliyə vuranda birincinin hər həddi ikincinin hər həddinə vurulur. Hasilin dərəcəsi vuruqların dərəcələrinin cəminə bərabərdir.

Cədvəl üsulu: sətirlərdə birinci vuruğun, sütunlarda ikincinin hədləri; xanalarda hasillər.

İndi hovuz məsələsinə başqa tərəfdən baxaq. Hovuzla birlikdə cığır tərəfi x + 2 olan kvadratdır. Cığırın sahəsi = böyük kvadratın sahəsi − hovuzun sahəsi: (x + 2)(x + 2) − x² = x² + 4x + 4 − x² = 4x + 4. Bu, 1-ci fəsildəki düsturun eynisidir! Laboratoriyada cığırın enini də dəyiş: eni w olanda zolaqlar 4wx, künclər 4w² verir.

Laboratoriya · hovuz və cığır: zolaqlar və künclərx — hovuzun tərəfi, m6w — cığırın eni, m1Özün yoxla

(2x − 3)(x + 4) hasilini standart şəklə gətirin. x-in əmsalı neçədir?

2x·4 + (−3)·x = 8x − 3x.

Fəsil 4

Eynilik və əmsalların müqayisəsi

Tərif

Dəyişənlərin bütün qiymətlərində doğru olan bərabərlik eynilik adlanır. Məsələn, 2(x + 3) = 2x + 6 və (x + 2)² − x² = 4x + 4 eynilikdir, x² = 4x isə eynilik deyil: yalnız x = 0, x = 4 olduqda doğrudur.

Əmsalların müqayisəsi

İki çoxhədli eyniliklə bərabərdirsə, onların standart şəkillərində dərəcələr bərabərdir və x-in eyni qüvvətlərinin əmsalları bərabərdir (sərbəst hədlər də).

Bu teorem naməlum əmsalları tapmağa imkan verir: hər iki tərəfi standart şəklə gətir, x², x və sərbəst hədlərin əmsallarını bərabərləşdir — tənliklər sistemi alınır.

Nümunə 4

(x − 2)(ax + b) = 3x² − 5x − 2 eynilik olarsa, a və b-ni tapın.

1. Sol tərəfi açırıq: ax² + bx − 2ax − 2b = ax² + (b − 2a)x − 2b.
2. Əmsalları müqayisə edirik: x²: a = 3; sərbəst hədd: −2b = −2, yəni b = 1.Niyə belədir?

   Eynilikdə hər qüvvətin əmsalı ayrıca bərabər olmalıdır.

3. Yoxlama x-in əmsalı ilə: b − 2a = 1 − 6 = −5 — uyğundur.
4. Cavab: a = 3, b = 1.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 13.07.2025

x^(k² − 7k + 14) − 25 = (x − 5)(x + k² − 10k + 29) olarsa, k-nı tapın.

x^(…) — x-in mötərizədəki ifadəyə bərabər üstlü qüvvətidir.

1. Sağ tərəf iki birdərəcəli çoxhədlinin hasilidir, yəni ikidərəcəli çoxhədlidir. Deməli, sol tərəf də ikidərəcəli olmalıdır: k² − 7k + 14 = 2, yəni k² − 7k + 12 = (k − 3)(k − 4) = 0, buradan k = 3 və ya k = 4.Niyə belədir?

   Eyni çoxhədlilərin dərəcələri bərabərdir.

2. İkinci mötərizədəki ədədi c = k² − 10k + 29 ilə işarə edək: (x − 5)(x + c) = x² + (c − 5)x − 5c. Sol tərəfdə x-li hədd yoxdur, sərbəst hədd −25-dir: c − 5 = 0 və −5c = −25, yəni c = 5.Niyə belədir?

   x-in əmsalları və sərbəst hədlər müqayisə olunur.

3. k² − 10k + 29 = 5, yəni (k − 4)(k − 6) = 0: k = 4 və ya k = 6.
4. Hər iki şərti ödəyən yeganə qiymət k = 4. Yoxlama: x² − 25 = (x − 5)(x + 5).Niyə belədir?

   k = 3 olduqda c = 8, k = 6 olduqda isə üst 36 − 42 + 14 = 8 olur — ikisi də yaramır.

5. Cavab: 4.

DİM-in rəsmi izahı (13.07.2025)

Verilən bərabərliyin sağ tərəfi x-ə nəzərən 2-ci dərəcəli çoxhədli olduğundan sol tərəfdəki də 2-ci dərəcəli olacaq. Onda verilənlərə əsasən { k² − 7k + 14 = 2; k² − 10k + 29 = 5 } olmalıdır. Bu tənliklər sistemindən də alınır ki, k=4-dür.Mənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

x² + px + 12 = (x + 3)(x + q) eynilik olarsa, p-ni tapın.

Sərbəst hədlər: 3q = 12, q = 4; sonra p = 3 + q.

Fəsil 5

Çoxhədlinin qiymətləri: P(x + 1) − P(x) fərqləri

Hekayə

Cığır hazırdır. Həyətin küncündə isə tikintidən daş kublar qalıb. Uşaqlar onlardan pilləli piramida qururlar: ən üst qatda 1 kub, ikinci qatda 2·2 = 4, üçüncüdə 3·3 = 9 kub və s. Piramida artıq 5 qatlıdır.

Uşaqlardan biri belə deyir: “n qatlı piramidadakı kubların sayı S(n) olsa, aşağıdan yeni qat əlavə edəndə say S(n + 1) − S(n) = (n + 1)² qədər artır”. Bu qaydadan istifadə edərək 5 qatlı piramidadakı kubların sayını tapın.

5 qatlı piramida: qatlarda 1, 4, 9, 16 və 25 kub.

Çoxhədlini çox vaxt P(x) kimi işarə edirlər. P(2) yazılışı x-in yerinə 2 qoyulmuş qiymətdir, P(x + 1) isə x-in yerinə x + 1 ifadəsini yazmaq deməkdir. Məsələn, P(x) = x² − 3x + 1 olarsa:

P(2) = 4 − 6 + 1 = −1,   P(x + 1) = (x + 1)² − 3(x + 1) + 1 = x² − x − 1

Deməli, P(x + 1) − P(x) = 2x − 2. Bu fərq ardıcıl iki qiymətin bir-birindən nə qədər fərqləndiyini göstərir. Fərqlər məlumdursa, onları zəncir kimi toplamaq olar.

Fərqlər zənciri

Ardıcıl fərqlərin cəmində ara qiymətlər bir-birini yox edir:

[P(2) − P(1)] + [P(3) − P(2)] + … + [P(n) − P(n − 1)] = P(n) − P(1)

Hekayə

Uşağın qaydası: S(n + 1) − S(n) = (n + 1)². Qaydanı n = 1, 2, 3, 4 üçün yazıb toplayırıq: S(5) − S(1) = 4 + 9 + 16 + 25 = 54, buradan S(5) = 1 + 54 = 55. Piramidada 55 kub var. Riyaziyyatçılar bu cəmin düsturunu da tapıblar: S(n) = n(n + 1)(2n + 1)/6 — üçdərəcəli çoxhədli; yoxla: S(5) = 5·6·11/6 = 55.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 12.07.2026

P(x) çoxhədlisi üçün P(x + 1) − P(x) = x² + 2x − 2 və P(1) + P(4) = 2 şərtləri ödənir. P(4)-ü tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 11B) 10C) 14D) 13E) 12

1. Şərtdə x = 1, x = 2, x = 3 qoyuruq: P(2) − P(1) = 1, P(3) − P(2) = 6, P(4) − P(3) = 13.Niyə belədir?

   x = 1: 1 + 2 − 2 = 1; x = 2: 4 + 4 − 2 = 6; x = 3: 9 + 6 − 2 = 13.

2. Üç bərabərliyi toplayırıq: P(4) − P(1) = 1 + 6 + 13 = 20.Niyə belədir?

   P(2) və P(3) bir dəfə “+”, bir dəfə “−” ilə gəlir və yox olur.

3. Şərtdən P(4) + P(1) = 2. İki bərabərliyi toplasaq: 2P(4) = 22, P(4) = 11.Niyə belədir?

   P(4)-ün özünü tapmaq üçün P(x)-in düsturu lazım deyil: iki bərabərlikli sistem kifayətdir. Yoxlama: P(1) = 2 − 11 = −9, 11 − (−9) = 20.

4. Cavab: 11 (A variantı).

DİM-in rəsmi izahı (12.07.2026)

x dəyişəninə x = 1, x = 2 və x = 3 qiymətlərini verərək şərtə əsasən, P(2) − P(1) = 1 + 2 − 2 = 1, P(3) − P(2) = 4 + 4 − 2 = 6, P(4) − P(3) = 9 + 6 − 2 = 13 bərabərliklərini yaza bilərik. Bu bərabərlikləri tərəf-tərəfə toplasaq P(4) − P(1) = 13 + 6 + 1 = 20 olduğunu alarıq. Digər tərəfdən P(4) + P(1) = 2 verilən şərtini nəzərə alsaq, son münasibətlərdən 2P(4) = 22 və ya P(4) = 11 olduğunu alarıq.Mənbə: DİM izahı — 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

P(x + 1) − P(x) = 2x + 1 və P(1) = 3 olarsa, P(4)-ü tapın.

Fərqlər: x = 1, 2, 3 üçün 3, 5, 7.

Fəsil 6

Kvadratlar cəmi və ifadənin ən kiçik qiyməti

Hekayə

Son iş — çiçək ləkləri. Ailə yan-yana iki kvadrat lək salmaq istəyir; ləklərin ətrafına qoyulacaq bordür daşının uzunluğu 40 m-dir, ona görə 4x + 4y = 40, yəni x + y = 10.

Ləkləri bahalı münbit torpaqla doldurmaq lazımdır, torpaq isə ləklərin ümumi sahəsinə görə alınır. Tərəflər necə olmalıdır ki, torpaq ən az getsin? Ən azı neçə m² torpaq lazımdır?

İki kvadrat lək: tərəflər x və y, x + y = 10 m; ümumi sahə x² + y².

Bu tip məsələlərin açarı bir sadə faktdır: istənilən ədədin kvadratı mənfi deyil.

Kvadratın xassəsi

İstənilən a üçün a² ≥ 0; bərabərlik yalnız a = 0 olduqda ödənir. Ona görə (x − p)² + q ifadəsinin ən kiçik qiyməti (ƏKQ) q-dir və o, x = p olduqda alınır.

Kvadrat sıfır olanda ifadə ən kiçik qiymətini alır.

Diqqət: kvadratın içindəki ifadə sıfır ola bilmirsə, ƏKQ sıfır deyil. Məsələn, y² + 5 ≥ 5 olduğundan (y² + 5)² ≥ 5² = 25, deməli (y² + 5)² + 1 ≥ 26; ən kiçik qiymət y = 0 olduqda alınır.

Nümunə 5

(x + 3)² + (y − 1)² + 5 ifadəsinin ən kiçik qiymətini və onun alındığı x, y-i tapın.

1. (x + 3)² ≥ 0, (y − 1)² ≥ 0.Niyə belədir?

   Kvadrat mənfi ola bilməz.

2. Hər iki kvadrat eyni vaxtda sıfır ola bilir: x = −3, y = 1.
3. Onda ifadə 0 + 0 + 5 = 5 olur.
4. Cavab: ƏKQ = 5, x = −3, y = 1.

Hekayə

Ləklərin ümumi sahəsi: x² + (10 − x)² = 2x² − 20x + 100. Bu ifadəni 2(x − 5)² + 50 kimi yazmaq olar — yoxla: 2(x² − 10x + 25) + 50 = 2x² − 20x + 100, nəticə eynidir. 2(x − 5)² ≥ 0 olduğundan sahə həmişə ≥ 50 m²-dir və yalnız x = 5 olduqda 50 m²-ə bərabərdir. Deməli, hər iki lək 5 m × 5 m olmalıdır və ən azı 50 m² torpaq lazımdır. Məsələn, 3 m və 7 m olsaydı, 9 + 49 = 58 m² lazım olardı. (Belə yazılışı özün necə tapmağı növbəti dərsdə — müxtəsər vurma düsturlarında öyrənəcəksən.)

İmtahanda belə soruşulurDİM · 07.06.2026

Uyğunluğu müəyyən edin. 1. (x − 4)² + (y − 5)² + 2; 2. (x² − 4)² + (y² + 5)² + 2; 3. (x² + 4)² + (y² + 5)² + 2. a. ƏKQ 43-dür; b. ƏKQ 27-dir; c. ƏKQ 2-dir; d. ƏKQ-ni x = ±2 və y = 0 olduqda alır; e. ƏKQ-ni x = 0 və y = 0 olduqda alır

ƏKQ — ən kiçik qiymət. Bir ifadəyə bir neçə hərf uyğun gələ bilər.

1. 1-ci ifadə: (x − 4)² ≥ 0, (y − 5)² ≥ 0; hər ikisi x = 4, y = 5 olduqda sıfırdır. ƏKQ 0 + 0 + 2 = 2 → c.Niyə belədir?

   İki kvadrat bir-birindən asılı deyil: x və y ayrı-ayrılıqda seçilir.

2. 2-ci ifadə: x = ±2 olduqda (x² − 4)² sıfırdır, amma y² + 5 ≥ 5, deməli (y² + 5)² ≥ 25 (y = 0). ƏKQ 0 + 25 + 2 = 27 → b və d.Niyə belədir?

   Tələ: (y² + 5)²-nin ən kiçik qiyməti 0 deyil, 25-dir.

3. 3-cü ifadə: (x² + 4)² ≥ 16, (y² + 5)² ≥ 25; hər ikisi x = 0, y = 0 olduqda ən kiçikdir. ƏKQ 16 + 25 + 2 = 43 → a və e.
4. Cavab: 1 — c; 2 — b, d; 3 — a, e.

DİM-in rəsmi izahı (07.06.2026)

1. (x − 4)² + (y − 5)² + 2 ifadəsi (x − 4)² ≥ 0 və (y − 5)² ≥ 0 olduğundan bu ifadə x=4, y=5 olduqda ƏKQ alır və ƏKQ=2 olar. 2. (x² − 4)² + (y² + 5)² + 2; (x² − 4)² ≥ 0 və (y² + 5)² ≥ 25 olduğundan bu ifadə ƏKQ-ni x = ±2 və y = 0 olduqda alır və ƏKQ-si 27 olur. 3. (x² + 4)² + (y² + 5)² + 2; (x² + 4)² ≥ 16 və (y² + 5)² ≥ 25 olduğundan bu ifadə ƏKQ-ni x = 0 və y = 0 olduqda alır və ƏKQ 43 olur.Mənbə: DİM izahı — 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

(x² + 1)² + (y² + 2)² ifadəsinin ən kiçik qiymətini tapın.

x² + 1 ≥ 1, y² + 2 ≥ 2.

Yekun

Yadda saxla

• İfadənin qiyməti: mənfi ədədi mötərizəyə al; (−1)²ⁿ = 1, (−1)²ⁿ⁺¹ = −1.
• Birhədlinin dərəcəsi üstlərin cəmidir: −5x³y² → 5.
• Çoxhədlinin dərəcəsi yalnız standart şəkildə (oxşar hədlər toplanandan sonra) oxunur.
• Çoxhədlini çoxhədliyə vuranda hər hədd hər həddə vurulur: (x + 3)(2x − 1) = 2x² + 5x − 3.
• Eynilikdə dərəcələr və uyğun əmsallar bərabərdir.
• Fərqlər zənciri: P(n) − P(1) = [P(2) − P(1)] + … + [P(n) − P(n − 1)].
• a² ≥ 0: (x − p)² + q ifadəsinin ƏKQ-si q-dir (x = p); (y² + 5)² ≥ 25.

Tipik səhvlər

“x = −3 olduqda x² = −9”

Mənfi ədəd mötərizəyə alınmalıdır: (−3)² = 9. −3² = −9 yazılışında yalnız 3 kvadrata yüksəlir.

“x³y² birhədlisinin dərəcəsi 3-dür”

Birhədlinin dərəcəsi bütün üstlərin cəmidir: 3 + 2 = 5.

“5x³ − 2x + 4x² − 5x³ çoxhədlisinin dərəcəsi 3-dür”

Əvvəl oxşar hədləri topla: 5x³ − 5x³ = 0, standart şəkil 4x² − 2x, dərəcə 2.

“(y² + 5)²-nin ən kiçik qiyməti 0-dır”

y² + 5 ≥ 5 olduğundan (y² + 5)² ≥ 25; ən kiçik qiymət y = 0 olduqda alınır.

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

x = −2 olduqda x³ − 2x² + 4x + 3 ifadəsinin qiyməti:

−8 − 8 − 8 + 3 = −21.

2 · 1-ci səviyyə

−4x³y²z birhədlisinin dərəcəsi:

3 + 2 + 1 = 6.

3 · 2-ci səviyyə

a-nın hansı qiymətində (a − 2)x⁴ + 3x³ − x + 7 çoxhədlisinin dərəcəsi 3 olar?

x⁴ həddi yox olmalıdır: a − 2 = 0.

4 · 2-ci səviyyə

(x − 3)(2x + 1) hasilinin standart şəkli:

2x² + x − 6x − 3 = 2x² − 5x − 3.

5 · DİM səviyyəsi

P(x + 1) − P(x) = 4x + 2 və P(0) = 1 olarsa, P(3)-ü tapın.

Fərqlər x = 0, 1, 2 üçün: 2, 6, 10; P(3) = 1 + 18 = 19.

6 · DİM səviyyəsi

(x² − 9)² + (y² + 3)² + 1 ifadəsinin ən kiçik qiyməti:

x = ±3 olduqda birinci kvadrat 0; (y² + 3)² ≥ 9 (y = 0): 0 + 9 + 1 = 10.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Çoxhədlilər (A variantı, 9; B-11, C-2, D-16)
2. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Çoxhədlinin vuruqlara ayrılması (A variantı, 23; B-25, C-23, D-26)
3. 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF) — Tam cəbri ifadələr (A variantı, 63; B-64, C-73, D-73)
4. 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Tam cəbri ifadələr (A variantı, 27; B-27, C-27, D-27)
5. 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Çoxhədlilər (A variantı, 2; B-6, C-16, D-12)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.