Müxtəsər vurma düsturları və vuruqlara ayırma

Rasional ifadələr · Mövzu 7 / 46

Müxtəsər vurma düsturları və vuruqlara ayırma

Bu dərsi şəhər parkının yenidən qurulması ilə keçəcəyik: qazon genişlənir, hovuzlu meydan daşla döşənir, beton dibçəklər tökülür. Hər işdə hesablamanı müxtəsər vurma düsturları qısaldır; sonra onları tərsinə — vuruqlara ayırma üçün işlətməyi öyrənəcəyik.

≈ 45 dəqiqə5 fəsil6 DİM tapşırığı7–8-ci sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• cəmin və fərqin kvadratı, kvadratlar fərqi, kubların cəmi və fərqi düsturlarını tətbiq etməyi;
• düsturlarla ağıldan və sürətlə hesablamağı (828² − 72² kimi);
• çoxhədlini ortaq vuruq, qruplaşdırma və düsturlarla vuruqlara ayırmağı;
• tam kvadrata tamamlamağı və ifadənin ən kiçik qiymətini tapmağı.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Çoxhədlinin çoxhədliyə vurulması.
• Qüvvətin qüvvəti: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
• Ədədlərin ƏBOB-u.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: qazon neçə kvadratmetr böyüyəcək?hekayə və təxmin
2. Fəsil 1Cəmin və fərqin kvadratı(a ± b)², sahə modeli
3. Fəsil 2Kvadratlar fərqia² − b² = (a − b)(a + b) · DİM 02.03.2025
4. Fəsil 3Vuruqlara ayırma: ortaq vuruq və qruplaşdırmaortaq vuruq, qruplaşdırma · DİM 15.03.2026
5. Fəsil 4Düsturlarla vuruqlara ayırma və tam kvadrattam kvadrat, tamamlama, plan
6. Fəsil 5Kubların cəmi və fərqia³ ± b³, (a ± b)³ · DİM 19.04.2026
7. Məşqİmtahan tapşırıqları ilə məşq2 DİM tapşırığı: cavab və rəsmi izah
8. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
9. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: qazon neçə kvadratmetr böyüyəcək?

Hekayə

Şəhər parkı yenidən qurulur. Parkın girişində tərəfi 20 m olan kvadrat qazon var. Layihəyə görə qazonu iki tərəfdən — sağdan və arxadan — 2 m genişləndirirlər ki, o yenə kvadrat qalsın.

Fəhlələr çim rulonlarını gətirir. Çimi sahəyə görə sifariş edirlər. Qazonun sahəsi neçə m² artacaq?

Qazon 20 m × 20 m; sağdan və arxadan 2 m enində yeni zolaqlar, küncdə kiçik kvadrat.Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, qazonun sahəsi neçə m² artacaq? Təxminini seç: 1-ci fəsildə birlikdə hesablayacağıq.

Fəsil 1

Cəmin və fərqin kvadratı

Yeni qazonun tərəfi a + b-dir, sahəsi (a + b)(a + b). Bu hasili çoxhədlinin çoxhədliyə vurulması qaydası ilə açaq — hər hədd hər həddə vurulur:

(a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

Cəmin və fərqin kvadratı

İki ifadənin cəminin (fərqinin) kvadratı birincinin kvadratı, üstəgəl (çıx) birinci ilə ikincinin hasilinin iki misli, üstəgəl ikincinin kvadratına bərabərdir:

(a + b)² = a² + 2ab + b²,   (a − b)² = a² − 2ab + b²

Şəkildə bu belə görünür: böyük kvadrat dörd hissədən ibarətdir — a², iki dənə ab düzbucaqlısı və kiçik b² kvadratı. (a + b)² = a² + b² yazan şagird iki düzbucaqlını unudur. Laboratoriyada özün yoxla.

Laboratoriya · cəmin kvadratı: dörd hissəa6b2Hekayə

Qazon üçün a = 20, b = 2: (20 + 2)² = 400 + 2·20·2 + 4. Yeni sahə 484 m², artım 84 m² — iki zolaq 2·20·2 = 80 və küncdəki kvadrat 2² = 4. 4 cavabı yalnız küncü, 80 cavabı yalnız zolaqları sayır, 88 isə küncü iki dəfə hesablayır.

Nümunə 1

(2x − 3y)² ifadəsini çoxhədli şəklində yazın.

1. Burada a = 2x, b = 3y.Niyə belədir?

   Düsturda a və b istənilən ifadə ola bilər; mötərizədə birinci və ikinci hədləri tap.

2. (2x)² − 2·2x·3y + (3y)² = 4x² − 12xy + 9y².Niyə belədir?

   (2x)² = 4x², 2x² deyil: kvadrata həm əmsal, həm dəyişən yüksəlir.

3. Cavab: 4x² − 12xy + 9y².

Düsturlar ağıldan hesablamağa da kömək edir: 51² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601, 49² = (50 − 1)² = 2500 − 100 + 1 = 2401.

Özün yoxla

Ağıldan hesablayın: 99².

(100 − 1)² = 10000 − 200 + 1.

Fəsil 2

Kvadratlar fərqi

Hekayə

Qazondan sonra növbə parkın mərkəzi meydanına çatır. Meydan tərəfi 48 m olan kvadratdır, ortasında isə tərəfi 32 m olan kvadrat hovuz və fəvvarə var. Hovuzun ətrafını tamamilə daşla döşəyəcəklər.

Mühəndisin kalkulyatoru yoxdur. O, daş döşənəcək sahəni bir dəqiqədə ağıldan hesablayır. Bu sahə neçə m²-dir və o bunu necə edir?

Meydan 48 m × 48 m, hovuz 32 m × 32 m; daş hovuzun ətrafına döşənir.

Daşın sahəsi iki kvadratın sahələri fərqidir: 48² − 32². Kvadratları hesablamadan da tapmaq olar. (a − b)(a + b) hasilini açaq:

(a − b)(a + b) = a² + ab − ba − b² = a² − b²

Kvadratlar fərqi

İki ifadənin kvadratları fərqi onların fərqi ilə cəminin hasilinə bərabərdir:

a² − b² = (a − b)(a + b)

Kəsilmiş kvadratın qalan hissəsini iki parçaya bölüb yan-yana qoysaq, tərəfləri a − b və a + b olan düzbucaqlı alınır.Hekayə

Mühəndisin hesabı: 48² − 32² = (48 − 32)(48 + 32) = 16·80 = 1280. Daş üçün 1280 m² lazımdır. Kvadratlarla hesablasaq da eyni çıxır: 2304 − 1024 = 1280, amma bu, xeyli uzundur.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 02.03.2025

(5 − 6y³)(6y³ + 5) ifadəsini sadələşdirin.

A) 25 − 36y⁶B) 12y⁶ − 10C) 25 − 12y³ − 36y⁶D) 36y⁶ − 25E) 25 + 12y³ − 36y⁶

1. Mötərizələrdə eyni iki hədd var: 5 və 6y³; ikinci mötərizədə onların yerini dəyişirik: (5 − 6y³)(5 + 6y³).Niyə belədir?

   Toplamada yerdəyişmə qanunu: 6y³ + 5 = 5 + 6y³. İndi “fərq · cəm” görünür.

2. Kvadratlar fərqi düsturu: 5² − (6y³)² = 25 − 36y⁶.Niyə belədir?

   (6y³)² = 36y⁶: qüvvətin qüvvətində üstlər vurulur (3·2 = 6).

3. Cavab: 25 − 36y⁶ (A variantı).

DİM-in rəsmi izahı (02.03.2025)

(5 − 6y³)(6y³ + 5) = (5 − 6y³)(5 + 6y³) = 25 − 36y⁶Mənbə: DİM izahı — 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

Nümunə 2

Ağıldan hesablayın: 1003 · 997.

1. Hər iki ədəd 1000-in yanındadır: 1003 · 997 = (1000 + 3)(1000 − 3).Niyə belədir?

   Ədədləri ortadakı yuvarlaq ədədin ətrafında yaz: cəm və fərq alınır.

2. 1000² − 3² = 1000000 − 9 = 999991.
3. Cavab: 999991.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 02.03.2025

(49² + 46² − 26² − 29²)/600 ifadəsinin qiymətini hesablayın.

1. Dörd kvadratı cüt-cüt qruplaşdırırıq: (49² − 29²) + (46² − 26²).Niyə belədir?

   Cütləri elə seçirik ki, fərqlər eyni “yuvarlaq” ədəd versin: 49 − 29 = 20, 46 − 26 = 20.

2. Hər cütə düstur: 49² − 29² = 20·78, 46² − 26² = 20·72.
3. Surət: 20·(78 + 72) = 20·150 = 3000; 3000 : 600 = 5.
4. Cavab: 5.

DİM-in rəsmi izahı (02.03.2025)

(49² + 46² − 26² − 29²)/600 = ((49² − 29²) + (46² − 26²))/600 == (20·78 + 20·72)/600 = 20(78 + 72)/600 = 5.Mənbə: DİM izahı — 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

Özün yoxla

Ağıldan hesablayın: 76² − 24².

(76 − 24)(76 + 24) = 52·100.

Fəsil 3

Vuruqlara ayırma: ortaq vuruq və qruplaşdırma

Mühəndisin hesabında düstur “tərsinə” işlədi: fərqi hasilə çevirdik. Çoxhədlini hasil şəklində yazmaq vuruqlara ayırmaq adlanır. Bu, kəsrləri ixtisar etmək, tənlik həll etmək və hesablamanı sadələşdirmək üçün əsas alətdir.

Ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarmaq

Bütün hədlərdə olan vuruğu mötərizə xaricinə çıxarırıq: ab + ac = a(b + c). Ədədi hissə əmsalların ƏBOB-u, hərfi hissə isə hər dəyişənin ən kiçik üstlü qüvvətidir. Mötərizənin içini tapmaq üçün hər həddi ortaq vuruğa bölürük.

Nümunə 3

18x³y² − 12x²y³ çoxhədlisini vuruqlara ayırın.

1. Əmsallar: ƏBOB(18; 12) = 6. Dəyişənlər: x-in ən kiçik üstü 2, y-in ən kiçik üstü 2.
2. Ortaq vuruq 6x²y²; bölürük: 18x³y² : 6x²y² = 3x, 12x²y³ : 6x²y² = 2y.Niyə belədir?

   Yoxlama: mötərizəni açsan, verilən çoxhədli alınmalıdır.

3. Cavab: 6x²y²(3x − 2y).

İmtahanda belə soruşulurDİM · 15.03.2026

12a² − 24a çoxhədlisini vuruqlara ayırın.

A) 12(a − 12)B) 24a(a + 1)C) 12a(a − 2)D) a(2a − 24)E) 12a(2a − 1)

1. Əmsalların ƏBOB-u: ƏBOB(12; 24) = 12; dəyişən: hər iki həddə ən azı a var. Ortaq vuruq 12a.Niyə belədir?

   Ortaq vuruğu tam çıxarmaq lazımdır: 12(a² − 2a) cavabı yarımçıqdır.

2. Bölürük: 12a² : 12a = a, 24a : 12a = 2, deməli 12a² − 24a = 12a(a − 2).
3. Cavab: 12a(a − 2) (C variantı).

DİM-in rəsmi izahı (15.03.2026)

12a² − 24a = 12a(a − 2)Mənbə: DİM izahı — 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

Qruplaşdırma üsulu

Hədlərin hamısında ortaq vuruq yoxdursa, onları qruplara bölürük ki, hər qrupda ortaq vuruq olsun, sonra yenə ortaq mötərizəni çıxarırıq: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b).

Nümunə 4

x³ − 2x² + 3x − 6 çoxhədlisini vuruqlara ayırın.

1. Qruplar: (x³ − 2x²) + (3x − 6) = x²(x − 2) + 3(x − 2).Niyə belədir?

   Hər qrupdan ortaq vuruğu çıxardıqdan sonra mötərizələr eyni olmalıdır — yoxsa qrupları başqa cür seç.

2. Ortaq mötərizə (x − 2): (x − 2)(x² + 3).
3. Cavab: (x − 2)(x² + 3).

Özün yoxla

a = 7, b = 7 olduqda ab + 3a + 2b + 6 ifadəsinin qiymətini tapın (əvvəl vuruqlara ayırın).

ab + 3a + 2b + 6 = (a + 2)(b + 3).

Fəsil 4

Düsturlarla vuruqlara ayırma və tam kvadrat

Düsturları sağdan sola oxusaq, onlar vuruqlara ayırma aləti olur: a² − b² = (a − b)(a + b), a² ± 2ab + b² = (a ± b)². Üçhədli a² ± 2ab + b² şəklindədirsə, o, tam kvadratdır: kənar hədlər kvadratdır, orta hədd onların “əsaslarının” hasilinin iki mislidir.

Vuruqlara ayırmanın planı

1) ortaq vuruğu çıxar; 2) mötərizədə düstur axtar (kvadratlar fərqi, tam kvadrat, kublar cəmi və fərqi); 3) dörd və daha çox hədd varsa, qruplaşdır; 4) hər vuruğu yenidən yoxla — bəlkə daha da ayrılır.

Nümunə 5

Vuruqlara ayırın: a) 3x³ − 12x; b) a² − 6a + 9 − b².

1. a) Əvvəl ortaq vuruq: 3x³ − 12x = 3x(x² − 4); sonra kvadratlar fərqi: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).Niyə belədir?

   3x(x² − 4) cavabı yarımçıqdır: mötərizədə hələ düstur gizlənib.

2. b) İlk üç hədd tam kvadratdır: a² − 6a + 9 = (a − 3)². Onda (a − 3)² − b² = (a − 3 − b)(a − 3 + b).Niyə belədir?

   6a = 2·a·3 və 9 = 3² — bu, tam kvadratın əlamətidir.

3. Cavab: a) 3x(x − 2)(x + 2); b) (a − b − 3)(a + b − 3).

Üçhədli tam kvadrat deyilsə, onu tam kvadrata tamamlamaq olar: orta həddin yarısını tapıb kvadratını əlavə edir və çıxırıq. Məsələn, x² − 10x + 27 = (x² − 10x + 25) + 2 = (x − 5)² + 2. Kvadrat mənfi olmadığından bu ifadənin ən kiçik qiyməti 2-dir və o, x = 5 olduqda alınır. Əvvəlki dərsdəki çiçək ləkləri məsələsində 2x² − 20x + 100 = 2(x − 5)² + 50 yazılışı da belə tapılır.

Özün yoxla

x² + 6x + 14 ifadəsinin ən kiçik qiymətini tapın.

x² + 6x + 9 = (x + 3)², 14 = 9 + 5.

Fəsil 5

Kubların cəmi və fərqi

Hekayə

Meydanın kənarına içi boş beton kub dibçəklər qoyulacaq. Hər dibçəyin xarici tili 5 dm-dir, içində tili 4 dm olan kub formalı boşluq var — oraya torpaq tökülür, gül əkilir.

Usta qəlib hazırlayır. Bir dibçəyə neçə dm³ beton lazımdır? Kubları ayrıca hesablamadan cavabı tapmaq olarmı?

Beton dibçək: xarici til 5 dm, kub boşluğun tili 4 dm (punktir).

Betonun həcmi iki kubun həcmləri fərqidir: 5³ − 4³. Kvadratlar fərqinə oxşar, kublar fərqinin də düsturu var. Onu (a − b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ hasilini açmaqla yoxlaya bilərsən: aradakı hədlər bir-birini yox edir.

Kubların fərqi və cəmi

Burada a² + ab + b² və a² − ab + b² ifadələri natamam kvadratlar adlanır (orta həddə 2 əmsalı yoxdur). Cəmin və fərqin kubu isə: (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³.

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²),   a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

Hekayə

Ustanın hesabı: 5³ − 4³ = (5 − 4)(25 + 20 + 16) = 61. Bir dibçəyə 61 dm³ beton gedir. Kubları ayrıca hesablasaq da 125 − 64 = 61 alınır.

Nümunə 6

8x³ + 27 ifadəsini vuruqlara ayırın.

1. Hər iki hədd kubdur: 8x³ = (2x)³, 27 = 3³.Niyə belədir?

   Kub kökü tapılan əmsallar: 1, 8, 27, 64, 125, …

2. Kubların cəmi: (2x + 3)((2x)² − 2x·3 + 3²) = (2x + 3)(4x² − 6x + 9).
3. Cavab: (2x + 3)(4x² − 6x + 9).

İmtahanda belə soruşulurDİM · 19.04.2026

Hündürlüyü 2 olan düzbucaqlı paralelepipedin həcmi 2a³ − 128 çoxhədlisi ilə modelləşdirilib. Bu paralelepipedin oturacağının eni a − 4 olarsa, tam səthinin sahəsini modelləşdirən çoxhədlini standart şəkildə yazın (a > 4).

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Həcm ölçülərin hasilidir: V = m·n·k. Kublar fərqi ilə ayırırıq: 2a³ − 128 = 2(a³ − 4³) = 2(a − 4)(a² + 4a + 16).Niyə belədir?

   Əvvəl ortaq vuruq 2, sonra 64 = 4³ olduğunu görürük.

2. Hündürlük k = 2, en m = a − 4; deməli uzunluq n = a² + 4a + 16.Niyə belədir?

   V-ni k·m hasilinə bölürük: qalan vuruq üçüncü ölçüdür.

3. Tam səth: S = 2(mn + nk + mk), burada mn = a³ − 64, nk = 2a² + 8a + 32, mk = 2a − 8.
4. S = 2(a³ + 2a² + 10a − 40) = 2a³ + 4a² + 20a − 80.Niyə belədir?

   Mötərizədə: −64 + 32 − 8 = −40; 8a + 2a = 10a.

5. Cavab: 2a³ + 4a² + 20a − 80.

DİM-in rəsmi izahı (19.04.2026)

V = m·n·k (m,n,k − paralelepipedin ölçüləridir); V = 2a³ − 128 = 2·(a³ − 64) = 2·(a − 4)·(a² + 4a + 16); { k = 2; m = a − 4 } ⇒ n = a² + 4a + 16; S_tam = 2·(mn + nk + mk) = 2·(a³ − 64 + (a² + 4a + 16)·2 + +(a − 4)·2) = 2·(a³ − 64 + 2a² + 8a + 32 + 2a − 8) = = 2a³ + 4a² + 20a − 80Mənbə: DİM izahı — 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF)

Özün yoxla

Ağıldan hesablayın: 11³ − 10³.

(11 − 10)(121 + 110 + 100).

Məşq

İmtahan tapşırıqları ilə məşq

DİM · 09.03.2025

25 − 5a ifadəsini vuruqlara ayırın.

A) a(5a − 1)B) 25(1 − a)C) 5(2 − a)D) 5(5 − a)E) a(25 − a)Cavab və DİM izahı

Cavab: 5(5 − a) (D variantı).

25 − 5a = 5·5 − 5·a = 5(5 − a)Mənbə: DİM izahı — 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

DİM · 09.03.2026

(828² − 72²)/378 ifadəsinin qiymətini hesablayın.

A) 180B) 800C) 18000D) 2700E) 1800Cavab və DİM izahı

Cavab: 1800 (E variantı).

(828² − 72²)/378 = (828+72)(828−72)/378 = (900·756)/378 = = 900·2 = 1800Mənbə: DİM izahı — 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

Yekun

Yadda saxla

• (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b².
• a² − b² = (a − b)(a + b) — “fərq · cəm”; ağıldan hesablamada çox işlənir.
• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²); a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
• (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³.
• Vuruqlara ayırma planı: ortaq vuruq → düstur → qruplaşdırma → yoxlama.
• Tam kvadrata tamamlama: x² − 10x + 27 = (x − 5)² + 2 → ən kiçik qiymət 2.

Tipik səhvlər

“(a + b)² = a² + b²”

İki ab düzbucaqlısı unudulur: (20 + 2)² = 484, 404 yox.

“(a − b)² = a² − b²”

Fərqin kvadratı üçhədlidir: a² − 2ab + b². a² − b² isə (a − b)(a + b)-dir.

“a³ − b³ = (a − b)(a² + 2ab + b²)”

İkinci vuruq natamam kvadratdır: a² + ab + b² (2 əmsalı yoxdur).

“12a² − 24a = 12(a² − 2a)” — tam cavab

Ortaq vuruq tam çıxarılmayıb: a da ortaqdır, 12a(a − 2).

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

(x + 4)² ifadəsinin açılışı:

x² + 2·4·x + 16.

2 · 1-ci səviyyə

25x² − 1 ifadəsini vuruqlara ayırın:

Kvadratlar fərqi: (5x)² − 1².

3 · 2-ci səviyyə

67² − 33² ifadəsinin qiyməti:

(67 − 33)(67 + 33) = 34·100.

4 · 2-ci səviyyə

2x³ − 8x² + 8x çoxhədlisinin vuruqlara ayrılışı:

2x(x² − 4x + 4) = 2x(x − 2)².

5 · DİM səviyyəsi

a − b = 3 və ab = 10 olarsa, a² + b²-i tapın.

a² + b² = (a − b)² + 2ab = 9 + 20.

6 · DİM səviyyəsi

a + b = 4 və ab = 3 olarsa, a³ + b³-i tapın.

a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 64 − 36.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Tam cəbri ifadələr (A variantı, 73; B-64, C-61, D-67); Müxtəsər vurma düsturları (A variantı, 78; B-75, C-76, D-77)
2. 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Çoxhədlinin vuruqlara ayrılması (A variantı, 68; B-62, C-64, D-64)
3. 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Müxtəsər vurma düsturları (A variantı, 68; B-61, C-72, D-65)
4. 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Çoxhədlinin vuruqlara ayrılması (A variantı, 65; B-73, C-65, D-69)
5. 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF) — Çoxhədlinin vuruqlara ayrılması (A variantı, 80; B-80, C-80, D-80)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.