Rasional kəsrlər: ixtisar, əməllər, parametr

Rasional ifadələr · Mövzu 8 / 46

Rasional kəsrlər: ixtisar, əməllər, parametr

Bu dərsi velosiped yürüşü ilə keçəcəyik: sinif dağ gölünə gedir, orada qayıq kirayə edir və düşərgə qurur. Hər addımda hesablama rasional kəsrə çevrilir: onun DMQ-sini, ixtisarını, kəsrlər üzərində dörd əməli və nisbət məsələlərini öyrənəcəyik.

≈ 45 dəqiqə5 fəsil4 DİM tapşırığı8-ci sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• rasional kəsrin DMQ-sini tapmağı və kəsrin sıfır olma şərtini tətbiq etməyi;
• surət və məxrəci vuruqlara ayırıb kəsri ixtisar etməyi, kəsrin ixtisar olunma şərtini tapmağı;
• rasional kəsrləri vurmağı, bölməyi, ortaq məxrəcə gətirib toplamağı və çıxmağı;
• nisbət verilən məsələlərdə ədədləri ortaq vuruqla yazmağı (orta sürət, ədədi və həndəsi orta).

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Müxtəsər vurma düsturları və vuruqlara ayırma.
• Adi kəsrlər üzərində əməllər, ƏKOB.
• Hərəkət: s = v·t.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: yürüşün orta sürətihekayə və təxmin
2. Fəsil 1Rasional kəsr və dəyişənin mümkün qiymətləri (DMQ)P/Q, Q ≠ 0, kəsrin sıfırı
3. Fəsil 2Kəsrin əsas xassəsi və ixtisarixtisar, kvadrat üçhədli · DİM 15.03.2026, 13.07.2025
4. Fəsil 3Rasional kəsrlərin vurulması və bölünməsitərs kəsrə vurma · DİM 09.03.2025
5. Fəsil 4Rasional kəsrlərin toplanması və çıxılmasıortaq məxrəc, orta sürət
6. Fəsil 5Nisbətlər: ədədi orta və həndəsi ortaa = pk, b = qk · DİM 12.07.2026
7. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
8. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: yürüşün orta sürəti

Hekayə

Sinif velosipedlə dağ gölünə yürüşə çıxır. Gölə gedən yol bütünlüklə yoxuşdur, ona görə şagirdlər ora 20 km/saat sürətlə gedirlər. Axşam eyni yolla, artıq enişlə, 30 km/saat sürətlə qayıdırlar.

Yolun uzunluğunu heç kim dəqiq bilmir — onu s km ilə işarə edək. Bələdçi soruşur: bütün yürüş boyu (gediş və qayıdış) orta sürətimiz nə qədər oldu?

Gediş yoxuşdur — 20 km/saat, qayıdış enişdir — 30 km/saat; yolun uzunluğu s km.Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, orta sürət neçə km/saatdır? Təxminini seç: 4-cü fəsildə birlikdə hesablayacağıq.

Fəsil 1

Rasional kəsr və dəyişənin mümkün qiymətləri (DMQ)

Yürüşdə gediş vaxtı s/20, qayıdış vaxtı s/30 saatdır. Sürətləri ümumi halda v₁ və v₂ ilə işarə etsək, vaxtlar s/v₁ və s/v₂ olar — bunlar məxrəcində dəyişən olan ifadələrdir. Belə ifadələrlə işləmək üçün əvvəl bir qaydanı yadda saxla: sıfıra bölmək olmaz.

Tərif

İki çoxhədlinin nisbəti P/Q (Q ≠ 0) rasional kəsr adlanır. Kəsrin mənası olan, yəni məxrəci sıfra çevirməyən dəyişən qiymətləri dəyişənin mümkün qiymətləri çoxluğunu (DMQ) əmələ gətirir.

Kəsr nə vaxt sıfırdır?

Kəsr yalnız surəti sıfır, məxrəci isə sıfırdan fərqli olduqda sıfıra bərabərdir:

P/Q = 0  ⇔  P = 0 və Q ≠ 0

Nümunə 1

(x² − 4)/(x² − 3x + 2) kəsrinin DMQ-sini tapın və kəsrin hansı x-də sıfıra bərabər olduğunu müəyyən edin.

1. Məxrəci vuruqlara ayırırıq: x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). Məxrəc x = 1 və x = 2 olduqda sıfırdır.Niyə belədir?

   Hasil yalnız vuruqlardan biri sıfır olduqda sıfırdır.

2. DMQ: x ≠ 1, x ≠ 2.
3. Surət: x² − 4 = 0 olduqda x = ±2. Amma x = 2 DMQ-yə daxil deyil.Niyə belədir?

   x = 2 olduqda kəsr 0/0 olur — bu, sıfır deyil, mənasız ifadədir.

4. Cavab: DMQ x ≠ 1, x ≠ 2; kəsr yalnız x = −2 olduqda sıfırdır.

Özün yoxla

(x² − 1)/(x + 1) = 0 olarsa, x-i tapın.

x² − 1 = 0 → x = ±1, amma x = −1 məxrəci sıfra çevirir.

Fəsil 2

Kəsrin əsas xassəsi və ixtisar

Kəsrin əsas xassəsi

Kəsrin surət və məxrəcini sıfırdan fərqli eyni ifadəyə vursaq və ya bölsək, kəsrin qiyməti dəyişməz:

A/B = (A·C)/(B·C),   C ≠ 0

İxtisar üçün surəti və məxrəci vuruqlara ayırır, sonra ortaq vuruğu silirik. Toplananları silmək olmaz: (x + 3)/(x + 5) kəsrində heç nə ixtisar olunmur. İxtisardan sonra da DMQ ilkin kəsrinki kimi qalır — çıxarılmış nöqtələr “yadda saxlanılır”.

İxtisardan sonra y = x + 1 alınır, amma x = 1 nöqtəsi DMQ-dən çıxarılıb: qrafikdə “deşik” qalır.Nümunə 2

(x² − 6x + 9)/(x² − 9) kəsrini ixtisar edin.

1. Surət tam kvadratdır: x² − 6x + 9 = (x − 3)²; məxrəc kvadratlar fərqidir: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).Niyə belədir?

   Müxtəsər vurma düsturları vuruqlara ayırmanın əsas alətidir.

2. Ortaq vuruq x − 3: (x − 3)²/((x − 3)(x + 3)) = (x − 3)/(x + 3), x ≠ ±3.
3. Cavab: (x − 3)/(x + 3).

İmtahanda belə soruşulurDİM · 15.03.2026

(25a² − 16)/(5a + 4) kəsrini ixtisar edin.

A) 4a–3B) 5a+4C) 4a+3D) 5a–4E) 5

1. Surət kvadratlar fərqidir: 25a² − 16 = (5a)² − 4² = (5a − 4)(5a + 4).Niyə belədir?

   25a² = (5a)², 16 = 4².

2. Ortaq vuruğu 5a + 4 ixtisar edirik (a ≠ −4/5): 5a − 4.
3. Cavab: 5a − 4 (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (15.03.2026)

Kəsrin surəti vuruqlara ayrılır və ixtisar edilir: (25a² − 16)/(5a + 4) = (5a − 4)(5a + 4)/(5a + 4) = 5a − 4Mənbə: DİM izahı — 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

Məxrəcdə tez-tez x² + px + q şəklində kvadrat üçhədli olur. Onu vuruqlara ayırmaq üçün cəmi −p, hasili q olan iki ədəd axtarırıq; onda x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂). Məsələn, x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2): cəmi 1, hasili −2 olan ədədlər −1 və 2-dir.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 13.07.2025

(4x − m)/(x² − x − 2) kəsrinin ixtisar olunması üçün m-in ala biləcəyi qiymətlərin cəmini tapın.

A) 12B) 8C) –6D) –2E) 4

1. Məxrəci ayırırıq: x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2). Surəti 4-ü mötərizə xaricinə çıxarmaqla yazırıq: 4x − m = 4(x − m/4).
2. Kəsr yalnız surət məxrəcin vuruqlarından biri ilə ortaq vuruğa malik olduqda ixtisar olunur: x − m/4 = x + 1 və ya x − m/4 = x − 2.Niyə belədir?

   Surət birdərəcəlidir; onun yeganə vuruğu x − m/4-dür.

3. Buradan m/4 = −1 və ya m/4 = 2, yəni m = −4 və ya m = 8. Cəmi: −4 + 8 = 4.
4. Yoxlama: m = −4: (4x + 4)/((x + 1)(x − 2)) = 4/(x − 2); m = 8: (4x − 8)/((x + 1)(x − 2)) = 4/(x + 1).Niyə belədir?

   Başqa usul: surətin kökü x = m/4 məxrəcin köklərindən biri (−1 və ya 2) olmalıdır.

5. Cavab: 4 (E variantı).

DİM-in rəsmi izahı (13.07.2025)

Kəsrin surət və məxrəcini aşağıdakı kimi hasil şəklində göstərmək olar (4x − m)/(x² − x − 2) = 4 · (x − m/4)/((x + 1)(x − 2)). Alınan sonuncu kəsrin ixtisar olunması üçün ya x − m/4 = x + 1, ya da x − m/4 = x − 2 olmalıdır. Buradan da alınır ki, m-in ala biləcəyi qiymət –4 və 8-dir. Bu qiymətlərin cəmi isə 4-ə bərabər olurMənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

(x² − 5x + 6)/(x − 3) kəsrini ixtisar edin və x = 10 olduqda qiymətini tapın.

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

Fəsil 3

Rasional kəsrlərin vurulması və bölünməsi

Vurma və bölmə

Kəsrləri vuranda surətlər surətlərə, məxrəclər məxrəclərə vurulur. Bölmək üçün birinci kəsri ikincinin tərsinə vururuq (bölən kəsrin surəti də sıfır olmamalıdır):

(A/B)·(C/D) = AC/(BD),   (A/B) : (C/D) = AD/(BC)

Praktik məsləhət: vurmadan əvvəl bütün surət və məxrəcləri vuruqlara ayır və ixtisar et — böyük çoxhədliləri açmağa ehtiyac qalmır.

Nümunə 3

Sadələşdirin: (x² − 4)/(3x) · 6x²/(x + 2).

1. Vuruqlara ayırırıq: (x − 2)(x + 2)·6x² / (3x·(x + 2)).
2. x + 2 və 3x ixtisar olunur: 2x(x − 2).Niyə belədir?

   6x² : 3x = 2x. DMQ: x ≠ 0, x ≠ −2.

3. Cavab: 2x(x − 2).

İmtahanda belə soruşulurDİM · 09.03.2025

(x³ − 3x² + 3x − 1)/(2x² − 2) : (x² − 2x + 1)/(x + 1) ifadəsini sadələşdirin.

1. Surətlər tam kub və tam kvadratdır: x³ − 3x² + 3x − 1 = (x − 1)³, x² − 2x + 1 = (x − 1)².Niyə belədir?

   (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ düsturunda a = x, b = 1.

2. Məxrəc: 2x² − 2 = 2(x − 1)(x + 1). DMQ: x ≠ ±1.
3. Bölməni tərs kəsrə vurma ilə əvəz edirik: (x − 1)³/(2(x − 1)(x + 1)) · (x + 1)/(x − 1)².Niyə belədir?

   Surətdə (x − 1)³(x + 1), məxrəcdə 2(x − 1)³(x + 1) — hər şey ixtisar olunur, 1/2 qalır.

4. Cavab: 0,5 (x ≠ ±1 olduqda).

DİM-in rəsmi izahı (09.03.2025)

(x³ − 3x² + 3x − 1)/(2x² − 2) : (x² − 2x + 1)/(x + 1) = (x − 1)³/(2(x² − 1)) · (x + 1)/(x − 1)² == (x − 1)³/(2(x − 1)(x + 1)) · (x + 1)/(x − 1)² = 1/2 = 0,5Mənbə: DİM izahı — 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

Özün yoxla

(a² − 9)/(a + 1) : (a − 3)/(a² − 1) ifadəsini sadələşdirin və a = 2 olduqda qiymətini tapın.

Nəticə (a + 3)(a − 1)-dir.

Fəsil 4

Rasional kəsrlərin toplanması və çıxılması

Hekayə

Şagirdlər gölə çatdılar. Sahildə qayıq kirayə verirlər: bir qayığın gündəlik kirayəsi 120 ₼-dir, pulu minənlər bərabər bölür. Əvvəlcə 4 nəfər qayığa minməyi planlaşdırmışdılar, amma sonra daha 2 nəfər qoşuldu.

Hər kəs əvvəlki plandan neçə manat az ödəyəcək? Ümumi halda: n nəfər əvəzinə n + 2 nəfər olsa, qənaət nə qədərdir?

Qayıq 120 ₼ / gün; planda 4 nəfər idi, 2 nəfər də qoşuldu.Toplama və çıxma

Məxrəcləri eyni olan kəsrləri toplayanda (çıxanda) surətlər toplanır (çıxılır). Məxrəclər fərqlidirsə, əvvəl kəsrləri ortaq məxrəcə gətiririk: məxrəcləri vuruqlara ayırıb ən kiçik ortaq bölünəni (ƏKOB-u) götürürük, hər kəsri əlavə vuruğa vururuq.

A/B ± C/D = (AD ± BC)/(BD)

Hekayə

Planda hər kəs 120/n, indi 120/(n + 2) ödəyir. Qənaət: 120/n − 120/(n + 2) = (120(n + 2) − 120n)/(n(n + 2)) = 240/(n(n + 2)). n = 4 olduqda 240/(4·6) = 10 — hər kəs 10 ₼ az ödəyir. Yoxlama: 120 : 4 − 120 : 6 = 30 − 20 = 10.

Nümunə 4

Sadələşdirin: 1/(x − 2) − 4/(x² − 4).

1. Məxrəcləri ayırırıq: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Ortaq məxrəc (x − 2)(x + 2).Niyə belədir?

   Ortaq məxrəc məxrəclərin hasili deyil, ƏKOB-udur: (x − 2)(x² − 4) götürsək, iş uzanar.

2. (x + 2 − 4)/((x − 2)(x + 2)) = (x − 2)/((x − 2)(x + 2)) = 1/(x + 2).
3. Cavab: 1/(x + 2), x ≠ ±2.

İndi yürüşün orta sürətinə qayıdaq. Orta sürət sürətlərin ədədi ortası deyil, bütün yolun bütün vaxta nisbətidir. Vaxt isə iki kəsrin cəmidir. Laboratoriyada sürətləri dəyiş: orta sürət həmişə (v₁ + v₂)/2-dən kiçik və ya ona bərabərdir.

Laboratoriya · yürüşün orta sürəti (s = 60 km)v₁ — gediş, km/saat20v₂ — qayıdış, km/saat30Hekayə

Bütün vaxt: s/20 + s/30 = 3s/60 + 2s/60 = s/12 saat. Bütün yol 2s, deməli orta sürət 2s : (s/12) = 24 km/saat. s ixtisar olundu — cavab yolun uzunluğundan asılı deyil! Ümumi düstur: v = 2v₁v₂/(v₁ + v₂) = 2·20·30/50 = 24. 25 cavabı səhvdir, çünki yoxuşda daha çox vaxt keçir: məsələn, s = 60 km olsa, 3 saat gediş, 2 saat qayıdış.

Özün yoxla

a/(a − b) + b/(b − a) ifadəsinin qiymətini tapın (a ≠ b).

b − a = −(a − b), deməli ikinci kəsr −b/(a − b)-dir.

Fəsil 5

Nisbətlər: ədədi orta və həndəsi orta

Hekayə

Axşam düşərgə qurulur. Çadırın altındakı meydança kəndirlə ayrılıb: 5 m × 3,2 m, yəni tərəflərin nisbəti 5 : 3,2 = 25 : 16. Şagirdlərdən biri deyir: “Meydançanı kvadrat etsək, daha yaxşı olardı”.

Kvadratı iki cür qurmaq olar: eyni kəndirlə (perimetr eyni) və ya eyni sahə ilə. Hansı kvadratın tərəfi uzundur və neçə dəfə?

Meydança 5 m × 3,2 m; punktir kvadratlar: perimetri eyni və sahəsi eyni.Tərif

Müsbət a və b ədədlərinin ədədi ortası(a + b)/2, həndəsi ortası√(ab)-dir. Perimetri eyni olan kvadratın tərəfi ədədi ortaya, sahəsi eyni olan kvadratın tərəfi həndəsi ortaya bərabərdir. Həmişə (a + b)/2 ≥ √(ab).

Bərabərsizliyin səbəbi bir kvadratdır: (a + b)/2 − √(ab) = (√a − √b)²/2 ≥ 0. Bərabərlik yalnız a = b olduqda ödənir. Nisbət verilibsə, ədədləri ortaq vuruqla yazırıq: a : b = p : q olarsa, a = pk, b = qk. Sonra k ixtisar olunur.

Hekayə

Kəndirlə qurulan kvadratın tərəfi (5 + 3,2)/2 = 4,1 m, sahəsi eyni kvadratın tərəfi √(5·3,2) = √16 = 4 m. Birinci uzundur: 4,1 : 4 = 41/40 dəfə, yəni cəmi 2,5%. Kəndirin uzunluğunu dəyişmədən kvadrat meydança bir az böyük də olur: 4,1² = 16,81 m², düzbucaqlınınkı isə 16 m².

Nümunə 5

x/y = 3/2 olarsa, (2x + y)/(x − y) kəsrinin qiymətini tapın.

1. x = 3k, y = 2k yazırıq (k ≠ 0).Niyə belədir?

   Nisbət ədədlərin özünü yox, yalnız onların nisbətini verir.

2. (6k + 2k)/(3k − 2k) = 8k/k = 8.
3. Cavab: 8.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 12.07.2026

Nisbəti 25/16 olan iki müsbət ədədin ədədi ortasının həndəsi ortasına nisbətini tapın.

A) 41/40B) 5/4C) 5/3D) 41/32E) 16/9

1. Nisbəti ortaq vuruqla yazırıq: a = 25k, b = 16k, k > 0.Niyə belədir?

   Ədədlər müsbətdir, ona görə k da müsbətdir və √(k²) = k.

2. Ədədi orta: (25k + 16k)/2 = 41k/2. Həndəsi orta: √(25k·16k) = √(400k²) = 20k.
3. Nisbət: (41k/2) : (20k) = 41k/(40k) = 41/40.
4. Cavab: 41/40 (A variantı).

DİM-in rəsmi izahı (12.07.2026)

Şərtə görə elə k ədədi var ki, verilən müsbət ədədləri a = 25k, b = 16k kimi yazmaq olar . Onda həmin ədədlərin ədədi ortasının onların həndəsi ortasına olan nisbəti ((a + b)/2)/√(ab) = (a + b)/(2√(ab)) = (25k + 16k)/(2√(25k · 16k)) = 41k/40k = 41/40 olar.Mənbə: DİM izahı — 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

İki müsbət ədədin nisbəti 4 : 1-dir. Onların ədədi ortasının həndəsi ortasına nisbətini tapın (onluq kəsrlə).

a = 4k, b = k: 5k/2 : 2k.

Yekun

Yadda saxla

• DMQ: məxrəc sıfır olmamalıdır; P/Q = 0 ⇔ P = 0, Q ≠ 0.
• İxtisar: əvvəl vuruqlara ayır, sonra ortaq vuruğu sil; DMQ dəyişmir.
• x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂), burada x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = q.
• (A/B)·(C/D) = AC/(BD); (A/B) : (C/D) = AD/(BC).
• Toplama/çıxma: ortaq məxrəc — məxrəclərin ƏKOB-u.
• Orta sürət 2v₁v₂/(v₁ + v₂) (eyni yol iki sürətlə), ədədi ortadan kiçikdir.
• Nisbət a : b = p : q → a = pk, b = qk; (a + b)/2 ≥ √(ab).

Tipik səhvlər

“(x + 3)/(x + 5) = 3/5” — x ixtisar olundu

Toplananları ixtisar etmək olmaz, yalnız vuruqları. Bu kəsr ixtisar olunmur.

“(x² − 4)/(x − 2) = 0 olduqda x = ±2”

x = 2 məxrəci sıfra çevirir və DMQ-yə daxil deyil; cavab yalnız x = −2.

“Orta sürət = (v₁ + v₂)/2”

Orta sürət — bütün yol / bütün vaxt: 20 və 30 km/saat üçün 24, 25 yox.

“Ortaq məxrəc həmişə məxrəclərin hasilidir”

Ən sadəsi məxrəclərin ƏKOB-udur: 1/(x − 2) və 4/(x² − 4) üçün (x − 2)(x + 2).

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

(x + 5)/(x² − 16) kəsrinin DMQ-si:

x² − 16 ≠ 0 → x ≠ ±4.

2 · 1-ci səviyyə

(3x² − 6x)/(x − 2) kəsrini ixtisar edin:

3x(x − 2)/(x − 2) = 3x.

3 · 2-ci səviyyə

(x² − 9)/(x² + 6x + 9) kəsrini ixtisar edin:

(x − 3)(x + 3)/(x + 3)².

4 · 2-ci səviyyə

2/(x − 1) − 2/(x + 1) fərqi:

(2(x + 1) − 2(x − 1))/(x² − 1) = 4/(x² − 1).

5 · DİM səviyyəsi

m-in hansı qiymətlərində (2x + m)/(x² − 9) kəsri ixtisar olunur? Bu qiymətlərin cəmini tapın.

Surətin kökü −m/2 = 3 və ya −3: m = −6 və ya 6; cəmi 0.

6 · DİM səviyyəsi

Müsbət a və b üçün a : b = 9 : 4. Ədədi ortanın həndəsi ortaya nisbəti:

a = 9k, b = 4k: (13k/2) : (6k) = 13/12.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Rasional kəsrlər (A variantı, 75; B-78, C-76, D-75)
2. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Rasional kəsrlər (A variantı, 5; B-22, C-6, D-9)
3. 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Rasional ifadələr (A variantı, 61; B-65, C-63, D-65)
4. 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Rasional kəsrlər (A variantı, 8; B-1, C-3, D-22)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.