Triqonometrik tənliklər və tərs triqonometrik funksiyalar

Triqonometriya · Mövzu 26 / 46

Triqonometrik tənliklər və tərs triqonometrik funksiyalar

Bu dərsi şəhər meydanındakı saat qülləsinin yanında keçəcəyik: gün ərzində siferblata düşən kölgə dəyişir, fotoqraf isə dəqiqə əqrəbinin ucunu kölgə sərhədində tutmağa çalışır. Onun sualları bizi tərs triqonometrik funksiyalara, sadə triqonometrik tənliklərin həlli düsturlarına və parçada köklərin sayına aparacaq.

≈ 50 dəqiqə5 fəsil11 DİM tapşırığı10-cu sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• arcsin, arccos, arctg-in qiymətini və təyin oblastını tapmağı;
• sin x = a, cos x = a, tg x = a tənliklərini düsturla həll etməyi;
• tənliyi çevirmə düsturları, yeni dəyişən və tam kvadratla sadə tənliyə gətirməyi;
• bircins və kəsr tənlikləri həll etməyi və verilmiş parçada köklərin sayını tapmağı.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Vahid çevrə, cədvəl qiymətləri və rüblər üzrə işarələr.
• Çevirmə düsturları: cos(π + x) = −cos x, sin(π/2 + x) = cos x.
• Kvadrat tənliyin həlli.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: əqrəbin ucu nə qədər günəşdə qalır?hekayə və təxmin
2. Fəsil 1Tərs triqonometrik funksiyalararcsin, arccos, arctg · təyin oblastı · DİM 07.06.2026
3. Fəsil 2cos x = a tənliyi±arccos a + 2πk · DİM 05.07.2026
4. Fəsil 3sin x = a və tg x = a tənlikləri(−1)ᵏ arcsin a + πk · arctg a + πk · DİM 09.03.2025
5. Fəsil 4Tənlikləri sadə tənliyə gətirməkçevirmə · yeni dəyişən · tam kvadrat · DİM 02.03.2025
6. Fəsil 5Bircins və kəsr tənliklər, parçada köklərin sayıtg x-ə gətirmə · məxrəc ≠ 0 · DİM 13.07.2025, 24.05.2026
7. Məşqİmtahan tapşırıqları ilə məşq5 DİM tapşırığı: cavab və rəsmi izah
8. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
9. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: əqrəbin ucu nə qədər günəşdə qalır?

Hekayə

Şəhər meydanında köhnə saat qülləsi var. Dəqiqə əqrəbinin uzunluğu 2 m-dir. Səhərlər meydanın o biri tərəfindəki binanın damı siferblata kölgə salır: kölgənin sərhədi üfüqidir və siferblatın mərkəzindən düz 1 m yuxarıdan keçir. Yuxarı hissə günəşdə, aşağı hissə kölgədədir.

Bir fotoqraf əqrəbin parlaq ucunu günəşdə çəkmək istəyir. Kölgə bir saat ərzində demək olar ki, yerindən tərpənmir. Sual: hər saatın neçə dəqiqəsində dəqiqə əqrəbinin ucu günəşdə olur?

Kölgənin sərhədi siferblatın mərkəzindən 1 m yuxarıdadır; qırmızı qırıq çevrə — əqrəbin ucunun yolu.Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, hər saatda ucu neçə dəqiqə günəşdə olur? Təxminini seç: 2-ci fəsildə birlikdə hesablayacağıq.

Fəsil 1

Tərs triqonometrik funksiyalar

Tənlik həll edərkən sual tərsinə qoyulur: bucaq verilmir, onun kosinusu verilir, bucağı isə tapmaq lazımdır. cos x = 1/2 olduqda cavabı cədvəldən bilirik: 60°. Bəs cos x = 0,3 olduqda? Belə bucağı adlandırmaq üçün tərs triqonometrik funksiyalar daxil edilir.

Tərif

−1 ≤ a ≤ 1 olsun. arcsin a — sinusu a-ya bərabər olan və [−π/2; π/2] parçasından götürülən bucaqdır. arccos a — kosinusu a-ya bərabər olan və [0; π] parçasından götürülən bucaqdır. İstənilən a üçün arctg a — tangensi a-ya bərabər olan və (−π/2; π/2) intervalından götürülən bucaqdır.

Hər tərs funksiya bucağı çevrənin bir “yarısından” seçir: arcsin — sağ, arccos — yuxarı yarımçevrədən.

Vacib nəticə: arcsin a və arccos a ifadələri yalnız −1 ≤ a ≤ 1 olduqda mənalıdır — bu, onların təyin oblastıdır. Məsələn, arcsin 2 ifadəsi mənasızdır, çünki heç bir bucağın sinusu 2 ola bilməz.

Xassələr

Mənfi arqument:

arcsin(−a) = −arcsin a,   arctg(−a) = −arctg a

arccos(−a) = π − arccos a

Arkkosinusun xassəsi fərqlidir, çünki arccos mənfi bucaq qaytarmır: yuxarı yarımçevrədə absisi −a olan nöqtə absisi a olan nöqtəyə Oy oxuna nəzərən simmetrikdir, ona görə onların bucaqlarının cəmi π-yə bərabərdir.

Nümunə 1

Hesablayın: arcsin(−1/2), arccos(−1/2), arctg √3.

1. arcsin(−1/2) = −arcsin(1/2) = −π/6.Niyə belədir?

   −π/6 ∈ [−π/2; π/2] və sin(−π/6) = −1/2.

2. arccos(−1/2) = π − arccos(1/2) = π − π/3 = 2π/3.Niyə belədir?

   Cavab −π/3 deyil: arccos-un qiyməti [0; π] parçasındadır.

3. arctg √3 = π/3, çünki tg 60° = √3.
4. Cavab: −π/6; 2π/3; π/3.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 07.06.2026

y = arcsin(5 − √(x − 2)) funksiyasının təyin oblastına daxil olan ən kiçik və ən böyük ədədlərin cəmini tapın.

A) 58B) 45C) 56D) 26E) 55

1. arcsin-in arqumenti −1 ilə 1 arasında olmalıdır: −1 ≤ 5 − √(x − 2) ≤ 1.Niyə belədir?

   Bu, arcsin funksiyasının təyin oblastıdır.

2. Hər tərəfdən 5 çıxıb −1-ə vururuq: 4 ≤ √(x − 2) ≤ 6.
3. Kvadrata yüksəldirik: 16 ≤ x − 2 ≤ 36, yəni 18 ≤ x ≤ 38.Niyə belədir?

   Hər üç hissə mənfi deyil, ona görə kvadrata yüksəltmək bərabərsizliyi pozmur; x ≥ 2 şərti də avtomatik ödənir.

4. Ən kiçik və ən böyük ədədlərin cəmi: 18 + 38 = 56.
5. Cavab: 56 (C variantı).

DİM-in rəsmi izahı (07.06.2026)

arcsin x -nın xassəsinə görə −1 ≤ 5 − √(x − 2) ≤ 1 olmalıdır. Buradan {5 − √(x − 2) ≤ 1; 5 − √(x − 2) ≥ −1} ⇒ {√(x − 2) ≥ 4; √(x − 2) ≤ 6}; 4 ≤ √(x − 2) ≤ 6 ⇔ 16 ≤ x − 2 ≤ 36; 18 ≤ x ≤ 38; 18+38=56Mənbə: DİM izahı — 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

arccos(−√2/2) neçə dərəcədir?

π − arccos(√2/2) = 180° − 45°.

Fəsil 2

cos x = a tənliyi

Saata qayıdaq. Dəqiqə əqrəbinin 12 rəqəmindən saat əqrəbi istiqamətində döndüyü bucağı θ ilə işarə edək: hər dəqiqədə əqrəb 360° : 60 = 6° döndüyündən t dəqiqədə θ = 6t. Ucun mərkəzdən hündürlüyü 2 cos θ, mərkəzdən sağa məsafəsi isə 2 sin θ olur (12 rəqəmi “yuxarı”dır, ona görə burada kosinus hündürlüyü verir).

Uc kölgə sərhədinə çatanda 2 cos θ = 1, yəni cos θ = 1/2. Bir dövrədə kosinusu 1/2 olan iki bucaq var: θ = 60° və θ = −60° — onlar Ox oxuna nəzərən simmetrikdir. Bütün həllər isə tam dövrələr əlavə etməklə alınır.

cos x = a tənliyinin həlli

|a| ≤ 1 olduqda:

x = ±arccos a + 2πk,   k ∈ Z

|a| > 1 olduqda tənliyin həlli yoxdur. Xüsusi hallar: cos x = 0 ⇔ x = π/2 + πk; cos x = 1 ⇔ x = 2πk; cos x = −1 ⇔ x = π + 2πk.

Hekayə

Uc kölgə sərhədindən yuxarıdadır, yəni günəşdədir, əgər 2 cos θ > 1, yəni −60° < θ < 60°. Bu, 120°-lik qövsdür, dəqiqələrlə 120° : 6° = 20 dəq. Uc saat :50-də günəşə çıxır (θ = −60° ≡ 300°), :10-da kölgəyə girir (θ = 60°). Cavab 30 dəqiqə deyil: sərhəd mərkəzdən deyil, ondan 1 m yuxarıdan keçir.

Nümunə 2

2 cos x = √2 tənliyini həll edin.

1. cos x = √2/2; |√2/2| ≤ 1 olduğundan həll var.
2. x = ±arccos(√2/2) + 2πk = ±π/4 + 2πk, k ∈ Z.Niyə belədir?

   “±” işarəsini unutma: −π/4 də həllidir, çünki kosinus cüt funksiyadır.

3. Cavab: ±π/4 + 2πk, k ∈ Z.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 05.07.2026

cos x = −√3/2 tənliyini həll edin.

A) ±π/3 + 2πk; k ∈ ZB) ±2π/3 + πk; k ∈ ZC) ±π/6 + 2πk; k ∈ ZD) ±5π/6 + 2πk; k ∈ ZE) ±πk/6; k ∈ Z

1. x = ±arccos(−√3/2) + 2πk.Niyə belədir?

   Düstur mənfi a üçün də eynidir.

2. Mənfi arqumentin arkkosinusu: arccos(−√3/2) = π − arccos(√3/2) = π − π/6 = 5π/6.Niyə belədir?

   C variantı (±π/6) arccos(−a) = −arccos a səhvindən, A variantı (±π/3) isə arccos ilə arcsin-i qarışdırmaqdan alınır.

3. x = ±5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
4. Cavab: ±5π/6 + 2πk, k ∈ Z (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (05.07.2026)

cos x = −√3/2 x = ±arccos(−√3/2) + 2πk, k ∈ Z x = ±(π − arccos(√3/2)) + 2πk, k ∈ Z x = ±(π − π/6) + 2πk, k ∈ Z x = ±5π/6 + 2πk, k ∈ ZMənbə: DİM izahı — 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

cos x = −1/2 tənliyinin ən kiçik müsbət kökü neçə dərəcədir?

arccos(−1/2) = π − π/3.

Fəsil 3

sin x = a və tg x = a tənlikləri

Hekayə

Günortaya yaxın günəş yerini dəyişir. İndi siferblata qonşu hündür binanın küncü kölgə salır: kölgənin sərhədi şaquli xətdir və mərkəzdən 1 m solda keçir. Bu xəttin solundakı hissə kölgədədir.

Fotoqraf bu dəfə əqrəbin ucunun kölgə sərhədini kəsdiyi anları çəkmək istəyir. Saatın neçə dəqiqəsində uc bu xəttin üstündə olur?

Şaquli kölgə sərhədi mərkəzdən 1 m soldadır; uc onu iki nöqtədə kəsir.

İndi sinusla bağlı tənlik alınır. sin x = a tənliyinin bir dövrədə iki həlli var: sağ yarımçevrədən x₁ = arcsin a və sol yarımçevrədən x₂ = π − arcsin a (bu nöqtələr Oy oxuna nəzərən simmetrikdir). Hər ikisinə 2πk əlavə edirik. İki seriyanı bir düsturla yazmaq olar:

sin x = a tənliyinin həlli

|a| ≤ 1 olduqda:

x = (−1)ᵏ · arcsin a + πk,   k ∈ Z

Cüt k üçün birinci seriya, tək k üçün ikinci seriya alınır. Xüsusi hallar: sin x = 0 ⇔ x = πk; sin x = 1 ⇔ x = π/2 + 2πk; sin x = −1 ⇔ x = −π/2 + 2πk.

Hekayə

Ucun mərkəzdən sağa məsafəsi 2 sin θ-dır; sərhəd solda olduğundan 2 sin θ = −1, yəni sin θ = −1/2. Bir dövrədə: θ = 180° + 30° = 210° (aşağıda, solda) və θ = 360° − 30° = 330° (yuxarıda, solda). Dəqiqələrlə: 210 : 6 = 35 və 330 : 6 = 55. Fotoqraf hər saatın :35 və :55 dəqiqəsini gözləməlidir.

Laboratoriyada a-nı dəyiş: düz xətt çevrəni iki nöqtədə kəsir — bunlar bir dövrədəki iki həlldir. |a| = 1 olduqda xətt çevrəyə toxunur (bir həll), |a| > 1 olduqda isə çevrəni kəsmir (həll yoxdur). “cos x = a” düyməsi ilə kosinus üçün eyni şəkli gör: orada həllər Ox oxuna nəzərən simmetrikdir.

Laboratoriya · tənliyin həlləri vahid çevrədəa0.5tg x = a və ctg x = a

Tangens hər yarım dövrədə (π) təkrarlanır, ona görə istənilən a üçün:

tg x = a ⇔ x = arctg a + πk;   ctg x = a ⇔ x = arcctg a + πk

Nümunə 3

2 sin x = √3 tənliyini həll edin.

1. sin x = √3/2, arcsin(√3/2) = π/3.
2. x = (−1)ᵏ · π/3 + πk, k ∈ Z.Niyə belədir?

   Açıq yazılışda: π/3 + 2πk və 2π/3 + 2πk.

3. Cavab: (−1)ᵏ·π/3 + πk, k ∈ Z.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 09.03.2025

a parametrinin hansı qiymətlərində sin x = (a − 1)/2 tənliyinin həlli var?

A) [−1; 4]B) [0; 4]C) [−3; 2]D) [−3; 1]E) [−1; 3]

1. Sinusun qiymətlər çoxluğu [−1; 1]-dir, ona görə tənliyin həlli yalnız −1 ≤ (a − 1)/2 ≤ 1 olduqda var.Niyə belədir?

   Sağ tərəf sinusun ala biləcəyi qiymət olmalıdır.

2. 2-yə vururuq: −2 ≤ a − 1 ≤ 2; 1 əlavə edirik: −1 ≤ a ≤ 3.
3. Cavab: [−1; 3] (E variantı).

DİM-in rəsmi izahı (09.03.2025)

−1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ −1 ≤ (a − 1)/2 ≤ 1 ⇒⇒ −2 ≤ a − 1 ≤ 2 ⇒ −1 ≤ a ≤ 3Mənbə: DİM izahı — 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

Özün yoxla

tg x = −1 tənliyinin ən kiçik müsbət kökü neçə dərəcədir?

x = −45° + 180°k; k = 1.

Fəsil 4

Tənlikləri sadə tənliyə gətirmək

İmtahan tənliklərinin çoxu bir neçə çevirmədən sonra sin x = a, cos x = a və ya tg x = a şəklinə düşür. Ən çox işlənən üç üsul:

Üsullar

1) Çevirmə düsturları: cos(π + x) = −cos x, cos(π − x) = −cos x, sin(90° + x) = cos x.2) Yeni dəyişən: t = sin x və ya t = cos x, kvadrat tənlik; kökləri |t| ≤ 1 şərti ilə yoxla.3) Vuruqlara ayırma və tam kvadrat: hasil sıfırdırsa, vuruqlardan biri sıfırdır.

Nümunə 4

2cos²x − cos x − 1 = 0 tənliyini həll edin.

1. t = cos x: 2t² − t − 1 = 0, buradan t = 1 və ya t = −1/2.
2. Hər iki kök |t| ≤ 1 şərtini ödəyir.Niyə belədir?

   Məsələn, t = 2 alınsaydı, onu atardıq: cos x = 2 həll vermir.

3. cos x = 1 ⇔ x = 2πk; cos x = −1/2 ⇔ x = ±2π/3 + 2πk.
4. Cavab: 2πk; ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 02.03.2025

4sin²x − 4sin x + 1 = 0 tənliyini həll edin.

A) π/3 + πk; k ∈ ZB) −π/3 + πk; k ∈ ZC) (−1)ᵏ·π/4 + πk; k ∈ ZD) (−1)ᵏ·π/6 + πk; k ∈ ZE) (−1)ᵏ⁺¹·π/6 + πk; k ∈ Z

1. Sol tərəf tam kvadratdır: 4sin²x − 4sin x + 1 = (2 sin x − 1)².Niyə belədir?

   (a − b)² = a² − 2ab + b², burada a = 2 sin x, b = 1.

2. (2 sin x − 1)² = 0 ⇔ sin x = 1/2.
3. x = (−1)ᵏ · arcsin(1/2) + πk = (−1)ᵏ · π/6 + πk, k ∈ Z.Niyə belədir?

   E variantında üst k + 1-dir: bu, sin x = −1/2 tənliyinin həllidir.

4. Cavab: (−1)ᵏ·π/6 + πk; k ∈ Z (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (02.03.2025)

(2sin x − 1)² = 0 ⇒ sin x = 1/2 ⇒ x = (−1)ᵏ·π/6 + πk; k ∈ ZMənbə: DİM izahı — 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

Nümunə 5

sin(π/2 + x) = 1/2 tənliyini həll edin.

1. Çevirmə: sin(π/2 + x) = cos x.Niyə belədir?

   π/2 adı dəyişir; π/2 + x II rübdədir, orada sinus müsbətdir.

2. cos x = 1/2 ⇔ x = ±π/3 + 2πk.
3. Cavab: ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.

Özün yoxla

2sin²x + sin x − 1 = 0 tənliyinin (0°; 90°) intervalındakı kökü neçə dərəcədir?

t = sin x: 2t² + t − 1 = 0, t = 1/2 və ya t = −1.

Fəsil 5

Bircins və kəsr tənliklər, parçada köklərin sayı

Hekayə

Günortadan sonra kölgə yenə dəyişir: indi onun sərhədi siferblatın mərkəzindən keçir və üfüqlə 45° bucaq əmələ gətirir (sağda yuxarı qalxır). Fotoqraf əqrəbin kölgə sərhədinin düz üstünə düşdüyü anları çəkmək istəyir.

Saat 12:00-dan 15:00-dək dəqiqə əqrəbi bu xəttin üstünə neçə dəfə düşəcək?

Kölgə sərhədi mərkəzdən 45° bucaq altında keçir; əqrəb onun üstünə iki nöqtədə düşür.

Əqrəbin ucu bu xəttin üstündə olanda onun sağa məsafəsi hündürlüyünə bərabərdir: 2 sin θ = 2 cos θ, yəni sin θ = cos θ. Bu, bircins tənlikdir: hər həddə sin və cos-un dərəcələri eynidir.

Bircins tənlik

a sin x + b cos x = 0 (a, b ≠ 0) tənliyində cos x = 0 ola bilməz: onda sin x = 0 də olardı, bu isə sin²x + cos²x = 1 eyniliyinə ziddir. Ona görə hər iki tərəfi cos x-ə bölmək olar:

a tg x + b = 0

Köklərin sayını tapmaq üçün həlli seriya şəklində yaz, onu parçanın sərhədləri arasına qoy və alınan bərabərsizliyi ödəyən tam k-ları say.

Hekayə

tg θ = 1 ⇔ θ = 45° + 180°k, yəni əqrəb hər yarım dövrədə — 30 dəqiqədən bir xəttin üstünə düşür. 12:00-dan 15:00-dək əqrəb 3 · 360° = 1080° döndüyündən 0° < 45° + 180°k < 1080°, buradan −0,25 < k < 5,75: k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Cavab: 6 dəfə — 12:07:30, 12:37:30, 13:07:30, 13:37:30, 14:07:30 və 14:37:30-da.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 13.07.2025

sin x = cos x tənliyinin [−2π; 2π] parçasında neçə kökü var?

tan — tg-nin başqa yazılışıdır.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. sin x və cos x eyni anda sıfır ola bilməz, ona görə cos x ≠ 0; hər iki tərəfi cos x-ə bölürük: tg x = 1.Niyə belədir?

   Bölmə zamanı kök itirilmir: cos x = 0 olan nöqtələr tənliyi ödəmir.

2. x = π/4 + πk, k ∈ Z.
3. Parçaya qoyuruq: −2π ≤ π/4 + πk ≤ 2π, yəni −9/4 ≤ k ≤ 7/4; tam k: −2, −1, 0, 1.Niyə belədir?

   Bərabərsizliyi π-yə böl və π/4 çıx: −2 − 1/4 ≤ k ≤ 2 − 1/4.

4. Köklər: −7π/4, −3π/4, π/4, 5π/4 — cəmi 4.
5. Cavab: 4.

DİM-in rəsmi izahı (13.07.2025)

… Tənliyin hər iki tərəfini cosx-ə bölsək tanx=1 tənliyi alınar. x = π/4 + πk, k ∈ Z. Buradan da alınır ki, k = −2 ⇒ x = −7π/4 ∈ [−2π; 2π], k = −1 ⇒ x = −3π/4 ∈ [−2π; 2π], k = 0 ⇒ x = π/4 ∈ [−2π; 2π], k = 1 ⇒ x = 5π/4 ∈ [−2π; 2π].Mənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Kəsr tənlikf(x)/g(x) = 0 iki şərtə bərabərgüclüdür: f(x) = 0 və g(x) ≠ 0. Məxrəcin sıfır olduğu nöqtələri mütləq at — DİM bu tələni tez-tez qurur.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 24.05.2026

cos x/(1 − sin x) = 0 tənliyinin [−2π; 4π] parçasında neçə həlli var?

1. Kəsr sıfıra bərabərdir: cos x = 0 və 1 − sin x ≠ 0, yəni sin x ≠ 1.
2. cos x = 0 olduqda sin x = 1 və ya sin x = −1. Birinci hal məxrəci sıfır edir, qalır sin x = −1 ⇔ x = −π/2 + 2πk.Niyə belədir?

   cos x = 0 olan nöqtələr çevrədə iki dənədir: ən yuxarı (sin = 1) və ən aşağı (sin = −1).

3. [−2π; 4π] parçasında: −2π ≤ −π/2 + 2πk ≤ 4π, buradan −3/4 ≤ k ≤ 9/4; k = 0, 1, 2 — köklər −π/2, 3π/2, 7π/2.
4. Cavab: 3.

DİM-in rəsmi izahı (24.05.2026)

cos x/(1 − sin x) = 0 ⇒ { cos x = 0; 1 − sin x ≠ 0 } ⇒ { cos x = 0; sin x ≠ 1 } ⇒ ⇒ sin x = −1, Onda tənliyin [−2π; 4π] parçasında 3 həlli { −π/2; 3π/2; 7π/2 } olur.Mənbə: DİM izahı — 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

sin x = 0 tənliyinin [0; 3π] parçasında neçə kökü var?

x = πk; 0 ≤ k ≤ 3.

Məşq

İmtahan tapşırıqları ilə məşq

DİM · 12.07.2026

cos(π + x) = sin(π/2) tənliyini həll edin.

A) π/2 + πk, k ∈ ZB) π + 2πk, k∈ZC) −π/6 + 2πk, k ∈ ZD) −π/2 + 2πk, k ∈ ZE) π/3 + πk, k ∈ ZCavab və DİM izahı

Cavab: π + 2πk, k ∈ Z (B variantı).

cos(π + x) = sin(π/2); cos(π + x) = −cos x eyniliyinə və sin(π/2) = 1 bərabərliyinə əsasən verilən tənliyi onunla eynigüclü olan cos x = −1 tənliyi kimi yazaq. Bu sadə triqonometrik tənliyin həlli isə x = π + 2πk, k ∈ Z olar.Mənbə: DİM izahı — 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 06.07.2025

cos(π − x) + cos(π + x) = 1 tənliyini həll edin.

A) ±3π/4 + 2πk, k ∈ ZB) ±5π/6 + 2πk, k ∈ ZC) ±2π/3 + 2πk, k ∈ ZD) ±π/6 + 2πk, k ∈ ZE) ±π/4 + 2πk, k ∈ ZCavab və DİM izahı

Cavab: ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z (C variantı).

−cosx − cosx = 1−2cosx = 1cosx = −1/2x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ZMənbə: DİM izahı — 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 07.06.2026

2cos(π+3x)=cos3x tənliyini həll edin.

A) π/6 + πn/3, n∈ZB) ±arccos(1/3) + πn/3, n∈ZC) ±π/3 + 2πn, n∈ZD) ±arccos(2/3) + 2πn, n∈ZE) π/4 + πn, n∈ZCavab və DİM izahı

Cavab: π/6 + πn/3, n ∈ Z (A variantı).

2cos(π + 3x) = cos3x; 2(−cos3x) = cos3x; −2cos3x = cos3x; 3cos3x = 0; 3x = π/2 + πn; x = π/6 + πn/3, n ∈ ZMənbə: DİM izahı — 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 01.06.2025

2cos(x + 10°) − sin(100° + x) = 0 tənliyini həll edin.

A) 10° + 90°n, n ∈ ZB) 20° + 90°n, n ∈ ZC) 90° + 180°n, n ∈ ZD) 45° + 180°n, n ∈ ZE) 80° + 180°n, n ∈ ZCavab və DİM izahı

Cavab: 80° + 180°n, n ∈ Z (E variantı).

2cos(x + 10°) − sin(100° + x) = 0; 2cos(x + 10°) − sin(90° + (10° + x)) = 0; 2cos(x + 10°) − cos(10° + x) = 0; cos(10° + x) = 0; 10° + x = 90° + 180° · n; x = 80° + 180° · n, n ∈ ZMənbə: DİM izahı — 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 25.05.2025

sin x − cos x = 0 tənliyini həll edin.

A) −π/2 + 2πk, k ∈ ZB) −π/4 + πk, k ∈ ZC) π/4 + πk, k ∈ ZD) π/2 + 2πk, k ∈ ZE) π/3 + πk, k ∈ ZCavab və DİM izahı

Cavab: π/4 + πk, k ∈ Z (C variantı).

Tapşırığın həlli zamanı bircins tənliyin həlli üsulundan istifadə edilir. Belə ki, əsas triqonometrik eyniliyin tələblərinə görə sinx = 0 və cosx = 0 şərtləri eyni zamanda ödənilə bilməz. Ona görə də cosx ≠ 0 şərti nəzərə alınaraq verilmiş tənliyin hər iki tərəfi cosx ifadəsinə bölünür və tan x = 1 tənliyi alınır.sinx − cosx = 0sinx/cosx − cosx/cosx = 0tanx = 1x = π/4 + πk, k ∈ ZMənbə: DİM izahı — 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

Yekun

Yadda saxla

• arcsin a ∈ [−π/2; π/2]; arccos a ∈ [0; π]; arctg a ∈ (−π/2; π/2) (|a| ≤ 1 — arcsin, arccos üçün).
• arcsin(−a) = −arcsin a; arccos(−a) = π − arccos a.
• cos x = a ⇔ x = ±arccos a + 2πk; sin x = a ⇔ x = (−1)ᵏ arcsin a + πk (|a| ≤ 1).
• tg x = a ⇔ x = arctg a + πk; |a| > 1 olduqda sin x = a və cos x = a həll vermir.
• Xüsusi hallar: sin x = 0 ⇔ x = πk, cos x = 0 ⇔ x = π/2 + πk, cos x = −1 ⇔ x = π + 2πk.
• Bircins tənlik: cos x-ə böl → a tg x + b = 0.
• Kəsr tənlik: surət = 0, məxrəc ≠ 0. Parçada köklər: seriyanı sərhədlər arasına qoy, tam k-ları say.

Tipik səhvlər

“cos x = a ⇔ x = arccos a + 2πk”

“±” unudulub: −arccos a + 2πk seriyası da həllidir. Saatda uc həm :10-da, həm də :50-də sərhəddə olur.

“arccos(−1/2) = −π/3”

arccos mənfi olmur: arccos(−a) = π − arccos a, yəni 2π/3.

“sin x = 2 ⇔ x = (−1)ᵏ arcsin 2 + πk”

arcsin 2 mənasızdır: |a| > 1 olduqda tənliyin həlli yoxdur.

“cos x/(1 − sin x) = 0 ⇔ cos x = 0”

Məxrəc sıfır olmamalıdır: x = π/2 + 2πk atılır, yalnız sin x = −1 qalır.

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

arccos(−1/2)-in qiyməti:

π − π/3 = 2π/3.

2 · 1-ci səviyyə

sin x = 1 tənliyinin həlli:

Çevrədə ordinatı 1 olan yalnız bir nöqtə var.

3 · 2-ci səviyyə

cos 2x = 0 tənliyinin həlli:

2x = π/2 + πk ⇒ x = π/4 + πk/2.

4 · 2-ci səviyyə

a-nın hansı qiymətlərində cos x = 2a − 3 tənliyinin həlli var?

−1 ≤ 2a − 3 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ a ≤ 2.

5 · DİM səviyyəsi

tg x = √3 tənliyinin [0; 3π] parçasında neçə kökü var?

x = π/3 + πk: π/3, 4π/3, 7π/3; 10π/3 > 3π.

6 · DİM səviyyəsi

sin²x − 3 sin x cos x + 2cos²x = 0 tənliyinin həlli:

cos²x-ə bölürük: tg²x − 3 tg x + 2 = 0, tg x = 1 və ya tg x = 2.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Triqonometrik tənliklər (A variantı, 70; B-63, C-64, D-73)
2. 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Triqonometrik tənliklər (A variantı, 72; B-73, C-66, D-69)
3. 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Triqonometrik tənliklər (A variantı, 8; B-2, C-14, D-20)
4. 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Triqonometrik tənliklər (A variantı, 13; B-21, C-5, D-5)
5. 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Triqonometrik tənliklər (A variantı, 18; B-9, C-7, D-12)
6. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Triqonometrik tənliklər (A variantı, 24; B-23, C-26, D-23)
7. 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Triqonometrik tənliklər (A variantı, 25; B-26, C-24, D-25)
8. 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Triqonometrik funksiyalar (A variantı, 19; B-8, C-22, D-17); Triqonometrik tənliklər və bərabərsizliklər (A variantı, 15; B-5, C-2, D-11)
9. 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Triqonometrik tənliklər (A variantı, 15; B-9, C-2, D-11)
10. 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Triqonometrik tənliklər və bərabərsizliklər (A variantı, 20; B-21, C-12, D-13)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.