Единичная окружность: знаки и значения синуса, косинуса и тангенса

Единичная окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Если радиус повернуть от положительного направления оси Ox на угол α, его конец имеет координаты (cos α; sin α).

Отсюда: tg α = sin α / cos α, sin²α + cos²α = 1, а также −1 ≤ sin α ≤ 1, −1 ≤ cos α ≤ 1.

cos αабсцисса точки (горизонтальная координата)sin αордината точки (вертикальная координата)tg αsin α / cos α; не определён при cos α = 0крути точку по окружности ↓0°: точка (1; 0) — cos 0° = 1, sin 0° = 0

Красный отрезок — sin α, зелёный — cos α. Справа на графиках движутся точки для того же угла: высота на окружности превращается в синусоиду, горизонтальное расстояние — в косинусоиду.

Угол, αили тяни точку

• В радианах
• sin α
• cos α
• tg α
• Четверть

Задание 1 / 3○○○

Выбери угол, при котором sin α = −1/2, а cos α положителен.

Настрой ползунки и кнопки…

Что показывает симуляция?

языком ползунков

• При 30° длина красного отрезка ровно половина радиуса: sin 30° = 1/2. А при 60° половине равен зелёный отрезок: cos 60° = 1/2.
• Когда точка в верхней половине (I и II четверти), синус положителен, в нижней (III и IV) — отрицателен.
• Косинус положителен, когда точка в правой половине, и отрицателен — в левой.
• При 90° зелёный отрезок исчезает (cos 90° = 0), поэтому tg 90° не определён.
• Точки для 120° и 60° на одной высоте: sin(180° − α) = sin α. После 360° всё повторяется — тригонометрические функции периодичны.

Знаки по четвертям

в одной таблице

Четверть	Угол	sin α	cos α	tg α
I	0° < α < 90°	+	+	+
II	90° < α < 180°	+	−	−
III	180° < α < 270°	−	−	+
IV	270° < α < 360°	−	+	−

Самые частые ошибки

красной ручкойПутать sin 30° и cos 30°

sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2. Проверка: 30° — маленький угол, точка низко, поэтому высота (синус) маленькая, а горизонтальное расстояние (косинус) большое.

«tg 90° = 0»

При 90° cos α = 0, а делить на ноль нельзя. tg 90° и tg 270° не определены; нулю равны tg 0° и tg 180°.

«Во второй четверти косинус положителен»

Во II четверти точка левее оси ординат, её абсцисса отрицательна. Поэтому cos α < 0, tg α < 0, и только sin α > 0.

Разобранные задачи

сначала реши сам

Задача 1

sin α = 3/5, α — угол второй четверти. Найдите cos α.

Показать решениеcos²α = 1 − sin²α = 1 − 9/25 = 16/25cos α = ±4/5; во II четверти cos α < 0 → cos α = −4/5

Ответ: −4/5. Извлекая корень, выбирай знак по четверти.

Задача 2

Вычислите: sin 150° + cos 120°.

Показать решениеsin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2cos 120° = −cos 60° = −1/2; сумма = 0

Ответ: 0.

В реальной жизни: колесо обозрения и синусоида

от окружности к волнеКабина равномерно движется по колесу — как точка на единичной окружности

Кабина колеса обозрения, конец часовой стрелки, вращающийся коленвал двигателя движутся по окружности, а их высота описывается синусом и косинусом. Переменный электрический ток, звуковые волны и изменение длины дня в течение года тоже описываются синусоидой.

Проверь себя: 5 тестовых заданий

5 вопросов

1Чему равен cos 60°?

2В какой четверти sin α > 0 и cos α < 0?

3Сколько градусов составляет 3π/2 радиан?

4Для какого угла tg α не определён?

5Открытый вопрос: найдите значение выражения sin²37° + cos²37°. Запиши ответ числом.

Источник

Программа вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Тригонометрия → Единичная окружность, синус, косинус и тангенс произвольного угла, знаки тригонометрических функций.