Toplama düsturları, ikiqat arqument, cəmin hasilə çevrilməsi

div class="hero">Triqonometriya · Mövzu 25 / 46

Toplama düsturları, ikiqat arqument, cəmin hasilə çevrilməsi

Bu dərsi tikinti meydançasında keçəcəyik: avtokran bumunu qaldırır, bucağını ikiqat artırır, sonra isə konteyneri aşırır. Hər dəfə sual eynidir — nə qədər hündürə? Cavab bizi toplama düsturlarına, ikiqat arqumentə, cəmin hasilə çevrilməsinə və köməkçi bucaq üsuluna aparacaq.

≈ 50 dəqiqə4 fəsil9 DİM tapşırığı10-cu sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• iki bucağın cəminin və fərqinin sinusunu, kosinusunu və tangensini hesablamağı;
• ikiqat arqument və dərəcəni azaltma düsturlarını tətbiq etməyi;
• cəmi hasilə və hasili cəmə çevirməyi;
• a sin x + b cos x ifadəsinin ən böyük və ən kiçik qiymətini köməkçi bucaqla tapmağı.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Vahid çevrə, rüblər üzrə işarələr, cədvəl qiymətləri.
• Əsas eynilik sin²α + cos²α = 1 və çevirmə düsturları.
• −1 ≤ sin t ≤ 1 olduqda t ∈ R.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: bum 30° qalxanda ucu nə qədər yüksələr?hekayə və təxmin
2. Fəsil 1İki bucağın cəminin və fərqinin düsturlarıcəmin və fərqin sin, cos, tg-si · DİM 19.04.2026
3. Fəsil 2İkiqat arqument və dərəcəni azaltmasin 2α, cos 2α, tg 2α · DİM 15.03.2026
4. Fəsil 3Cəmin hasilə və hasilin cəmə çevrilməsiyarımcəm və yarımfərq · DİM 09.03.2026, 13.07.2025
5. Fəsil 4Köməkçi bucaq: a sin x + b cos x√(a² + b²) · sin(x + φ) · DİM 01.06.2025, 06.07.2025
6. Məşqİmtahan tapşırıqları ilə məşq3 DİM tapşırığı: cavab və rəsmi izah
7. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
8. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: bum 30° qalxanda ucu nə qədər yüksələr?

Hekayə

Tikinti meydançasında avtokran işləyir. Onun bumunun uzunluğu 20 m-dir. İndi bum elə qaldırılıb ki, ucu oynaqdan düz 12 m yuxarıdadır.

Yükü binanın üst mərtəbəsinə çatdırmaq üçün operator bumu daha 30° qaldırır. Fəhlə düşünür: “30° üçün 20 · sin 30° = 10, deməli uc 10 m qalxacaq, 22 m olacaq.” Doğrudurmu? Bumun ucu oynaqdan nə qədər yuxarıda olacaq?

Bum α bucağı altındadır, ucu oynaqdan 12 m yuxarıdadır. Qırmızı qırıq xətt — 30° qaldırılmış bum.Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, qaldırılmış bumun ucu oynaqdan nə qədər yuxarıda olacaq? Təxminini seç: 1-ci fəsildə birlikdə hesablayacağıq.

Fəsil 1

İki bucağın cəminin və fərqinin düsturları

Fəhlənin səhvi çox yayılıb: o, sin(α + β) = sin α + sin β yazdı. Bu bərabərlik doğru deyil. Yoxla: α = β = 30° olduqda sol tərəf sin 60° ≈ 0,87, sağ tərəf isə 1/2 + 1/2 = 1-dir. Bucaqların cəminin sinusu sinusların cəmi deyil — onu hər iki bucağın həm sinusu, həm də kosinusu ilə ifadə etmək lazımdır.

Əvvəlcə fərqin kosinusunu tapaq. Vahid çevrədə A(cos α; sin α) və B(cos β; sin β) nöqtələrini götürək; aralarındakı mərkəzi bucaq α − β-dir. AB vətərinin kvadratını iki yolla hesablayaq. Kosinuslar teoreminə görə d² = 1 + 1 − 2 cos(α − β). Koordinatlarla isə d² = (cos α − cos β)² + (sin α − sin β)² = 2 − 2(cos α cos β + sin α sin β). Bərabərləşdirsək, düstur alınır.

Vətərin uzunluğu yalnız α − β bucağından asılıdır.Toplama düsturları

β-nı −β ilə, α-nı 90° − α ilə əvəz etməklə qalan düsturlar alınır:

cos(α ∓ β) = cos α cos β ± sin α sin β

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α tg β)

İşarələrə diqqət et: sinus düsturunda işarə saxlanır (cəm — “+”), kosinus düsturunda isə dəyişir (cəmin kosinusunda “−”). Tangens düsturu sinus düsturunu kosinus düsturuna bölməklə alınır.

Hekayə

Bumun ucu oynaqdan 12 m yuxarıdadır, deməli sin α = 12/20 = 3/5, onda cos α = 4/5. Bum α + 30° bucağına qalxır: h = 20 sin(α + 30°) = 20(3/5 · √3/2 + 4/5 · 1/2) = 6√3 + 8 ≈ 18,4 m. Fəhlə səhv edirdi: uc 10 m yox, cəmi 6,4 m qalxır.

Nümunə 1

sin 75°-nin dəqiq qiymətini tapın.

1. 75°-ni cədvəl bucaqlarının cəmi kimi yazırıq: 75° = 45° + 30°.Niyə belədir?

   Düstur yalnız sinusu və kosinusu məlum olan bucaqlarla işə yarayır.

2. sin 75° = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2.
3. = (√6 + √2)/4 ≈ 0,966.
4. Cavab: (√6 + √2)/4.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 19.04.2026

cos7α cosα + sin7α sinα ifadəsini sadələşdirin.

A) sin(–6α)B) sin6αC) cos8αD) cos6αE) sin8α

1. İfadə cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y düsturunun sağ tərəfinə oxşayır: burada 7α — birinci, α — ikinci bucaqdır.Niyə belədir?

   “kos·kos + sin·sin” — fərqin kosinusudur; “kos·kos − sin·sin” olsaydı, cəmin kosinusu olardı.

2. cos 7α cos α + sin 7α sin α = cos(7α − α) = cos 6α.
3. Cavab: cos 6α (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (19.04.2026)

İki bucağın fərqinin kosinusuna əsasən cos(α − β) = cosα cosβ + sinα sinβ. Bundan istifadə edərək cos7α cosα + sin7α sinα=cos(7α − α) = cos6α olduğunu alarıq.Mənbə: DİM izahı — 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF)

Özün yoxla

sin 50° cos 20° − cos 50° sin 20° ifadəsinin qiymətini tapın (onluq kəsrlə).

Bu, sin(50° − 20°)-dir.

Fəsil 2

İkiqat arqument və dərəcəni azaltma

Hekayə

Yük yerinə çatdı. Növbəti yükü daha uzaq bir nöqtədən götürmək lazımdır, ona görə operator bumu ilk vəziyyətinə (α bucağına) qaytarır, sonra isə onun bucağını iki dəfə artırır: bum indi 2α bucağı altındadır.

Bucaq iki dəfə artdı. Bəs bumun ucunun hündürlüyü də iki dəfə artıb 24 m oldumu? Bumun ucu oynaqdan nə qədər yuxarıdadır?

Boz qırıq xətt — bumun əvvəlki vəziyyəti (α), sarı bum — 2α bucağı altında.

Toplama düsturlarında β = α götürsək, ikiqat arqument düsturları alınır. Kosinus üçün üç yazılış var: əsas eyniliklə sin²α = 1 − cos²α və ya cos²α = 1 − sin²α əvəz edilir.

İkiqat arqument

sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α

tg 2α = 2 tg α / (1 − tg²α)

Hekayə

sin α = 3/5, cos α = 4/5 olduğundan bumun ucu h = 20 sin 2α = 20 · 2 · 3/5 · 4/5 = 19,2 m yuxarıdadır. Hündürlük iki dəfə artmadı: 12 m-dən cəmi 19,2 m-ə qalxdı. Uc isə oynağa çox yaxınlaşdı: üfüqi məsafə 20 cos 2α = 20(16/25 − 9/25) = 5,6 m.

Kosinusun ikiqat arqument düsturlarından kvadratları ifadə etsək, dərəcəni azaltma düsturları alınır. Onlar kvadratı birinci dərəcəyə gətirir, amma bucağı iki dəfə artırır:

Dərəcəni azaltma

sin²α = (1 − cos 2α)/2,   cos²α = (1 + cos 2α)/2

Buradan yarım bucağın sinusu kök alınmaqla tapılır: sin(α/2) = ±√((1 − cos α)/2). Kökün qarşısındakı işarəni α/2 bucağının rübü seçir.

Nümunə 2

sin α = 1/3 olarsa, cos 2α-nı tapın.

1. Yalnız sinus verilib, ona görə sinuslu yazılışı seçirik: cos 2α = 1 − 2sin²α.Niyə belədir?

   Bu yolla kosinusu tapmağa və işarəni düşünməyə ehtiyac qalmır.

2. cos 2α = 1 − 2 · 1/9 = 7/9.
3. Cavab: 7/9.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 15.03.2026

cos20°=a olarsa, sin10°-ni a ilə ifadə edin.

A) √((1+a)/2)B) a/2C) (1−a)/2D) √((1−a)/2)E) (1+a)/2

1. 10° bucağı 20°-nin yarısıdır, ona görə dərəcəni azaltma düsturunu α = 10° üçün yazırıq: sin²10° = (1 − cos 20°)/2 = (1 − a)/2.Niyə belədir?

   cos 2α düsturu sinusun kvadratını ikiqat bucağın kosinusu ilə bağlayır.

2. Kök alırıq. 10° I rübdədir, sin 10° > 0, ona görə müsbət kök götürülür: sin 10° = √((1 − a)/2).Niyə belədir?

   C variantı (1 − a)/2 — kökü unudanda alınan tələdir: o, sin 10° deyil, sin²10°-dir.

3. Cavab: √((1 − a)/2) (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (15.03.2026)

sin²α = (1 − cos2α)/2; sin²10° = (1 − cos20°)/2 ⇒ sin10° = √((1 − cos20°)/2) = √((1 − a)/2)Mənbə: DİM izahı — 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

Özün yoxla

8 sin 15° cos 15° ifadəsinin qiymətini tapın.

2 sin 15° cos 15° = sin 30°.

Fəsil 3

Cəmin hasilə və hasilin cəmə çevrilməsi

sin(x + y) və sin(x − y) düsturlarını toplasaq, sin(x + y) + sin(x − y) = 2 sin x cos y alınır. Bu bərabərliyi iki istiqamətdə oxumaq olar. Soldan sağa — cəm hasilə çevrilir (tənliklərdə vuruqlara ayırmaq üçün), sağdan sola — hasil cəmə çevrilir (ifadəni sadələşdirmək üçün).

Cəmi hasilə çevirmə

x + y = α, x − y = β işarə etsək (yəni x = (α + β)/2, y = (α − β)/2):

sin α ± sin β = 2 sin((α ± β)/2) cos((α ∓ β)/2)

cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2)

cos α − cos β = −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2)

Hasili cəmə çevirmə

sin α cos β = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]

cos α cos β = ½[cos(α − β) + cos(α + β)]

sin α sin β = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]

Yadda saxlamaq üçün: cəm hasilə çevriləndə həmişə “yarımcəm” (α + β)/2 və “yarımfərq” (α − β)/2 yaranır; kosinusların fərqində mənfi işarəyə diqqət et.

Nümunə 3

sin 75° + sin 15° cəminin qiymətini tapın.

1. sin 75° + sin 15° = 2 sin((75° + 15°)/2) cos((75° − 15°)/2) = 2 sin 45° cos 30°.Niyə belədir?

   Yarımcəm 45°, yarımfərq 30° — hər ikisi cədvəl bucağıdır.

2. 2 · √2/2 · √3/2 = √6/2 ≈ 1,22.
3. Cavab: √6/2.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 09.03.2026

cos38° + cos18° ifadəsini hasil şəklində göstərin.

A) 2cos20°sin20°B) 3/4C) 2cos28°cos10°D) 1/2E) 2cos14°cos5°

1. Kosinusların cəmi düsturu: cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2).
2. Yarımcəm: (38° + 18°)/2 = 28°; yarımfərq: (38° − 18°)/2 = 10°.Niyə belədir?

   E variantındakı 14° və 5° — yarımcəmin və yarımfərqin yenidən yarısıdır; bu, tələdir.

3. cos 38° + cos 18° = 2 cos 28° cos 10°.
4. Cavab: 2cos28°cos10° (C variantı).

DİM-in rəsmi izahı (09.03.2026)

cos α + cos β = 2cos((α+β)/2) · cos((α−β)/2) olduğundan cos38° + cos18° = 2cos((38°+18°)/2) · cos((38°−18°)/2) = 2cos28°cos10° olur.Mənbə: DİM izahı — 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

İmtahanda belə soruşulurDİM · 13.07.2025

sin(2α − β) = 5sin β olarsa, tan(α − β) · cot α ifadəsinin qiymətini tapın.

tan və cot — tg və ctg-nin başqa yazılışıdır.

A) 3/4B) 5/2C) 2/3D) 4/3E) 3/2

1. Tangens və kotangensi sinus və kosinusla yazırıq: tg(α − β) · ctg α = sin(α − β) cos α / (cos(α − β) sin α).Niyə belədir?

   Şərtdə 2α − β bucağı var; o, α − β ilə α-nın cəmidir. Hasilləri cəmə çevirəndə məhz bu bucaq yaranacaq.

2. Surət: sin(α − β) cos α = ½[sin(2α − β) + sin(−β)] = ½[sin(2α − β) − sin β].
3. Məxrəc: sin α cos(α − β) = ½[sin(2α − β) + sin β].
4. Şərti yerinə qoyuruq: (5 sin β − sin β)/(5 sin β + sin β) = 4/6 = 2/3.Niyə belədir?

   sin β ≠ 0 olmalıdır, əks halda ifadə mənasını itirir; ixtisardan sonra β yox olur.

5. Cavab: 2/3 (C variantı).

DİM-in rəsmi izahı (13.07.2025)

Triqonometrik eyniliklər və hasilin cəmə çevrilməsi düsturlarına əsasən alınır ki, tan(α − β) · cot α = sin(α − β)/cos(α − β) · cos α/sin α = = (½(sin(2α − β) − sin β))/(½(sin(2α − β) + sin β)) = = (sin(2α − β) − sin β)/(sin(2α − β) + sin β) = (5sin β − sin β)/(5sin β + sin β) = 4sin β/(6sin β) = 2/3Mənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

4 sin 75° sin 15° ifadəsinin qiymətini tapın.

sin α sin β = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]: cos 60° − cos 90°.

Fəsil 4

Köməkçi bucaq: a sin x + b cos x

Hekayə

Günün sonunda kran meydançadakı köhnə konteyneri yan üstə çevirməlidir. Konteynerin uzunluğu 4 m, hündürlüyü 3 m-dir. Kran onun sol ucunu qaldırır, konteyner isə sağ alt tilinin ətrafında fırlanır.

Problem budur: konteynerin üstündən 4,8 m hündürlükdə elektrik kabeli keçir. Aşırılarkən konteynerin yuxarı küncü kabelə toxunacaqmı? Künc ən çoxu nə qədər hündürə qalxır?

Konteyner (4 m × 3 m) til ətrafında fırlanır; qırmızı qırıq xətt — küncün yolu.

Konteyner x bucağı qədər döndükdə sol üst küncün hündürlüyü iki hissədən ibarətdir: uzunluğun verdiyi 4 sin x və hündürlüyün verdiyi 3 cos x. Deməli, h(x) = 4 sin x + 3 cos x. Belə ifadənin ən böyük qiymətini tapmaq üçün onu bir sinusa gətirmək lazımdır.

Köməkçi bucaq üsulu

a² + b² ≠ 0 olsun. Elə φ bucağı var ki, cos φ = a/√(a² + b²), sin φ = b/√(a² + b²). Onda:

a sin x + b cos x = √(a² + b²) · sin(x + φ)

−√(a² + b²) ≤ a sin x + b cos x ≤ √(a² + b²)

φ bucağı katetləri a və b olan düzbucaqlı üçbucaqdan alınır: cos φ = a/√(a² + b²), sin φ = b/√(a² + b²).

Səbəb: ifadəni √(a² + b²) mötərizə xaricinə çıxarsaq, mötərizədə sin x cos φ + cos x sin φ qalır, bu isə toplama düsturuna görə sin(x + φ)-dir. Sinus −1 ilə 1 arasında olduğu üçün ifadə −√(a² + b²) ilə √(a² + b²) arasında dəyişir və bu sərhədlərin hər ikisini alır.

Hekayə

Konteyner üçün √(4² + 3²) = 5. Küncün ən böyük hündürlüyü 5 m-dir: bu, diaqonalın uzunluğudur və diaqonal şaquli olanda alınır (tg x = 4/3, x ≈ 53°). 5 m > 4,8 m olduğundan künc kabelə çatır! Usta qərar verir: əvvəlcə kabeli qaldırmaq lazımdır.

Laboratoriyada konteyneri özün aşır: x bucağını dəyiş və h-nin ən böyük qiymətini tap. Sonra a və b-ni dəyiş: ən böyük hündürlük həmişə diaqonala, √(a² + b²)-yə bərabərdir.

Laboratoriya · konteyneri aşır, ən yüksək nöqtəni tapaşırma bucağı x22°uzunluq a4hündürlük b3Nümunə 4

y = sin x + √3 cos x funksiyasının qiymətlər çoxluğunu tapın.

1. a = 1, b = √3, onda √(a² + b²) = √(1 + 3) = 2.Niyə belədir?

   Əmsallar sinusun və kosinusun qarşısındakı ədədlərdir; işarələri ilə birlikdə götürülür.

2. y = 2(½ sin x + (√3/2) cos x) = 2(sin x cos 60° + cos x sin 60°), yəni y = 2 sin(x + 60°).
3. −2 ≤ y ≤ 2.
4. Cavab: [−2; 2].

İmtahanda belə soruşulurDİM · 01.06.2025

y = 3sin x − 2cos x funksiyasının ala biləcəyi natural qiymətlərin cəmini tapın.

A) 13B) 6C) 10D) 5E) 9

1. a = 3, b = −2: √(a² + b²) = √(9 + 4) = √13.Niyə belədir?

   b-nin mənfi olması nəticəni dəyişmir: kvadratda işarə itir.

2. Qiymətlər çoxluğu: [−√13; √13].
3. 3 < √13 < 4, çünki 9 < 13 < 16. Bu parçadakı natural ədədlər: 1, 2, 3; cəmi 1 + 2 + 3 = 6.Niyə belədir?

   Funksiya kəsilməzdir, ona görə −√13 ilə √13 arasındakı hər qiyməti, o cümlədən 1, 2, 3-ü alır.

4. Cavab: 6 (B variantı).

DİM-in rəsmi izahı (01.06.2025)

y = a sin x + b cos x funksiyasının qiymətlər çoxluğu [−√(a² + b²); √(a² + b²)] olduğundan y = 3sin x − 2cos x funksiyasının qiymətlər çoxluğu [−√(3² + (−2)²); √(3² + (−2)²)] = [−√13; √13] olar. Beləliklə, y = 3sin x − 2cos x funksiyasının ala biləcəyi natural qiymətlərin cəmi 1+2+3=6 olar.Mənbə: DİM izahı — 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

İmtahanda belə soruşulurDİM · 06.07.2025

√3/sin 20° − 1/cos 20° ifadəsinin qiymətini tapın.

A) 4B) −4C) −1D) 0E) 1

1. Ortaq məxrəcə gətiririk: (√3 cos 20° − sin 20°)/(sin 20° cos 20°).
2. Surətdə köməkçi bucaq: √(3 + 1) = 2, ona görə √3 cos 20° − sin 20° = 2(sin 60° cos 20° − cos 60° sin 20°) = 2 sin 40°.Niyə belədir?

   √3/2 = sin 60°, 1/2 = cos 60° — mötərizədə fərqin sinusu yaranır.

3. Məxrəc: sin 20° cos 20° = ½ sin 40°.Niyə belədir?

   İkiqat arqument düsturu.

4. 2 sin 40° : (½ sin 40°) = 4.
5. Cavab: 4 (A variantı).

DİM-in rəsmi izahı (06.07.2025)

√3/sin 20° − 1/cos 20° = (√3 cos 20° − sin 20°)/(sin 20°·cos 20°) == 2·((√3/2)cos 20° − (1/2)sin 20°)/(sin 20°·cos 20°) == 2·(sin 60° cos 20° − cos 60° sin 20°)/(sin 20°·cos 20°) == 4sin(60° − 20°)/(2sin 20°·cos 20°) = 4sin 40°/sin 40° = 4Mənbə: DİM izahı — 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

y = 5 sin x + 12 cos x funksiyasının ən böyük qiymətini tapın.

√(25 + 144).

Məşq

İmtahan tapşırıqları ilə məşq

DİM · 05.07.2026

m-in hansı qiymətində cos⁴α + ¼sin²(π + 2α) = cos^(m−1) α bərabərliyi eynilikdir.

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 3.

Verilən ifadəyə triqonometrik funksiyalar üçün çevirmə düsturunu və ikiqat arqumentin sinusu düsturunu tətbiq edək: cos⁴α + ¼sin²(π + 2α) = cos^(m−1) α; cos⁴α + ¼sin² 2α = cos^(m−1) α; cos⁴α + ¼·4sin²α·cos²α = cos^(m−1) α; cos⁴α + sin²α·cos²α = cos^(m−1) α; cos²α(cos²α + sin²α) = cos^(m−1) α; cos²α = cos^(m−1) α Buradan isə m − 1 = 2 və m = 3 .Mənbə: DİM izahı — 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 25.05.2025

( √(6cos 25°·cos 65° / cos 40°) + 1 )·3(√3 − 1) ifadəsinin qiymətini tapın.

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 6.

Tapşırığın həlli zamanı əvvəlcə kökaltı ifadədə sin α = cos(90⁰ − α) çevirmə düsturu tətbiq edilərək cos 65⁰ = cos(90⁰ − 25⁰) = sin 25⁰ kimi, sonra isə sin 2α = 2 sin α cos α ikiqat arqument düsturu tətbiq edilərək 2 sin 25⁰ cos 25⁰ = sin 50⁰ kimi yazılır. Yenə birinci düstura görə sin 50⁰ = cos 40⁰ olduğu nəzərə alınır və yekunda çevrilmiş ifadəyə müxtəsər vurma düsturu tətbiq edilərək cavab tapılır:( √(6cos 25°·cos 65° / cos 40°) + 1 )·3(√3 − 1) =( √(3·2cos 25°·sin 25° / cos 40°) + 1 )·3(√3 − 1) =( √(3·sin 50° / cos 40°) + 1 )·3(√3 − 1) = ( √(3cos 40° / cos 40°) + 1 )·3(√3 − 1)= (√3 + 1)·3(√3 − 1) = 2·3 = 6Mənbə: DİM izahı — 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 12.07.2026

f(x) = 4√3 sin x − cos x funksiyasının ən böyük qiyməti ilə g(x) = sin2x · cos2x funksiyasının ən kiçik qiymətinin fərqini tapın.

A) 8,5B) 7,5C) 4,5D) −5,5E) −6,5Cavab və DİM izahı

Cavab: 7,5 (B variantı).

Köməkçi bucaq daxil etmə üsulunu tətbiq edərək f(x) funksiyasını aşağıdakı kimi çevirək: f(x) = 4√3 sin x − cos x = √((4√3)² + (−1)²) · ((4√3/7) sin x − (1/7) cos x) = 7 sin(x + φ), burada φ, cos φ = 4√3/7, sin φ = −1/7 bərabərliklərini ödəyən hər hansı bucaqdır. Onda məlum −1 ≤ sin(x + φ) ≤ 1 bərabərsizliyini nəzərə alsaq f(x) = 7 sin(x + φ) ≤ 7·1 = 7 olduğunu alarıq. Deməli, f_max = 7 olacaq. g(x) funksiyasını isə sinus funksiyası üçün ikiqat bucaq düsturunu tətbiq etməklə çevirək və ən kiçik qiymətini tapaq: g(x) = sin2x · cos2x = ½ sin4x ≥ −½ ⇒ g_min = −½. Beləliklə, f_max − g_min = 7 − (−0,5) = 7,5.Mənbə: DİM izahı — 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Yekun

Yadda saxla

• sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β; cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β.
• tg(α ± β) = (tg α ± tg β)/(1 ∓ tg α tg β); diqqət: sin(α + β) ≠ sin α + sin β.
• sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α.
• Dərəcəni azaltma: sin²α = (1 − cos 2α)/2, cos²α = (1 + cos 2α)/2.
• Cəm hasilə: cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2); kosinusların fərqində “−”.
• Hasil cəmə: sin α cos β = ½[sin(α + β) + sin(α − β)].
• Köməkçi bucaq: a sin x + b cos x = √(a² + b²) sin(x + φ); qiymətlər çoxluğu [−√(a² + b²); √(a² + b²)].

Tipik səhvlər

“sin(α + 30°) = sin α + sin 30°”

Cəmin sinusu sinusların cəmi deyil: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Kranın ucu 10 m yox, 6,4 m qalxdı.

“cos(α − β) = cos α cos β − sin α sin β”

Kosinus düsturunda işarə dəyişir: fərqin kosinusunda “+”, cəminkində “−”.

“cos 20° = a olduqda sin 10° = (1 − a)/2”

(1 − a)/2 — sin²10°-dir. Kök almaq lazımdır: sin 10° = √((1 − a)/2).

“a sin x + b cos x-in ən böyük qiyməti a + b-dir”

sin x və cos x eyni anda 1 ola bilməz. Ən böyük qiymət √(a² + b²)-dir: 3 sin x + 4 cos x üçün 5, 7 yox.

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° ifadəsinin qiyməti:

Bu, sin(30° + 60°) = sin 90° = 1-dir.

2 · 1-ci səviyyə

2 sin 15° cos 15° ifadəsinin qiyməti:

sin 30° = 1/2.

3 · 2-ci səviyyə

cos²75° − sin²75° ifadəsinin qiyməti:

cos 150° = −cos 30° = −√3/2.

4 · 2-ci səviyyə

tg α = 2, tg β = 3 olarsa, tg(α + β):

(2 + 3)/(1 − 6) = −1.

5 · DİM səviyyəsi

y = 6 sin x + 8 cos x + 1 funksiyasının ən böyük qiyməti:

√(36 + 64) = 10; 10 + 1 = 11.

6 · DİM səviyyəsi

sin 75° · cos 15° hasilinin qiyməti:

½(sin 90° + sin 60°) = ½(1 + √3/2) = (2 + √3)/4.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Triqonometrik funksiyalar (A variantı, 25; B-24, C-25, D-25)
2. 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Triqonometrik funksiyalar üçün toplama teoremi (A variantı, 21; B-9, C-20, D-18)
3. 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Triqonometrik funksiyalar (A variantı, 4; B-12, C-2, D-15)
4. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Triqonometrik funksiyalar üçün toplama teoremi (A variantı, 15; B-15, C-1, D-11)
5. 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Triqonometrik funksiyaların cəminin hasilə çevrilməsi (A variantı, 61; B-63, C-65, D-63)
6. 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — İkiqat arqumentin triqonometrik funksiyaları (A variantı, 73; B-71, C-72, D-64)
7. 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF) — İki bucağın cəmi və fərqinin triqonometrik funksiyaları (A variantı, 65; B-67, C-64, D-68)
8. 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Triqonometrik funksiyalar üçün toplama teoremi (A variantı, 23; B-26, C-24, D-25)
9. 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Triqonometrik funksiyalar (A variantı, 3; B-9, C-10, D-11)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.