Закон всемирного тяготения. Сила тяжести

Динамика · Тема 5 / 27

Закон всемирного тяготения. Сила тяжести

Этот урок пройдём вместе с семьёй, поехавшей в Шамахинскую обсерваторию: ночью увидим в небе космическую станцию, утром подбросим мяч во дворе, вечером «станем легче» на выпуклом мосту. Каждое явление сначала увидим в анимации, затем рассчитаем по закону тяготения и применим в заданиях ГЭЦ.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ГЭЦ: 7материал 10 класса

После урока ты сможешь

• вычислять силу по закону всемирного тяготения и её изменение при изменении масс и расстояния;
• находить ускорение свободного падения по массе и радиусу планеты и на высоте;
• решать задачи на свободное падение и бросок вверх по формулам и графикам;
• находить вес в лифте и на выпуклом мосту, объяснять невесомость;
• рассчитывать первую космическую скорость и орбитальную скорость спутника.

Перед началом вспомни

• II и III законы Ньютона: F = ma, действие = противодействие.
• Равноускоренное движение: υ = υ₀ + at, x = υ₀t + at²/2.
• Центростремительное ускорение при движении по окружности a = υ²/R, υ = 2πR/T.
• Стандартный вид числа: вычисления с 10⁶, 10⁻¹¹.

Содержание

1. ВведениеСитуация: станция в ночном небеистория и предположение
2. Глава 1Закон всемирного тяготенияF = Gm₁m₂/r² · ГЭЦ 01.06.2025
3. Глава 2Гравитационное поле. Сила тяжестиg = GM/R², g на высоте
4. Глава 3Свободное падение и бросок вертикально вверхh = gt²/2, hmax = υ₀²/2g · ГЭЦ 07.06.2026, 13.07.2025
5. Глава 4Вес. Невесомость и перегрузкаP = m(g ± a) · ГЭЦ 07.06.2026
6. Глава 5Первая космическая скорость. Искусственные спутникиυ₁ = √(gR) · лаборатория
7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ГЭЦ: 3, с ответом и официальным пояснением
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: станция в ночном небе

История

Семья на выходных приехала в Шамахинскую обсерваторию. Ночью все выходят во двор: по звёздному небу с запада на восток быстро пролетает яркая точка. Экскурсовод говорит: «Это Международная космическая станция. Она летит всего в 400 км над Землёй, а космонавты внутри неё плавают в невесомости».

Школьник думает: «Значит, там нет притяжения Земли?» Отец напоминает, что радиус Земли около 6400 км, то есть 400 км — всего одна шестнадцатая радиуса. Вопрос: какую долю (в процентах) от ускорения свободного падения у поверхности Земли (9,8 м/с²) составляет ускорение на высоте станции?

Станция проходит от горизонта до горизонта за несколько минут; в анимации это движение ускорено.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько процентов от ускорения у поверхности Земли составляет ускорение свободного падения на высоте 400 км? Ответ рассчитаем во 2-й главе.

Чтобы ответить на этот вопрос, изучим закон всемирного тяготения Ньютона, гравитационное поле, свободное падение, вес и невесомость и, наконец, движение спутников. Всё это построим шаг за шагом во время поездки той же семьи в обсерваторию.

Глава 1

Закон всемирного тяготения

Что общего у яблока, падающего с дерева, и Луны, обращающейся вокруг Земли? Исаак Ньютон пришёл к выводу, что сила, притягивающая яблоко к Земле, и сила, удерживающая Луну на орбите, — одной природы. Любые два тела во Вселенной притягивают друг друга — это называют гравитацией (тяготением).

Закон всемирного тяготения

Две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Сила направлена вдоль прямой, соединяющей точки.

F = G·m₁m₂/r²

Здесь G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг² — гравитационная постоянная (впервые измерена Г. Кавендишем в 1798 году с помощью крутильных весов). Закон верен и для однородных шаров, тогда r — расстояние между их центрами.

Анимация · сила тяготения и расстояниеСилы всегда равны и противоположно направлены (III закон Ньютона): с какой силой Земля притягивает яблоко, с такой же яблоко притягивает Землю. При увеличении расстояния в 2 раза сила уменьшается в 4 раза, в 3 раза — в 9 раз.

Почему же мы не чувствуем притяжения людей рядом? Потому что G очень мала: гравитация становится заметной, только когда масса хотя бы одного тела огромна (планета, звезда).

Пример 1

Во дворе обсерватории на расстоянии 1 м стоят два школьника массой по 60 кг. С какой силой они притягивают друг друга? Сравните эту силу с силой тяжести, действующей на каждого из них (g = 10 м/с²).

1. F = G·m₁m₂/r² = 6,67·10⁻¹¹ · 60 · 60 / 1² ≈ 2,4·10⁻⁷ Н.Почему так?

   Считать людей материальными точками — грубое приближение, но порядок величины оно даёт верный.

2. Сила тяжести: mg = 60 · 10 = 600 Н.
3. Отношение: 600 / 2,4·10⁻⁷ ≈ 2,5·10⁹ — притяжение Земли в миллиарды раз сильнее.
4. Ответ: ≈ 2,4·10⁻⁷ Н; примерно в 2,5 миллиарда раз меньше силы тяжести.

В заданиях ГЭЦ обычно спрашивают не число, а отношение: во сколько раз изменилась масса или расстояние? В таких задачах достаточно читать формулу «в разах»: F прямо пропорциональна каждой из масс и обратно пропорциональна r².

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 01.06.2025

Сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками массами m₁ и m₂ равна F. Чему равна сила гравитационного притяжения между точками массами m₁ и m₃ (m₃ = 2m₂, расстояния между делениями одинаковы)?

Рисунок меняется вместе с шагами.A) FB) F/2C) F/4D) 2FE) 3F

1. По рисунку: между m₁ и m₂ 2 деления, обозначим это расстояние r. Между m₁ и m₃ 4 деления, то есть 2r.Почему так?

   Деления одинаковы, поэтому расстояния можно сравнивать по числу делений.

2. Масса увеличивается в 2 раза (m₃ = 2m₂) → сила увеличивается в 2 раза; расстояние увеличивается в 2 раза → сила уменьшается в 2² = 4 раза.
3. F₂ = G·m₁·2m₂/(2r)² = (2/4)·G·m₁m₂/r² = F/2.Почему так?

   В первом равенстве цепочки в пояснении ГЭЦ в знаменателе записано r²; правильно (2r)² — в цитате эта часть опущена.

4. Ответ: F/2 (вариант B).

Это же задание было и на экзамене 01.06.2025, IV группа специальностей (A79).

Официальное пояснение ГЭЦ (01.06.2025)

Дано, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками массами m₁ и m₂G m₁ · m₂/r² = F. Так как расстояние между точками массами m₁и m₃ в 2 раза больше расстояния между телами массами m₁ и m₂,сила гравитационного притяжения между нимиF₂= … G m₁ · 2m₂/(2r)² = 1/2 G m₁ · m₂/r² = F/2.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Массу каждого из двух тел увеличили в 2 раза, а расстояние между ними — в 3 раза. Во сколько раз уменьшилась сила тяготения?

Массы: × 2 · 2 = × 4; расстояние: : 3² = : 9. Итог: 4/9, то есть уменьшилась в 9/4 раза.

Глава 2

Гравитационное поле. Сила тяжести

Земля действует на яблоко, не касаясь его. В физике говорят так: каждое тело, обладающее массой, создаёт вокруг себя гравитационное поле, и это поле действует на другое тело, попавшее в него. «Силу» поля в каждой точке измеряют отношением силы, действующей на помещённое туда тело, к его массе.

Сила тяжести и ускорение свободного падения

Силу притяжения тела к Земле называют силой тяжести: Fт = mg. Она приложена к центру тяжести тела и направлена к центру Земли. Из закона тяготения (M — масса Земли, R — её радиус):

mg = G·Mm/R²  ⇒  g = G·M/R²

g не зависит от массы тела — поэтому вблизи Земли все тела падают с одинаковым ускорением. Проверим: g = 6,67·10⁻¹¹ · 6·10²⁴ / (6,4·10⁶)² ≈ 9,8 м/с². В задачах обычно берут g = 10 м/с².

Зависимость g от высоты

На высоте h над поверхностью расстояние до центра Земли равно R + h. g₀ — значение у поверхности.

gh = G·M/(R + h)² = g₀·(R/(R + h))²

Анимация · g с ростом высотыПо мере удаления зонда от Земли оранжевая стрелка укорачивается: при h = R (2R от центра) g уменьшается в 4 раза, при h = 2R — в 9 раз. А на высоте нескольких сотен километров g уменьшается лишь примерно на 10%.История

Вернёмся к вопросу в обсерватории. Станция на высоте h = 400 км: gh/g₀ = (6400/6800)² ≈ 0,886, то есть gh ≈ 9,8 · 0,886 ≈ 8,7 м/с². Притяжение составляет около 89% от значения у поверхности — вовсе не «нет»!

Почему же космонавты плавают? Ответ — в том, что такое вес: это увидим в 4-й и 5-й главах.

Пример 2

На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения уменьшается в 4 раза? Радиус Земли 6400 км.

1. g₀/gh = ((R + h)/R)² = 4, значит (R + h)/R = 2.Почему так?

   g обратно пропорциональна квадрату расстояния: уменьшение в 4 раза — расстояние выросло в 2 раза.

2. R + h = 2R, h = R = 6400 км.
3. Ответ: 6400 км (равна радиусу Земли).

Ньютон проверил свой закон на Луне. Луна находится примерно на расстоянии 60R от центра Земли, поэтому там g = g₀/60² ≈ 9,8/3600 ≈ 2,7·10⁻³ м/с². Центростремительное ускорение Луны на орбите a = 4π²r/T² (r = 3,84·10⁸ м, T = 27,3 сут) тоже получается 2,7·10⁻³ м/с². Сила, роняющая яблоко, удерживает и Луну на орбите!

Проверь себя

Масса планеты в 8 раз, а радиус в 2 раза больше, чем у Земли. Чему равно ускорение свободного падения на её поверхности (в м/с²), если на Земле g = 10 м/с²?

g = GM/R²: 8/2² = в 2 раза больше.

Глава 3

Свободное падение и бросок вертикально вверх

История

Утром во дворе обсерватории школьник бросает маленький резиновый мяч вертикально вверх, а отец засекает время секундомером телефона. Мяч поднимается, на мгновение останавливается, потом падает и возвращается прямо в руку школьника.

Секундомер показывает 2,4 с. Школьник спрашивает: «С какой скоростью я бросил мяч и на сколько он поднялся над рукой?» Сопротивление воздуха очень мало, его не учитываем.

Мяч движется только под действием силы тяжести; зелёная стрелка — скорость мяча.Свободное падение

Движение тела только под действием силы тяжести — свободное падение. Все свободно падающие тела независимо от массы движутся с одинаковым ускорением g (Галилей; в трубке без воздуха пёрышко и монета падают вместе). Для падения из покоя:

υ = gt,   h = gt²/2,   υ² = 2gh

Анимация · свободное падение: 1 : 3 : 5Анимация замедлена в 2 раза. Скорость каждую секунду растёт на 10 м/с, пути за последовательные секунды 5, 15, 25 м — относятся как нечётные числа 1 : 3 : 5. Падение с 45 м длится 3 с.Бросок вертикально вверх

Тело, брошенное вертикально вверх, тоже свободно падает: его ускорение всегда g и направлено вниз. Направим ось y вверх (υ₀ — начальная скорость):

υy = υ₀ − gt,   y = υ₀t − gt²/2

В верхней точке υy = 0, отсюда время подъёмаtп = υ₀/g и максимальная высотаhmax = υ₀²/(2g). Время спуска равно времени подъёма, тело возвращается в точку броска с той же по модулю скоростью: время полёта 2υ₀/g.

Анимация · бросок вверх: y(t) и υ(t)υ₀ = 40 м/с: мяч 4 с поднимается, на высоте 80 м останавливается, 4 с спускается. Внимание: в верхней точке скорость равна нулю, но ускорение не равно нулю — оранжевая стрелка не исчезает никогда. График υy(t) пересекает ось t в момент окончания подъёма. Это модель заданий ГЭЦ ниже.Пример 3

Задача из истории: мяч вернулся в руку через 2,4 с после броска. Найдите начальную скорость и высоту подъёма над рукой (g = 10 м/с²).

1. Время подъёма и спуска одинаково: tп = 2,4/2 = 1,2 с.Почему так?

   Движение симметрично: спуск — свободное падение из покоя с верхней точки.

2. υ₀ = g·tп = 10 · 1,2 = 12 м/с.
3. hmax = υ₀²/(2g) = 144/20 = 7,2 м (проверка: gtп²/2 = 10 · 1,44/2 = 7,2 м).
4. Ответ: 12 м/с; 7,2 м.

История

Школьник удивлён: полёт всего 2,4 секунды — а мяч поднялся на высоту крыши двухэтажного дома (7,2 м)! Отец добавляет: «Если бросить вдвое быстрее, мяч поднимется в 4 раза выше, ведь высота пропорциональна квадрату скорости».

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 07.06.2026

Дан график зависимости проекции скорости от времени для тела, брошенного вертикально вверх с поверхности Земли. Вычислите время подъёма тела на максимальную высоту в секундах (сопротивление воздуха не учитывается, g = 10 м/с²).

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. По графику: в момент t = 6 сυy = −20 м/с. Подставляем в уравнение скорости: −20 = υ₀ − 10 · 6, откуда υ₀ = 40 м/с.Почему так?

   Знак минус показывает, что тело уже движется вниз (ось y направлена вверх).

2. Время подъёма: tп = υ₀/g = 40/10 = 4 с — момент, когда график пересекает ось t.Почему так?

   Второй способ: чтобы из покоя разогнаться до −20 м/с, нужно 20/10 = 2 с, значит 6 − 2 = 4 с.

3. Ответ: 4.

Официальное пояснение ГЭЦ (07.06.2026)

I способ. Уравнение движения тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью υ₀, записывается в виде υ_y = υ₀ − gt. Подставляя значения величин с графика,−20 = υ₀ − 10·6υ₀ = 40 м/сполучаем. Тогда время подъёма на максимальную высотуt_п = υ₀/g = 40/10 = 4 с.II способ. Брошенное вертикально вверх вдоль оси OY тело за некоторое время поднимается на максимальную высоту (t_п), на мгновение останавливается и начинает свободно падать против направления оси OY. Тогда из формулы υ = gt_с время падения t_с = 20/10 = 2 с. Значит, время подъёма на максимальную высоту тела, находившегося в движении 6 с после броска вертикально вверх, t_п = 6 − 2 = 4 с.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Скорость может появиться и иначе — например, при вращении по окружности. В момент обрыва нити тело сохраняет скорость: если она направлена вертикально вверх, тело движется как брошенное вертикально вверх.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 13.07.2025

Тело, привязанное к нити, равномерно вращают по окружности в вертикальной плоскости и в точке A нить обрывают. Тело поднимается на максимальную высоту за некоторое время. Как изменится время подъёма на максимальную высоту, если частоту обращения тела увеличить в 2 раза (сопротивление воздуха не учитывается)? Обоснуйте ответ, записав соответствующие формулы.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. При движении по окружности линейная скорость υ = 2πnR (n — частота обращения). В точке A скорость направлена по касательной к окружности, то есть вертикально вверх.Почему так?

   После обрыва нити на тело действует только сила тяжести.

2. Время подъёма: t = υ/g = 2πnR/g — прямо пропорционально частоте.
3. t₂/t₁ = n₂/n₁ = 2: время увеличивается в 2 раза.Почему так?

   Внимание: в последнем предложении пояснения ГЭЦ написано «высота увеличится в 2 раза» — это ошибка, и она убрана из цитаты. Высота h = υ²/(2g) ~ n², то есть увеличится в 4 раза; в 2 раза увеличивается время подъёма.

4. Ответ: время подъёма увеличится в 2 раза.

Официальное пояснение ГЭЦ (13.07.2025)

Линейная скорость тела, равномерно движущегося по окружности,выражается формулой υ = 2πnR. Если нить оборвать в момент, когда тело находится в точке A,вектор скорости направлен вертикальновверх. Время подъёма на максимальную высоту тела, брошенного вертикально вверх,выражается формулойt = υ₀/g = 2πnR/g. Так как времяподъёма на максимальную высоту прямо пропорционально частоте обращения,t₂/t₁ = n₂/n₁ = 2n₁/n₁ = 2 . …Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Тело брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Чему равна максимальная высота подъёма в метрах (g = 10 м/с²)?

h = υ₀²/(2g) = 400/20.

Глава 4

Вес. Невесомость и перегрузка

История

Вечером семья возвращается домой на автомобиле. По дороге — выпуклый мост через реку с радиусом кривизны R = 45 м. Отец въезжает на мост со скоростью 54 км/ч (15 м/с).

На вершине моста школьник массой 50 кг на мгновение чувствует, что «стал легче» — будто сиденье давит на него слабее. Вопрос: каков вес школьника на вершине моста и при какой скорости автомобиля он оказался бы полностью «невесомым»?

Автомобиль проезжает мост с постоянной скоростью 15 м/с; на вершине его ускорение направлено вниз — к центру окружности.Вес

Сила, с которой тело вследствие притяжения к Земле действует на опору или подвес, — вес (P). Сила тяжести приложена к телу, а вес — к опоре (подвесу): это разные силы. Если тело и опора покоятся или движутся равномерно и прямолинейно, P = mg.

Сила тяжести (красная) приложена к телу, вес (фиолетовый) — к опоре или подвесу.Вес при движении с ускорением

Если опора вместе с телом движется вертикально с ускорением a, то по II закону Ньютона (N — сила реакции опоры, P = N): при ускорении вверх P = m(g + a), при ускорении вниз P = m(g − a). Направление скорости роли не играет — только направление ускорения!

P = m(g + a)  ↑    P = m(g − a)  ↓

Состояние P > mg называют перегрузкой; её мера k = P/(mg). При ускорении вниз a = g получаем P = 0 — невесомость: тело вообще не действует на опору. Любое свободно падающее тело находится в невесомости.

Анимация · весы в лифтеЧеловек массой 60 кг: когда лифт разгоняется вверх или тормозит при спуске (ускорение вверх), весы показывают 72 кг, в обратных случаях — 48 кг; при равномерном движении — 60 кг, как в покое.

Ускорение есть и на кривой дороге. На вершине выпуклого моста центростремительное ускорение автомобиля a = υ²/R направлено вниз — к центру окружности, поэтому P = m(g − υ²/R). На вогнутом участке (в яме) ускорение направлено вверх и P = m(g + υ²/R) — перегрузка.

Пример 4

Задача из истории: m = 50 кг, υ = 15 м/с, R = 45 м. Найдите вес школьника на вершине моста. При какой скорости вес стал бы равен нулю (g = 10 м/с²)?

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Центростремительное ускорение: a = υ²/R = 225/45 = 5 м/с² — вниз.Почему так?

   На вершине центр окружности внизу, школьник вместе с автомобилем движется по дуге окружности.

2. P = m(g − a) = 50 · (10 − 5) = 250 Н — в 2 раза меньше, чем в покое (500 Н).
3. Для P = 0: υ²/R = g, υ = √(gR) = √450 ≈ 21,2 м/с ≈ 76 км/ч.Почему так?

   При такой скорости дорога уже не «держит» автомобиль: при большей скорости он оторвался бы от вершины моста.

4. Ответ: 250 Н (в 2 раза меньше); ≈ 21 м/с (≈ 76 км/ч).

История

Ощущение школьника было верным: на вершине моста его вес уменьшился в 2 раза. Отец улыбается: «Поэтому на таких мостах снижают скорость — при 76 км/ч колёса не давили бы на дорогу и руль бы не слушался». Запомни формулу υ = √(gR): в 5-й главе она сработает для «моста» радиусом с Землю — для спутников.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 07.06.2026

Автомобиль массой 1,5 т равномерно движется со скоростью 10 м/с по выпуклому мосту с радиусом кривизны 20 м. С какой силой автомобиль действует на мост в самой его середине (g = 10 Н/кг)?

A) 30 кНB) 10 кНC) 12,5 кНD) 15 кНE) 7,5 кН

1. В середине моста центростремительное ускорение: a = υ²/r = 10²/20 = 5 м/с², направлено вниз.Почему так?

   Хотя автомобиль движется равномерно, направление скорости меняется — ускорение есть.

2. Сила действия автомобиля на мост — его вес: P = m(g − a) = 1500 · (10 − 5) = 7500 Н = 7,5 кН.
3. Ответ: 7,5 кН (вариант E).

Это же задание было и на экзамене 07.06.2026, IV группа специальностей (A82).

Официальное пояснение ГЭЦ (07.06.2026)

При равномерном движении автомобиля по выпуклому мосту возникает ускорение, направленное к центру окружности, и сила, действующая на автомобиль,F = m(g − a) = m(g − v²/r). ТогдаF = 1500·(10 − 100/20) = 1500·5 = 7500Н = 7,5кН.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Лифт разгоняется вниз с ускорением 2 м/с². Чему равен вес человека массой 60 кг в лифте (в ньютонах, g = 10 м/с²)?

Ускорение вниз: P = m(g − a).

Глава 5

Первая космическая скорость. Искусственные спутники

Ньютон предложил мысленный опыт: с вершины очень высокой горы пушка стреляет горизонтально. Чем больше скорость, тем дальше падает снаряд. Земля — шар, поэтому при некоторой скорости, пока снаряд падает, поверхность Земли «уходит» из-под него — снаряд никогда не долетает до Земли, а обращается вокруг неё. Спутник — это и есть тело, которое всё время падает, но не долетает до Земли.

Первая космическая скорость

На круговой орбите единственное ускорение спутника — ускорение тяготения, и оно обеспечивает центростремительное ускорение: υ²/(R + h) = GM/(R + h)². Отсюда скорость на круговой орбите на высоте h и у поверхности Земли (h ≪ R) — первая космическая скорость:

υ = √(GM/(R + h)),   υ₁ = √(GM/R) = √(gR) ≈ 7,9 км/с

υ₁ = √(9,8 · 6,4·10⁶) ≈ 7,9·10³ м/с. Сравни с формулой для моста: υ = √(gR) — Земля сама является «выпуклым мостом» радиусом 6400 км! При скорости 11,2 км/с (вторая космическая) тело полностью покидает поле тяготения Земли.

Анимация · станция на орбите: невесомостьОрбита и Земля нарисованы в масштабе — 400 км очень мало рядом с радиусом Земли. И станция, и космонавт с яблоком внутри «падают» к Земле с одинаковым ускорением g, поэтому не давят друг на друга: вес космонавта равен нулю. Период 93 мин сжат до 10 с.Пример 5

Космическая станция обращается по круговой орбите на высоте 400 км над поверхностью Земли. Найдите её скорость и период обращения (R = 6400 км, g₀ = 9,8 м/с²).

1. GM = g₀R², поэтому υ = √(g₀R²/(R + h)) = √(9,8 · (6,4·10⁶)² / 6,8·10⁶) ≈ 7,7·10³ м/с.Почему так?

   Знать G и M по отдельности не нужно: у поверхности g₀ = GM/R².

2. Период: T = 2π(R + h)/υ = 2 · 3,14 · 6,8·10⁶ / 7,7·10³ ≈ 5,6·10³ с ≈ 93 мин.
3. Ускорение на орбите: a = υ²/(R + h) ≈ 8,7 м/с² — то самое g, найденное во 2-й главе.
4. Ответ: ≈ 7,7 км/с; ≈ 93 мин (около 15,5 оборота в сутки).

История

Фраза, услышанная в обсерватории, теперь понятна: космонавты плавают не потому, что нет притяжения, а потому, что вместе со станцией «падают» вокруг Земли со скоростью 7,7 км/с. На станции g ≈ 8,7 м/с², но вес равен нулю — как было бы в свободно падающем лифте.

Теперь попробуй сам: меняй скорость снаряда пушки Ньютона и смотри, как он падает, выходит на круговую и эллиптическую орбиты и, наконец, улетает от Земли.

Лаборатория · пушка НьютонаАнимация · горизонтальный выстрел и орбитагоризонтальная скорость выстрела υ₀6.5 км/сВоздуха нет; «гора» высотой 400 км (на рисунке показана условно). Начни с 5 км/с и постепенно увеличивай скорость: снаряд падает всё дальше; при 7,7 км/с получается круговая орбита. Масштаб меняется автоматически — на больших орбитах Земля выглядит маленькой.Проверь себя

Радиус планеты 1600 км, ускорение свободного падения на её поверхности 1,6 м/с². Найдите первую космическую скорость для этой планеты в км/с.

υ₁ = √(gR) = √(1,6 · 1,6·10⁶) м/с.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

Эти задания взяты из экзаменов ГЭЦ. Сначала реши сам, затем открой «Ответ и пояснение ГЭЦ».

ГЭЦ · 13.07.2025

По графику зависимости модуля скорости от времени для тела, брошенного вертикально вверх с поверхности Земли, вычислите максимальную высоту его подъёма (сопротивление воздуха не учитывается, g = 10 м/с²).

A) 20 мB) 100 мC) 60 мD) 50 мE) 80 мОтвет и пояснение ГЭЦ

Ответ: 80 м (вариант E).

По графику определяется, что время подъёма тела на максимальнуювысоту равно 4 секундам. Из формулы зависимости максимальнойвысоты подъёма от времени подъёмаh_max = gt_п²/2 = (10 м/с² · 16 с²)/2 = 80 м.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, IV группа специальностей (PDF)

ГЭЦ · 07.06.2026

Дан график зависимости координаты от времени для тела, брошенного вертикально вверх с поверхности Земли. Вычислите время подъёма этого тела на максимальную высоту (g = 10 м/с², сопротивление воздуха не учитывается).

A) 3 сB) 3,5 сC) 2 сD) 2,5 сE) 4 сОтвет и пояснение ГЭЦ

Ответ: 3 с (вариант A).

По графику, описывающему движение тела, брошенного вертикально вверх с поверхности Земли, за 1 секунду тело совершило перемещение 25 м, … высоту подъёма телапо формуле h = υ₀t − gt²/2 можно вычислить начальную скорость телаυ₀·1 − 10·1²/2 = 25υ₀ − 5 = 25υ₀ = 30 м/сТогда время подъёма тела на максимальную высотуt_п = υ₀/g = 30/10 = 3 сИсточник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, IV группа специальностей (PDF)

ГЭЦ · 12.07.2026

Установите соответствие.У тела, брошенного вертикально вверх с поверхности Земли, до достижения максимальной высоты (силу тяжести, действующую на тело, считать постоянной, сопротивление воздуха не учитывается):1. Увеличивается2. Уменьшается3. Не изменяетсяa. модуль скоростиb. модуль ускоренияc. потенциальная энергия относительно поверхности Землиd. полная механическая энергияe. кинетическая энергия

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ГЭЦ

Ответ: 1 – c; 2 – a, e; 3 – b, d.

Тело, брошенное вертикально вверх с поверхности Земли, движется только под действием силы тяжести. При движении вверх сила тяжести, действующая на тело, направлена против движения, поэтому тело будет двигаться вверх замедленно. Поэтому модуль скорости и кинетическая энергия тела уменьшаются. Так как при движении вверх высота над поверхностью Земли растёт, потенциальная энергия тела относительно поверхности Земли увеличивается. Так как сила тяжести, действующая на тело, считается постоянной, модуль ускорения свободного падения не изменится. Так как сопротивление воздуха не учитывается, полная механическая энергия останется постоянной.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Это же задание было и на экзамене 12.07.2026, IV группа специальностей (A87).

Итоги

Запомни

• Закон всемирного тяготения: F = G·m₁m₂/r², G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг²; при увеличении расстояния в n раз сила уменьшается в n² раз.
• Сила тяжести mg; g = GM/R² не зависит от массы тела; на высоте gh = g₀(R/(R + h))².
• Свободное падение: υ = gt, h = gt²/2; пути за последовательные секунды 1 : 3 : 5 …
• Бросок вверх: υy = υ₀ − gt, tп = υ₀/g, hmax = υ₀²/(2g); в верхней точке υ = 0, но a = g.
• Вес приложен к опоре (подвесу), сила тяжести — к телу. В покое P = mg.
• Ускорение вверх: P = m(g + a) (перегрузка); вниз: P = m(g − a); при a = g невесомость.
• Выпуклый мост: P = m(g − υ²/R); вогнутая дорога: P = m(g + υ²/R).
• Орбитальная скорость υ = √(GM/(R + h)); первая космическая скорость υ₁ = √(gR) ≈ 7,9 км/с.

Типичные ошибки

В космосе нет притяжения, поэтому космонавты плавают

На высоте 400 км g ≈ 8,7 м/с². Космонавты свободно падают вместе со станцией, поэтому их вес равен нулю.

Вес и сила тяжести — одна и та же сила

Сила тяжести приложена к телу, вес — к опоре. Они равны по величине только в покое и при равномерном движении; в лифте и на мосту — разные.

Тяжёлое тело падает быстрее лёгкого

Без воздуха все тела падают с одинаковым ускорением g: g = GM/R² не зависит от массы тела.

В верхней точке ускорение тела равно нулю

Равна нулю скорость. Ускорение весь полёт равно g и направлено вниз, иначе тело «зависло» бы наверху.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Расстояние между двумя телами увеличили в 2 раза. Сила тяготения:

F ~ 1/r²: 2² = 4.

2 · Уровень 1

В каком случае тело находится в невесомости?

Ускорение свободно падающего тела g, P = m(g − g) = 0.

3 · Уровень 2

Мяч брошен вертикально вверх со скоростью 30 м/с. Максимальная высота подъёма (g = 10 м/с²):

h = υ₀²/(2g) = 900/20 = 45.

4 · Уровень 2

Поднимающийся лифт тормозит с ускорением 3 м/с². Вес человека массой 70 кг в нём (g = 10 м/с²):

Торможение при подъёме — ускорение вниз: P = 70 · (10 − 3) = 490 Н.

5 · Уровень ГЭЦ

На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения уменьшается в 9 раз (R — радиус Земли)?

(R + h)/R = 3, h = 2R.

6 · Уровень ГЭЦ

Плотность планеты такая же, как у Земли, а радиус в 2 раза больше. Её первая космическая скорость по сравнению с земной:

M ~ ρR³, g = GM/R² ~ R → g больше в 2 раза; υ₁ = √(gR) → √(2 · 2) = 2.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ГЭЦ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 34; B-47, C-42, D-46
2. 01.06.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 79; B-81, C-67, D-69
3. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 58; B-58, C-58, D-58
4. 13.07.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 74; B-74, C-78, D-62
5. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 59; B-59, C-59, D-59; вариант A, 33; B-49, C-43, D-37
6. 07.06.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 66; B-82, C-81, D-63; вариант A, 82; B-75, C-68, D-71
7. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 57; B-57, C-57, D-57
8. 12.07.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 87; B-87, C-87, D-87

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ГЭЦ. Задания и пояснения ГЭЦ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.