Электромагнитные колебания и волны

Электромагнитные волны · Тема 22 / 27

Электромагнитные колебания и волны

Этот урок пройдём вместе с учеником, который проводит лето у дедушки: он настроит старый приёмник на станцию, проследит за сигналом далёкой телебашни и узнает в аэропорту, как радар «видит» самолёт. Пройдём путь от колебательного контура до электромагнитных волн и радиосвязи, а затем решим задания ГЭЦ.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ГЭЦ: 4материал 11 класса

После урока ты сможешь

• объяснять превращения энергии в колебательном контуре и вести расчёты по W = CUm²/2 = LIm²/2;
• находить период, частоту, L и C по формуле Томсона T = 2π√(LC);
• знать свойства электромагнитной волны и вычислять по λ = c/ν;
• объяснять шкалу электромагнитных волн и принципы радиосвязи и радиолокации.

Перед началом вспомни

• Энергия конденсатора CU²/2; энергия катушки LI²/2 (предыдущий урок).
• Самоиндукция и правило Ленца.
• Пружинный маятник: T = 2π√(m/k); волна: υ = λν.

Содержание

1. ВведениеСитуация: старый дедушкин приёмникистория и предположение
2. Глава 1Колебательный контур: превращения энергииq, i, Wэл ⇄ Wмаг · ГЭЦ 2025, 2026
3. Глава 2Период колебаний: формула ТомсонаT = 2π√(LC), резонанс · лаборатория
4. Глава 3Электромагнитные волныE ⊥ B ⊥ c, λ = c/ν · ГЭЦ 01.06.2025
5. Глава 4Шкала электромагнитных волнот радиоволн до гамма-лучей
6. Глава 5Радиосвязь и радиолокациямодуляция, детектор, s = ct/2 · ГЭЦ 12.07.2026
7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: старый дедушкин приёмник

История

Летом ученик 11 класса гостит у дедушки в деревне. По вечерам дедушка включает старый деревянный радиоприёмник на комоде. Ученик крутит ручку: красная стрелка бежит по шкале, и сквозь шорох слышна то одна, то другая радиостанция.

Дедушка объясняет: ручка поворачивает пластины конденсатора внутри приёмника, рядом с ним стоит катушка. Ученик думает: что меняется при повороте пластин, что приёмник «ловит» другую станцию? Индуктивность катушки 0,25 мГн. Какой должна быть ёмкость конденсатора, чтобы услышать станцию с частотой 1 МГц?

Ручка вращается, стрелка движется; когда она попадает на станцию, появляется звук.Сначала предположи

Ученик поворачивает ручку так, что ёмкость конденсатора увеличивается в 4 раза. Как ты думаешь, как изменится частота, которую «ловит» приёмник? Проверим во 2-й главе.

Глава 1

Колебательный контур: превращения энергии

«Сердце» приёмника — простая цепь из конденсатора и катушки. Зарядим конденсатор и подключим к катушке. Конденсатор начинает разряжаться, но ток сразу не становится большим: в катушке возникает ЭДС самоиндукции и замедляет рост тока. Когда конденсатор полностью разрядится, ток максимален. Затем ток не обрывается — самоиндукция поддерживает его, и конденсатор перезаряжается с обратной полярностью. Процесс повторяется.

Определение

Замкнутую цепь из конденсатора и катушки называют колебательным контуром. Периодические изменения заряда конденсатора, напряжения, силы тока, электрического и магнитного полей в контуре называют электромагнитными колебаниями. Колебания, происходящие без внешнего воздействия, за счёт собственной энергии контура, — свободные.

Анимация · конденсатор разряжается и перезаряжаетсяАнимация замедлена в 1000 раз: 1 с на экране — это 1 мс; период T = 6,28 мс. Когда конденсатор заряжен (U = ±20 В), ток равен нулю, вся энергия в электрическом поле; когда конденсатор разряжен, ток наибольший (0,2 А), вся энергия в магнитном поле.

При колебаниях энергия переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и обратно. Если сопротивления нет, энергия не теряется:

Сохранение энергии в контуре

В идеальном контуре в любой момент сумма энергий электрического и магнитного полей постоянна.

W = Cu²/2 + Li²/2 = CUm²/2 = qm²/(2C) = LIm²/2

Запомни: когда заряд (и напряжение) максимален, ток равен нулю; когда ток максимален, заряд равен нулю. Wэл = q²/(2C), Wмаг = Li²/2 — каждая достигает максимума дважды за период.

Пример 1

В контуре из анимации C = 10 мкФ, L = 0,1 Гн, максимальное напряжение на конденсаторе 20 В. Найдите полную энергию контура и максимальную силу тока.

1. W = CUm²/2 = 10·10⁻⁶ · 20² / 2 = 2·10⁻³ Дж = 2 мДж.
2. Когда конденсатор разряжен, вся энергия в катушке: LIm²/2 = W.Почему так?

   Сохранение энергии: максимальная электрическая энергия = максимальной магнитной.

3. Im = √(2W/L) = √(2 · 2·10⁻³ / 0,1) = √0,04 = 0,2 А.
4. Ответ: W = 2 мДж; Im = 0,2 А.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 13.07.2025

Когда энергия магнитного поля катушки в колебательном контуре максимальна, какие физические величины максимальны по модулю?1. Сила тока в катушке2. Заряд конденсатора3. Магнитный поток в катушке4. Напряжение на конденсаторе5. Энергия электрического поля конденсатора

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Если Wмаг = LI²/2 максимальна, то I по модулю максимален (1 — да).Почему так?

   L постоянна; энергия меняется только вместе с квадратом тока.

2. Магнитный поток катушки Φ = LI — максимален вместе с током (3 — да).
3. В этот момент вся энергия в магнитном поле, значит Wэл = 0: заряд, напряжение и энергия электрического поля равны нулю (2, 4, 5 — нет).Почему так?

   W = Wэл + Wмаг постоянна; когда одна максимальна, другая равна нулю.

4. Ответ: 1, 3.

Это же задание было и на экзамене 13.07.2025, IV группа специальностей (A83).

Официальное пояснение ГЭЦ (13.07.2025)

Когда энергия магнитного поля катушки в колебательном контуремаксимальна, сила тока в катушке имагнитный поток по модулю максимальны.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Связь между энергиями можно задать и графиком. Так как Wэл + Wмаг = W, то Wмаг = W − Wэл — график зависимости Wмаг(Wэл) — прямая с отрицательным наклоном: она пересекает ось Wмаг в точке W и ось Wэл тоже в точке W.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 07.06.2026

Дан график зависимости энергии магнитного поля в колебательном контуре от энергии электрического поля. Если в момент, соответствующий точке A, мгновенное значение силы тока в катушке в 2 раза меньше её максимального значения, вычислите энергию электрического поля в этом состоянии (потери энергии не учитывать, ответ выразите в мДж).

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. График пересекает ось Wмаг в 100 мДж: в этот момент WE = 0, значит, полная энергия W = 100 мДж.Почему так?

   Потерь энергии нет: W = Wмаг + WE всегда одинакова.

2. В момент A I = Im/2: Wm = L(Im/2)²/2 = (1/4)·LIm²/2 = W/4 = 25 мДж.Почему так?

   Энергия пропорциональна квадрату тока: ток в 2 раза меньше — энергия в 4 раза меньше.

3. WE = W − Wm = 100 − 25 = 75 мДж.
4. Ответ: 75 мДж.

Это же задание было и на экзамене 07.06.2026, IV группа специальностей (A83).

Официальное пояснение ГЭЦ (07.06.2026)

При электромагнитных колебаниях в колебательном контуре полная энергия выражается формулой W = Wₘ + Wₑ. По условию в момент, соответствующий точке A, мгновенное значение силы токаI_A = Iₘ/2, поэтому мгновенное значение энергии магнитного поля катушкиW_mA = LI_A²/2 = LIₘ²/8 = (1/4)W.Тогда W = (1/4)W + Wₑ. ОтсюдаWₑ = (3/4)W = (3/4)·100 = 75 мДжИсточник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Конденсатор ёмкостью 2 мкФ заряжен до 100 В и подключён к катушке. Найдите полную энергию контура в миллиджоулях (мДж).

W = CU²/2; 1 мДж = 10⁻³ Дж.

Глава 2

Период колебаний: формула Томсона

Колебательный контур очень похож на пружинный маятник. Заряд конденсатора соответствует растяжению пружины (q ↔ x), сила тока — скорости (i ↔ υ), индуктивность — массе (L ↔ m), а 1/C — жёсткости (1/C ↔ k). Энергия электрического поля q²/(2C) подобна потенциальной энергии пружины kx²/2, энергия магнитного поля Li²/2 — кинетической энергии mυ²/2. Так как период пружинного маятника T = 2π√(m/k), в контуре при той же замене:

Формула Томсона

Период свободных колебаний в идеальном колебательном контуре пропорционален квадратному корню из произведения индуктивности и ёмкости. Собственная частота ν = 1/T, циклическая частота ω = 1/√(LC). Заряд меняется по закону q = qmcos ωt, ток — i = −Imsin ωt, Im = ωqm.

T = 2π√(LC)

Пример 2

Найдите период и частоту колебаний контура из 1-й главы (L = 0,1 Гн, C = 10 мкФ).

1. LC = 0,1 · 10·10⁻⁶ = 10⁻⁶ с²; √(LC) = 10⁻³ с.
2. T = 2π·10⁻³ ≈ 6,28·10⁻³ с = 6,28 мс.
3. ν = 1/T ≈ 159 Гц.Почему так?

   Это звуковая частота; для радио берут L и C в тысячи и миллионы раз меньше.

4. Ответ: T ≈ 6,28 мс; ν ≈ 159 Гц.

Так и работает приёмник: на антенну попадают волны всех станций, но контур сильно «откликается» только на волну, частота которой равна его собственной частоте, — возникает резонанс. Вращая ручку, мы меняем C, а значит, и частоту контура. Проверь это в лаборатории.

Лаборатория · настраиваем приёмник на станциюАнимация · меняй L и Cиндуктивность L, мГн0.25ёмкость C, пФ100ν = 1 МГц; λ = c/ν = 300 м. Увеличь C в 4 раза (100 → 400 пФ) — ν уменьшится в 2 раза.Модель: ν = 1/(2π√(LC)). Когда стрелка попадает на станцию, наступает резонанс и сигнал усиливается. Посмотри на графике q(t), сколько колебаний укладывается в 3 мкс.История

Вернёмся к дедушкиному приёмнику. Из формулы Томсона ν = 1/(2π√(LC)) ~ 1/√C. При увеличении ёмкости в 4 раза подкоренное выражение растёт в 4 раза, период — в √4 = 2 раза, а частота уменьшается в 2 раза — стрелка уходит влево, к малым частотам.

История

Теперь ёмкость для станции 1 МГц: C = 1/(4π²ν²L) = 1/(4 · 10 · 10¹² · 2,5·10⁻⁴) = 10⁻¹⁰ Ф = 100 пФ. (Принято π² ≈ 10.) Если в лаборатории выбрать L = 0,25 мГн и C = 100 пФ, стрелка попадёт на станцию 2.

В реальном контуре есть сопротивление проводов: каждый период часть энергии превращается в теплоту, и амплитуда колебаний уменьшается — колебания затухают. Чтобы получить незатухающие колебания, контур нужно периодически подзаряжать от источника; это делает транзисторный генератор.

Проверь себя

Ёмкость конденсатора в контуре увеличили в 9 раз. Во сколько раз увеличится период колебаний?

T ~ √C.

Глава 3

Электромагнитные волны

История

На следующий день ученик возвращается в город. С балкона вдали на холме видна телевизионная башня — до неё примерно 15 км. Антенна на башне излучает сигнал FM-радиостанции частотой 100 МГц, и телефон ученика его принимает.

Ученик думает: между башней и телефоном нет проводов. Что переносит сигнал? Какова длина этой волны и за какое время сигнал доходит от башни до балкона?

От антенны во все стороны расходятся волны.

В 1864 году Дж. Максвелл теоретически показал: переменное магнитное поле создаёт вихревое электрическое поле (это ты знаешь из урока об индукции), а переменное электрическое поле, в свою очередь, создаёт магнитное. Порождающие друг друга поля отрываются от источника и распространяются в пространстве — это электромагнитная волна. В 1888 году Г. Герц получил такие волны на опыте.

В закрытом контуре поля «спрятаны» внутри конденсатора и катушки. Чтобы излучать волны, контур «открывают»: пластины раздвигают и получают прямой провод — антенну. Заряды в антенне колеблются с высокой частотой, и излучается волна.

Анимация · от антенны распространяется волнаВекторы E и B перпендикулярны друг другу и направлению распространения и колеблются в одной фазе: электромагнитная волна поперечная. За один период волна продвигается на λ.Свойства электромагнитной волны

Электромагнитная волна поперечная: E ⊥ B ⊥ c. В вакууме все электромагнитные волны распространяются с одинаковой скоростью: c = 3·10⁸ м/с. Длина волны — расстояние, которое волна проходит за один период. Волны переносят энергию, отражаются, преломляются, могут огибать препятствия; для распространения среда не нужна.

λ = cT = c/ν

История

Сигнал башни: λ = c/ν = 3·10⁸ / 10⁸ = 3 м. До балкона он доходит за t = s/c = 15 000 / 3·10⁸ = 5·10⁻⁵ с = 50 мкс — практически мгновенно. Антенна телефона принимает эту трёхметровую волну, а контур внутри настроен на 100 МГц.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 01.06.2025

Вычислите длину (м) электромагнитной волны частотой 3 МГц, распространяющейся в воздухе (c = 3·10⁸ м/с).

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. В воздухе скорость электромагнитной волны практически равна c.Почему так?

   Показатель преломления воздуха очень близок к 1.

2. Переведи частоту в герцы: 3 МГц = 3·10⁶ Гц.
3. λ = c/ν = 3·10⁸ / 3·10⁶ = 100 м.
4. Ответ: 100 м.

Это же задание было и на экзамене 01.06.2025, IV группа специальностей (A85).

Официальное пояснение ГЭЦ (01.06.2025)

Длину электромагнитной волны можно вычислить по формуле λ = c/ν.λ = c/ν = 3·10⁸/(3·10⁶) = 100 мИсточник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Длина электромагнитной волны в воздухе 2 м. Найдите её частоту в мегагерцах (МГц).

ν = c/λ; 1 МГц = 10⁶ Гц.

Глава 4

Шкала электромагнитных волн

Радиоволны, тепловое излучение, видимый свет, рентгеновские лучи — всё это электромагнитные волны одной природы, они различаются только длиной волны (и частотой). Если расположить их по длине волны, получится шкала электромагнитных волн. Границы диапазонов условны, соседние диапазоны частично перекрываются.

Анимация · от радиоволн до гамма-лучейОсь логарифмическая: каждое деление — изменение длины волны в 1000 раз. Видимый свет — очень узкий участок шкалы. С уменьшением длины волны растут частота и энергия кванта, усиливается проникающая способность излучения.Диапазоны (приближённо)

радиоволны: λ > 1 мм (в том числе микроволны) · инфракрасное: 1 мм – 780 нм · видимый свет: 780–380 нм (от красного к фиолетовому) · ультрафиолетовое: 380–10 нм · рентгеновское: 10 нм – 10⁻¹¹ м · гамма: λ < 10⁻¹¹ м.

Пример 3

Микроволновая печь на кухне работает на волнах частотой 2,45 ГГц. Найдите длину волны и укажите её место на шкале.

1. 2,45 ГГц = 2,45·10⁹ Гц.
2. λ = c/ν = 3·10⁸ / 2,45·10⁹ ≈ 0,122 м = 12,2 см.
3. 12,2 см > 1 мм — это коротковолновая часть диапазона радиоволн (микроволны).Почему так?

   Мобильные телефоны и Wi-Fi тоже используют этот диапазон.

4. Ответ: ≈ 12,2 см, микроволны (радиоволны).

Проверь себя

Длина волны жёлтого света 600 нм. Найдите частоту и запишите её в единицах 10¹⁴ Гц (например, 7).

ν = c/λ = 3·10⁸ / 6·10⁻⁷.

Глава 5

Радиосвязь и радиолокация

История

В выходные семья едет в аэропорт встречать родственников. Ученик видит на башне у терминала вращающуюся антенну — это радар. Он посылает короткие радиоимпульсы и принимает «эхо», отражённое от самолётов.

Диспетчер говорит, что импульс, отражённый от заходящего на посадку самолёта, вернулся на радар через 200 мкс. На каком расстоянии от радара самолёт?

Импульс идёт к самолёту и, отразившись, возвращается.

Радиосвязь — передача информации с помощью электромагнитных волн. Частота звука (20–20 000 Гц) мала, такие волны излучаются слабо. Поэтому в передатчике амплитуду высокочастотных несущих колебаний изменяют звуковым сигналом — это амплитудная модуляция. В приёмнике идёт обратный процесс — детектирование: контур выбирает станцию, диод пропускает ток в одну сторону, а конденсатор сглаживает высокочастотные пульсации, и на телефон приходит только колебание звуковой частоты.

Анимация · модуляция и детектированиеВ 1-й строке амплитуда несущих колебаний меняется звуковым сигналом. После диода остаются только положительные полуволны. Конденсатор сглаживает их: полученная кривая повторяет модулирующий звуковой сигнал.Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 12.07.2026

Дана схема детекторного радиоприёмника. Какой элемент цепи нужно подключить к участку AB?

Рисунок меняется вместе с шагами.A)B)C)D)E)

1. Антенна и контур выделяют модулированные высокочастотные колебания станции; диод их выпрямляет — ток идёт в одну сторону, но пульсирует.Почему так?

   Диод в схеме уже есть (вариант D не нужен).

2. Чтобы сгладить высокочастотные пульсации, параллельно телефону подключают конденсатор: он пропускает через себя высокочастотный ток, а на телефоне остаётся колебание звуковой частоты.
3. Значит, на участок AB нужно подключить конденсатор (B).
4. Ответ: обозначение конденсатора (вариант B).

Это же задание было и на экзамене 12.07.2026, IV группа специальностей (A63).

Официальное пояснение ГЭЦ (12.07.2026)

Согласно принципу работы детекторного радиоприёмника, чтобы сгладить пульсирующие колебания, к участку AB нужно подключить конденсатор.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Радиолокация — определение положения объектов с помощью радиоволн. Радар посылает короткий импульс, импульс доходит до объекта, отражается и возвращается. За это время импульс проходит расстояние дважды:

s = c·t/2

История

Ответ для радара аэропорта: s = c·t/2 = 3·10⁸ · 2·10⁻⁴ / 2 = 3·10⁴ м = 30 км. Самолёт находится в 30 км от радара. Вращая антенну, радар узнаёт и направление, и расстояние до всех самолётов вокруг.

Проверь себя

Импульс радара, отразившись от облака, вернулся через 0,4 мс. Найдите расстояние до облака в километрах.

s = c·t/2; 0,4 мс = 4·10⁻⁴ с.

Итоги

Запомни

• Колебательный контур — конденсатор и катушка; в нём происходят свободные электромагнитные колебания.
• Энергия: W = q²/(2C) + Li²/2 = const; когда заряд максимален, ток равен нулю, и наоборот.
• Формула Томсона: T = 2π√(LC); ν = 1/T.
• Электромагнитная волна поперечна: E ⊥ B ⊥ c; в вакууме c = 3·10⁸ м/с.
• Длина волны: λ = cT = c/ν.
• Шкала (λ убывает): радио → инфракрасное → видимое → ультрафиолетовое → рентгеновское → гамма.
• Радиосвязь: модуляция → излучение → контур (резонанс) → диод → конденсатор → телефон; радар: s = ct/2.

Типичные ошибки

Когда конденсатор полностью заряжен, ток наибольший

У полностью заряженного конденсатора ток равен нулю, вся энергия в электрическом поле. Ток максимален в момент, когда конденсатор разряжен.

T = 2π√(L/C) или с ростом ёмкости частота растёт

Формула Томсона T = 2π√(LC): при росте и L, и C период растёт, частота уменьшается.

Электромагнитные волны, как и звук, распространяются только в среде

Электромагнитная волна распространяется и без среды, в вакууме, — свет Солнца приходит к нам через пустоту.

Для радара s = c·t

t — время движения импульса туда и обратно, расстояние проходится дважды: s = c·t/2.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме:

В вакууме все электромагнитные волны распространяются со скоростью c = 3·10⁸ м/с.

2 · Уровень 1

У какого излучения наибольшая длина волны?

На шкале радиоволны находятся на длинноволновом краю.

3 · Уровень 2

Ёмкость конденсатора в контуре увеличили в 4 раза. Период колебаний:

T = 2π√(LC) ~ √C, √4 = 2.

4 · Уровень 2

Длина радиоволны частотой 50 МГц в воздухе:

λ = c/ν = 3·10⁸ / 5·10⁷ = 6 м.

5 · Уровень ГЭЦ

Полная энергия контура 40 мДж. В момент, когда заряд конденсатора равен половине максимального, энергия магнитного поля:

Wэл = q²/(2C) ~ q²: заряд в 2 раза меньше — 40/4 = 10 мДж; Wмаг = 40 − 10 = 30 мДж.

6 · Уровень ГЭЦ

Импульс радара, отразившись от самолёта, вернулся через 60 мкс. Расстояние до самолёта:

s = ct/2 = 3·10⁸ · 6·10⁻⁵ / 2 = 9000 м = 9 км.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ГЭЦ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 56; B-53, C-55, D-55
2. 01.06.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 85; B-84, C-85, D-85
3. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 55; B-55, C-53, D-55
4. 13.07.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 83; B-85, C-85, D-86
5. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 55; B-55, C-54, D-53
6. 07.06.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 83; B-85, C-84, D-86
7. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 44; B-31, C-44, D-49
8. 12.07.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 63; B-65, C-72, D-76

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ГЭЦ. Задания и пояснения ГЭЦ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.