Равномерное движение по окружности

Кинематика · Тема 2 / 27

Равномерное движение по окружности

Этот урок пройдём вместе с семьёй, проводящей день в парке: карусель, цветочные часы и представление с ведром воды. Каждое явление сначала увидим в анимации, затем рассчитаем по формулам периода, угловой и линейной скорости, центростремительного ускорения и применим в заданиях ГЭЦ.

≈ 45 минутГлав: 5Заданий ГЭЦ: 5материал 10 класса

После урока ты сможешь

• находить путь, перемещение и угол поворота (в радианах) при движении по окружности;
• вычислять период, частоту, угловую и линейную скорость и связывать их между собой;
• применять то, что скорость направлена по касательной;
• вычислять центростремительное ускорение по a = υ²/R = ω²R и читать графики a–r, φ–t.

Перед началом вспомни

• Длина окружности 2πR, π ≈ 3,14.
• Понятия пути и перемещения, скорости и ускорения (прямолинейное движение).
• Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Содержание

1. ВведениеСитуация: кто быстрее на карусели?история и предположение
2. Глава 1Путь, перемещение и угол поворота при движении по окружностицветочные часы · ГЭЦ 13.07.2025
3. Глава 2Период и частотаT = t/N, ν = 1/T
4. Глава 3Линейная и угловая скоростьυ = ωR · ГЭЦ 12.07.2026, 13.07.2025
5. Глава 4Направление скорости: по касательнойобрыв нити · ГЭЦ 01.06.2025
6. Глава 5Центростремительное ускорениеведро с водой · лаборатория · ГЭЦ 07.06.2026
7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: кто быстрее на карусели?

История

В воскресенье семья пришла в городской парк. Дети первым делом садятся на карусель. Карусель вращается равномерно и делает полный оборот каждые 8 с.

Младший брат сидит ближе к центру — в 2 м от него, а сестра — на той же радиальной линии, у края, в 4 м от центра. Брат говорит: «Мы же рядом, делаем оборот одновременно, значит, скорость у нас одинаковая».

Вопрос: во сколько раз скорость сестры больше скорости брата (или скорости действительно одинаковы)?

Цветные следы: дуги, пройденные каждым ребёнком за одно и то же время.Сначала предположи

Как ты думаешь, во сколько раз скорость сестры больше скорости брата? Ответ рассчитаем в 3-й главе.

Брат прав в одном: за одно и то же время они поворачиваются на одинаковый угол. Но пути за это время у них разные. В этом уроке мы построим величины, описывающие движение по окружности, — угол поворота, период, частоту, угловую и линейную скорость, центростремительное ускорение — на событиях одного дня в парке.

Глава 1

Путь, перемещение и угол поворота при движении по окружности

История

После карусели семья подходит к цветочным часам парка: циферблат — наклонная клумба, длина минутной стрелки 3 м. Ровно 12:00, и на конец стрелки села божья коровка.

Божья коровка полчаса не слезает со стрелки. Вопрос: какой путь она пройдёт с 12:00 до 12:30 и чему будет равен модуль её перемещения?

В анимации 1 секунда соответствует 4 минутам.

Движение по окружности очень распространено в природе и технике: стрелки часов, колёса, карусели, вращение Земли вокруг оси. Если тело за любые равные промежутки времени проходит дуги одинаковой длины, его движение называют равномерным движением по окружности.

Угол поворота и радиан

При движении тела по окружности его радиус-вектор (отрезок от центра к телу) поворачивается. Угол, на который он повернулся, называют углом поворотаφ. В радианах: φ = s/R, где s — длина дуги (пройденный путь). Полный оборот: 360° = 2π рад, 1 рад ≈ 57,3°.

Путь и перемещение

Путь — длина дуги, а перемещение — хорда, соединяющая концы дуги. За пол-оборота перемещение равно диаметру (2R), за полный оборот — нулю, хотя путь равен 2πR.

s = φR, |Δr| = 2R·sin(φ/2)

Анимация · круг на велотрекеАнимация ускорена в 4 раза. Путь растёт равномерно, а перемещение сначала растёт, за пол-оборота становится наибольшим (100 м — диаметр), затем уменьшается и к концу круга обращается в ноль.Пример 1

Бегун пробежал четверть круга по окружности радиусом 20 м. Найдите угол поворота, путь и модуль перемещения.

1. Четверть оборота: φ = 360°/4 = 90° = π/2 рад.Почему так?

   Полный оборот — 2π рад, его четверть — π/2.

2. Путь — дуга: s = φR = (π/2)·20 = 10π ≈ 31,4 м.
3. Перемещение — хорда. Угол между радиусами 90°, поэтому по теореме Пифагора: |Δr| = √(20² + 20²) = 20√2 ≈ 28,3 м.Почему так?

   Формула даёт то же: 2R·sin 45° = 40·0,707 ≈ 28,3 м.

4. Ответ: φ = 90°; s ≈ 31,4 м; |Δr| ≈ 28,3 м.

История

Вернёмся к цветочным часам. За 30 минут минутная стрелка делает пол-оборота: φ = π. Путь божьей коровки — полуокружность: s = πR = 3π ≈ 9,4 м. А перемещение — диаметр: |Δr| = 2R = 6 м, прямая от 12 к 6.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 13.07.2025

Вычислите модуль перемещения конца минутной стрелки часов длиной 2 см за 30 минут.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 1 смB) 4 смC) 2 смD) 6 смE) 3 см

1. 30 минут — половина периода минутной стрелки (60 мин): стрелка поворачивается на 180°, её конец переходит с 12 на 6.Почему так?

   Минутная стрелка делает полный оборот за 1 час.

2. Перемещение — отрезок, соединяющий начальную и конечную точки; это концы диаметра, поэтому перемещение равно диаметру.Почему так?

   Не путай с длиной дуги (2π см ≈ 6,28 см) — это путь.

3. |Δr| = 2R = 2·2 = 4 см.
4. Ответ: 4 см (вариант B).

Это же задание было и на экзамене 13.07.2025, IV группа специальностей (A78).

Официальное пояснение ГЭЦ (13.07.2025)

Так как перемещение конца минутной стрелки часов за 30 минутравно диаметру описываемой им окружности,s=2R=2·2см=4смИсточник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Тело прошло четверть оборота по окружности радиусом 5 м. Найдите модуль перемещения (м).

|Δr| = R√2 (концы двух перпендикулярных радиусов).

Глава 2

Период и частота

Равномерное движение по окружности — повторяющееся: через один и тот же промежуток времени тело возвращается в ту же точку. Эту повторяемость описывают двумя величинами.

Период и частота

ПериодT — время одного полного оборота: T = t/N, где N — число оборотов за время t. Единица — 1 с. Частотаν — число оборотов в единицу времени: ν = N/t. Единица — 1 Гц = 1 с⁻¹ (один оборот в секунду).

Связь

Период и частота — взаимно обратные величины: чем меньше период, тем чаще тело совершает обороты.

ν = 1/T, T = 1/ν

Анимация · два диска: период и частотаЛевый диск делает оборот за 2 с, правый — за 4 с. За 16 с левый совершает 8 оборотов, правый — 4: у кого период меньше, у того частота больше.Пример 2

Один сеанс на карусели длится 2 минуты, карусель делает оборот за 8 с. Сколько оборотов делают дети за сеанс? Какова частота карусели?

1. Переводим время в секунды: t = 2 мин = 120 с.
2. N = t/T = 120/8 = 15 оборотов.Почему так?

   Выражаем N из формулы T = t/N.

3. ν = 1/T = 1/8 = 0,125 Гц; проверка: ν = N/t = 15/120 = 0,125 Гц.
4. Ответ: 15 оборотов; 0,125 Гц.

Частоту часто задают в «об/с» или «об/мин». Например, 3000 об/мин двигателя автомобиля — это 3000 : 60 = 50 Гц, а период равен 1/50 = 0,02 с.

Проверь себя

Лопасть вентилятора делает 1200 оборотов за 1 минуту. Найдите её частоту (Гц).

ν = N/t, t = 60 с.

Глава 3

Линейная и угловая скорость

Брат и сестра на карусели за одно время поворачиваются на один угол, но сестра проходит более длинную дугу. Значит, вращение описывают две разные «скорости»: как быстро меняется угол поворота и как быстро растёт путь по дуге.

Угловая и линейная скорость

Угловая скорость — отношение угла поворота ко времени, за которое он совершён: ω = φ/t. Единица — 1 рад/с. Линейная скорость — отношение пути по дуге ко времени: υ = s/t. За один оборот φ = 2π, s = 2πR, t = T.

Связь линейной и угловой скорости

За один оборот: ω = 2π/T = 2πν, υ = 2πR/T = 2πRν. Сравнивая, получаем: линейная скорость равна произведению угловой скорости на радиус. У всех точек твёрдого тела (диска, карусели) ω, T, ν одинаковы, а υ прямо пропорциональна радиусу.

υ = ωR

Анимация · карусель сверхуОба ребёнка поворачиваются на один и тот же угол, но за одно время дуга 2-го вдвое длиннее. Стрелки скорости направлены по касательной, у 2-го стрелка вдвое длиннее.Пример 3

Задача из истории: карусель делает оборот за 8 с; брат в 2 м от центра, сестра — в 4 м. Найдите угловую скорость и линейную скорость каждого.

1. Угловая скорость у обоих одинакова: ω = 2π/T = 2π/8 = π/4 ≈ 0,785 рад/с.Почему так?

   Карусель — твёрдое тело: все её точки за одно время поворачиваются на одинаковый угол.

2. Брат: υ₁ = ωr₁ = (π/4)·2 = π/2 ≈ 1,57 м/с.
3. Сестра: υ₂ = ωr₂ = (π/4)·4 = π ≈ 3,14 м/с.
4. Отношение: υ₂ : υ₁ = r₂ : r₁ = 2.Почему так?

   При одинаковой ω линейные скорости относятся как радиусы — период для отношения даже не нужен!

5. Ответ: ω = π/4 ≈ 0,785 рад/с; υ₁ ≈ 1,57 м/с; υ₂ ≈ 3,14 м/с.

История

Значит, брат был прав наполовину: угловая скорость у них одинакова — оба делают оборот за 8 с. А линейная скорость разная: за каждый оборот сестра проходит 8π ≈ 25 м, а брат — лишь 4π ≈ 12,6 м, и её скорость в 2 раза больше. Поэтому сидеть у края карусели «страшнее».

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 12.07.2026

На диске, вращающемся вокруг оси, проходящей через центр O перпендикулярно плоскости диска, отмечены три точки. Какое соотношение между линейными скоростями этих точек верно?

Рисунок меняется вместе с шагами.A) v₁=v₂>v₃B) v₁=v₂<v₃C) v₁>v₂=v₃D) v₁=v₂=v₃E) v₁=v₃<v₂

1. Диск — твёрдое тело: все его точки вращаются с одинаковой угловой скоростью, ω₁ = ω₂ = ω₃.Почему так?

   Один оборот все они совершают за одно и то же время.

2. Точки 1 и 2 лежат на одной (штриховой) окружности: R₁ = R₂; точка 3 — на краю диска: R₃ > R₁.
3. υ = ωR: при одинаковом радиусе скорости равны, при большем радиусе скорость больше. Значит, υ₁ = υ₂ < υ₃.
4. Ответ: υ₁ = υ₂ < υ₃ (вариант B).

Это же задание было и на экзамене 12.07.2026, IV группа специальностей (A66).

Официальное пояснение ГЭЦ (12.07.2026)

Угловые скорости (частоты, периоды) точек диска одинаковы. Так как расстояния от центра диска до точек R₁= R₂< R₃, то по формуле υ = ωR υ₁ = ωR₁, υ₂ = ωR₂, υ₃ = ωR₃, отсюдаυ₁ = υ₂ < υ₃.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Если угловая скорость постоянна, угол поворота линейно зависит от времени: φ = ωt. Значит, график φ(t) — прямая из начала координат, а её наклон — угловая скорость, так же как наклон графика x(t) — скорость.

Анимация · график угла поворотаТело каждую секунду поворачивается на 3 рад (≈ 172°): за 4 с — на 12 рад, то есть почти на 1,9 оборота. Это модель задания ГЭЦ ниже.Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 13.07.2025

Тело массой 4 кг движется по окружности радиусом 2 м. По графику зависимости угла поворота радиус-вектора от времени вычислите кинетическую энергию этого тела.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. По графику угловая скорость — наклон: ω = φ/t = 6/2 = 3 рад/с (или 12/4 = 3).Почему так?

   Прямая выходит из начала координат, значит φ = ωt, и отношение одинаково в любой точке.

2. Линейная скорость: υ = ωR = 3·2 = 6 м/с.
3. Кинетическая энергия: Eₖ = mυ²/2 = 4·36/2 = 72 Дж.Почему так?

   При равномерном движении по окружности модуль скорости постоянен, поэтому и кинетическая энергия постоянна.

4. Ответ: 72 Дж.

Официальное пояснение ГЭЦ (13.07.2025)

Если по графику вычислить угловую скорость,ω = φ/t = 6рад/2с = 3 рад/с . Если вычислить линейную скорость,υ = ωR = 3·2 = 6 м/с . Затем, вычислив кинетическую энергию,получим Eₖ = mυ²/2 = (4кг · 36 м²/с²)/2 = 72ДжИсточник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Длина секундной стрелки часов 3 см. Найдите линейную скорость её конца в мм/с (π ≈ 3,14).

T = 60 с, R = 30 мм, υ = 2πR/T.

Глава 4

Направление скорости: по касательной

При равномерном движении по окружности модуль скорости постоянен, а направление? Если покрутить мокрый зонт, капли слетают с его края не от центра, а по касательной к окружности. Искры от точильного камня тоже летят по касательной к его краю.

Вектор скорости

Мгновенная скорость тела, движущегося по окружности, в каждый момент направлена по касательной к траектории в этой точке, то есть перпендикулярно радиусу. Если исчезнет то, что удерживает тело на окружности (нить, обод, рельс), оно улетит по касательной со скоростью, которую имело в этот момент.

Значит, при равномерном движении по окружности вектор υ→ меняется — не по модулю, а по направлению! Поэтому, хотя движение называют равномерным, оно — ускоренное. Это ускорение мы найдём в следующей главе.

Анимация · когда нить обрываетсяТело вращается по часовой стрелке; в крайней правой точке N скорость направлена вертикально вниз. Когда нить обрывается, тело движется по касательной вниз; сила тяжести тоже направлена вниз, поэтому оно падает по прямой, разгоняясь.Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 01.06.2025

Тело, привязанное к нити, равномерно вращают в вертикальной плоскости. В каком направлении будет двигаться тело, если нить оборвётся в точке N?

Рисунок меняется вместе с шагами.A) ← (влево)B) ↑ (вверх)C) ↓ (вниз)D) → (вправо)E) ↗ (вверх-вправо, наклонно)

1. Вращение — по часовой стрелке: тело движется слева вверх, затем вправо — к точке N, а оттуда вниз.Почему так?

   Стрелка на рисунке вверху окружности направлена вправо.

2. Скорость направлена по касательной, то есть перпендикулярно радиусу. В N радиус горизонтален, значит, касательная — вертикальная прямая.Почему так?

   Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

3. При движении по часовой стрелке после N тело идёт вниз: при обрыве нити оно будет двигаться вертикально вниз (↓).
4. Ответ: ↓ — вертикально вниз (вариант C).

Это же задание было и на экзамене 01.06.2025, IV группа специальностей (A72).

Официальное пояснение ГЭЦ (01.06.2025)

При равномерном вращении тела, привязанного к нити, в вертикальнойплоскости оно движется по окружности. Так как скорость телав данной точке направлена по касательнойк траектории, при обрыве нити в точке N телобудет двигаться вертикально внизИсточник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Пример 4

Радиус колеса автомобиля 0,3 м, оно делает 10 оборотов в секунду. С какой скоростью и в каком направлении относительно оси колеса вылетает комок грязи, оторвавшийся от обода?

1. Линейная скорость точки обода: υ = 2πRν = 2·3,14·0,3·10 ≈ 18,8 м/с.
2. Комок сохраняет скорость, которую имел в момент отрыва: он летит по касательной к ободу в этой точке.Почему так?

   Поэтому крыло (брызговик) и стоит над колесом и позади него — на пути вылетающих частиц.

3. Ответ: ≈ 18,8 м/с, по касательной.

Проверь себя

Радиус точильного камня 10 см, частота 50 Гц. Найдите начальную скорость искры, слетающей с края (м/с; π ≈ 3,14).

υ = 2πRν, R = 0,1 м.

Глава 5

Центростремительное ускорение

История

Под вечер на площадке парка уличный артист даёт представление: вращает в вертикальной плоскости привязанное к верёвке ведро, полное воды. Радиус вращения 0,9 м, ведро делает один оборот в секунду.

Даже когда ведро вверху переворачивается вверх дном, не проливается ни капли! Зрители удивлены. Вопрос: каковы скорость и ускорение ведра и почему вода не выливается?

Ведро вращается в реальном темпе: 1 оборот в секунду. Кнопка «Медленно» замедляет движение в 4 раза.

Если меняется направление скорости, есть ускорение: a→ = Δυ→/Δt. Возьмём на окружности две близкие точки и построим разность векторов скорости. По мере сближения точек Δυ→ направляется к центру окружности.

Анимация · Δυ направлена к центруУгол между двумя положениями уменьшается от 120° до 6°. Δυ (красная) направлена от середины дуги к центру — вертикально вниз; при слиянии положений это становится направлением от самого тела к центру, а отношение |Δυ|/Δt стремится к 8 м/с², то есть к υ²/R. Оранжевая стрелка — это отношение, то есть ускорение.Центростремительное ускорение

Ускорение тела, равномерно движущегося по окружности, в каждый момент направлено по радиусу к центру окружности и называется центростремительным. Его модуль постоянен: a = υ²/R = ω²R = ωυ = 4π²R/T².

a = υ²/R = ω²R

Какую формулу выбрать, зависит от того, что постоянно. Для точек, вращающихся с одной ω (диск, карусель), a = ω²R — ускорение прямо пропорционально радиусу. Для тел с одинаковой υ (например, автомобиль в поворотах на одной скорости) a = υ²/R — обратно пропорционально радиусу: в крутом повороте ускорение больше.

Пример 5

Задача из истории: ведро делает 1 оборот в секунду по окружности радиусом R = 0,9 м. Найдите его скорость и центростремительное ускорение, сравните ускорение с g = 10 м/с².

1. Период T = 1 с. Скорость: υ = 2πR/T = 2·3,14·0,9 ≈ 5,65 м/с.
2. Ускорение: a = υ²/R = 5,65²/0,9 ≈ 35,5 м/с².Почему так?

   Проверка: a = 4π²R/T² = 39,5·0,9 ≈ 35,5 м/с².

3. Сравнение: a/g ≈ 3,6 — ускорение ведра в 3,6 раза больше ускорения свободного падения.Почему так?

   В верхней точке вода сама могла бы «падать» вниз лишь с ускорением g, а ведро движется к центру — вниз — с большим ускорением и увлекает воду за собой.

4. Ответ: υ ≈ 5,65 м/с; a ≈ 35,5 м/с² ≈ 3,6g.

История

Вот секрет артиста: в верхней точке ведро «убегает» к центру — вниз — с ускорением 35,5 м/с², а вода при свободном падении падала бы лишь с ускорением 10 м/с². Вода не отстаёт от ведра и прижимается ко дну. Будь ускорение меньше g, вода вылилась бы. Чтобы она не выливалась, вверху нужно υ ≥ √(gR) = 3 м/с, то есть период T ≤ 2πR/3 ≈ 1,9 с.

Теперь проверь сам: меняй радиус и период и смотри, как меняется ускорение и когда оно становится меньше g.

Лаборатория · меняй радиус и периодАнимация · центростремительное ускорениерадиус R0.9 мпериод T1 сНачальные значения — ведро из истории: R = 0,9 м, T = 1 с. Увеличь период в 2 раза — ускорение уменьшится в 4 раза; увеличь радиус в 2 раза — ускорение вырастет в 2 раза.Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 07.06.2026

Дана диаграмма зависимости центростремительного ускорения тел, равномерно движущихся по окружности, от радиуса окружности. Какое соотношение между значениями угловых скоростей, соответствующих разным точкам диаграммы, верно?

Рисунок меняется вместе с шагами.A) ω₃ < ω₂ = ω₁B) ω₃ > ω₂ = ω₁C) ω₂ > ω₁ = ω₃D) ω₂ = ω₃ > ω₁E) ω₃ > ω₂ > ω₁

1. При равномерном движении по окружности a = ω²r, то есть a/r = ω². Для всех точек на прямой из начала координат на диаграмме a–r отношение a/r одинаково.Почему так?

   При постоянной ω зависимость a(r) — прямая пропорциональность, её график — прямая из начала координат.

2. 1 и 3 лежат на одной прямой: ω₁ = ω₃.
3. Точка 2 — прямо над 1: r₂ = r₁, но a₂ > a₁; из a = ω²r следует ω₂ > ω₁.Почему так?

   При одинаковом радиусе большее ускорение означает более быстрое вращение.

4. Итог: ω₂ > ω₁ = ω₃.
5. Ответ: ω₂ > ω₁ = ω₃ (вариант C).

Это же задание было и на экзамене 07.06.2026, IV группа специальностей (A65).

Официальное пояснение ГЭЦ (07.06.2026)

Так как по формуле a= ω²r ускорение тел, равномерно движущихся по окружности, прямо пропорционально r, тоω = const, то есть ω₁ = ω₃. По диаграмме a₁ = ω₁²r иa₂ = ω₂²r. Так как a₂>a₁, то ω₂ > ω₁. В итогеω₂ > ω₁ = ω₃Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Тело равномерно движется по окружности радиусом 2 м со скоростью 6 м/с. Найдите центростремительное ускорение (м/с²).

a = υ²/R.

Итоги

Запомни

• Угол поворота φ = s/R (рад); 360° = 2π рад. Путь — дуга, перемещение — хорда; за пол-оборота |Δr| = 2R, за полный оборот 0.
• Период T = t/N, частота ν = N/t = 1/T (Гц).
• Угловая скорость ω = φ/t = 2π/T = 2πν; линейная скорость υ = 2πR/T = ωR.
• У всех точек твёрдого тела ω, T, ν одинаковы; линейная скорость прямо пропорциональна расстоянию до центра.
• Скорость в каждый момент направлена по касательной; при обрыве нити тело улетает по касательной.
• Центростремительное ускорение направлено к центру: a = υ²/R = ω²R = 4π²R/T².
• Наклон графика φ(t) — ω; на диаграмме a–r прямая из начала координат — одинаковая ω.

Типичные ошибки

При равномерном движении по окружности ускорения нет

Модуль скорости постоянен, а направление меняется. Ускорение есть и направлено к центру: a = υ²/R.

У всех точек вращающегося диска скорость одинакова

Одинакова угловая скорость. Линейная скорость υ = ωR — точки у края движутся быстрее.

За пол-оборота перемещение равно πR

πR — это путь (дуга). Перемещение — диаметр: 2R.

При обрыве нити тело улетает от центра по радиусу

Тело движется со скоростью, которую имело в тот момент, — по касательной, перпендикулярно радиусу.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Период вращения 0,5 с. Чему равна частота?

ν = 1/T = 1/0,5 = 2 Гц.

2 · Уровень 1

Какая величина остаётся постоянной при равномерном движении по окружности?

Направления векторов скорости и ускорения всё время меняются, а их модули постоянны.

3 · Уровень 2

Колесо радиусом 0,5 м вращается с частотой 2 Гц. Линейная скорость точки обода:

υ = 2πRν = 2π·0,5·2 = 2π ≈ 6,28 м/с.

4 · Уровень 2

Диск стал вращаться вдвое быстрее (период уменьшился в 2 раза). Центростремительное ускорение точки обода:

a = 4π²R/T²: при уменьшении T вдвое a растёт в 4 раза.

5 · Уровень ГЭЦ

Тело равномерно движется по окружности радиусом 4 м со скоростью 2 м/с. Модуль перемещения за 2π с:

Путь s = υt = 4π м = πR — пол-оборота; перемещение — диаметр: 2R = 8 м.

6 · Уровень ГЭЦ

Две точки вращающегося диска находятся на расстояниях r и 3r от центра. Во сколько раз центростремительное ускорение дальней точки больше, чем ближней?

ω одинакова, a = ω²R — прямо пропорционально радиусу: в 3 раза.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ГЭЦ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 44; B-32, C-44, D-52
2. 01.06.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 72; B-79, C-76, D-70
3. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 35; B-34, C-43, D-32; вариант A, 59; B-59, C-59, D-59
4. 13.07.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 78; B-61, C-62, D-67
5. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 45; B-46, C-38, D-48
6. 07.06.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 65; B-65, C-65, D-65
7. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 47; B-35, C-45, D-39
8. 12.07.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 66; B-67, C-62, D-61

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ГЭЦ. Задания и пояснения ГЭЦ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.