Первообразная и интеграл

Элементы математического анализа · Тема 32 / 46

Первообразная и интеграл

Этот урок пройдём через историю: в городе разбивают новый парк. Наполнение бассейна, покраска арочного моста и клумба в форме листа приведут нас к первообразной, определённому интегралу и его главному применению — вычислению площадей фигур.

≈ 50 минутГлав: 4Заданий ДИМ: 8материал 11 класса

После урока ты сможешь

• находить общий вид первообразных по таблице и правилам, определять постоянную C по дополнительному условию;
• вычислять определённый интеграл по формуле Ньютона–Лейбница;
• применять свойства интеграла (перестановка пределов, линейность);
• находить площадь криволинейной трапеции и фигуры между двумя кривыми.

Перед началом вспомни

• Таблица производных и производная сложной функции.
• Логарифм: ln 1 = 0, eln a = a.
• Графики прямой и параболы.

Содержание

1. ВведениеСитуация: сколько воды будет в бассейне?история и предположение
2. Глава 1Первообразнаяопределение · общий вид · таблица · ДИМ 24.05.2026, 01.06.2025
3. Глава 2Площадь криволинейной трапеции и формула Ньютона–Лейбницаопределённый интеграл · Ньютон–Лейбниц · ДИМ 12.07.2026
4. Глава 3Свойства интеграла и его вычислениесвойства · сложный аргумент · ДИМ 13.07.2025, 05.07.2026
5. Глава 4Площадь фигуры, ограниченной двумя линиямиточки пересечения · верхняя − нижняя · ДИМ 07.06.2026
6. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 2, с ответом и официальным пояснением
7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: сколько воды будет в бассейне?

История

В городе разбивают новый парк. Рано утром мастер начинает наполнять бассейн в центре парка: в нём уже 10 м³ воды. Включается насос, подача которого постепенно растёт: через t часов насос подаёт q(t) = t + 2 м³ воды в час.

То есть сначала 2 м³ в час, а через 6 часов — 8 м³ в час. Мастер рассчитывает на 6 часов работы. Вопрос: сколько воды будет в бассейне через 6 часов?

В бассейне 10 м³ воды, подача насоса q(t) = t + 2 м³/ч.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько воды будет в бассейне через 6 часов? Выбери ответ — посчитаем вместе в 1-й главе.

Глава 1

Первообразная

Обозначим объём воды в бассейне V(t). Подача насоса — скорость изменения объёма: V′(t) = q(t) = t + 2. Нужно вернуться от производной к самой функции. Эта операция обратна дифференцированию.

Определение

Функция F называется первообразной для функции f на промежутке, если во всех точках этого промежутка F′(x) = f(x).

Общий вид первообразных

Если F — первообразная для f, то все первообразные имеют вид F(x) + C (C — любая постоянная). Эта запись называется общим видом первообразных, или неопределённым интегралом: ∫ f(x) dx = F(x) + C.

Так как производная постоянной равна нулю, C «теряется»: например, x², x² + 5, x² − 3 — все три первообразные функции 2x. Чтобы выбрать конкретную первообразную, нужно дополнительное условие (например, начальное значение).

Таблица первообразных

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1),  ∫ dx/x = ln|x| + C∫ eˣ dx = eˣ + C,  ∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C∫ sin x dx = −cos x + C,  ∫ cos x dx = sin x + C,  ∫ dx/cos²x = tg x + CПравила: ∫ (f ± g) = ∫ f ± ∫ g,  ∫ k·f = k·∫ f,  ∫ f(kx + b) dx = F(kx + b)/k + C

Пример 1

Найдите первообразную функции f(x) = 3x² − 4x + 5, график которой проходит через точку (1; 2).

1. Общий вид: F(x) = x³ − 2x² + 5x + C.Почему так?

   Для каждого слагаемого xⁿ → xⁿ⁺¹/(n + 1): 3x² → x³, 4x → 2x², 5 → 5x. Проверка: F′ = 3x² − 4x + 5.

2. Условие: F(1) = 1 − 2 + 5 + C = 2, откуда C = −2.
3. Ответ: F(x) = x³ − 2x² + 5x − 2.

История

Для бассейна: V(t) = t²/2 + 2t + C. В начале V(0) = C = 10, значит, V(t) = t²/2 + 2t + 10. Тогда V(6) = 18 + 12 + 10 = 40 м³. Умножить начальную подачу (2 м³/ч) на 6 часов — получится 22 м³, конечную — 58 м³; оба ответа неверны, ведь подача меняется. Если забыть про 10 м³, получится 30 м³. Верный ответ: 40 м³.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 24.05.2026

Найдите общий вид первообразных функции f(x) = 12x⁵.

A) x⁶ + CB) 30x⁴ + CC) 2x⁶ + CD) x⁵ + CE) 30x⁶ + C

1. По таблице: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, здесь n = 5.Почему так?

   Увеличиваем показатель на 1 и делим на новый показатель.

2. F(x) = 12 · x⁶/6 + C = 2x⁶ + C.Почему так?

   Проверка: (2x⁶)′ = 12x⁵. Вариант 30x⁴ — производная, а не первообразная.

3. Ответ: 2x⁶ + C (вариант C).

Официальное пояснение ДИМ (24.05.2026)

Общий вид первообразных функции f(x) = 12x⁵: F(x) = 12x⁶/6 + C = 2x⁶ + C.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

Укажите общий вид первообразных F(x) линейной функции y = f(x), график которой изображён.

На рисунке прямая пересекает ось Oy в точке (0; 1), ось Ox — в точке (1; 0).

A) F(x) = x²/2 + 2x + CB) F(x) = −x² + 2x + CC) F(x) = −x²/2 − x + CD) F(x) = x² + 2x + CE) F(x) = −x²/2 + x + C

1. Прямая пересекает ось Oy в точке (0; 1): b = 1. Ось Ox — в точке (1; 0): 0 = k + 1, k = −1.Почему так?

   В f(x) = kx + b число b — ордината точки пересечения с Oy.

2. f(x) = −x + 1.
3. F(x) = −x²/2 + x + C.Почему так?

   Проверка: (−x²/2 + x)′ = −x + 1.

4. Ответ: F(x) = −x²/2 + x + C (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)

Сначала запишем уравнение линейной функции. Так как по рисунку прямая пересекает ось ординат в точке (0;1), в линейной функции f(x) = kx + b коэффициент b = 1. Так как функция f(x) = kx + 1 пересекает ось абсцисс в точке (1;0), 0 = k·1 + 1 ⇒ k = −1. Таким образом, линейная функция будет f(x) = −x + 1. Тогда общий вид первообразных этой функции будет F(x) = −x²/2 + x + C.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

F — первообразная функции f(x) = 6x², причём F(1) = 5. Найдите F(2).

F(x) = 2x³ + C; F(1) = 2 + C = 5.

Глава 2

Площадь криволинейной трапеции и формула Ньютона–Лейбница

История

Бассейн наполнен, теперь очередь арочного моста над каналом. Передняя грань моста — прямоугольник 8 м × 4 м, а под ним арка. Линия арки задана параболой: если взять начало координат в середине канала, y = 3 − x²/3 (в метрах); ширина арки 6 м, высота 3 м.

Маляр должен покрасить переднюю грань, а под аркой — пустота. Сколько квадратных метров нужно покрасить?

Грань 8 × 4 м, арка y = 3 − x²/3: какова площадь покраски?

Площадь прямоугольника 32 м², из неё нужно вычесть площадь под аркой. Фигура под аркой сверху ограничена кривой — площади таких фигур мы ещё не вычисляли.

Определение

Фигура, ограниченная сверху графиком непрерывной неотрицательной функции y = f(x), по бокам прямыми x = a и x = b, снизу осью Ox, называется криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции — определённый интеграл.

Чтобы найти площадь приближённо, делим отрезок [a; b] на n равных частей и на каждой строим прямоугольник высотой, равной значению f. Сумма площадей прямоугольников Sₙ всё точнее покрывает фигуру. Предел Sₙ при n → ∞ называется определённым интегралом функции f от a до b: ∫ₐᵇ f(x) dx.

В лаборатории заполни арку прямоугольниками: с ростом n сумма Sₙ приближается к 12.

Лаборатория · заполни арку прямоугольникамичисло прямоугольников n4Формула Ньютона–Лейбница

Если F — первообразная непрерывной на [a; b] функции f, то:

∫ₐᵇ f(x) dx = F(x)|ₐᵇ = F(b) − F(a)

Смысл формулы мы видели на бассейне: интеграл подачи от 0 до 6 — это объём воды, поступившей за это время: ∫₀⁶ (t + 2) dt = V(6) − V(0) = 30. Постоянная C первообразной сокращается в разности F(b) − F(a), поэтому её не пишут.

История

Под аркой: ∫₋₃³ (3 − x²/3) dx = (3x − x³/9)|₋₃³ = (9 − 3) − (−9 + 3) = 12 м². Маляр покрасит 32 − 12 = 20 м². Если литра краски хватает на 5 м², нужно 4 литра.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

Вычислите интеграл ∫₁³ (2x − 3)dx.

A) 1B) 3C) −2D) −3E) 2

1. Первообразная: F(x) = x² − 3x.Почему так?

   (x² − 3x)′ = 2x − 3.

2. F(3) = 9 − 9 = 0, F(1) = 1 − 3 = −2.
3. F(3) − F(1) = 0 − (−2) = 2.Почему так?

   Скобки важны: при вычитании отрицательного числа знак меняется.

4. Ответ: 2 (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)

Чтобы вычислить данный определённый интеграл, применим формулу Ньютона–Лейбница: ∫₁³ (2x − 3)dx = (x² − 3x)|₁³ = 3² − 3·3 − (1 − 3) = 2.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Вычислите интеграл ∫₀² 3x² dx.

Первообразная — x³.

Глава 3

Свойства интеграла и его вычисление

Свойства определённого интеграла

∫ₐᵇ (f ± g) dx = ∫ₐᵇ f dx ± ∫ₐᵇ g dx,  ∫ₐᵇ k·f dx = k·∫ₐᵇ f dx∫ba f dx = −∫ₐᵇ f dx (при перестановке пределов знак меняется)∫ₐᶜ f dx = ∫ₐᵇ f dx + ∫bc f dx

Если аргумент функции — линейное выражение (kx + b), первообразную делят на k: например, ∫ (2x + 1)² dx = (2x + 1)³/(3·2) + C. Причина: при дифференцировании производная внутренней функции даёт множитель k, а в первообразной его нужно компенсировать.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Вычислите интеграл ∫₀³ (2x + 1)² dx.

A) 57B) 51C) 64D) 16E) 21

1. Первообразная: F(x) = (2x + 1)³/6.Почему так?

   Берём (2x + 1)² как u²: ∫u² = u³/3, затем делим на k = 2. Проверка: ((2x + 1)³/6)′ = 3(2x + 1)²·2/6 = (2x + 1)².

2. F(3) = 7³/6 = 343/6, F(0) = 1/6.
3. 343/6 − 1/6 = 342/6 = 57.
4. Ответ: 57 (вариант A).

Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)

По формуле Ньютона–Лейбница ∫₀³ (2x + 1)² dx = 1/2 · (2x + 1)³/3 |₀³ = (2 · 3 + 1)³/6 − (2 · 0 + 1)³/6 == 343/6 − 1/6 = 57Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Пример 2

Вычислите интегралы ∫₁ᵉ dx/x и ∫₀ln 2 eˣ dx.

1. ∫₁ᵉ dx/x = ln|x| |₁ᵉ = ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1.Почему так?

   ln 1 = 0, ln e = 1.

2. ∫₀ln 2 eˣ dx = eˣ |₀ln 2 = eln 2 − e⁰ = 2 − 1 = 1.Почему так?

   eln 2 = 2 — по определению логарифма.

3. Ответ: оба интеграла равны 1.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

Вычислите разность ∫₁⁴ (x sin 4x)² dx − ∫₄¹ (x cos 4x)² dx.

A) 21B) 27C) 15D) 16E) 18

1. Меняем пределы местами: −∫₄¹ (x cos 4x)² dx = +∫₁⁴ (x cos 4x)² dx. Разность превращается в сумму.Почему так?

   Ловушка задания именно здесь: у второго интеграла пределы переставлены.

2. Объединяем интегралы с одинаковыми пределами: ∫₁⁴ x²(sin² 4x + cos² 4x) dx = ∫₁⁴ x² dx.Почему так?

   sin²α + cos²α = 1 — сложная на вид тригонометрическая часть исчезает.

3. x³/3 |₁⁴ = 64/3 − 1/3 = 63/3 = 21.
4. Ответ: 21 (вариант A).

Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)

Применим свойства определённого … и тождество sin²α + cos²α = 1: ∫₁⁴ (x sin 4x)² dx − ∫₄¹ (x cos 4x)² dx = ∫₁⁴ x² sin² 4x dx + ∫₁⁴ x² cos² 4x dx == ∫₁⁴ (x² sin² 4x + x² cos² 4x) dx = ∫₁⁴ x² (sin² 4x + cos² 4x) dx == ∫₁⁴ x² dx = x³/3 |₁⁴ = 64/3 − 1/3 = 63/3 = 21Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Вычислите интеграл ∫₀¹ (3x + 1)² dx.

F(x) = (3x + 1)³/9.

Глава 4

Площадь фигуры, ограниченной двумя линиями

История

До открытия парка остался день. Садовник разбивает на площадке клумбу в форме листа. На площадке начерчена координатная сетка с шагом 1 м; нижний край клумбы — кривая y = x²/2, верхний — y = 4 − x²/2.

На каждый квадратный метр сажают 9 кустов цветов. Какова площадь клумбы и сколько нужно кустов?

Клумба между кривыми y = x²/2 и y = 4 − x²/2.Площадь между двумя кривыми

Если на отрезке [a; b] f(x) ≥ g(x), то площадь фигуры, ограниченной линиями y = f(x), y = g(x), x = a, x = b:

S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx   (верхняя − нижняя)

Если пределы не даны, их находят по точкам пересечения кривых: решаем уравнение f(x) = g(x). Какая кривая выше, проверь по одной точке промежутка.

История

Пересечение: x²/2 = 4 − x²/2, x = ±2. Верхняя кривая — 4 − x²/2 (при x = 0: 4 − 0 = 4 > 0 = 0²/2). Площадь: ∫₋₂² (4 − x²/2 − x²/2) dx = ∫₋₂² (4 − x²) dx = (4x − x³/3)|₋₂² = 32/3 = 10⅔ м². Число кустов: 9 · 32/3 = 96.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 07.06.2026

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 8 − x².

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 20⅓B) 21⅓C) 12,5D) 16⅓E) 20,5

1. Точки пересечения: x² = 8 − x², x² = 4, x = ±2.Почему так?

   Это пределы интегрирования.

2. Верхняя кривая — y = 8 − x²: S = ∫₋₂² ((8 − x²) − x²) dx = ∫₋₂² (8 − 2x²) dx.Почему так?

   При x = 0: 8 − 0 = 8 > 0 = 0².

3. (8x − 2x³/3)|₋₂² = (16 − 16/3) − (−16 + 16/3) = 32 − 32/3 = 64/3 = 21⅓.Почему так?

   Фигура симметрична относительно оси Oy, поэтому можно считать и как S = 2∫₀² (8 − 2x²) dx.

4. Ответ: 21⅓ (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (07.06.2026)

Найдём абсциссы точек пересечения кривых y = x² и y = 8 − x²: x² = 8 − x²; 2x² = 8; x₁ = −2, x₂ = 2. Тогда S = ∫₋₂² ((8 − x²) − x²)dx = ∫₋₂² (8 − 2x²)dx = (8x − (2/3)x³)|₋₂² = (8·2 − (2/3)·2³) − (−16 − (2/3)·(−2)³) = (16 − 16/3) − (−16 + 16/3) = 32 − 32/3 = (96 − 32)/3 = 64/3 = 21⅓.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 2x (десятичной дробью, с точностью до сотых).

Пересечение: x = 0 и x = 2; выше прямая 2x.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 25.05.2025

Найдите a из равенства ∫₃ᵃ dx/x = 3ln 2.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: a = 24.

∫₃ᵃ dx/x = ln|x| |₃ᵃ = ln a − ln 3 = ln(a/3)По условию ln(a/3) = ln 2³ → a/3 = 8 → a = 24Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

ДИМ · 06.07.2025

Если площадь фигуры, ограниченной линиями y = 5ˣ, y = 25ˣ и x = a, равна log₂₅ e, найдите a.

Фигура лежит при 0 ≤ x ≤ a: при x = 0 кривые пересекаются (5⁰ = 25⁰ = 1), а при x > 0 выполняется 25ˣ > 5ˣ.

A) 0,2B) log₅ 2C) 1D) 0,5E) log₂₅ 2Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: log₅ 2 (вариант B).

Сначала построим графики данных функций и прямую x = a:Ясно, что площадь фигуры, ограниченной данными линиями,S = ∫₀ᵃ (25ˣ − 5ˣ)dx = (25ˣ/ln 25 − 5ˣ/ln 5) |₀ᵃ == (25ᵃ/ln 25 − 5ᵃ/ln 5) − (25⁰/ln 25 − 5⁰/ln 5) =(25ᵃ/(2ln 5) − 5ᵃ/ln 5) − (1/(2ln 5) − 1/ln 5) =(25ᵃ − 2·5ᵃ)/(2ln 5) − (1 − 2)/(2ln 5) = (25ᵃ − 2·5ᵃ + 1)/(2ln 5)находится так.По условию эта площадь равна log₂₅ e. Значит,(25ᵃ − 2·5ᵃ + 1)/(2ln 5) = log₂₅ e. Отсюда(25ᵃ − 2·5ᵃ + 1)/(2ln 5) = 1/ln 25(25ᵃ − 2·5ᵃ + 1)/(2ln 5) = 1/(2ln 5)25ᵃ − 2·5ᵃ + 1 = 125ᵃ − 2·5ᵃ = 05ᵃ·(5ᵃ − 2) = 05ᵃ = 2a = log₅ 2Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)

Итоги

Запомни

• F′ = f ⇔ F — первообразная; общий вид F(x) + C.
• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, ∫ dx/x = ln|x| + C, ∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C.
• Линейный аргумент: ∫ f(kx + b) dx = F(kx + b)/k + C.
• Ньютон–Лейбниц: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
• При перестановке пределов знак меняется: ∫ba f = −∫ₐᵇ f.
• Криволинейная трапеция: S = ∫ₐᵇ f(x) dx; между двумя кривыми: S = ∫ₐᵇ (верхняя − нижняя) dx, пределы — точки пересечения.

Типичные ошибки

«∫ 2x dx = x²» (без C)

В общем виде первообразных C обязательна; для конкретной функции C находят из дополнительного условия (в бассейне C = 10 м³).

«∫ (2x + 1)² dx = (2x + 1)³/3 + C»

Забыто деление на k = 2: верно (2x + 1)³/6 + C. Для проверки возьми производную.

«∫₄¹ f dx = ∫₁⁴ f dx»

При перестановке пределов интеграл меняет знак (задание 05.07.2026).

«Площадь между двумя кривыми — сумма интегралов»

Из верхней кривой вычти нижнюю, а пределы возьми по точкам пересечения.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Общий вид первообразных функции f(x) = 4x³:

x³ → x⁴/4; 4 · x⁴/4 = x⁴.

2 · Уровень 1

Значение интеграла ∫₀² (2x + 1) dx:

(x² + x)|₀² = 4 + 2 = 6.

3 · Уровень 2

Значение интеграла ∫₁e² dx/x:

ln e² − ln 1 = 2.

4 · Уровень 2

Значение интеграла ∫₀¹ (2x − 1)³ dx:

(2x − 1)⁴/8 |₀¹ = 1/8 − 1/8 = 0.

5 · Уровень ДИМ

Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 4:

∫₋₂² (4 − x²) dx = 16 − 16/3 = 32/3.

6 · Уровень ДИМ

Найдите a, если a > 0 и ∫₀ᵃ 2x dx = 9.

x²|₀ᵃ = a² = 9, a = 3.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 26; B-23, C-26, D-24
2. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 10; B-5, C-22, D-7
3. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 15; B-22, C-16, D-21
4. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 22; B-18, C-16, D-3
5. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 15; B-15, C-10, D-14
6. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 6; B-20, C-5, D-4
7. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 10; B-15, C-19, D-13
8. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 4; B-20, C-13, D-3

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.