Производная и её применение

Элементы математического анализа · Тема 31 / 46

Производная и её применение

Этот урок пройдём через историю поездки: семья едет на машине в деревню. Спидометр у светофора, фары на ночном повороте и забор у реки в деревне приведут нас к трём главным смыслам производной: мгновенная скорость, угловой коэффициент касательной и поиск наибольшего (наименьшего) значения.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 8материал 10–11 классов

После урока ты сможешь

• понимать производную как предел средней скорости;
• вычислять производные по таблице, правилам и правилу сложной функции;
• составлять уравнение касательной и находить её угловой коэффициент;
• находить промежутки монотонности, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения на отрезке.

Перед началом вспомни

• Предел и неопределённость 0/0 (предыдущий урок).
• Уравнение прямой y = kx + b: k — угловой коэффициент.
• Квадратное уравнение, теорема Виета, степени с отрицательным и дробным показателем.

Содержание

1. ВведениеСитуация: что показывает спидометр?история и предположение
2. Глава 1Мгновенная скорость и определение производнойсредняя и мгновенная скорость · секущая и касательная
3. Глава 2Таблица производных и правила вычислениятаблица · правила · сложная функция · ДИМ 12.07.2026, 24.05.2026
4. Глава 3Геометрический смысл производной: касательнаяугловой коэффициент · уравнение касательной · ДИМ 01.06.2025, 13.07.2025
5. Глава 4Возрастание, убывание и экстремумысхема знаков · критические точки · ДИМ 25.05.2025
6. Глава 5Наибольшее и наименьшее значенияалгоритм · оптимизация · ДИМ 05.07.2026
7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 2, с ответом и официальным пояснением
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: что показывает спидометр?

История

Семья в субботу утром едет на машине в деревню к бабушке. В городе, как только на светофоре загорается зелёный, автомобиль трогается. Ученик на заднем сиденье измеряет телефоном: за t секунд машина отъезжает от стоп-линии на s = t² метров. За 5 секунд она проехала 25 м.

Взглянуть на спидометр ученик не успел. Вопрос: сколько км/ч показывал спидометр именно в момент t = 5 с?

25 м от светофора за 5 секунд: что на спидометре?Сначала предположи

Как ты думаешь, что показывал спидометр в момент t = 5 с? Выбери ответ — посчитаем вместе в 1-й главе.

Глава 1

Мгновенная скорость и определение производной

Самый простой путь: 25 м : 5 с = 5 м/с = 18 км/ч. Но это средняя скорость за 5 секунд. Машина сначала ехала медленно, потом всё быстрее, поэтому в момент t = 5 с спидометр должен показывать больше. Чтобы найти мгновенную скорость, возьмём очень короткий промежуток времени h:

vср = (s(5 + h) − s(5)) / h

Чем меньше h, тем ближе средняя скорость к мгновенной. Мгновенная скорость — это предел этого отношения при h → 0. В математике такой предел называется производной.

Определение

Пусть приращение аргумента в точке x₀ равно Δx = h, а приращение функции Δf = f(x₀ + h) − f(x₀). Предел отношения Δf/Δx при h → 0 называется производной функции f в точке x₀:

f′(x₀) = limh→0 (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h

Механический смысл: производная пути по времени — мгновенная скорость, v(t) = s′(t); производная скорости — ускорение, a(t) = v′(t).

Пример 1

Найдите по определению производную функции f(x) = x².

1. Приращение функции: Δf = (x + h)² − x² = 2xh + h².
2. Отношение: Δf/h = 2x + h.Почему так?

   Так как h ≠ 0, на h можно сократить — тот же приём, что с 0/0 в пределах.

3. При h → 0: f′(x) = 2x.
4. Ответ: (x²)′ = 2x.

История

Для автомобиля s = t²: (s(5 + h) − s(5))/h = (10h + h²)/h = 10 + h. При h = 1 средняя скорость 11 м/с, при h = 0,1 — 10,1 м/с, при h = 0,01 — 10,01 м/с. Предел: s′(5) = 10 м/с, т. е. 10 · 3,6 = 36 км/ч. Спидометр показывал 36 км/ч — вдвое больше средней скорости (18 км/ч).

Геометрическая картина: прямая через точки графика t₀ и t₀ + h — секущая, её угловой коэффициент — средняя скорость. При h → 0 секущая поворачивается и превращается в касательную. Посмотри это сам в лаборатории.

Лаборатория · от секущей к касательной: h → 0t₀, с2.5h = Δt1Проверь себя

Пользуясь определением, найдите f′(3) для функции f(x) = x².

(f(3 + h) − f(3))/h = 6 + h.

Глава 2

Таблица производных и правила вычисления

Чтобы не вычислять каждый раз предел, запоминаем производные основных функций и правила.

Таблица производных

(C)′ = 0,  (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹,  (√x)′ = 1/(2√x),  (1/x)′ = −1/x²(eˣ)′ = eˣ,  (ln x)′ = 1/x,  (sin x)′ = cos x,  (cos x)′ = −sin x

Правила вычисления

(u ± v)′ = u′ ± v′,  (C·u)′ = C·u′(u·v)′ = u′v + uv′,  (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²

Пример 2

Найдите производную функции f(x) = x³ + 2√x − 5/x.

1. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно: (x³)′ = 3x², (2√x)′ = 2 · 1/(2√x) = 1/√x, (−5/x)′ = −5 · (−1/x²) = 5/x².
2. Складываем: f′(x) = 3x² + 1/√x + 5/x².Почему так?

   Производная суммы равна сумме производных, постоянный множитель выносится за знак производной.

3. Ответ: f′(x) = 3x² + 1/√x + 5/x².

Производная сложной функции

Если y = f(g(x)), то y′ = f′(g(x)) · g′(x): сначала производная внешней функции (внутреннее выражение не трогаем), затем умножаем на производную внутренней функции.

((kx + b)ⁿ)′ = n·k·(kx + b)ⁿ⁻¹

Пример 3

Найдите производную функции f(x) = (3x − 1)⁴.

1. Внешняя функция u⁴, внутренняя u = 3x − 1.Почему так?

   Раскрывать скобки не нужно — правило сложной функции короче.

2. (u⁴)′ = 4u³, u′ = 3.
3. Произведение: f′(x) = 4(3x − 1)³ · 3 = 12(3x − 1)³.
4. Ответ: f′(x) = 12(3x − 1)³.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

Если f(x) = 2√(x − 2), вычислите f′(18).

A) 1/2B) −1/4C) 1D) −1/2E) 1/4

1. Внешняя функция 2√u, внутренняя u = x − 2, u′ = 1.Почему так?

   (√u)′ = 1/(2√u) — из таблицы.

2. f′(x) = 2 · 1/(2√(x − 2)) · 1 = 1/√(x − 2).
3. f′(18) = 1/√16 = 1/4.
4. Ответ: 1/4 (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)

Учитывая формулу производной для корня и свойство производной сложной функции, производная данной функции равна f′(x) = (2√(x − 2))′ = 2 · 1/(2√(x − 2)) · (x − 2)′ = 1/√(x − 2). Тогда f′(18) = 1/√(18 − 2) = 1/4.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 24.05.2026

Для функции f(x) = 1/(2x + 3)⁵ вычислите f′(−1).

A) 2B) 10C) −2D) 5E) −10

1. Записываем дробь как степень с отрицательным показателем: f(x) = (2x + 3)⁻⁵.Почему так?

   В такой записи формула (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ работает напрямую; правило производной частного не нужно.

2. Сложная функция: f′(x) = −5 · (2x + 3)⁻⁶ · 2 = −10/(2x + 3)⁶.Почему так?

   Не забудь множитель (2x + 3)′ = 2 — типичная ошибка именно здесь.

3. f′(−1) = −10/(−2 + 3)⁶ = −10/1 = −10.
4. Ответ: −10 (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (24.05.2026)

f′(x) = (1/(2x + 3)⁵)′ = ((2x + 3)⁻⁵)′ = −5·2·(2x + 3)⁻⁶ == −10/(2x + 3)⁶ и f′(−1) = −10/(−2 + 3)⁶ = −10.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Для функции f(x) = √(4x + 9) найдите f′(4) (десятичной дробью).

f′(x) = 4/(2√(4x + 9)); √25 = 5.

Глава 3

Геометрический смысл производной: касательная

История

До деревни осталось немного, уже стемнело. Дорога входит в поворот. На карте (в метрах) средняя линия дороги — кривая y = 0,05x², машина проходит через начало координат и едет в сторону роста x. Фары всегда освещают прямо вперёд, т. е. вдоль касательной к дороге.

У дороги в точке (25; 20) стоит знак с названием деревни. Ученик спрашивает: в какой точке поворота (при каком x₀) свет фар попадёт прямо на этот знак?

Фары светят вдоль касательной: при каком x₀ свет попадёт на знак?

В 1-й главе мы видели: при h → 0 секущая превращается в касательную, а её угловой коэффициент стремится к производной. Значит, угловой коэффициент касательной — это производная.

Угловой коэффициент касательной — тангенс угла её наклона к оси Ox.Уравнение касательной

Угловой коэффициент касательной к графику функции f в точке с абсциссой x₀ равен k = f′(x₀) = tg α, а её уравнение:

y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀)

Два следствия очень нужны на экзамене. Точка касания принадлежит и графику, и касательной: f(x₀) можно найти и из уравнения касательной. Если касательная параллельна оси абсцисс, её угловой коэффициент равен 0: f′(x₀) = 0.

Пример 4

Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² − 3x + 2 в точке с абсциссой x₀ = 3.

1. f(3) = 9 − 9 + 2 = 2.
2. f′(x) = 2x − 3, f′(3) = 3.
3. y = 2 + 3(x − 3) = 3x − 7.Почему так?

   Проверка: при x = 3 y = 2 = f(3), точка касания лежит на прямой.

4. Ответ: y = 3x − 7.

История

На повороте: f(x) = 0,05x², f′(x) = 0,1x. Касательная в точке x₀: y = 0,05x₀² + 0,1x₀(x − x₀). Если знак на ней, то 20 = 0,05x₀² + 0,1x₀(25 − x₀), т. е. x₀² − 50x₀ + 400 = 0. Отсюда x₀ = 10 или x₀ = 40. Поворот заканчивается около x = 30, поэтому фары осветят знак, когда машина будет в точке x₀ = 10 (в точке дороги (10; 5)): касательная y = x − 5, и действительно 25 − 5 = 20.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

Уравнение касательной, проведённой к графику функции f(x) в точке с абсциссой x₀ = 5, имеет вид y = 7x − 3. Вычислите сумму f(5) + f′(5).

A) 48B) 36C) 42D) 37E) 39

1. Угловой коэффициент касательной k = 7, значит, f′(5) = 7.Почему так?

   У прямой вида y = kx + b угловой коэффициент — коэффициент при x.

2. Точка касания лежит на касательной: f(5) = 7 · 5 − 3 = 32.Почему так?

   Формула самой f не дана, но в точке касания график и касательная совпадают.

3. f(5) + f′(5) = 32 + 7 = 39.
4. Ответ: 39 (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)

Известно, что угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f(x) в точке с абсциссой x₀, равен k = f′(x₀). Так как x₀ = 5 и k = 7, то f′(5) = 7. Так как точка касания принадлежит и функции, то f(5) = y(5) = 7 · 5 − 3 = 32. Таким образом, f(5) + f′(5) = 32 + 7 = 39.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой x₀ = 2 имеет вид y = 4x − 7. Найдите произведение f(2) · f′(2).

f′(2) = 4, f(2) = 4 · 2 − 7.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Если прямая, касающаяся графика функции y = 3x² − 18x + 7 в точке с абсциссой x₀, параллельна оси абсцисс, найдите x₀.

A) 2B) –3C) –5D) 3E) –2

1. Угловой коэффициент прямой, параллельной оси абсцисс, равен 0, значит, y′(x₀) = 0.Почему так?

   Такая касательная имеет вид y = const; угловой коэффициент = производная.

2. y′ = 6x − 18, 6x₀ − 18 = 0.
3. x₀ = 3.Почему так?

   Это вершина параболы: x₀ = −b/(2a) = 18/6 = 3.

4. Ответ: 3 (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)

… если прямая, касающаяся графика в точке с абсциссой x₀, параллельна оси абсцисс, то значение производной функции в точке x₀ равно нулю. Тогда y′ = 6x − 18; 6x₀ − 18 = 0; x₀ = 3Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Глава 4

Возрастание, убывание и экстремумы

Если касательная идёт вверх (k > 0), то и график в этом месте поднимается; если касательная идёт вниз (k < 0), график опускается. Это простое наблюдение — основа исследования функции с помощью производной.

Признак монотонности

Если в каждой точке промежутка f′(x) > 0, функция на нём возрастает; если f′(x) < 0 — убывает. Если функция непрерывна в конце промежутка, этот конец включают в промежуток возрастания (убывания).

Определение

Внутренние точки области определения, в которых производная равна 0 или не существует, называются критическими. Если при переходе через критическую точку знак производной меняется с «+» на «−», это точка максимума, если с «−» на «+» — точка минимума.

Пример 5

Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f(x) = x³ − 3x.

1. f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1).
2. Критические точки: x = −1 и x = 1. Они делят числовую ось на три промежутка; на каждом знак проверяем по одной точке.Почему так?

   Например, при x = 0 f′(0) = −3 < 0, при x = 2 f′(2) = 9 > 0.

3. Возрастает на (−∞; −1] и [1; +∞), убывает на [−1; 1].
4. x = −1 — максимум (f(−1) = 2), x = 1 — минимум (f(1) = −2).
5. Ответ: возрастает на (−∞; −1] и [1; +∞), убывает на [−1; 1]; xmax = −1, xmin = 1.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 25.05.2025

Найдите промежуток возрастания функции f(x) = x² − 2x + 1.

A) (−∞; 1]B) [−1; +∞)C) (0; +∞)D) (−∞; 0)E) [1; +∞)

1. f′(x) = 2x − 2 = 2(x − 1).
2. Критическая точка x = 1. При x > 1f′(x) > 0, при x < 1f′(x) < 0.Почему так?

   На самом деле f(x) = (x − 1)² — парабола с вершиной в x = 1.

3. Функция непрерывна в x = 1, поэтому 1 входит в промежуток возрастания: [1; +∞).Почему так?

   Среди вариантов есть и (−∞; 1] — это промежуток убывания.

4. Ответ: [1; +∞) (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (25.05.2025)

Чтобы найти промежуток возрастания функции f(x), сначала находят её производную:f′(x) = (x² − 2x + 1)′ = 2x − 2 = 2(x − 1)Решая уравнение f′(x) = 0, находят критическую точку x = 1. Критическая точка делит область определения функции на два промежутка. Так как на промежутке (1; +∞) выполняется условие f′(x) > 0, функция возрастает, а так как на промежутке (−∞; 1) выполняется условие f′(x) < 0, функция убывает. Так как в точке x = 1 данная функция непрерывна, эта точка включается в промежутки возрастания и убывания. То есть данная функция возрастает на промежутке [1; +∞).Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите точку максимума функции f(x) = x³ − 12x.

f′(x) = 3x² − 12; где знак меняется с «+» на «−»?

Глава 5

Наибольшее и наименьшее значения

История

Утром семья в деревне. Дедушка хочет разбить огород на берегу реки. У него есть сетка длиной 40 м. Участок будет прямоугольным, а сторону вдоль реки огораживать не нужно — там границей служит сама река.

Если боковые стороны по x метров, сторона, параллельная реке, равна 40 − 2x. Дедушка спрашивает: каким должно быть x, чтобы площадь огорода была наибольшей?

Три стороны забора (x, 40 − 2x, x), четвёртая — река.Алгоритм

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке [a; b]: 1) найди критические точки внутри отрезка; 2) вычисли значения функции в них и на концах отрезка; 3) выбери из полученных чисел наибольшее и наименьшее.

Если на промежутке у функции единственная критическая точка и она — точка минимума (максимума), то наименьшее (наибольшее) значение функция принимает именно в ней.

История

Площадь: S(x) = x(40 − 2x) = 40x − 2x², где 0 < x < 20. S′(x) = 40 − 4x, при S′ = 0x = 10. При x < 10 S′ > 0, при x > 10 S′ < 0 — это максимум. Дедушка берёт боковые стороны по 10 м, сторону вдоль реки 40 − 20 = 20 м и получает наибольшую площадь: S(10) = 10 · 20 = 200 м². Например, при x = 8 было бы всего 8 · 24 = 192 м².

Пример 6

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ − 3x² на отрезке [−1; 3].

1. f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2), критические точки x = 0 и x = 2 — обе на отрезке.
2. Значения: f(−1) = −4, f(0) = 0, f(2) = −4, f(3) = 0.Почему так?

   Концы забывать нельзя: наибольшее или наименьшее значение может быть и на конце.

3. Наибольшее значение 0, наименьшее −4.
4. Ответ: max = 0, min = −4.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

Найдите наименьшее значение функции f(x) = −(1/6)x³ − (1/2)x² + 11⅔ на отрезке [−3; −1].

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 10B) 9⅓C) 12D) 10⅔E) 11

1. f′(x) = −(1/2)x² − x = −x((1/2)x + 1).
2. Критические точки x = 0 и x = −2; отрезку принадлежит только −2.Почему так?

   0 ∉ [−3; −1], поэтому точку x = 0 не рассматриваем.

3. Значения: f(−3) = 9/2 − 9/2 + 11⅔ = 11⅔, f(−2) = 4/3 − 2 + 11⅔ = 11, f(−1) = 1/6 − 1/2 + 11⅔ = 11⅓.Почему так?

   Приведи дроби к общему знаменателю: 11⅔ = 35/3.

4. Ответ: 11 (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, найдём критические точки функции: f′(x) = −(1/2)x² − x; −(1/2)x² − x = 0; −x((1/2)x + 1) = 0; x₁ = 0 или x₂ = −2. Так как из найденных критических точек отрезку принадлежит только (−2), нужно вычислить значения функции в (−2) и на концах отрезка: f(−3) = 11⅔, f(−2) = 11, f(−1) = 11⅓. Отсюда следует, что наименьшее значение данной функции на отрезке [−3; −1] равно 11.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите наименьшее значение функции f(x) = x + 4/x на промежутке (0; +∞).

f′(x) = 1 − 4/x² = 0 → x = 2.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 06.07.2025

Если f(x) = x³ − 9x² + 24x − 12, найдите сумму корней уравнения f′(x) = 0.

A) 6B) −6C) −8D) 12E) 8Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 6 (вариант A).

Сначала найдём производную функции f(x) = x³ − 9x² + 24x − 12, а затем решим уравнение f′(x) = 0:f′(x) = 3x² − 18x + 24f′(x) = 03x² − 18x + 24 = 0x² − 6x + 8 = 0Так как D > 0, уравнение имеет два действительных корня, и по теореме Виета сумма корней этого уравнения равна x₁ + x₂ = 6.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)

ДИМ · 07.06.2026

При каком значении параметра a наименьшее значение функции y = x + e^(a−x) равно 4?

Наименьшее значение здесь — на всей области определения функции.

A) 4B) 1C) 3D) 0E) 2Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 3 (вариант C).

Найдём производную и критические точки функции f(x) = x + e^(a−x): f′(x) = 1 − e^(a−x), f′(x) = 0; 1 − e^(a−x) = 0, e^(a−x) = 1 = e⁰; a − x = 0; x = a. x = a — единственная критическая точка функции. Определим знаки производной f′(x) = 1 − e^(a−x) на этих интервалах: на (−∞; a) f′(x) = 1 − e^(a−x) < 0, на (a; +∞) f′(x) = 1 − e^(a−x) > 0. Значит, функция y = f(x) = x + e^(a−x) убывает на (−∞; a] и возрастает на [a; +∞). Тогда x = a — её точка минимума, а f(a) — наименьшее значение функции. По условию f(a) = 4. Тогда a + e^(a−a) = 4; a + e⁰ = 4; a + 1 = 4; a = 3Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Итоги

Запомни

• f′(x₀) = limh→0 (f(x₀ + h) − f(x₀))/h; механический смысл: v = s′(t).
• (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹, (√x)′ = 1/(2√x), (eˣ)′ = eˣ, (sin x)′ = cos x.
• Сложная функция: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) — не забудь внутреннюю производную.
• Касательная: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀), k = f′(x₀) = tg α.
• Касательная, параллельная оси абсцисс: f′(x₀) = 0.
• f′ > 0 → возрастает, f′ < 0 → убывает; смена знака + → − максимум, − → + минимум.
• Наибольшее/наименьшее на отрезке: критические точки (внутри отрезка) + концы.

Типичные ошибки

«Мгновенная скорость = путь : время»

Это средняя скорость. Мгновенная — производная: для s = t² в момент t = 5 с — 10 м/с, а средняя за первые 5 секунд — 5 м/с.

«((2x + 3)⁻⁵)′ = −5(2x + 3)⁻⁶»

Забыт множитель (2x + 3)′ = 2: верно −10(2x + 3)⁻⁶.

«Если касательная y = 7x − 3, то f(5) = 7»

7 — это производная (угловой коэффициент). f(5) находят из уравнения касательной: 7·5 − 3 = 32.

«Наименьшее значение всегда в критической точке»

На отрезке проверь и значения на концах; критические точки вне отрезка (напр. x = 0 ∉ [−3; −1]) отбрось.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Если f(x) = x³ − 4x, то f′(2) равно:

f′(x) = 3x² − 4; f′(2) = 12 − 4 = 8.

2 · Уровень 1

Если f(x) = sin 2x, то f′(0) равно:

f′(x) = 2cos 2x; f′(0) = 2.

3 · Уровень 2

Уравнение касательной к графику функции y = x² + 1 в точке с абсциссой x₀ = 1:

f(1) = 2, f′(1) = 2: y = 2 + 2(x − 1) = 2x.

4 · Уровень 2

Промежуток убывания функции f(x) = x³ − 3x:

f′(x) = 3(x² − 1) ≤ 0 при −1 ≤ x ≤ 1.

5 · Уровень ДИМ

Наибольшее значение функции f(x) = x³ − 3x на отрезке [−2; 0]:

Критическая точка x = −1: f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(0) = 0.

6 · Уровень ДИМ

Наименьшее значение функции f(x) = x² − 4x + a равно 5. Найдите a.

f′(x) = 2x − 4 = 0 → x = 2 (минимум); f(2) = a − 4 = 5, a = 9.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 5; B-17, C-11, D-14
2. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 19; B-16, C-13, D-1
3. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 14; B-7, C-8, D-10
4. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 11; B-5, C-17, D-12
5. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 7; B-22, C-12, D-21
6. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 4; B-9, C-10, D-20
7. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 16; B-21, C-6, D-2
8. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 1; B-5, C-22, D-14

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.