Предел последовательности и функции

Элементы математического анализа · Тема 30 / 46

Предел последовательности и функции

Этот урок пройдём через историю: садовник готовит в теплице раствор удобрения, потом ставит во дворе новый бак и поднимает его на вышку. На каждом шаге возникает вопрос «к чему стремится?» — это вопрос о пределе. Изучим предел последовательности и функции, способы раскрытия неопределённостей (∞/∞, 0/0, ∞ − ∞) и решение заданий ДИМ.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 8материал 10–11 классов

После урока ты сможешь

• объяснять смысл предела последовательности и функции;
• при ∞/∞ делить числитель и знаменатель на старшую степень, применять правило степеней;
• при 0/0 раскладывать на множители (в том числе по формулам разности и суммы кубов), умножать на сопряжённое, применять тригонометрические тождества;
• находить параметры по заданному значению предела.

Перед началом вспомни

• Формулы сокращённого умножения: a² − b², a³ ± b³.
• Разложение квадратного трёхчлена на множители.
• Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.

Содержание

1. ВведениеСитуация: куда стремится концентрация?история и предположение
2. Глава 1Предел последовательностиобщий член · ∞/∞ · ДИМ 25.05.2025
3. Глава 2Предел функции: x → a и x → ∞непрерывность · правило степеней · ДИМ 01.06.2025
4. Глава 3Неопределённость 0/0: разложение на множителиформулы сокращённого умножения · ДИМ 06.07.2025, 12.07.2026
5. Глава 4Умножение на сопряжённое и тригонометрические дроби∞ − ∞ · сопряжённое · ДИМ 13.07.2025
6. Глава 5Нахождение параметра по значению пределаобратная задача · асимптота · ДИМ 05.07.2026
7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 2, с ответом и официальным пояснением
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: куда стремится концентрация?

История

Садовник готовит в теплице раствор удобрения для помидоров. В большом прозрачном баке 200 л чистой воды. Насос подаёт в бак готовый раствор концентрацией 30 г/л по 25 л в минуту, и жидкость в баке всё время перемешивается.

Сначала смесь в баке очень слабая, потом постепенно крепчает. Садовник размышляет: если насос будет работать долго, как будет меняться концентрация смеси (сколько граммов удобрения в литре)?

В баке 200 л воды, насос подаёт раствор 30 г/л по 25 л в минуту: как будет меняться c?Сначала предположи

Как ты думаешь, как изменится концентрация в баке, если насос будет работать очень долго? Выбери ответ — посчитаем вместе в 1-й главе.

Глава 1

Предел последовательности

Переведём вопрос садовника на язык математики. За n минут в бак поступает 25n л раствора, а с ним 25n · 30 = 750n г удобрения; объём жидкости в баке становится 200 + 25n л. Значит, концентрация в конце n-й минуты:

cₙ = 750n / (200 + 25n) = 30n / (n + 8)

Каждому натуральному n соответствует число cₙ: c₁ ≈ 3,3; c₈ = 15; c₂₄ = 22,5; c₇₂ = 27, … Такой ряд чисел называется последовательностью, а cₙ — её общим членом. Нас интересует, к какому числу приближается cₙ при очень больших n.

Точки с каждой минутой поднимаются выше, но не пересекают красную линию.Определение

Если при неограниченном росте n члены последовательности aₙ сколь угодно близко подходят к числу a (т. е. начиная с некоторого номера разность |aₙ − a| для всех членов меньше любого заранее выбранного малого положительного числа), то a называется пределом последовательности: limn→∞ aₙ = a.

Основные пределы и правила

lim 1/n = 0;   lim 1/nᵏ = 0 (k > 0);   lim C = C;   при |q| < 1lim qⁿ = 0. Предел суммы, разности, произведения последовательностей, имеющих пределы, равен сумме, разности, произведению пределов; для частного — то же, если предел знаменателя не равен 0. Кроме того, lim √aₙ = √(lim aₙ).

Если и числитель, и знаменатель дроби неограниченно растут (это называется неопределённостью ∞/∞), «делить бесконечность на бесконечность» нельзя. Выход: разделить числитель и знаменатель на старшую степень n. После этого каждая часть вида C/nᵏ стремится к нулю.

Пример 1

Найдите предел limn→∞ (6n² + n − 1)/(3n² + 4).

1. И числитель, и знаменатель неограниченно растут: ∞/∞. Старшая степень — n², делим числитель и знаменатель на n²: (6 + 1/n − 1/n²)/(3 + 4/n²).Почему так?

   Деление числителя и знаменателя на одно число не меняет дробь, но превращает растущие части в стремящиеся к нулю.

2. 1/n → 0, 1/n² → 0, 4/n² → 0.
3. Предел: 6/3 = 2 — отношение старших коэффициентов.
4. Ответ: 2.

История

Вернёмся к последовательности садовника: делим числитель и знаменатель на n: cₙ = 30/(1 + 8/n). С ростом n 8/n → 0, поэтому cₙ → 30/1 = 30. Но так как n < n + 8, величина cₙ = 30 · n/(n + 8) всегда меньше 30. Когда бак наполнится (на 72-й минуте, 2000 л), концентрация будет 27 г/л, на 192-й минуте была бы 28,8 г/л — она приближается к 30 г/л, но никогда его не достигает. Число 30 — предел этой последовательности.

Проверь себя

Найдите предел limn→∞ (5n − 2)/(2n + 3) (десятичной дробью).

Раздели числитель и знаменатель на n.

В выражениях с корнями «старшая степень» может быть дробной: √(49n) растёт не как n, а как √n. Тогда числитель и знаменатель делим на √n.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 25.05.2025

Найдите предел lim_{n→∞} √(49n + √(10n)) / √(16n).

A) 1/4B) 5/4C) 0D) 7/4E) 3/4

1. Под корнями быстрее всего растёт n, поэтому и числитель, и знаменатель растут как √n. Делим числитель и знаменатель на √n. Знаменатель: √(16n) / √n = √16 = 4.Почему так?

   Слагаемое √(10n) растёт гораздо медленнее n, поэтому главное слагаемое — 49n.

2. Числитель: √(49n + √(10n)) / √n = √(49 + √(10n)/n) = √(49 + √(10/n)).Почему так?

   Деление на √n вносим под корень: √A / √n = √(A/n); а внутри √(10n)/n = √(10n/n²) = √(10/n).

3. Так как √(10/n) → 0, предел равен √(49 + 0) / 4 = 7/4.
4. Ответ: 7/4 (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (25.05.2025)

Для решения задания числитель и знаменатель дроби делят на √n и, применяя правила нахождения предела последовательности, выполняют вычисление: … = √(49/16 + (1/16)·lim_{n→∞} (√(10/n))) == √(49/16 + 0) = 7/4Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите предел limn→∞ √(9n + 1) / √(4n) (десятичной дробью).

Раздели на √n: √(9 + 1/n) / 2.

Глава 2

Предел функции: x → a и x → ∞

В последовательности n принимает только натуральные значения. У функции же x может приближаться к числу a (или к бесконечности), принимая любые действительные значения.

Определение

Если при сколь угодно близком приближении x к a (x ≠ a) значения f(x) сколь угодно близко подходят к числу A, то A называется пределом функции f в точке a: limx→a f(x) = A. Внимание: само f(a) в определении не участвует, функция может быть даже не определена в точке a.

Непрерывные функции

Многочлены, дробно-рациональные функции в точках, где знаменатель не равен нулю, корни, sin x, cos x непрерывны в каждой точке области определения: для них limx→a f(x) = f(a), т. е. предел находят, подставляя a вместо x.

Пример 2

Найдите предел limx→2 (x² + 3x)/(x + 3).

1. При x = 2 знаменатель 2 + 3 = 5, не нуль. Функция в этой точке непрерывна.Почему так?

   Подстановки достаточно, только если не получается 0/0 или ∞/∞.

2. Подставляем: (4 + 6)/5 = 2.
3. Ответ: 2.

При x → ∞ для отношения многочленов работает та же идея, что и для последовательностей: делим числитель и знаменатель на старшую степень x. Результат можно запомнить раз и навсегда.

Правило степеней

Пусть многочлен P(x) имеет степень n и старший коэффициент a, а Q(x) — степень m и старший коэффициент b. Тогда при x → ∞ для P(x)/Q(x):

n < m → 0;   n = m → a/b;   n > m → конечного предела нет (∞)

Проверь себя

Найдите предел limx→∞ (2x³ − x)/(x³ + 4x²).

Степени равны: отношение старших коэффициентов.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

Найдите предел lim_(x→∞) (√x − 4x)/(2x + 1).

Рисунок меняется вместе с шагами.A) –2B) –1C) 0D) 1E) 2

1. При x → ∞ получается неопределённость ∞/∞. Быстрее всего в числителе растёт −4x, так как √x растёт гораздо медленнее x. Делим числитель и знаменатель на x: (√x/x − 4)/(2 + 1/x).Почему так?

   Например, при x = 10000 √x = 100, а 4x = 40000.

2. √x/x = 1/√x, поэтому 1/√x → 0 и 1/x → 0.Почему так?

   Дробь с неограниченно растущим знаменателем стремится к нулю.

3. Предел: (0 − 4)/(2 + 0) = −2. График тоже приближается к прямой y = −2.
4. Ответ: −2 (вариант A).

Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)

lim_(x→∞) (√x − 4x)/(2x + 1) = lim_(x→∞) (√x/x − 4x/x)/(2x/x + 1/x) = lim_(x→∞) (1/√x − 4)/(2 + 1/x) = (0 − 4)/(2 + 0) = −2Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите предел limx→∞ (5x + 1)/(x² + 3).

Степень числителя меньше степени знаменателя.

Глава 3

Неопределённость 0/0: разложение на множители

История

Дело с удобрением наладилось, и садовник решил поставить во дворе новый бак в форме куба. Ребро бака 3 м, объём 3³ = 27 м³. Мастер говорит: «Если чуть удлинить ребро — на x метров, объём станет (3 + x)³».

Садовник хочет знать, сколько кубометров объёма приходится на каждый дополнительный метр ребра, т. е. к какому числу стремится отношение ΔV : x = ((3 + x)³ − 27) / x при очень малом x?

Бак-куб (ребро 3 м) и контур куба с ребром, увеличенным на x.

Если подставить x = 0, получится (27 − 27)/0 = 0/0. Это не число, а неопределённость: предел выражения вида 0/0 может оказаться любым числом. Но при вычислении предела x ≠ a, поэтому общий множитель (x − a) числителя и знаменателя можно сократить. Чтобы найти общий множитель, нужны формулы сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения

a² − b² = (a − b)(a + b)a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂) (x₁, x₂ — корни квадратного трёхчлена)

Пример 3

Найдите предел limx→3 (x² − 9)/(x² − 5x + 6).

1. Подставляем x = 3: (9 − 9)/(9 − 15 + 6) = 0/0 — неопределённость.
2. Раскладываем на множители: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) (корни 2 и 3).Почему так?

   Раз получилось 0/0, x = 3 — корень и числителя, и знаменателя, значит, в обоих есть множитель (x − 3).

3. Сокращаем и подставляем: (x + 3)/(x − 2) → 6/1 = 6.
4. Ответ: 6.

История

Выражение садовника: так как (3 + x)³ − 27 = x · ((3 + x)² + 3(3 + x) + 9) = x(27 + 9x + x²), то ΔV : x = 27 + 9x + x². Сокращаем общий множитель x: x → 0: ΔV : x → 27. Значит, на каждый метр ребра приходится примерно 27 м³ объёма. Например, если ребро удлинить на 1 см (x = 0,01), объём вырастет на 3,01³ − 27 ≈ 0,271 м³, т. е. примерно на 270 литров.

В лаборатории три дроби; у каждой в точке a получается 0/0. Ползунком h приближай точку x = a + h к a и смотри на значения f(x): они собираются к высоте пустого кружка — к пределу.

Лаборатория · подойди к точке: какое число прячется за 0/0?h = x − a0.5Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

Найдите предел lim_{x→0} ((2 + x)³ − 8)/x.

A) 16B) 10C) 12D) 8E) 6

1. При x = 0 получаем (8 − 8)/0 = 0/0.
2. Формула разности кубов (a = 2 + x, b = 2): (2 + x)³ − 2³ = (2 + x − 2)((2 + x)² + 2(2 + x) + 4) = x(12 + 6x + x²).Почему так?

   (2 + x)² + 2(2 + x) + 4 = 4 + 4x + x² + 4 + 2x + 4 = 12 + 6x + x².

3. Сокращаем x: lim (12 + 6x + x²) = 12.
4. Ответ: 12 (вариант C).

Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)

lim_{x→0} ((2 + x)³ − 2³)/x = lim_{x→0} (2 + x − 2)(4 + 4x + x² + 4 + 2x + 4)/x == lim_{x→0} (12 + 6x + x²) = 12.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите предел limx→1 (x³ − 1)/(x − 1).

x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1).

Формула суммы кубов работает и в дробях с кубическими корнями: если записать x как (∛x)³, то x + 1 = (∛x)³ + 1³ = (∛x + 1)(∛x² − ∛x + 1).

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

Вычислите предел lim₍ₓ→−1₎ (∛x + 1)/(x + 1).

A) −1/3B) −1C) 1D) 1/3E) 0

1. При x = −1: ∛(−1) + 1 = 0, −1 + 1 = 0 — снова 0/0.
2. Раскладываем знаменатель как сумму кубов: x + 1 = (∛x + 1)(∛x² − ∛x + 1).Почему так?

   Берём a = ∛x, b = 1: a³ + b³ = x + 1.

3. Сокращаем: 1/(∛x² − ∛x + 1) → 1/(1 + 1 + 1) = 1/3.Почему так?

   При x = −1 ∛x² = ∛1 = 1, ∛x = −1, поэтому 1 − (−1) + 1 = 3.

4. Ответ: 1/3 (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)

Вычислим предел, упростив дробь под знаком предела разложением знаменателя на множители: lim₍ₓ→−1₎ (∛x + 1)/(x + 1) = lim₍ₓ→−1₎ (∛x + 1)/((∛x + 1)(∛(x²) − ∛x + 1)) = lim₍ₓ→−1₎ 1/(∛(x²) − ∛x + 1) = 1/(∛1 − ∛(−1) + 1) = 1/(1 + 1 + 1) = 1/3.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Глава 4

Умножение на сопряжённое и тригонометрические дроби

История

Новый бак поставили на вышку высотой 4 м, чтобы вода самотёком шла к грядкам. От крана бака к грядке тянут наклонную трубу. Если грядка находится на расстоянии x метров от вышки по горизонтали, то по теореме Пифагора длина трубы √(x² + 16).

При x = 3 труба 5 м, т. е. на 2 м длиннее x. Садовник спрашивает: насколько труба будет длиннее горизонтального расстояния для дальних грядок — к какому числу стремится разность √(x² + 16) − x?

Бак на высоте 4 м, труба √(x² + 16), расстояние по горизонтали x.

Здесь неопределённость ∞ − ∞: оба слагаемых неограниченно растут, а их разность заранее неизвестна. В таких выражениях с корнями, как и в случаях 0/0 с корнями, умножаем на сопряжённое выражение: корень «исчезает».

Умножаем и делим на сопряжённое, чтобы значение не изменилось.История

√(x² + 16) − x = (x² + 16 − x²)/(√(x² + 16) + x) = 16/(√(x² + 16) + x). С ростом x знаменатель неограниченно растёт, а дробь стремится к нулю: разность → 0. При x = 30 разность ≈ 0,27 м, при x = 300 ≈ 0,027 м. Для дальних грядок труба почти равна горизонтальному расстоянию.

Пример 4

Найдите предел limx→0 (√(x + 9) − 3)/x.

1. x = 0: (3 − 3)/0 = 0/0.
2. Умножаем числитель и знаменатель на √(x + 9) + 3: числитель становится (x + 9) − 9 = x.Почему так?

   (√A − B)(√A + B) = A − B², здесь A = x + 9, B = 3.

3. Сокращаем x: 1/(√(x + 9) + 3) → 1/6.
4. Ответ: 1/6.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Вычислите предел lim_(x→0) x/(√(x + 16) − 4).

A) 1/4B) 4C) 1/8D) 2E) 8

1. x = 0: 0/(√16 − 4) = 0/0.
2. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение √(x + 16) + 4. Знаменатель: (√(x + 16))² − 4² = x + 16 − 16 = x.Почему так?

   Корень в знаменателе, поэтому сопряжённое выбираем по знаменателю.

3. Сокращаем x: lim (√(x + 16) + 4) = 4 + 4 = 8.
4. Ответ: 8 (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)

lim_(x→0) x/(√(x + 16) − 4) = lim_(x→0) x(√(x + 16) + 4)/((√(x + 16) − 4)(√(x + 16) + 4)) == lim_(x→0) x(√(x + 16) + 4)/((√(x + 16))² − 4²) = lim_(x→0) x(√(x + 16) + 4)/x == lim_(x→0) (√(x + 16) + 4) = 8.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите предел limx→0 (√(x + 4) − 2)/x (десятичной дробью).

Умножь на √(x + 4) + 2.

В тригонометрических дробях тоже часто получается 0/0. Здесь раскладывают на множители с помощью основных тождеств: cos²α = 1 − sin²α = (1 − sin α)(1 + sin α), cos 2α = cos²α − sin²α = (cos α − sin α)(cos α + sin α).

Пример 5

Найдите предел limx→π/4 (sin x − cos x)/cos 2x.

1. x = π/4: sin x − cos x = √2/2 − √2/2 = 0, cos(π/2) = 0 — 0/0.
2. cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x) = −(sin x − cos x)(cos x + sin x), поэтому дробь равна −1/(cos x + sin x).Почему так?

   cos x − sin x = −(sin x − cos x): следи за знаком.

3. Подставляем: −1/(√2/2 + √2/2) = −1/√2 = −√2/2.
4. Ответ: −√2/2.

Проверь себя

Найдите предел limx→π/2 cos²x/(1 − sin x).

cos²x = (1 − sin x)(1 + sin x).

Глава 5

Нахождение параметра по значению предела

На экзамене часто задают обратный вопрос: значение предела известно, а нужно найти параметр в выражении. При x → ∞ главный инструмент здесь — правило степеней.

Правило

Пусть дан limx→∞ P(x)/Q(x), а степень Q равна m. Если предел равен 0, степень числителя должна быть меньше m: коэффициенты при xᵐ и всех более высоких степенях равны 0. Если предел — конечное ненулевое число, степень числителя должна быть ровно m: коэффициенты при более высоких степенях равны 0, а предел равен отношению коэффициентов при xᵐ.

Пример 6

Найдите a, если limx→∞ (ax² + 5x)/(2x² − 1) = 3.

1. Степени равны (2 и 2), при a ≠ 0 предел равен a/2.Почему так?

   Если бы a = 0, степень числителя была бы 1 и предел был бы 0, а не 3.

2. a/2 = 3, откуда a = 6.
3. Ответ: a = 6.

Если дан предел разности двух функций, сначала приводим к общему знаменателю и получаем одну дробь. Если limx→∞ (f(x) − g(x)) = 0, то при больших x графики f и g сближаются: график g асимптотически приближается к прямой y = f(x).

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

Если для функций f(x) = kx + b и g(x) = (x² − 9)/x lim_(x→∞) (f(x) − g(x)) = 6, найдите сумму значений параметров k и b.

A) −2B) 7C) −3D) 8E) 4

1. Записываем одной дробью: kx + b − (x² − 9)/x = (kx² + bx − x² + 9)/x = ((k − 1)x² + bx + 9)/x.Почему так?

   Общий знаменатель x: kx + b умножаем и делим на x.

2. Степень знаменателя 1. Если бы k − 1 ≠ 0, степень числителя была бы 2 и конечного предела не было бы. Значит, k = 1.Почему так?

   Правило степеней: при n > m конечного предела нет.

3. Тогда (bx + 9)/x = b + 9/x → b, т. е. b = 6. k + b = 1 + 6 = 7.
4. Ответ: 7 (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)

lim_(x→∞) (kx + b − (x² − 9)/x) = 6; lim_(x→∞) (kx² + bx − x² + 9)/x = 6; lim_(x→∞) ((k − 1)x² + bx + 9)/x = 6; … Значит, чтобы предел был постоянным, коэффициент при x² должен быть равен 0, а отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе должно быть b/1 = 6. { k − 1 = 0; b = 6 } → { k = 1; b = 6 } → k + b = 7Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите a, если limx→∞ (ax³ + 2x)/(4x³ + 1) = 2.

Предел равен a/4.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 24.05.2026

Вычислите lim_(x→π/8) cos²4x/(1 − sin 4x).

Подсказка: cos²4x = (1 − sin 4x)(1 + sin 4x) (глава 4).

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 2.

lim_(x→π/8) cos²4x/(1 − sin 4x) = lim_(x→π/8) (1 − sin²4x)/(1 − sin 4x) == lim_(x→π/8) (1 − sin 4x)(1 + sin 4x)/(1 − sin 4x) == lim_(x→π/8) (1 + sin 4x) = 1 + sin(π/2) = 1 + 1 = 2Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)

ДИМ · 07.06.2026

При каком значении a верно равенство lim₍ₓ→∞₎ [(a² − 3a)x³ + (a² − 2a − 3)x² + 1] / (x² + 1) = 0?

Подсказка: см. правило в главе 5 — чтобы предел был 0, коэффициенты при x³ и x² должны быть равны нулю.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: a = 3.

Равенство lim₍ₓ→∞₎ [(a² − 3a)x³ + (a² − 2a − 3)x² + 1] / (x² + 1) = 0 верно тогда и только тогда, когда степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. … Поэтому должно выполняться {a² − 3a = 0; a² − 2a − 3 = 0}. В противном случае предел не может быть равен нулю. Значит, {a² − 3a = 0; a² − 2a − 3 = 0} ⇒ {a(a − 3) = 0; (a − 3)(a + 1) = 0} ⇒ a = 3Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Итоги

Запомни

• lim aₙ = a: с ростом n члены сколь угодно близко подходят к a (могут и не достигать его).
• Для непрерывной функции limx→a f(x) = f(a) — просто подставь.
• ∞/∞: дели на старшую степень; 1/xᵏ → 0, 1/√x → 0.
• Правило степеней: n < m → 0; n = m → a/b; n > m → ∞.
• 0/0: разложи на множители и сократи (x − a); a³ ∓ b³ = (a ∓ b)(a² ± ab + b²).
• Если есть корень — умножь на сопряжённое: (√A − B)(√A + B) = A − B².
• В тригонометрии: cos²α = (1 − sin α)(1 + sin α).
• Предел 0 → степень числителя меньше; конечный ненулевой предел → степени равны.

Типичные ошибки

«Получилось 0/0, значит, предел равен 0 (или не существует)»

0/0 — неопределённость: разложи на множители или умножь на сопряжённое. Например, ((2 + x)³ − 8)/x → 12.

«∞/∞ = 1»

Раздели числитель и знаменатель на старшую степень: (√x − 4x)/(2x + 1) → −2.

«Последовательность когда-нибудь становится равной своему пределу»

Может и не стать: cₙ = 30n/(n + 8) всегда меньше 30, но её предел равен 30.

«Чтобы предел был 0, достаточно обнулить коэффициент при старшей степени»

Должны исчезнуть все слагаемые со степенью не меньше степени знаменателя: в задании 07.06.2026 нулю равны коэффициенты и при x³, и при x².

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Предел limn→∞ (4n + 1)/(2n − 3):

Делим на n: (4 + 1/n)/(2 − 3/n) → 4/2 = 2.

2 · Уровень 1

Предел limx→3 (x² + 1)/(x − 1):

Функция непрерывна в точке x = 3: 10/2 = 5.

3 · Уровень 2

Предел limx→2 (x² − 4)/(x² − 3x + 2):

(x − 2)(x + 2)/((x − 1)(x − 2)) = (x + 2)/(x − 1) → 4/1 = 4.

4 · Уровень 2

Предел limx→0 (√(x + 25) − 5)/x:

Умножаем на сопряжённое: 1/(√(x + 25) + 5) → 1/10.

5 · Уровень ДИМ

Если limx→∞ ((a − 1)x² + bx)/(2x + 3) = 4, то сумма a + b равна:

Для конечного предела a − 1 = 0, a = 1; затем b/2 = 4, b = 8; a + b = 9.

6 · Уровень ДИМ

Предел limx→1 (x³ − 1)/(√x − 1):

x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1), √x − 1 = (x − 1)/(√x + 1); предел (x² + x + 1)(√x + 1) → 3 · 2 = 6.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 1; B-1, C-12, D-2
2. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 1; B-12, C-2, D-16
3. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 21; B-2, C-18, D-1
4. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 13; B-17, C-3, D-4
5. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 26; B-24, C-25, D-24
6. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 24; B-24, C-23, D-24
7. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 17; B-1, C-20, D-3
8. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 22; B-17, C-2, D-6

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.