Функция и её свойства. Линейная функция

Функции и графики · Тема 22 / 46

Функция и её свойства. Линейная функция

Этот урок пройдём через историю путешествия: семья едет на горный курорт. Два такси у аэропорта, заправка по дороге и канатная дорога на курорте приведут нас к понятию функции, её графику, нулям, монотонности и к линейной функции.

≈ 45 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 7материал 7–10 классов

После урока ты сможешь

• находить область определения функции и её значение в данной точке;
• находить нули функции по уравнению и по графику;
• сравнивать значения возрастающих и убывающих функций;
• записывать линейную функцию по двум точкам, по углу и по условию на f(f(x)).

Перед началом вспомни

• Решение квадратного уравнения.
• Координатная плоскость: абсцисса и ордината точки.
• tg 45° = 1, tg(180° − α) = −tg α.

Содержание

1. ВведениеСитуация: какое такси дешевле?история и предположение
2. Глава 1Функция, область определения и множество значенийопределение · D(f), E(f) · ДИМ 15.03.2026
3. Глава 2График функции и её нулиграфик · нули · ДИМ 06.07.2025, 01.06.2025
4. Глава 3Возрастающие и убывающие функциимонотонность · ДИМ 05.07.2026
5. Глава 4Линейная функция y = kx + bграфик · k и b · пересечение двух прямых
6. Глава 5Угловой коэффициент и уравнение прямойk = tg α · f(f(x)) · ДИМ 12.07.2026, 13.07.2025
7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 1, с ответом и официальным пояснением
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: какое такси дешевле?

История

Семья отправилась на горный курорт. Выйдя из самолёта, они оказываются перед аэропортом. Вдоль тротуара стоят два такси. Тариф первого: 1,5 маната за посадку и 0,5 маната за каждый километр. Во втором посадка бесплатная, но каждый километр стоит 0,8 маната.

На короткое расстояние дешевле кажется второе такси, на длинное — первое. С какого же расстояния выгоднее становится первое такси?

Два такси, два тарифа: цена зависит от пройденного расстояния.Сначала предположи

Как ты думаешь, начиная с какого расстояния первое такси дешевле? Выбери ответ — посчитаем вместе в 4-й главе.

Глава 1

Функция, область определения и множество значений

Цена такси зависит от пройденного расстояния: в первом такси за x км платят y = 1,5 + 0,5x манатов. Каждому расстоянию соответствует ровно одна цена — за одну и ту же поездку не может быть двух разных цен. В математике такую зависимость называют функцией.

Определение

Если каждому элементу x множества X по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное число y, говорят, что на множестве X задана функцияy = f(x). x — аргумент (независимая переменная), y — значение функции. Все значения, которые может принимать аргумент, образуют область определенияD(f), а все значения функции — множество значенийE(f).

Если функция задана формулой, а область определения не указана, то её образуют все x, при которых формула имеет смысл. Запомни два главных запрета: знаменатель не может быть равен нулю, подкоренное выражение корня чётной степени не может быть отрицательным. Например, для f(x) = 1/(x − 5) нужно x ≠ 5, а для g(x) = √(x − 2) — x ≥ 2.

Пример 1

Найдите область определения функции f(x) = √(6 − x)/(x + 2).

1. Подкоренное выражение неотрицательно: 6 − x ≥ 0, т. е. x ≤ 6.Почему так?

   Квадратный корень извлекается только из неотрицательного числа.

2. Знаменатель не равен нулю: x ≠ −2.Почему так?

   Делить на ноль нельзя.

3. Объединяем оба условия: D(f) = (−∞; −2) ∪ (−2; 6].
4. Ответ: (−∞; −2) ∪ (−2; 6].

Чтобы найти значение функции в данной точке, подставляем это число в формулу вместо x. Например, в первом такси поездка на 12 км стоит f(12) = 1,5 + 0,5·12 = 7,5 маната.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 15.03.2026

Если f(x) = (2x + 3)/(x² + 2), вычислите f(3).

A) 6/11B) 7/11C) 1/5D) 2/5E) 9/11

1. Подставляем 3 вместо x: f(3) = (2·3 + 3)/(3² + 2).Почему так?

   Число подставляется вместо каждого x — и в числителе, и в знаменателе.

2. Числитель: 6 + 3 = 9, знаменатель: 9 + 2 = 11.
3. Ответ: 9/11 (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (15.03.2026)

При x=3 функция f(x) = (2x+3)/(x²+2) принимает значение f(3) = (2·3+3)/(3²+2) = 9/11.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Проверь себя

Найдите f(2), если f(x) = (x² − 1)/(x + 3) (десятичной дробью).

(4 − 1)/(2 + 3).

Проверь себя

Сколько целых чисел в области определения функции y = √(x + 3) + √(4 − x)?

−3 ≤ x ≤ 4.

Глава 2

График функции и её нули

История

Такси выезжает из города в сторону гор. По дороге водитель останавливается на заправке и заливает полный бак: 42 литра. Его машина расходует 7 литров топлива на каждые 100 км пути.

Один из детей спрашивает: сколько километров максимум можно проехать на этом топливе, не заправляясь?

В баке 42 л топлива, расход 7 л на 100 км.

Количество топлива в баке зависит от пройденного пути: на каждый км расходуется 0,07 литра, поэтому через x км в баке остаётся y = 42 − 0,07x литра. Эту функцию можно задать и таблицей, и графиком.

Определение

Графиком функции называют множество всех точек (x; f(x)) координатной плоскости, у которых абсцисса равна значению аргумента, а ордината — соответствующему значению функции. Значения x, при которых функция равна нулю, т. е. корни уравнения f(x) = 0, называются нулями функции: в этих точках график пересекает ось Ox (или касается её).

История

Конец топлива — это нуль функции: 42 − 0,07x = 0, откуда x = 42 : 0,07 = 600. На полном баке такси проедет 600 км — для 230 км до курорта этого с запасом хватит.

Чтобы найти нули, решаем уравнение f(x) = 0. Обращай внимание на уравнения без действительных корней: например, уравнение x² = −3 не имеет действительных корней, ведь квадрат не бывает отрицательным.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

Сколько нулей имеет функция f(x) = x⁴ – x² – 12 (x ∈ R)?

A) 3B) 4C) 1D) 2E) 0

1. Нули — корни уравнения x⁴ − x² − 12 = 0. Обозначим t = x² ≥ 0: t² − t − 12 = 0.Почему так?

   Биквадратное уравнение заменой сводится к квадратному.

2. Корни: t = 4 и t = −3. Значит, (x² − 4)(x² + 3) = 0.
3. x² = 4 → x = ±2; а x² = −3 решений не даёт.Почему так?

   Квадрат не может быть отрицательным: корень t = −3 не даёт значений x.

4. Ответ: 2 нуля (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)

Известно, что для нахождения нулей функции нужно решить уравнение: x⁴ – x² – 12 = 0 ⇔ (x² – 4)(x² + 3) = 0 ⇔ ⇔ [ x² – 4 = 0; x² + 3 = 0 ] ⇔ [ x = ±2; x² = −3 ] Так как множество действительных решений уравнения x² = −3 пустое, нули функции x = ±2. Значит, функция имеет два нуля.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)

Нули можно прочитать и по графику: абсциссы точек пересечения графика с осью Ox и есть нули. Если по графику известно f(a) = f(b) = 0, то сложное уравнение f(g(x)) = 0 распадается на простые: g(x) = a, g(x) = b, …

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

Дан график функции y = f(x). Сколько различных действительных корней имеет уравнение f(4 − 3x²) = 0?

На рисунке концы графика отмечены жирными точками; график пересекает ось Ox только в точках −5 и 4.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 6B) 1C) 5D) 3E) 2

1. График пересекает ось Ox только в точках −5 и 4: f(−5) = 0, f(4) = 0.Почему так?

   Других нулей у функции нет, поэтому f(t) = 0 только при t = −5 или t = 4.

2. 4 − 3x² = −5: x² = 3, x = ±√3.
3. 4 − 3x² = 4: x = 0. Все корни: −√3, 0, √3.Почему так?

   Корни различны, их три.

4. Ответ: 3 корня (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)

Из графика видно, что f(−5) = 0 и f(4) = 0. Так как f(4 − 3x²) = 0, то 1) 4 − 3x² = −5 ⇒ 3x² = 9 ⇒ x² = 3 ⇒ x = ±√3 2) 4 − 3x² = 4 ⇒ 3x² = 0 ⇒ x² = 0 ⇒ x = 0Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Некоторые графики полезно узнавать сразу. График функции y = k/x — гипербола: у неё две ветви, которые неограниченно приближаются к осям координат, но не пересекают их (оси — асимптоты гиперболы). График y = k/(x − m) + n — та же гипербола, только сдвинутая: её асимптоты — прямые x = m и y = n (см. задание 07.06.2026 в Практикуме).

Проверь себя

Сколько нулей у функции f(x) = x³ − 4x?

x(x² − 4) = 0.

Глава 3

Возрастающие и убывающие функции

По мере движения топлива в баке становится меньше: с ростом x значение y = 42 − 0,07x уменьшается. А цена такси, наоборот, растёт с расстоянием. У этих свойств есть математические названия.

Определение

Если для любых x₁ < x₂ из некоторого промежутка выполняется f(x₁) < f(x₂), функция называется возрастающей на этом промежутке, а если f(x₁) > f(x₂) — убывающей.

График возрастающей функции слева направо «поднимается», убывающей — «опускается».

Самое полезное следствие монотонности: у возрастающей (убывающей) функции сравнение значений сводится к сравнению аргументов. У убывающей функции знак неравенства меняется.

Пример 2

f(x) — убывающая функция на всей числовой оси. Решите неравенство f(2a − 1) > f(5).

1. У убывающей функции большее значение соответствует меньшему аргументу: 2a − 1 < 5.Почему так?

   Если бы 2a − 1 ≥ 5, то по свойству убывания f(2a − 1) ≤ f(5).

2. 2a < 6,   a < 3.
3. Ответ: a < 3.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

Если f(x) — убывающая функция и f(15) = 7, найдите наибольшее целое значение, которое может принимать f(20).

1. 20 > 15, а функция убывающая, поэтому f(20) < f(15) = 7.Почему так?

   Большему аргументу соответствует меньшее значение.

2. Неравенство строгое: f(20) не может равняться 7. Наибольшее целое число, меньшее 7, — это 6.Почему так?

   Значение 6 возможно: например, f(x) = 10 − 0,2x убывает, f(15) = 7, f(20) = 6.

3. Ответ: 6.

Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)

Известно, что для любых чисел x₁ и x₂ из области определения убывающей функции при x₁ < x₂ выполняется f(x₂) < f(x₁). Тогда f(20) < f(15), f(20) < 7. Значит, наибольшее целое значение, которое может принимать f(20), равно 6.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

f(x) — возрастающая функция, f(−1) = 4. Найдите наименьшее целое значение, которое может принимать f(3).

3 > −1, значит f(3) > 4.

Глава 4

Линейная функция y = kx + b

Все формулы из нашей истории одного вида: y = 0,5x + 1,5, y = 0,8x, y = −0,07x + 42. Это линейные функции.

Определение

Функция, заданная формулой y = kx + b (k и b — числа), называется линейной. Её область определения — вся числовая ось, а график — прямая. Число k — угловой коэффициент прямой, а b — ордината точки пересечения прямой с осью Oy: (0; b).

Свойства

При k > 0 линейная функция возрастает, при k < 0 убывает, при k = 0 постоянна (график параллелен Ox). Прямые с равными угловыми коэффициентами параллельны.

Меняй в лаборатории k и b: k меняет «наклон» прямой, b — её положение по высоте. Золотая точка — (0; b), чёрная — нуль функции x = −b/k.

Лаборатория · меняй коэффициенты прямойугловой коэффициент k1b2

Прямая полностью определяется двумя точками. Поэтому для нахождения линейной функции достаточно двух точек графика (или одной точки и k): подставляем координаты в y = kx + b и находим k и b.

Пример 3

График линейной функции проходит через точки (1; 3) и (3; 7). Запишите функцию.

1. Два уравнения: k + b = 3, 3k + b = 7.Почему так?

   Точка графика удовлетворяет формуле функции.

2. Вычитаем: 2k = 4, k = 2; затем b = 1.Почему так?

   k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (7 − 3)/(3 − 1) = 2 — это общая формула углового коэффициента.

3. Ответ: y = 2x + 1.

Точка, где значения двух линейных функций равны, — это точка пересечения их графиков. Именно об этом и вопрос про такси.

До точки пересечения дешевле такси II (жёлтая прямая ниже), после неё — такси I.История

Цены равны, когда 1,5 + 0,5x = 0,8x, 0,3x = 1,5, x = 5. За 5 км оба такси берут по 0,8·5 = 4 маната. Например, за 10 км такси I просит 1,5 + 5 = 6,5, а такси II — 8 манатов. До курорта 230 км, поэтому семья выбрала первое такси: на пути длиннее 5 км оно дешевле.

Проверь себя

Найдите абсциссу точки пересечения прямых y = 2x − 1 и y = −x + 8.

2x − 1 = −x + 8.

Глава 5

Угловой коэффициент и уравнение прямой

История

Семья добралась до курорта. Теперь нужно подняться в горы по канатной дороге. Нижняя станция находится на высоте 1200 м, верхняя — на высоте 1900 м. На табличке написано: на каждые 100 м по горизонтали кабина поднимается на 35 м.

На карте горизонтальное расстояние между станциями не указано. Как его найти?

Канатная дорога: на каждые 100 м по горизонтали — подъём 35 м.

Высота кабины — линейная функция горизонтального расстояния: h(x) = 0,35x + 1200 (x — в метрах). Здесь k = 35 : 100 = 0,35 — подъём на каждый метр по горизонтали, т. е. уклон каната, а b = 1200 — начальная высота.

Геометрический смысл углового коэффициента

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла α, который она образует с положительным направлением оси Ox:

k = tg α

Если α острый, то k > 0; если тупой — k < 0. Например, tg 45° = 1, tg 135° = −1.

История

На верхней станции 0,35x + 1200 = 1900, т. е. 0,35x = 700, x = 2000 м. Расстояние между станциями по горизонтали — 2 км. Для угла наклона каната tg α = 0,35, т. е. α ≈ 19°.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

Запишите уравнение прямой, график которой дан.

На рисунке прямая проходит через точку A(−2; 3) и образует с положительным направлением оси Ox угол 135°.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) y = −x + 2B) y = −x + 1C) y = x + 1D) y = x − 2E) y = −x − 1

1. Прямая не перпендикулярна оси Ox, поэтому её уравнение имеет вид y = kx + b. Угловой коэффициент: k = tg 135° = −1.Почему так?

   Угол 135° отсчитывается от положительного направления оси Ox против часовой стрелки; он тупой, поэтому k отрицателен — прямая убывает.

2. Точка A(−2; 3) лежит на прямой: −1·(−2) + b = 3, b = 1.
3. Уравнение: y = −x + 1. Проверка: −(−2) + 1 = 3.Почему так?

   Среди вариантов три прямые с k = −1; точка A выбирает только одну.

4. Ответ: y = −x + 1 (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)

Так как данная на графике прямая не перпендикулярна оси Ox, её уравнение должно иметь вид y = kx + b. Здесь k = tan α = tan135° = −1 — угловой коэффициент прямой, т. е. y = −x + b. Так как по графику данная прямая проходит через точку A(−2;3), подставив её координаты, получаем относительно параметра b уравнение −1·(−2) + b = 3. Отсюда находим, что b = 1. Таким образом, уравнение данной прямой y = −x + 1.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Линейную функцию можно найти и по другим условиям. Например, если f(x) = kx + b, то f(f(x)) = k(kx + b) + b = k²x + b(k + 1) — снова линейная функция с угловым коэффициентом k².

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

f(x) — убывающая линейная функция. Если f(f(x)) = 25x − 16, найдите f(−2).

A) –11B) –18C) 14D) 21E) 24

1. Пишем f(x) = kx + b. Тогда f(f(x)) = k²x + b(k + 1).Почему так?

   Подставляем f в f: вместо аргумента пишем kx + b.

2. Сравниваем коэффициенты: k² = 25; функция убывающая, поэтому k = −5.Почему так?

   k = 5 дало бы возрастающую функцию — не подходит по условию.

3. b(k + 1) = −16: −4b = −16, b = 4. Значит, f(x) = −5x + 4.Почему так?

   Проверка: f(f(x)) = −5(−5x + 4) + 4 = 25x − 16.

4. f(−2) = −5·(−2) + 4 = 14.
5. Ответ: 14 (вариант C).

Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)

Функция f(x) имеет вид f(x) = kx + b. По условию должно быть k < 0. Тогда f(f(x)) = k(kx + b) + b = k²x + kb + b = k²x + b(k + 1). Отсюда следует, что f(f(x)) = k²x + b(k + 1) = 25x − 16. k² = 25; k = −5; b(k + 1) = −16; … f(x) = −5x + 4; f(−2) = 14Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Прямая проходит через точку (2; 1) и образует с положительным направлением оси Ox угол 45°. Чему равно b в её уравнении?

k = tg 45° = 1; 1 = 2 + b.

Проверь себя

Вычислите f(f(3)), если f(x) = 2x + 1.

Сначала f(3) = 7, затем f(7).

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 07.06.2026

Дан график функции y = k/(x − m) + n. По графику найдите сумму (m + n + k).

На рисунке одна клетка — 2 единицы; пунктир — асимптоты x = 2 и y = 4; жирные точки: (4; 8), (6; 6), (−2; 2), (0; 0). Об асимптотах — в главе 2.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 14.

Согласно преобразованиям графиков m=2 и n=4. Из рисунка видно, что график функции y = k/(x − 2) + 4 проходит через точки O(0;0), (4;8), (6,6), (−2,2). Подставив координаты любой из этих точек в равенство y = k/(x − 2) + 4, можно найти k. Подставив O(0;0), получим 0 = k/(0 − 2) + 4 ⇒ k/(−2) = −4; k = 8. Значит, m+n+k=2+4+8=14.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Итоги

Запомни

• Функция: каждому x — единственное y; D(f) — знаменатель ≠ 0, подкоренное выражение чётной степени ≥ 0.
• Нули — корни уравнения f(x) = 0; точки пересечения графика с Ox.
• Если по графику f(a) = f(b) = 0, то f(g(x)) = 0 ⇔ g(x) = a или g(x) = b.
• Возрастающая: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂); убывающая: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).
• Линейная функция y = kx + b: график — прямая, k = tg α, пересечение с Oy — (0; b).
• k > 0 — возрастает, k < 0 — убывает; по двум точкам: k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
• f(f(x)) = k²x + b(k + 1); гипербола y = k/(x − m) + n: асимптоты x = m, y = n.

Типичные ошибки

«Если прямая образует с Ox угол 135°, то k = 1»

k = tg 135° = −1: тангенс тупого угла отрицателен, прямая убывает.

«Если f(f(x)) = 25x − 16, то k = 5»

У k² = 25 два корня; для убывающей функции берём k = −5.

«f убывает и f(15) = 7, значит наибольшее целое значение f(20) равно 7»

Неравенство строгое: f(20) < 7, наибольшее целое значение 6.

«У функции x⁴ − x² − 12 четыре нуля»

Уравнение x² = −3 не имеет действительных корней; нули только ±2.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Найдите f(−2), если f(x) = 3x − x².

f(−2) = −6 − 4 = −10.

2 · Уровень 1

Какая функция убывающая?

k = −2 < 0.

3 · Уровень 2

Область определения функции y = √(x − 1) + 1/(x − 3):

x − 1 ≥ 0 и x ≠ 3.

4 · Уровень 2

Уравнение прямой, проходящей через точки (0; −2) и (2; 4):

b = −2; k = (4 + 2)/2 = 3.

5 · Уровень ДИМ

f(x) — возрастающая линейная функция, f(f(x)) = 9x + 8. Найдите f(1).

k² = 9, k = 3; 4b = 8, b = 2; f(1) = 5.

6 · Уровень ДИМ

Сколько нулей у функции f(x) = x⁴ − 5x² + 4?

(x² − 1)(x² − 4) = 0: x = ±1, ±2.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 22; B-6, C-4, D-14
2. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 17; B-16, C-1, D-9
3. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 2; B-20, C-13, D-19
4. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 62; B-62, C-62, D-71
5. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 26; B-26, C-25, D-23
6. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 24; B-25, C-25, D-23
7. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 10; B-15, C-17, D-20

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.