Квадратичная функция и преобразования графиков

Функции и графики · Тема 23 / 46

Квадратичная функция и преобразования графиков

Этот урок пройдём через историю прогулки в парке: струя фонтана, его обновление и отражение моста в пруду приведут нас к квадратичной функции и преобразованиям графиков: вершина параболы, нули, параллельный перенос, растяжение и симметрия.

≈ 45 минутГлав: 4Заданий ДИМ: 6материал 8–9 классов

После урока ты сможешь

• находить вершину параболы по формуле и выделением полного квадрата;
• находить абсциссу вершины как середину между нулями;
• строить графики с помощью преобразований y = f(x − m) + n, y = a·f(x);
• решать задания ДИМ на симметрию относительно Ox, Oy и начала координат.

Перед началом вспомни

• Квадратное уравнение, дискриминант: D = b² − 4ac.
• Полный квадрат: (x − a)² = x² − 2ax + a².
• Расстояние между двумя точками: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

Содержание

1. ВведениеСитуация: на какую высоту поднимается струя фонтана?история и предположение
2. Глава 1Квадратичная функция и вершина параболывершина · ось симметрии · ДИМ 24.05.2026
3. Глава 2Нули параболы и ось симметрииm = (x₁ + x₂)/2 · ДИМ 09.03.2026
4. Глава 3Параллельный перенос и растяжение графиковy = f(x − m) + n · y = a·f(x)
5. Глава 4Симметричные преобразования графиковOx, Oy, O · ДИМ 09.03.2025, 02.03.2025, 19.04.2026
6. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 1, с ответом и официальным пояснением
7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: на какую высоту поднимается струя фонтана?

История

В городском парке есть круглый бассейн. Струя, бьющая из сопла у края бассейна, описывает дугу и падает в 8 м от него. Работник парка подносит к струе мерную рейку: в 2 м от сопла струя находится на высоте 3 м.

Струя воды — это парабола. Можно ли по этим данным найти высоту самой верхней точки струи?

Струя падает в 8 м от сопла; в 2 м от него её высота 3 м.Сначала предположи

Как ты думаешь, на какую наибольшую высоту поднимается струя? Выбери ответ — посчитаем вместе во 2-й главе.

Глава 1

Квадратичная функция и вершина параболы

Определение

Функция, заданная формулой y = ax² + bx + c (a ≠ 0), называется квадратичной. Её график — парабола: при a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз. Парабола пересекает ось Oy в точке (0; c).

Самая важная точка параболы — вершина: при a > 0 функция принимает в ней наименьшее значение, при a < 0 — наибольшее. Вертикальная прямая x = m, проходящая через вершину, — ось симметрии параболы.

Координаты вершины

Вершина параболы y = ax² + bx + c — точка (m; n):

m = −b/(2a),   n = f(m) = −D/(4a) = (4ac − b²)/(4a)

Формула получается выделением полного квадрата: ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² + (4ac − b²)/(4a). Квадрат в скобках равен нулю при x = −b/(2a) — там и находится вершина.

Вершина, ось симметрии, пересечение с Oy и нули.Пример 1

Найдите вершину параболы y = 2x² − 12x + 13.

1. Абсцисса: m = −(−12)/(2·2) = 3.Почему так?

   Следи, чтобы b подставлялось со своим знаком: b = −12.

2. Ордината: n = f(3) = 18 − 36 + 13 = −5.Почему так?

   Проще всего найти n, подставив m в функцию.

3. Проверка — полный квадрат: 2x² − 12x + 13 = 2(x − 3)² − 5.
4. Ответ: (3; −5).

Проверь себя

Найдите ординату вершины параболы y = −x² + 6x − 1.

m = 3, n = f(3).

В какой четверти лежит вершина, зависит от знаков её координат: I четверть — m > 0, n > 0, II — m < 0, n > 0, III — m < 0, n < 0, IV — m > 0, n < 0. В задачах с параметром выражаем m и n через параметр и решаем два неравенства.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 24.05.2026

При каком наибольшем целом значении k вершина параболы f(x) = x² + 2(k − 5)x + k² находится в IV четверти?

A) 2B) 1C) −3D) −4E) 4

1. Абсцисса вершины: m = −2(k − 5)/2 = 5 − k.Почему так?

   Здесь a = 1, b = 2(k − 5), c = k².

2. Ордината: n = f(m) = k² − (k − 5)² = 10k − 25.Почему так?

   x² + 2(k − 5)x + k² = (x + k − 5)² + k² − (k − 5)², поэтому n = k² − (k − 5)².

3. IV четверть: m > 0 → k < 5; n < 0 → k < 2,5. Вместе k < 2,5.
4. Наибольшее целое значение: k = 2. Проверка: при k = 2 вершина (3; −5) — в IV четверти.Почему так?

   При k = 3 n = 5 > 0 — вершина переходит в I четверть.

5. Ответ: 2 (вариант A).

Официальное пояснение ДИМ (24.05.2026)

Так как координаты (m; n) вершины параболы y = ax² + bx + c находятся по формулам m = −b/(2a), n = −D/(4a), для её расположения в IV четверти должно быть m>0, n<0. Тогда для параболы f(x) = x² + 2(k − 5)x + k² m = −2(k − 5)/(2·1) = 5 − k > 0, k < 5; n = −((2(k − 5))² − 4·1·k²)/(4·1) = −(k − 5)² + k² = = 10k − 25 < 0, k < 2,5. Из пересечения неравенств k<5 и k<2,5 получаем k < 2,5, и наибольшее целое значение k равно 2.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)

Глава 2

Нули параболы и ось симметрии

Парабола симметрична относительно своей оси: в двух точках, равноудалённых от оси, значения функции равны. В частности, точки пересечения параболы с осью Ox — нули функции — симметричны относительно оси.

Вершина посередине между нулями

Если x₁ и x₂ — нули квадратичной функции (или просто f(x₁) = f(x₂)), то абсцисса вершины — их середина:

m = (x₁ + x₂)/2

Когда нули известны, функцию удобно записать в разложенном виде: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂).

История

Вернёмся к фонтану. Примем сопло за начало координат: высота струи h(x) имеет нули (сопло и точка падения), т. е. h(x) = a·x(x − 8). Из условия h(2) = 3 получаем a·2·(−6) = 3, a = −1/4. Вершина посередине между нулями: x = (0 + 8)/2 = 4, h(4) = −1/4 · 4 · (−4) = 4. Струя поднимается на 4 м.

Проверь себя

Парабола пересекает ось Ox в точках −3 и 9. Найдите абсциссу её вершины.

(−3 + 9)/2.

В следующем задании ДИМ нули нужно найти с помощью планиметрии. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на два отрезка, и h² = отрезок₁ · отрезок₂ (высота — среднее пропорциональное этих отрезков).

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2026

Дан график функции f(x) = ax² + bx + c. Если AC ⊥ BC, CO = 5, BO = 25·AO, найдите абсциссу вершины параболы.

На рисунке парабола ветвями вниз пересекает ось Ox в точках A (на отрицательной полуоси) и B (на положительной), ось Oy — в точке C; при вершине C отмечен прямой угол. Схема не в масштабе.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. В треугольнике ACB угол C прямой, а CO — высота, проведённая к гипотенузе AB: CO² = AO · BO.Почему так?

   Треугольники ACO и CBO подобны: AO/CO = CO/BO.

2. Пусть AO = k, BO = 25k: 25 = k · 25k, k² = 1, k = 1.
3. A на отрицательной полуоси, B — на положительной: нули x₁ = −1 и x₂ = 25.Почему так?

   Длины положительны, знаки абсцисс берём с рисунка.

4. Абсцисса вершины: m = (−1 + 25)/2 = 12.
5. Ответ: 12.

Официальное пояснение ДИМ (09.03.2026)

В прямоугольном треугольнике ACB AO=k, BO=25 k, а высота CO, проведённая к гипотенузе, равна 5, поэтому 25=25k·k, k²=1, k=1 (k=–1 невозможно). Тогда, так как AO=1, абсцисса точки A равна (–1), а так как BO=25, абсцисса точки B равна 25. Нули квадратичной функции (–1) и 25, абсцисса вершины параболы m = (−1 + 25)/2 = 12.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Глава 3

Параллельный перенос и растяжение графиков

История

Через несколько дней фонтан обновляют: мастер поднимает сопло на постамент высотой 2,25 м внутри бассейна. Форма струи не меняется — она целиком поднимается на 2,25 м.

Раньше струя падала в 8 м от сопла. А теперь, выходя с постамента, на каком расстоянии от основания сопла она упадёт?

Новая струя — это старая, перенесённая на 2,25 м вверх.

Перемещение графика «целиком» выражается простым изменением формулы функции. Начнём с графика функции y = f(x):

Преобразования графиков

y = f(x) + n — график переносится вдоль Oy на n единиц вверх (n > 0) или вниз (n < 0);y = f(x − m) — график переносится вдоль Ox на m единиц вправо (m > 0) или влево (m < 0);y = a·f(x) (a > 0) — график растягивается вдоль Oy в a раз (a > 1) или сжимается (0 < a < 1).

Внимание: график y = (x + 3)² сдвигается влево, ведь вершина получается при x + 3 = 0, т. е. x = −3. Объединив все эти преобразования, получаем параболу y = a(x − m)² + n: это парабола y = x², растянутая в a раз и перенесённая вершиной в точку (m; n). Те же правила действуют для графиков y = |x|, y = √x, y = 1/x.

Лаборатория · сдвигай и растягивай параболуa1m2n-3История

Старая струя: h(x) = −0,25(x − 4)² + 4. Новая — её копия, перенесённая на 2,25 единицы вверх: h₁(x) = −0,25(x − 4)² + 6,25, вершина (4; 6,25). Струя падает в воду, когда h₁(x) = 0: (x − 4)² = 25, x = 9 (отрицательный корень — позади постамента). Новая струя падает в 9 м — на 1 м дальше прежнего.

Пример 2

Параболу y = 2x² перенесли на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Запишите формулу полученной параболы и её вершину.

1. Вправо на 3: вместо x пишем x − 3 — y = 2(x − 3)².Почему так?

   В точке x новый график принимает значение старого в точке x − 3: всё «запаздывает» на 3, т. е. сдвигается вправо.

2. Вниз на 1: y = 2(x − 3)² − 1.
3. Вершина (3; −1); если раскрыть скобки: y = 2x² − 12x + 17.
4. Ответ: y = 2(x − 3)² − 1, вершина (3; −1).

Проверь себя

Параболу y = (x − 1)² + 4 перенесли на 3 единицы влево и на 5 единиц вниз. Найдите ординату вершины новой параболы.

Вершина (1; 4) → (1 − 3; 4 − 5).

Глава 4

Симметричные преобразования графиков

История

Вечером семья приходит к пруду в парке. Над прудом — арочный мост в форме параболы: пролёт 10 м, высшая точка A на 2,5 м над водой. Вода спокойная, и отражение моста видно совершенно чётко.

Примем поверхность воды за ось Ox, а вертикаль через середину моста — за ось Oy. Точка B — отражение точки A. График какой функции — отражение моста, и каково расстояние между A и B?

Мост и его отражение симметричны относительно поверхности воды (оси Ox).Симметричные преобразования

относительно оси Ox: y = −f(x) — каждая точка (x; y) переходит в (x; −y);относительно оси Oy: y = f(−x) — точка (x; y) переходит в (−x; y);относительно начала координат: y = −f(−x) — точка (x; y) переходит в (−x; −y).

Для параболы это означает, что вершина (m; n) параболы y = a(x − m)² + n при симметрии преобразуется просто как точка: относительно Ox — в (m; −n) (и ветви меняют направление), относительно Oy — в (−m; n), относительно начала координат — в (−m; −n).

История

Мост: y = −0,1x² + 2,5. Отражение симметрично относительно оси Ox: y = 0,1x² − 2,5. Точка A(0; 2,5) переходит в B(0; −2,5), AB = 2,5 + 2,5 = 5 м. В отражении высшая точка моста становится низшей.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2025

Точка A (m; n) — вершина параболы, соответствующей функции y = x² − 8x + 18. Вершины парабол, полученных при симметричных преобразованиях графика этой функции относительно оси абсцисс, начала координат и оси ординат, — соответственно точки B, C и D. Вычислите периметр четырёхугольника ABCD.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Полный квадрат: x² − 8x + 18 = (x − 4)² + 2, значит A(4; 2).Почему так?

   Проверка по формуле: m = 8/2 = 4, n = 16 − 32 + 18 = 2.

2. Преобразуем вершину как точку: Ox → B(4; −2), O → C(−4; −2), Oy → D(−4; 2).Почему так?

   Записывать параболы полностью не нужно — нужны только вершины.

3. ABCD — прямоугольник со сторонами, параллельными осям: AB = |2 − (−2)| = 4, BC = |4 − (−4)| = 8.
4. P = 2(4 + 8) = 24.
5. Ответ: 24.

Официальное пояснение ДИМ (09.03.2025)

По условию точка A (m; n) — вершина параболы, соответствующей функции y = x² − 8x + 18. Координаты m и n можно найти разными способами:1. y = x² − 8x + 18 = x² − 8x + 16 + 2 = (x − 4)² + 22. m = −b/(2a) = 8/2 = 4, n = (4ac − b²)/(4a) = (4·1·18 − 8²)/(4·1) = 2Таким образом, A (4; 2) — вершина данной параболы.Преобразуем график этой функции симметрично относительно оси абсцисс, начала координат и оси ординат:y = (x − 4)² + 2 ←OX→ y = −(x − 4)² − 2 ⇒ B(4; −2)y = (x − 4)² + 2 ←O(0;0)→ y = −(x + 4)² − 2 ⇒ C(−4; −2)y = (x − 4)² + 2 ←OY→ y = (x + 4)² + 2 ⇒ D(−4; 2)Четырёхугольник ABCD — прямоугольник. Вычислим длины его сторон.|AB| = |−2 − 2| = 4|BC| = |−4 − 4| = 8P_ABCD = 2(AB + BC) = 2·12 = 24Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

Если графики функций f(x) = (1/4)(x + 4)² + 3 и g(x) симметричны относительно начала координат, найдите сумму расстояний AB + CD.

На рисунке A и B — вершины парабол, C и D — точки их пересечения с осью Oy.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Вершина f — A(−4; 3); пересечение с Oy: f(0) = (1/4)·16 + 3 = 7, т. е. C(0; 7).Почему так?

   Из вида y = a(x − m)² + n вершина читается сразу: m = −4, n = 3.

2. При симметрии относительно начала координат (x; y) → (−x; −y): B(4; −3), D(0; −7).Почему так?

   График g — поточечный образ графика f, поэтому вершина переходит в вершину, точка на Oy — в точку на Oy.

3. AB = √(8² + 6²) = 10, CD = 7 + 7 = 14.
4. AB + CD = 24.
5. Ответ: 24.

Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)

Как видно, график функции f(x) — парабола. Вершина этой параболы — A(−4;3), а точка пересечения с осью ординат — C(0;7). Так как по условию графики функций f(x) и g(x) симметричны относительно начала координат, вершина графика g(x) — B(4;−3), а точка пересечения с осью ординат — D(0;−7). По формуле расстояния между двумя точками получаем AB = √((4+4)² + (−3−3)²) = 10 и CD = √((0−0)² + (−7−7)²) = 14.Таким образом, AB + CD = 24.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

Даны графики квадратичных функций y = f(x) и y = g(x), симметричных относительно оси Oy. Если g(10) = −8, найдите периметр треугольника MNK (M и N — вершины парабол).

На рисунке M и N — вершины парабол, K — точка их пересечения на оси Oy; пунктиры от N к осям показывают значения 5 и −3.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Симметрия относительно Oy: N(5; −3) → M(−5; −3), значит MN = 10.Почему так?

   На рисунке пунктиры от N к осям показывают значения 5 и −3.

2. Ось симметрии g — x = 5; точки 0 и 10 равноудалены от неё, поэтому g(0) = g(10) = −8, т. е. K(0; −8).Почему так?

   Это свойство из главы 2: f(x₁) = f(x₂) ⇔ x₁ и x₂ симметричны относительно оси.

3. Пусть T(0; −3): TN = 5, TK = 5, значит NK = MK = √(25 + 25) = 5√2.
4. P = 10 + 2·5√2 = 10(√2 + 1).
5. Ответ: 10(√2 + 1).

Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)

I способ: N(5;−3) ←OY→ M(−5;−3) → |MN| = 10; g(0) = g(10) = −8 (прямая x=5 — ось симметрии функции y=g(x).) K(0;-8); T(0;-3), |TK| = 5; ΔTNK = ΔTMK, по теореме Пифагора |MK| = |NK| = 5√2; P_ΔMNK = 10(√2 + 1). …Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)

Проверь себя

Параболу y = (x − 2)² + 3 симметрично отобразили относительно начала координат. Найдите ординату вершины полученной параболы.

(2; 3) → (−2; −3).

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 25.05.2025

При каком наименьшем целом значении m вершина параболы f(x) = x² + 2(m − 5)x + m² находится в I четверти?

«m_наим.цел» — наименьшее целое значение m. Похожее задание — в главе 1 (IV четверть).

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 3.

Для того чтобы вершина (−b/(2a); (4ac − b²)/(4a)) параболы — графика функции f(x) = ax² + bx + c — находилась в I четверти,{ −b/(2a) > 0, (4ac − b²)/(4a) > 0 } → { −2(m − 5)/2 > 0, (4·1·m² − (2(m − 5))²)/4 > 0 }→ { m − 5 < 0, 4m² − 4(m − 5)² > 0 } →{ m < 5, m² − (m² − 10m + 25) > 0 } →{ m < 5, m > 2,5 } → 2,5 < m < 5m_наим.цел = 3.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

Итоги

Запомни

• y = ax² + bx + c: a > 0 — ветви вверх, a < 0 — вниз; пересечение с Oy — (0; c).
• Вершина: m = −b/(2a), n = f(m); ось симметрии x = m.
• Нули x₁, x₂: m = (x₁ + x₂)/2; f(x) = a(x − x₁)(x − x₂).
• Четверти: I — m > 0, n > 0; IV — m > 0, n < 0.
• f(x − m) — вправо на m, f(x) + n — вверх на n; a·f(x) — растяжение вдоль Oy в a раз.
• y = a(x − m)² + n: вершина (m; n).
• Симметрия: Ox — (x; −y), Oy — (−x; y), O — (−x; −y).

Типичные ошибки

«График y = (x + 3)² сдвигается на 3 вправо»

Влево: вершина при x + 3 = 0, т. е. x = −3. f(x − m) сдвигает вправо, f(x + m) — влево.

«При симметрии относительно оси Ox меняется знак x»

Относительно Ox меняется y: (x; y) → (x; −y). Знак x меняется при симметрии относительно Oy.

«Ордината вершины равна c»

c — ордината точки пересечения с Oy. Ордината вершины n = f(m); они совпадают только при b = 0.

«Вершина в IV четверти, если n < 0»

Нужны оба условия: m > 0 и n < 0. Бери пересечение неравенств.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Вершина параболы y = (x + 3)² − 2:

x + 3 = 0 → x = −3; n = −2.

2 · Уровень 1

Какая функция получится, если параболу y = x² перенести на 4 единицы вверх?

Перенос вверх: f(x) + n.

3 · Уровень 2

Абсцисса вершины параболы y = 3x² − 12x + 1:

m = 12/(2·3) = 2.

4 · Уровень 2

График, симметричный графику y = (x − 1)² + 5 относительно оси Ox:

y = −f(x).

5 · Уровень ДИМ

Парабола y = x² + px + q пересекает ось Ox в точках −2 и 8. Ордината вершины:

y = (x + 2)(x − 8), m = 3, n = 5·(−5) = −25.

6 · Уровень ДИМ

При каких k вершина параболы y = x² − 2kx + k + 6 лежит на оси Ox?

n = 0 ⇔ D = 0: 4k² − 4(k + 6) = 0, k² − k − 6 = 0.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 85; B-85, C-85, D-85
2. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 85; B-85, C-85, D-85
3. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 24; B-25, C-23, D-23
4. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 81; B-81, C-81, D-81
5. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 82; B-82, C-82, D-82
6. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 5; B-10, C-6, D-20

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.