График квадратичной функции и его преобразования
Текст урока
Коротко: график функции y = a(x − m)² + n получается из параболы y = x²: график сдвигается на m единиц вправо (при m < 0 — влево) и на n единиц вверх (при n < 0 — вниз), а a задаёт направление и ширину ветвей. Вершина параболы — точка (m; n), ось симметрии — прямая x = m.
aa > 0 — ветви вверх, a < 0 — вниз; чем больше |a|, тем уже параболаmгоризонтальный сдвиг: (x − m)² → на m вправоnвертикальный сдвиг: + n → на n вверхдвигай ползунки и смотри, как движется парабола ↓Базовая парабола: y = x², вершина (0; 0)Серый пунктир — базовая парабола y = x². Бирюзовая линия — преобразованная парабола, красная точка — вершина, красный пунктир — ось симметрии.
aнаправление и ширина1mвправо / влево0nвверх / вниз0y = x²стандартный вид: y = x²- Вершина(0; 0)
- Ось симметрииx = 0
- Ветвивверх
- Наименьшее значение0
- Пересечение с осью Ox1 точка: x = 0
- Пересечение с осью Oy(0; 0)
Перенеси вершину параболы в точку (2; −1).
Настрой ползунки и кнопки…Что видно на графике?
языком ползунков- При m = 3 функция принимает вид y = (x − 3)², и парабола сдвигается на 3 единицы вправо, вершина переходит в точку (3; 0). Хотя в скобках стоит минус, сдвиг идёт вправо.
- При n = −4 функция принимает вид y = x² − 4, парабола опускается на 4 единицы вниз и пересекает ось Ox в двух точках: x = −2 и x = 2.
- При a = −1 парабола симметрично отражается относительно оси Ox: ветви направлены вниз, а вершина становится наибольшим значением.
- При a = 2 парабола сужается (при том же x значение y вдвое больше), а при a = 0,5 — расширяется.
- Если a и n одного знака (например, a > 0 и n > 0), парабола не пересекает ось Ox, то есть уравнение не имеет действительных корней.
Самые частые ошибки
красной ручкой«(x − 2)² сдвигает график влево»Наоборот: при x − 2 график сдвигается на 2 единицы вправо, при x + 2 — на 2 единицы влево. Способ проверки: абсцисса вершины — это x, обращающий скобку в ноль: x − 2 = 0 → x = 2.
Ошибка в знаке абсциссы вершиныДля y = ax² + bx + c абсцисса вершины x₀ = −b / (2a). В y = x² − 6x + 7 коэффициент b = −6, поэтому x₀ = 6 / 2 = 3, а не −3.
Путать влияние a на ширинуС ростом |a| парабола не расширяется, а сужается. Парабола y = 3x² уже, чем y = x², а y = 0,5x² — шире.
Как перейти от стандартного вида к вершине параболы?
две формы — одна парабола| Что находим | y = a(x − m)² + n | y = ax² + bx + c |
|---|---|---|
| Абсцисса вершины | x₀ = m | x₀ = −b / (2a) |
| Ордината вершины | y₀ = n | y₀ = f(x₀) или c − b² / (4a) |
| Ось симметрии | x = m | x = −b / (2a) |
| Пересечение с Oy | (0; am² + n) | (0; c) |
| Число точек пересечения с Ox | a и n разных знаков → 2; n = 0 → 1; одного знака → 0 | D = b² − 4ac: D > 0 → 2; D = 0 → 1; D < 0 → 0 |
Разобранные задачи
сначала реши самЗадача 1
Найдите координаты вершины параболы y = 2x² − 8x + 5.
Показать решениеx₀ = −(−8) / (2 · 2) = 2y₀ = 2 · 2² − 8 · 2 + 5 = −3Ответ: (2; −3). Проверь: поставь ползунки на a = 2, m = 2, n = −3 — стандартный вид будет точно y = 2x² − 8x + 5.
Задача 2
График какой функции получится, если параболу y = x² сдвинуть на 3 единицы влево и на 4 единицы вниз?
Показать решениеy = (x + 3)² − 4Сдвиг влево даёт в скобках знак «+»: m = −3, значит, x − (−3) = x + 3. Сдвиг вниз означает n = −4. В стандартном виде: y = x² + 6x + 5.
В реальной жизни: бросок в баскетболе
парабола в воздухеМяч летит по параболе: высота — квадратичная функция времениВысота брошенного тела (без учёта сопротивления воздуха) — квадратичная функция времени: h(t) = h₀ + v₀t − gt²/2. Коэффициент при t² отрицателен, поэтому ветви направлены вниз, а вершина — наибольшая высота. С параболой связаны и струи фонтанов, и форма спутниковых антенн.
Проверь себя: 5 тестовых заданий
5 вопросовИсточникПрограмма вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Функции и графики → Квадратичная функция, преобразования графиков.
Учебник: Математика, 9 класс.