Логарифм: функция, обратная показательной
Текст урока
Логарифм — ответ на вопрос: «в какую степень нужно возвести a, чтобы получить x?» Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. В общем виде: loga x = y ⇔ ay = x.
Здесь a > 0, a ≠ 1 и x > 0 — у отрицательных чисел и нуля логарифма нет. График y = loga x — зеркальное отражение графика y = ax относительно прямой y = x. lg x — логарифм по основанию 10.
loga x = y ⇔ ay = xопределение: логарифм — это показательloga 1 = 0, loga a = 1потому что a⁰ = 1, a¹ = ax > 0, a > 0, a ≠ 1область определения и условие на основаниевыбери основание и меняй x ↓log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8: красная и синяя точки симметричны относительно y = xСиняя — показательная функция y = aˣ, красная — логарифм y = log_a x, серая пунктирная — y = x. Красная точка (x; log_a x) и синяя (log_a x; x) симметричны относительно y = x.
Основание, ax8log₂ 8 = 3потому что 2³ = 8- Функциявозрастающая
Сделай log₃ x = 2.
Настрой ползунки и кнопки…Что показывает симуляция?
языком ползунков- a = 2, x = 8: высота красной точки 3 — log₂ 8 = 3. А синяя точка (3; 8): 2³ = 8. Один факт с двух сторон.
- Поставь x = 1: для любого основания логарифм равен 0 — все красные кривые проходят через (1; 0).
- Сделай x меньше 1 (a = 2): логарифм становится отрицательным. log₂ 0,5 = −1, потому что 2⁻¹ = 0,5.
- Выбери a = 10: кривая растёт очень медленно. lg 10 = 1, lg 100 = 2 — рост в 10 раз увеличивает логарифм всего на 1.
- Выбери a = 1/2: обе функции убывают. Если основание меньше 1, у большего x логарифм меньше.
Свойства логарифма
упрощают вычисления| Свойство | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Логарифм произведения | loga(xy) = loga x + loga y | log₂ 32 = log₂ 4 + log₂ 8 = 2 + 3 |
| Логарифм частного | loga(x/y) = loga x − loga y | lg 1000 − lg 10 = 3 − 1 = 2 |
| Логарифм степени | loga xk = k · loga x | log₃ 81 = log₃ 3⁴ = 4 |
| Основное логарифмическое тождество | aloga x = x | 5log₅ 7 = 7 |
| Переход к новому основанию | loga x = logc x / logc a | log₄ 8 = log₂ 8 / log₂ 4 = 3/2 |
Самые частые ошибки
красной ручкой«log(x + y) = log x + log y»Для логарифма суммы такого правила нет. В сумму превращается логарифм произведения: log(xy) = log x + log y.
Брать логарифм отрицательного числаlog₂(−4) не существует: никакая степень двойки не бывает отрицательной. Решая уравнение, обязательно проверяй корни условием x > 0.
«Логарифм не бывает отрицательным»Сам логарифм может быть отрицательным: log₂ 0,25 = −2. Отрицательным не может быть число под логарифмом.
Разобранные задачи
сначала реши самЗадача 1
Вычислите: log₂ 32 и log₃ (1/9).
Показать решение2⁵ = 32 → log₂ 32 = 53⁻² = 1/9 → log₃ (1/9) = −2Ответ: 5 и −2.
Задача 2
Решите уравнение: log₂(x − 1) = 3.
Показать решениеx − 1 = 2³ = 8 → x = 9Проверка: x − 1 = 8 > 0 ✓Ответ: x = 9. Всегда проверяй корень областью определения.
В реальной жизни: громкость звука в децибелах
логарифм в наших ушахШёпот ≈ 30 дБ — точка отсчётаГромкость звука измеряют в децибелах (дБ). Это логарифмическая шкала: L = 10 · lg(I / I₀). Каждые +10 дБ увеличивают интенсивность звука в 10 раз, поэтому разговор в 60 дБ в 1000 раз мощнее шёпота в 30 дБ. Долгое пребывание в шуме выше примерно 85 дБ может повредить слух. Кислотность (pH) и магнитуду землетрясений тоже измеряют по логарифмической шкале.
Проверь себя: 5 тестовых заданий
5 вопросов1Чему равен log₃ 81?
2Чему равен log₅ 1?
3Чему равен lg 1000?
4При каких x имеет смысл выражение log₂ x?
5Открытый вопрос: решите уравнение log₂(x + 3) = 4. Запиши ответ числом.
ИсточникПрограмма вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Показательная и логарифмическая функции: логарифм числа, свойства логарифмов, логарифмическая функция и её график, логарифмические уравнения.