ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Логарифм и логарифмическая функция

МатематикаПоказательная и логарифмическая функции

Текст урока
Показательная и логарифмическая функции · Тема 28 / 46

Логарифм и логарифмическая функция

Этот урок пройдём в актовом зале школы: звукооператор, готовящий концерт, работает с децибелами, а децибел — это логарифм. По ходу истории изучим определение и свойства логарифма, переход к новому основанию, логарифмическую функцию и её область определения — до уровня ДИМ.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 9материал 10 класса

После урока ты сможешь

  • вычислять логарифм по определению и применять основное логарифмическое тождество;
  • упрощать выражения с помощью логарифма произведения, частного, степени и перехода к новому основанию;
  • находить область определения логарифмической функции;
  • оценивать, между какими целыми числами лежит логарифм.

Перед началом вспомни

  • Свойства степени: aˣaʸ = aˣ⁺ʸ, (aˣ)ʸ = aˣʸ.
  • Показательная функция y = aˣ: при a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
  • Степень с дробным показателем: ⁿ√(aᵏ) = a^(k/n).

Содержание

  1. ВведениеСитуация: сколько децибел дадут 10 динамиков?история и предположение
  2. Глава 1Определение логарифмаlogₐb = c ⇔ aᶜ = b · lg · ДИМ 19.04.2026
  3. Глава 2Свойства логарифмовпроизведение, частное, степень · ДИМ 02.03.2025
  4. Глава 3Переход к новому основанию и основное тождествоlog_(aᵏ) bᵐ · a^(logₐb) = b · ДИМ 09.03.2026, 12.07.2026
  5. Глава 4Логарифмическая функция и область определенияy = logₐx · x > 0 · основание ≠ 1 · ДИМ 13.07.2025
  6. Глава 5Оценка логарифмаaⁿ < b < aⁿ⁺¹ · ДИМ 01.06.2025
  7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 3, с ответом и официальным пояснением
  8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: сколько децибел дадут 10 динамиков?

История

В актовом зале школы готовятся к выпускному концерту. Звукооператор проверяет динамики: когда работает один динамик, уровень звука в середине зала равен 60 дБ. Громкость звука измеряют в децибелах (дБ).

На сцене 10 таких одинаковых динамиков. Директор волнуется: если включить все сразу, сколько децибел получится? Порог опасности для слуха — около 120 дБ.

Один динамик даёт 60 дБ; на сцене 10 одинаковых динамиков.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько децибел дадут 10 динамиков вместе? Выбери ответ — посчитаем вместе во 2-й главе.

Глава 1

Определение логарифма

История

Начинается репетиция. На сцене играет ударная установка, шумомер оператора показывает 90 дБ. В конце зала разговаривают два ученика — там 60 дБ.

Разница всего 30 дБ. Но оператор говорит, что интенсивность звука барабанов во много раз больше, чем у разговора. Во сколько раз?

Барабаны 90 дБ, разговор 60 дБ: во сколько раз отличаются интенсивности?

Уровень звука вычисляют так: L = 10 · lg(I / I₀), где I — интенсивность звука, I₀ — порог слышимости. Здесь появляется новое действие: lg. Оно отвечает на вопрос: «В какую степень нужно возвести 10, чтобы получить данное число?»

Определение

Пусть a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b, называется логарифмом b по основанию a и обозначается logₐb:

logₐb = c ⇔ aᶜ = b

Особые обозначения: lg b = log₁₀b — десятичный логарифм, ln b = logₑb — натуральный логарифм (e ≈ 2,718).

Из определения сразу следуют три равенства: logₐ1 = 0 (так как a⁰ = 1), logₐa = 1 (так как a¹ = a) и основное логарифмическое тождество:

a^(logₐb) = b

Внимание: логарифма отрицательного числа и нуля не существует (никакая степень положительного основания не равна 0 и не отрицательна). Основание тоже должно быть положительным и отличным от 1.

История

Теперь решим вопрос о барабанах. По определению 90 = 10 · lg(I₁/I₀), т. е. I₁/I₀ = 10⁹. Так же для разговора I₂/I₀ = 10⁶. Отношение: I₁ : I₂ = 10⁹ : 10⁶ = 1000. Интенсивность звука барабанов в тысячу раз больше, чем у разговора, а децибелы выросли всего на 30.

Пример 1

Вычислите: а) lg 0,001; б) log₁/₂ 8; в) log₃ (1/9).

  1. а) 0,001 = 10⁻³, значит lg 0,001 = −3.Почему так?

    Каждый раз записываем число как степень основания; логарифм — это и есть показатель.

  2. б) 8 = 2³ = (1/2)⁻³, значит log₁/₂ 8 = −3.Почему так?

    Основание меньше 1, число больше 1, поэтому логарифм отрицателен.

  3. в) 1/9 = 3⁻², значит log₃ (1/9) = −2.
  4. Ответ: −3; −3; −2.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

Вычислите значение выражения log₃81.

A) 1/3B) 4C) 9D) 3E) 1/4
  1. Записываем 81 как степень числа 3: 81 = 3⁴.Почему так?

    3, 9, 27, 81 — последовательные степени числа 3.

  2. По определению log₃3⁴ = 4.
  3. Ответ: 4 (вариант B).
Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)
log₃81 = log₃3⁴ = 4Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)
Проверь себя

Вычислите log₂ 32.

32 = 2⁵.

Глава 2

Свойства логарифмов

При умножении степеней показатели складываются: aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ. Логарифм — это показатель, поэтому логарифм произведения превращается в сумму логарифмов. Все свойства степени переходят на язык логарифмов так:

Свойства (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

logₐ(bc) = logₐb + logₐclogₐ(b/c) = logₐb − logₐclogₐbⁿ = n · logₐb

Причина: пусть b = aˣ, c = aʸ. Тогда bc = aˣ⁺ʸ, т. е. logₐ(bc) = x + y. Внимание: для логарифма суммы такой формулы нет: lg(b + c) ≠ lg b + lg c.

История

Вернёмся к вопросу о концерте. Интенсивность 10 динамиков в 10 раз больше, чем у одного: L = 10 · lg(10 · I/I₀). Логарифм произведения: 10 · (lg 10 + lg 10⁶) = 10 · (1 + 6) = 70 дБ. Значит, 10 динамиков дают не 600 дБ, а всего 70 дБ — гораздо ниже порога опасности. Децибелы не складываются: когда интенсивность растёт в 10 раз, к уровню просто прибавляется 10 дБ.

Пример 2

Вычислите: а) log₆4 + log₆9; б) lg 25 + lg 40.

  1. а) log₆4 + log₆9 = log₆36 = 2.Почему так?

    По отдельности log₆4 и log₆9 — «некрасивые» числа, но произведение 36 = 6².

  2. б) lg 25 + lg 40 = lg 1000 = 3.
  3. Ответ: 2; 3.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

Найдите значение выражения lg ⁵√(10²) + lg ∛(10²) + lg ⁵√(10³) + lg ∛10.

  1. Записываем корни как степени: lg ⁵√(10²) = 2/5, lg ⁵√(10³) = 3/5, lg ∛(10²) = 2/3, lg ∛10 = 1/3.Почему так?

    ⁿ√(10ᵏ) = 10^(k/n), а lg даёт этот показатель.

  2. Группируем корни одной степени: (2/5 + 3/5) + (2/3 + 1/3) = 1 + 1.Почему так?

    В пояснении ДИМ та же идея: сумма — это логарифм произведения, ⁵√(10²)·⁵√(10³) = ⁵√(10⁵) = 10.

  3. Ответ: 2.
Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)
lg ⁵√(10²) + lg ∛(10²) + lg ⁵√(10³) + lg ∛10 == (lg ⁵√(10²) + lg ⁵√(10³)) + (lg ∛(10²) + lg ∛10) == lg ⁵√(10⁵) + lg ∛(10³) = 1 + 1 = 2.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

Вычислите log₃54 − log₃2.

Разность — логарифм частного: 54 : 2 = 27.

Глава 3

Переход к новому основанию и основное тождество

Когда основания разные, приводим их к общему основанию. Для этого достаточно двух формул:

Переход к новому основанию (a, c > 0, a, c ≠ 1, b > 0, k ≠ 0)

logₐb = log_c b / log_c alog_(aᵏ) bᵐ = (m/k) · logₐb

Вторая формула следует из первой: log_(aᵏ) bᵐ = m·logₐb / (k·logₐa) = (m/k)·logₐb. В частности, logₐb · log_b a = 1 и log₄8 = log_(2²) 2³ = 3/2.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2026

Вычислите значение выражения log₈₁8 : log₉32.

  1. Оба основания и оба числа — степени: 81 = 3⁴, 9 = 3², 8 = 2³, 32 = 2⁵.Почему так?

    Общим «кирпичиком» будет log₃2.

  2. log₈₁8 = (3/4)·log₃2, log₉32 = (5/2)·log₃2.
  3. Делим, log₃2 сокращается: (3/4) : (5/2) = (3/4)·(2/5) = 6/20 = 0,3.Почему так?

    log₃2 ≠ 0, поэтому сокращать можно.

  4. Ответ: 0,3.
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2026)
log₈₁8 : log₉32 = (log_(3⁴) 2³)/(log_(3²) 2⁵) = ((3/4)log₃2)/((5/2)log₃2) = (3/4)·(2/5) = 0,3.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Основное тождество a^(logₐb) = b работает, когда в показателе стоит логарифм. Удобно сначала собрать показатель в один логарифм, а потом применить тождество: 3^(2 log₃5) = 3^(log₃25) = 25.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

Если a=5^x и x=log₅3+2log₅4, найдите значение a.

  1. Свойство степени: 2log₅4 = log₅4² = log₅16.Почему так?

    Коэффициент переходит внутрь логарифма как показатель: n·logₐb = logₐbⁿ.

  2. Сумма — логарифм произведения: x = log₅3 + log₅16 = log₅48.
  3. Основное тождество: a = 5ˣ = 5^(log₅48) = 48.Почему так?

    Вычислять сам x не нужно — это «некрасивое» число (≈ 2,405).

  4. Ответ: 48.
Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)
I способ: Если применить свойства логарифма, x = log₅3 + 2log₅4 = log₅3 + log₅4² = log₅(3·4²) = log₅48 … Тогда a = 5^x = 5^(log₅48) = 48. II способ: a = 5^x = 5^(log₅3 + 2log₅4) = 5^(log₅3) · 5^(2log₅4) = 3·4² = 48 .Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Вычислите log₂₇9 (дробью или десятичной дробью).

27 = 3³, 9 = 3²: log_(3³) 3² = 2/3.

Глава 4

Логарифмическая функция и область определения

История

В день концерта оператор включает второй динамик. На мониторе видна кривая L = 10 · lg x: x — число динамиков, L — добавленные ими децибелы. Кривая поднимается, но всё медленнее.

Один динамик давал 60 дБ. Сколько дБ дадут два динамика — 120?

На мониторе кривая L = 10 · lg x; на сцене два динамика.Определение

Функция y = logₐx (a > 0, a ≠ 1) называется логарифмической. Её область определения — (0; +∞), множество значений — R. Она обратна функции y = aˣ: их графики симметричны относительно прямой y = x.

y = 2ˣ и y = log₂x — «зеркальные отражения» друг друга.Свойства

При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 — убывает. График всегда проходит через точку (1; 0), так как logₐ1 = 0.

Лаборатория · меняй основание: aˣ и logₐxоснование a2x4

Синяя линия — y = logₐx, красный пунктир — y = aˣ. Они симметричны относительно серой прямой y = x. При a = 1 логарифма не существует, поэтому лаборатория вместо a = 1 берёт 1,1.

История

При двух динамиках интенсивность растёт в 2 раза: L = 60 + 10 · lg 2 ≈ 60 + 10 · 0,301 ≈ 63 дБ. Звук стал громче всего примерно на 3 дБ, а не до 120 дБ. Логарифмическая функция возрастает, но очень медленно: каждое удвоение интенсивности даёт лишь +3 дБ.

На экзамене чаще всего спрашивают область определения. Правило: выражение под логарифмом должно быть положительным, а основание — положительным и отличным от 1. Если логарифм стоит под корнем, то и сам логарифм должен быть неотрицательным.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Найдите область определения функции y = 5logₓ(5 − x).

Здесь 5logₓ(5 − x) означает 5 · logₓ(5 − x).

A) [0;1) ∪ (1;5]B) (0; 5)C) (0;1) ∪ (1;5)D) (1; 5)E) (−∞; +∞)
  1. Основание: x > 0 и x ≠ 1.Почему так?

    В этом задании переменная стоит в основании — забыть про него самая частая ошибка.

  2. Выражение под логарифмом: 5 − x > 0, т. е. x < 5.
  3. Пересечение: 0 < x < 5, точку 1 исключаем.
  4. Ответ: (0; 1) ∪ (1; 5) (вариант C).
Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)
По определению логарифмической функции { x > 0, x ≠ 1, 5 − x > 0 } ⇒ x ∈ (0;1) ∪ (1;5)Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)
Пример 3

Найдите область определения функции y = √(lg(x − 2)).

  1. Под логарифмом: x − 2 > 0.
  2. Под корнем: lg(x − 2) ≥ 0 = lg 1, т. е. x − 2 ≥ 1.Почему так?

    lg — возрастающая функция (основание 10 > 1), поэтому знак сохраняется. Если бы основание было меньше 1, знак бы поменялся — подробно это разберём в следующем уроке.

  3. Оба условия: x ≥ 3.
  4. Ответ: [3; +∞).
Проверь себя

Сколько целых чисел в области определения функции y = log_(x − 1)(7 − x)?

x − 1 > 0, x − 1 ≠ 1, 7 − x > 0.

Глава 5

Оценка логарифма

Часто логарифм не является «красивым» числом: log₂20 ≈ 4,32. Но сразу можно сказать, между какими двумя целыми числами он лежит: так как 2⁴ = 16 < 20 < 32 = 2⁵, для возрастающей функции log₂x получаем 4 < log₂20 < 5.

Оценка

Если a > 1 и aⁿ < b < aⁿ⁺¹, то n < logₐb < n + 1.

Пример 4

Найдите значение выражения |x − 3| + |x − 4|, если x = log₂10.

  1. Так как 2³ = 8 < 10 < 16 = 2⁴, то 3 < x < 4.Почему так?

    Точное значение x не нужно — нужны только знаки под модулями.

  2. |x − 3| = x − 3, |x − 4| = 4 − x.
  3. Сумма: (x − 3) + (4 − x) = 1.
  4. Ответ: 1.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

Если x = log₄ 28 и y = log₃ 38, найдите значение выражения |x − y| − |x − 3| + |5 − y|.

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. Так как 4² = 16 < 28 < 64 = 4³, то 2 < x < 3; так как 3³ = 27 < 38 < 81 = 3⁴, то 3 < y < 4.Почему так?

    Оба основания больше 1, логарифм возрастает.

  2. Знаки: x − y < 0, x − 3 < 0, 5 − y > 0.
  3. Раскрываем модули: (y − x) − (3 − x) + (5 − y) = 2.Почему так?

    x и y сокращаются — ответ целый.

  4. Ответ: 2.
Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)
Так как 4² < 28 < 4³ и 3³ < 38 < 3⁴, соответственно 2 < x < 3 и 3 < y < 4. Из последних неравенств ясно, что x < y, x < 3, y < 5. Значит, |x − y| − |x − 3| + |5 − y| = −x + y + x − 3 + 5 − y = 2Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Между какими двумя последовательными целыми числами лежит log₃50? Запишите меньшее.

3³ = 27 < 50 < 81 = 3⁴.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 09.03.2025

Вычислите значение выражения log₂((14² − 10²)/24).

A) –1B) 1C) 2D) –2E) 0Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 2 (вариант C).

log₂((14² − 10²)/24) = log₂((14 − 10)(14 + 10)/24) == log₂(4·24/24) = log₂4 = 2Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
ДИМ · 15.03.2026

Найдите значение выражения log₂√(14 + 2log₃√(7 + lg100)).

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 2.

Применяются свойства логарифма числа и квадратного корня, и выполняется вычисление: log₂√(14 + 2log₃√(7 + lg100)) = log₂√(14 + 2log₃√9) = = log₂√(14 + 2log₃3) = log₂√16 = log₂4 = 2Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
ДИМ · 06.07.2025

Найдите область определения функции y = √(log_{1/2}(1 − 6x)).

Так как основание 1/2 < 1, в логарифмическом неравенстве знак меняется (следующий урок).

A) [0; 1/3)B) (−1/4; 0)C) (−1; 0)D) (−1; −1/2)E) [0; 1/6)Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: [0; 1/6) (вариант E).

Ясно, что область определения данной функции совпадает с множеством решений следующего неравенства:log_{1/2}(1 − 6x) ≥ 0Решим это неравенство равносильными преобразованиями:log_{1/2}(1 − 6x) ≥ log_{1/2} 1 ⇔ { 1 − 6x > 0, 1 − 6x ≤ 1 } ⇔ { −6x > −1, −6x ≤ 0 } ⇔ { x < 1/6, x ≥ 0 }Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)
Итоги

Запомни

  • logₐb = c ⇔ aᶜ = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0); a^(logₐb) = b.
  • logₐ1 = 0, logₐa = 1, lg 10ⁿ = n.
  • logₐ(bc) = logₐb + logₐc; logₐ(b/c) = logₐb − logₐc; logₐbⁿ = n·logₐb.
  • logₐb = log_c b / log_c a; log_(aᵏ) bᵐ = (m/k)·logₐb.
  • y = logₐx: область определения x > 0, проходит через (1; 0); a > 1 — возрастает, 0 < a < 1 — убывает.
  • Область определения: под логарифмом > 0, основание > 0 и ≠ 1, логарифм под корнем ≥ 0.
  • Оценка: aⁿ < b < aⁿ⁺¹ ⇒ n < logₐb < n + 1 (a > 1).

Типичные ошибки

«lg(b + c) = lg b + lg c»

Для логарифма суммы формулы нет. Сумма логарифмов — это логарифм произведения: lg b + lg c = lg(bc).

«10 динамиков дают 10 · 60 = 600 дБ»

Децибел — логарифм: при росте интенсивности в 10 раз уровень растёт на 10 дБ, получается 70 дБ.

«Для logₓ(5 − x) нужно только условие 5 − x > 0»

Есть ещё условия на основание: x > 0 и x ≠ 1. Ответ: (0; 1) ∪ (1; 5).

«log₈₁8 = 8 : 81»

Логарифм — не отношение, а показатель: 81 = 3⁴, 8 = 2³, log₈₁8 = (3/4)·log₃2.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Значение log₂64:

64 = 2⁶.

2 · Уровень 1

Значение lg 2 + lg 50:

lg(2 · 50) = lg 100 = 2.

3 · Уровень 2

Значение log₉27:

log_(3²) 3³ = 3/2 = 1,5.

4 · Уровень 2

Область определения функции y = lg(9 − x²):

9 − x² > 0 ⇔ −3 < x < 3.

5 · Уровень ДИМ

Значение 7^(log₇2 + 2log₇3):

2log₇3 = log₇9; log₇2 + log₇9 = log₇18; 7^(log₇18) = 18.

6 · Уровень ДИМ

Если x = log₂12, значение выражения |x − 3| + |x − 4|:

8 < 12 < 16 ⇒ 3 < x < 4; (x − 3) + (4 − x) = 1.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 75; B-74, C-74, D-74
  2. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 69; B-72, C-71, D-72
  3. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 25; B-26, C-25, D-23
  4. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 7; B-4, C-20, D-19
  5. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 10; B-16, C-14, D-18
  6. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 74; B-77, C-76, D-76
  7. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 78; B-74, C-78, D-77
  8. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 71; B-66, C-61, D-63
  9. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 26; B-24, C-26, D-23

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки