ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Показательная функция, показательные уравнения и неравенства

МатематикаПоказательная и логарифмическая функции

Текст урока
Показательная и логарифмическая функции · Тема 27 / 46

Показательная функция, показательные уравнения и неравенства

Этот урок пройдём в биологической лаборатории: в чашке Петри колония бактерий каждый час удваивается, а в чашке с антибиотиком — уменьшается вдвое. Эта история приведёт нас к свойствам степени, показательной функции, её множеству значений, показательным уравнениям и неравенствам — до уровня ДИМ.

≈ 50 минутГлав: 6Заданий ДИМ: 10материал 10 класса

После урока ты сможешь

  • упрощать показательные выражения с помощью свойств степени;
  • определять, возрастает или убывает функция y = aˣ, и находить её множество значений;
  • решать показательные уравнения приведением к одному основанию, вынесением общего множителя и заменой;
  • понимать, когда в показательном неравенстве меняется знак.

Перед началом вспомни

  • Решение квадратного уравнения и теорема Виета.
  • Степень с натуральным показателем: aⁿ = a · a · … · a.
  • −1 ≤ sin x ≤ 1 и |x| ≥ 0.

Содержание

  1. ВведениеСитуация: когда колония достигнет 6400?история и предположение
  2. Глава 1Степень и её свойствапоказатель, основание, свойства
  3. Глава 2Показательная функция и её графикy = aˣ · возрастание и убывание · (0; +∞)
  4. Глава 3Множество значений сложной показательной функциипромежуток показателя · наибольшее и наименьшее · ДИМ 25.05.2025
  5. Глава 4Показательные уравнения: одно основание и общий множительaᶠ = aᵍ ⇔ f = g · ДИМ 02.03.2025, 09.03.2025, 06.07.2025
  6. Глава 5Замена и однородные показательные уравненияt = aˣ > 0 · однородное уравнение · ДИМ 01.06.2025
  7. Глава 6Показательные неравенствазнак сохраняется или меняется · ДИМ 09.03.2026
  8. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 4, с ответом и официальным пояснением
  9. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  10. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: когда колония достигнет 6400?

История

В биологической лаборатории университета студенты изучают размножение бактерий. В 09:00 в чашку Петри с агаром поместили 100 бактерий. Лаборант объясняет: при подходящей температуре каждая бактерия примерно за час делится надвое, т. е. колония каждый час увеличивается в 2 раза.

Опыт нужно остановить, когда в колонии будет 6400 бактерий. На доске записан вопрос: через сколько часов это произойдёт?

В 09:00 в чашке 100 бактерий; колония каждый час удваивается.Сначала предположи

Как ты думаешь, через сколько часов в колонии будет 6400 бактерий? Выбери ответ — посчитаем вместе в 4-й главе.

Глава 1

Степень и её свойства

Запишем колонию по часам: 100, 200, 400, 800, … Каждый раз предыдущее число умножается на 2, поэтому через t часов число бактерий равно N = 100 · 2ᵗ. Здесь переменная стоит в показателе степени. Чтобы работать с такими выражениями, сначала повторим свойства степени.

Степень с нулевым, отрицательным и дробным показателем

Пусть a > 0. a⁰ = 1; a⁻ⁿ = 1/aⁿ; a^(1/n) = ⁿ√a; a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) (m — целое, n — натуральное, n ≥ 2). В записи степени a — основание, число вверху — показатель степени.

Свойства степени (a > 0, b > 0)

aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸaˣ : aʸ = aˣ⁻ʸ(aˣ)ʸ = aˣʸ(ab)ˣ = aˣ · bˣ(a/b)ˣ = aˣ / bˣ

При решении уравнений эти свойства часто читаем справа налево: 5ˣ⁺¹ = 5 · 5ˣ, 2ˣ⁺³ = 8 · 2ˣ, 6ˣ = 2ˣ · 3ˣ. Такое «расщепление» помогает увидеть общий множитель в показательных уравнениях.

Пример 1

Найдите значение выражения 2ˣ⁺² · 4ˣ / 8ˣ при любом x.

  1. Приводим все основания к 2: 4ˣ = (2²)ˣ = 2²ˣ, 8ˣ = 2³ˣ.Почему так?

    Чтобы умножать и делить степени с одинаковым основанием, достаточно складывать/вычитать показатели.

  2. Объединяем показатели: 2^(x + 2 + 2x − 3x) = 2².
  3. 2² = 4.Почему так?

    x сократился, поэтому ответ не зависит от x. Проверка: при x = 1 получаем 8 · 4 / 8 = 4.

  4. Ответ: 4.
Проверь себя

Вычислите 16^(3/4).

16^(1/4) = 2, затем возведи в куб.

Глава 2

Показательная функция и её график

История

На следующий день в другую чашку капнули антибиотик. Там было 6400 бактерий, и теперь их число каждый час уменьшается вдвое. Компьютер моделирует число по формуле N = 6400 · (1/2)ᵗ и рисует кривую на мониторе.

Кривая всё ближе подходит к оси. Один из студентов спрашивает: станет ли число по этой модели когда-нибудь равно нулю?

В чашке с антибиотиком число каждый час уменьшается вдвое; на мониторе кривая N = 6400 · (1/2)ᵗ.Определение

Функция вида y = aˣ (a > 0, a ≠ 1) называется показательной. Её область определения — множество всех действительных чисел R, а множество значений — промежуток (0; +∞).

Оба графика проходят через точку (0; 1) и сколь угодно близко подходят к оси Ox, но не пересекают её.Свойства показательной функции

1) aˣ > 0 при любом x; график проходит через точку (0; 1);2) при a > 1 функция возрастает: x₁ < x₂ ⇔ aˣ¹ < aˣ²;3) при 0 < a < 1 функция убывает: x₁ < x₂ ⇔ aˣ¹ > aˣ²;4) (1/a)ˣ = a⁻ˣ, т. е. функция y = 3⁻ˣ совпадает с y = (1/3)ˣ.

Меняй основание a в лаборатории: при a > 1 график поднимается вправо, при 0 < a < 1 опускается, а при a = 1 превращается в горизонтальную прямую (поэтому и ставят условие a ≠ 1). Чёрная точка (0; 1) никуда не уходит.

Лаборатория · меняй основание, следи за графикомоснование a2x1

Серый пунктир — график y = (1/a)ˣ: он симметричен графику y = aˣ относительно оси Oy.

История

По модели число каждый час уменьшается вдвое: 6400, 3200, 1600, 800, … Через 6 часов остаётся 6400 · (1/2)⁶ = 100. Но выражение 6400 · (1/2)ᵗ никогда не равно 0, так как множество значений (1/2)ᵗ — это (0; +∞): кривая приближается к оси, но не пересекает её. Лаборант улыбается: «В жизни погибает и последняя бактерия, но это уже дело биолога, а не формулы».

Пример 2

Сравните числа 0,7⁻² и 0,7⁻³.

  1. Оба числа — значения функции y = 0,7ˣ; основание 0 < 0,7 < 1, значит, функция убывает.Почему так?

    Чтобы сравнить степени с одинаковым основанием, смотрим только, больше основание 1 или меньше.

  2. Показатели: −2 > −3. У убывающей функции большему аргументу соответствует меньшее значение.
  3. Ответ: 0,7⁻² < 0,7⁻³.
Проверь себя

Запишите десятичной дробью значение функции y = 2ˣ при x = −3.

2⁻³ = 1/2³ = 1/8.

Глава 3

Множество значений сложной показательной функции

На экзамене ДИМ часто спрашивают множество значений функции вида y = a^(f(x)), где показатель f(x) сам является функцией. Правило простое: сначала найди промежуток изменения показателя, а затем «перенеси» его, учитывая монотонность показательной функции.

Правило

Если m ≤ f(x) ≤ M, то при a > 1 получаем aᵐ ≤ y ≤ aᴹ, а при 0 < a < 1 — aᴹ ≤ y ≤ aᵐ (знаки меняются).

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 25.05.2025

Найдите множество значений функции y = 9^(sin x).

Рисунок меняется вместе с шагами.A) [1; 81]B) [9; +∞)C) (−∞; 81]D) [1/9; 9]E) [1/3; 3]
  1. Промежуток показателя: −1 ≤ sin x ≤ 1.Почему так?

    sin x при любом x лежит между −1 и 1 и принимает все эти значения.

  2. Основание 9 > 1, функция возрастает, знаки сохраняются: 9⁻¹ ≤ 9^(sin x) ≤ 9¹.Почему так?

    Возрастающая функция меньшему показателю ставит в соответствие меньшее значение.

  3. Значит, 1/9 ≤ y ≤ 9.
  4. Ответ: [1/9; 9] (вариант D).
Официальное пояснение ДИМ (25.05.2025)
Известно, что −1 ≤ sin x ≤ 1. Это неравенство нужно учесть в показательной функции y = 9ˣ. Так как основание показательной функции больше 1, она возрастающая. Значит,1/9 ≤ 9^(sin x) ≤ 9 → 1/9 ≤ y ≤ 9 .Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)
Пример 3

Найдите множество значений функции y = 2^(1 − |x|).

  1. Промежуток показателя: так как |x| ≥ 0, то 1 − |x| ≤ 1; с ростом |x| показатель становится сколь угодно малым (до −∞).Почему так?

    Показатель заполняет весь промежуток (−∞; 1]. Наибольшее значение — при x = 0.

  2. Основание 2 > 1: y ≤ 2¹ = 2; снизу значения приближаются к нулю, но не достигают его.Почему так?

    Значения показательной функции всегда положительны.

  3. Ответ: (0; 2].

Ещё одно частое выражение: y = 3ˣ + 3⁻ˣ. Сначала заметим, что функция чётная: y(−x) = 3⁻ˣ + 3ˣ = y(x). А её наименьшее значение даёт неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел.

Пример 4

Найдите наименьшее значение функции y = 3ˣ + 3⁻ˣ.

  1. 3ˣ и 3⁻ˣ положительны, их произведение 3ˣ · 3⁻ˣ = 3⁰ = 1.Почему так?

    Когда произведение постоянно, наименьшее значение суммы даёт неравенство «среднее арифметическое ≥ среднего геометрического».

  2. (3ˣ + 3⁻ˣ)/2 ≥ √(3ˣ · 3⁻ˣ) = 1, т. е. y ≥ 2.
  3. Равенство достигается при 3ˣ = 3⁻ˣ, т. е. при x = 0: y(0) = 1 + 1 = 2.
  4. Ответ: 2.
Проверь себя

Найдите наибольшее значение функции y = 5^(1 − x²).

1 − x² ≤ 1, основание 5 > 1.

Глава 4

Показательные уравнения: одно основание и общий множитель

Показательная функция либо возрастает, либо убывает, поэтому каждое значение принимает только один раз. Отсюда главное правило показательных уравнений:

Равенство степеней с одинаковым основанием

При a > 0, a ≠ 1:

a^(f(x)) = a^(g(x)) ⇔ f(x) = g(x)

История

Вернёмся к вопросу в лаборатории: 100 · 2ᵗ = 6400. Делим обе части на 100: 2ᵗ = 64. Так как 64 = 2⁶, получаем t = 6 ч. Колония достигает 6400 в 15:00. Ответы «64 часа» или «32 часа» появляются, если представлять рост линейным: «каждый час добавляется одно и то же число».

Пример 5

Решите уравнение 27ˣ⁻¹ = 9ˣ⁺¹.

  1. Приводим оба основания к 3: 3^(3(x − 1)) = 3^(2(x + 1)).Почему так?

    27 = 3³, 9 = 3²; при возведении степени в степень показатели перемножаются.

  2. Приравниваем показатели: 3x − 3 = 2x + 2, x = 5.
  3. Проверка: 27⁴ = 531441 = 9⁶.
  4. Ответ: 5.

Если в уравнении есть степени с одинаковым основанием, показатели которых отличаются на постоянное число, то степень с наименьшим показателем выносим за скобки.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2025

Решите уравнение 3·5ˣ + 5ˣ⁺¹ = 200.

  1. Пишем 5ˣ⁺¹ = 5 · 5ˣ и выносим 5ˣ за скобки: 5ˣ(3 + 5) = 200.Почему так?

    Две степени с показателями x и x + 1 приводятся к одной «единице» — 5ˣ.

  2. 8 · 5ˣ = 200, откуда 5ˣ = 25 = 5².
  3. x = 2. Проверка: 3 · 25 + 125 = 200.
  4. Ответ: 2.
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2025)
3·5ˣ + 5ˣ⁺¹ = 2005ˣ(3 + 5) = 2005ˣ·8 = 2005ˣ = 25x = 2Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

Из уравнения (1/6)ˣ = (2/3)ˣ⁺¹ найдите значение 4ˣ.

  1. Раскладываем основания на простые множители: (1/6)ˣ = 1/(2ˣ · 3ˣ), (2/3)ˣ⁺¹ = (2 · 2ˣ)/(3 · 3ˣ).Почему так?

    6 = 2 · 3, и в дроби 2/3 тоже есть 2 и 3; общие «кирпичики» — 2ˣ и 3ˣ.

  2. Умножаем обе части на 3ˣ: 1/2ˣ = 2 · 2ˣ/3, откуда 3 = 2 · 2ˣ · 2ˣ.Почему так?

    3ˣ > 0, поэтому умножение не меняет корней уравнения.

  3. Так как 2ˣ · 2ˣ = 4ˣ, получаем 4ˣ = 3/2.Почему так?

    Находить x не нужно: спрашивают сразу 4ˣ.

  4. Ответ: 4ˣ = 1,5.
Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)
(1/6)ˣ = (2/3)ˣ⁺¹1/(2ˣ·3ˣ) = (2ˣ·2)/(3ˣ·3)2ˣ·2ˣ = 3/24ˣ = 3/2 = 1,5Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Особый случай: переменная может стоять и в основании, например (f(x))^(g(x)) = 1. Такая степень равна 1 в двух случаях: основание равно 1 (показатель — любое имеющее смысл число) или показатель равен 0 (тогда основание не должно быть равно 0).

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

Найдите произведение корней уравнения |x − 2|^(4x−6) = 1.

A) 1B) 2,5C) 2D) 4E) 4,5
  1. 1-й случай: основание равно 1: |x − 2| = 1, т. е. x − 2 = 1 или x − 2 = −1, откуда x = 3, x = 1.Почему так?

    Любая степень единицы равна 1: 1⁶ = 1, 1⁻² = 1.

  2. 2-й случай: показатель равен 0: 4x − 6 = 0, x = 1,5. Основание |1,5 − 2| = 0,5, не ноль — корень подходит.Почему так?

    Выражение 0⁰ не имеет смысла, поэтому при нулевом показателе проверяем, что основание не равно нулю.

  3. Корни: 1; 1,5; 3. Произведение: 1 · 1,5 · 3 = 4,5.
  4. Ответ: 4,5 (вариант E).
Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)
Для решения таких уравнений нужно рассмотреть два случая:1) Случай, когда основание степени равно единице, т. е. |x − 2| = 1. В этом случае показатель степени тоже должен иметь смысл.[ x − 2 = 1; x − 2 = −1 ] [ x = 3; x = 1 ]2) Случай, когда показатель степени равен нулю; в этом случае основание степени должно быть отлично от нуля.|x − 2|^(4x−6) = 1|x − 2|^(4x−6) = |x − 2|⁰4x − 6 = 0x = 1,5В этом случае нужно проверить условие |x − 2| ≠ 0.Значит, данное уравнение имеет три корня: 1; 1,5 ; 3, и их произведение равно 4,5.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Решите уравнение 2ˣ⁺¹ + 2ˣ = 48.

2ˣ(2 + 1) = 48.

Глава 5

Замена и однородные показательные уравнения

Если в уравнении вместе встречаются 4ˣ и 2ˣ, полагаем t = 2ˣ: тогда 4ˣ = (2ˣ)² = t², и уравнение превращается в квадратное. Самый важный шаг — в конце: так как t = aˣ > 0, отрицательные и нулевые корни t отбрасываются.

Пример 6

Решите уравнение 4ˣ − 3 · 2ˣ − 4 = 0.

  1. Замена t = 2ˣ, t > 0: t² − 3t − 4 = 0.
  2. Корни: t = 4, t = −1. Отрицательный корень отбрасываем.Почему так?

    2ˣ = −1 невозможно: значения показательной функции положительны.

  3. 2ˣ = 4, x = 2.
  4. Ответ: 2.

Иногда замена не видна сразу. В уравнении вида A · a²ˣ + B · (ab)ˣ + C · b²ˣ = 0 у всех слагаемых одинаковая «степень» (a²ˣ, aˣbˣ, b²ˣ): такое уравнение называется однородным. Делим его на b²ˣ и делаем замену t = (a/b)ˣ.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

Решите уравнение 7 · 49ˣ + 5 · 14ˣ = 2 · 4ˣ.

A) –1B) 0C) 2D) 1E) –2
  1. 49ˣ = 7²ˣ, 14ˣ = 7ˣ · 2ˣ, 4ˣ = 2²ˣ: уравнение однородное. Делим обе части на 4ˣ > 0: 7 · (7/2)²ˣ + 5 · (7/2)ˣ − 2 = 0.Почему так?

    49/4 = (7/2)², 14/4 = 7/2: после деления остаётся один «кирпичик» — (7/2)ˣ.

  2. Замена t = (7/2)ˣ > 0: 7t² + 5t − 2 = 0, корни t = −1 и t = 2/7.
  3. t = −1 невозможно. (7/2)ˣ = 2/7 = (7/2)⁻¹, значит x = −1.Почему так?

    Проверка: 7/49 + 5/14 = 1/7 + 5/14 = 1/2 и 2 · 4⁻¹ = 1/2.

  4. Ответ: −1 (вариант A).
Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)
7 · 49ˣ + 5 · 14ˣ = 2 · 4ˣ; 7 · 49ˣ + 5 · 14ˣ − 2 · 4ˣ = 0. Разделим обе части последнего равенства на 4ˣ: 7 · (49/4)ˣ + 5 · (14/4)ˣ − 2 · (4/4)ˣ = 0; 7 · (7/2)²ˣ + 5 · (7/2)ˣ − 2 = 0. Если сделать замену (7/2)ˣ = t: 7t² + 5t − 2 = 0 ⇒ t₁ = −1, t₂ = 2/7. 1) (7/2)ˣ = −1 ⇒ … 2) (7/2)ˣ = 2/7 ⇒ x = −1Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Когда спрашивают сумму корней, находить сами корни не всегда нужно. После замены теорема Виета даёт произведение t₁ · t₂, а aˣ¹ · aˣ² = t₁ · t₂ означает a^(x₁ + x₂) = t₁ · t₂.

Пример 7

Найдите сумму корней уравнения 3ˣ + 3¹⁻ˣ = 4.

  1. t = 3ˣ > 0, 3¹⁻ˣ = 3/t: t + 3/t = 4, т. е. t² − 4t + 3 = 0.Почему так?

    t ≠ 0, поэтому обе части можно умножить на t.

  2. Корни t = 1 и t = 3 — оба положительны и подходят: x = 0, x = 1.
  3. Короткий путь: 3^(x₁ + x₂) = t₁ · t₂ = 3, значит x₁ + x₂ = 1.Почему так?

    Теорема Виета: в уравнении t² − 4t + 3 = 0 произведение корней равно 3.

  4. Ответ: 1.
Проверь себя

Решите уравнение 4ˣ − 2ˣ⁺¹ − 8 = 0.

t = 2ˣ: t² − 2t − 8 = 0, t > 0.

Глава 6

Показательные неравенства

История

В лаборатории начинается новый опыт. В чашку A поместили 900 бактерий, они каждый час удваиваются. В чашке B всего 400 бактерий, но этот вид размножается быстрее: каждый час в 3 раза.

Через t часов в чашке A будет 900 · 2ᵗ, а в чашке B — 400 · 3ᵗ бактерий. Студенты спорят: когда B обгонит A?

Гонка двух колоний: A — 900 · 2ᵗ, B — 400 · 3ᵗ.Правило

Приведи неравенство к степеням с одинаковым основанием: a^(f(x)) < a^(g(x)). Далее: при a > 1 получаем f(x) < g(x) (знак сохраняется); при 0 < a < 1 — f(x) > g(x) (знак меняется).

Причина — снова монотонность: возрастающая функция сохраняет порядок значений, убывающая — меняет его на противоположный. Неравенство можно делить на положительное выражение aˣ — знак не меняется.

Пример 8

Решите неравенство (1/3)ˣ > 9.

  1. Пишем 9 = (1/3)⁻²: (1/3)ˣ > (1/3)⁻².
  2. Основание 1/3 < 1, знак меняется: x < −2.Почему так?

    Проверка: при x = −3 получаем (1/3)⁻³ = 27 > 9 — верно.

  3. Ответ: (−∞; −2).
История

Вопрос о гонке: 400 · 3ᵗ > 900 · 2ᵗ. Делим обе части на 400 · 2ᵗ > 0: (3/2)ᵗ > 9/4, т. е. (3/2)ᵗ > (3/2)². Основание 3/2 > 1, знак сохраняется: t > 2. Через 2 часа в каждой чашке по 3600 бактерий, а через 3 часа B уже впереди: 10800 > 7200.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2026

Найдите наименьшее целое решение неравенства 2^(x+3) − 6·2^x < 3^(x+1) − 3^x.

  1. Расщепляем степени: 2ˣ⁺³ = 8 · 2ˣ, 3ˣ⁺¹ = 3 · 3ˣ.Почему так?

    В каждой части появляются подобные слагаемые с одинаковым основанием.

  2. Подобные слагаемые: 2 · 2ˣ < 2 · 3ˣ, т. е. 2ˣ < 3ˣ.
  3. Делим на 3ˣ > 0: (2/3)ˣ < (2/3)⁰. Основание 2/3 < 1, знак меняется: x > 0.Почему так?

    Ловушка здесь: из записи 2ˣ < 3ˣ нельзя сделать вывод «x < 0». Например, при x = 1 неравенство 2 < 3 верно.

  4. Неравенство строгое, 0 не является решением; наименьшее целое решение x = 1.
  5. Ответ: 1.
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2026)
2³·2^x − 6·2^x < 3·3^x − 3^x, 2·2^x < 2·3^x, 2^x < 3^x. Если разделить каждую часть на 3^x > 0, получим (2/3)^x < (2/3)^0. Отсюда x > 0. Тогда наименьшее целое решение неравенства равно 1.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

Найдите наименьшее целое решение неравенства (0,5)ˣ < 4.

4 = 0,5⁻²; основание меньше 1.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 05.07.2026

Установите соответствие для функций. 1. y = 3^(−x) + 3 2. y = 3^x − 3 3. y = 3^x + 3^(−x) — a. возрастающая функция b. убывающая функция c. нечётная функция d. чётная функция e. наименьшее значение равно 2

Каждой функции может соответствовать одно или несколько свойств; некоторые свойства могут не подойти ни одной.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 1-b; 2-a; 3-d, e.

Функция y = a^x при a > 1 возрастающая, при 0 < a < 1 — убывающая. 1. y = 3^(−x) + 3 = (1/3)^x + 3, 0 < a = 1/3 < 1, таким образом, функция убывающая. 2. y = 3^x − 3, так как a = 3 > 1, функция возрастающая. 3. y = 3^x + 3^(−x): так как y(−x) = 3^(−x) + 3^(−(−x)) = 3^(−x) + 3^x = y(x), функция y(x) чётная. Известно, что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического ( (a + b)/2 ≥ √(ab) ). Тогда (3^x + 3^(−x))/2 ≥ √(3^x · 3^(−x)) ⇒ 3^x + 3^(−x) ≥ 2. Значит, наименьшее значение функции y = 3^x + 3^(−x) равно 2.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 07.06.2026

Найдите множество значений функции y = (1/4)^(cos x).

A) (−∞; 1/4] ∪ [4; +∞)B) (0; +∞)C) (0; 4)D) [1/4; 4]E) (−∞; +∞)Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: [1/4; 4] (вариант D).

I способ: −1 ≤ cos x ≤ 1; (1/4)⁻¹ ≥ (1/4)^(cos x) ≥ (1/4)¹; 4 ≥ y ≥ 1/4 ⇒ y ∈ [1/4; 4]. II способ: y = (1/4)^(cos x) = 4^(−cos x); поэтому наименьшее значение этой функции равно 4⁻¹ = 1/4, а наибольшее — 4¹ = 4. По свойству непрерывных функций множество значений данной функции — [1/4; 4].Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)
ДИМ · 24.05.2026

Найдите множество значений функции y = 3^(2−5|x+2|).

A) (0; 9]B) (0; 27]C) [1; 9)D) (1/9; 9]E) [9; +∞)Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: (0; 9] (вариант A).

Так как при любом значении x |x + 2| ≥ 0, −5|x + 2| ≤ 0, значения выражения 2 − 5|x + 2| изменяются в промежутке (−∞; 2]. Учитывая, что множество значений показательной функции — (0; +∞), а наибольшее значение функции y = 3^(2−5|x+2|) равно 3² = 9, множество значений функции будет (0;9].Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 13.07.2025

Найдите сумму корней уравнения 2ˣ + 2⁻ˣ = 8.

Короткий путь (глава 5): оба корня уравнения t² − 8t + 1 = 0 положительны (t₁ + t₂ = 8 > 0, t₁ · t₂ = 1 > 0), и по теореме Виета t₁ · t₂ = 1, т. е. 2^(x₁ + x₂) = 1. Знак log₂ из пояснения изучается в следующем уроке.

A) –2B) –3C) 4D) 0E) 3Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 0 (вариант D).

Если сделать замену 2ˣ = t, получим t + 1/t = 8 ⇒ t² − 8t + 1 = 0 ⇒ { t₁ = 4 − √15; t₂ = 4 + √15 }. 2ˣ = 4 − √15, 2ˣ = 4 + √15 ⇒ { x₁ = log₂(4 − √15); x₂ = log₂(4 + √15) }; x₁ + x₂ = log₂(4 − √15) + log₂(4 + √15) = = log₂(4 − √15)(4 + √15) = = log₂(16 − 15) = log₂1 = 0.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)
Итоги

Запомни

  • Степень: a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ, aˣaʸ = aˣ⁺ʸ, (aˣ)ʸ = aˣʸ.
  • y = aˣ: область определения R, множество значений (0; +∞), график проходит через (0; 1).
  • a > 1 — функция возрастает, 0 < a < 1 — убывает.
  • Для множества значений y = a^(f(x)) сначала найди промежуток показателя; 3ˣ + 3⁻ˣ ≥ 2.
  • aᶠ = aᵍ ⇔ f = g; выноси общий множитель: 3·5ˣ + 5ˣ⁺¹ = 8·5ˣ.
  • Замена t = aˣ > 0: отрицательные корни отбрасывай; однородное уравнение дели на b²ˣ.
  • (f(x))^(g(x)) = 1: основание 1 или показатель 0 (основание ≠ 0).
  • Неравенство: a > 1 — знак сохраняется, 0 < a < 1 — меняется.

Типичные ошибки

«Раз 2ˣ < 3ˣ, то x < 0»

Делим на 3ˣ и пишем (2/3)ˣ < (2/3)⁰; основание меньше 1, поэтому знак меняется: x > 0.

«После замены подходят оба корня t»

Так как t = aˣ > 0, отрицательное t (например, t = −1) отбрасывается.

«Если |x − 2|^(4x − 6) = 1, то показатель обязательно равен нулю»

Степень равна 1 и при основании 1: случай |x − 2| = 1 даёт корни x = 1 и x = 3.

«Функция 6400 · (1/2)ᵗ в какой-то момент обращается в ноль»

Значения показательной функции всегда положительны: график приближается к оси Ox, но не пересекает её.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Решите уравнение 2ˣ⁺¹ + 2ˣ = 24.

2ˣ(2 + 1) = 24 → 2ˣ = 8 → x = 3.

2 · Уровень 1

Множество значений функции y = 2^(cos x):

−1 ≤ cos x ≤ 1, основание 2 > 1: 2⁻¹ ≤ y ≤ 2¹.

3 · Уровень 2

Множество решений неравенства (0,5)ˣ < 4:

4 = 0,5⁻²; основание меньше 1, знак меняется: x > −2.

4 · Уровень 2

Сумма корней уравнения 9ˣ − 4 · 3ˣ + 3 = 0:

3ˣ = t: t² − 4t + 3 = 0 → t = 1, t = 3 → x = 0, x = 1; сумма 1.

5 · Уровень ДИМ

Решите уравнение 5ˣ⁺¹ − 5ˣ⁻¹ = 24.

5ˣ⁻¹(25 − 1) = 24 → 5ˣ⁻¹ = 1 → x = 1.

6 · Уровень ДИМ

Множество значений функции y = 2^(3 − |x − 1|):

3 − |x − 1| ≤ 3, основание 2 > 1: 0 < y ≤ 2³ = 8.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 76; B-78, C-77, D-78
  2. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 78; B-77, C-77, D-77
  3. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 4; B-14, C-10, D-5
  4. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 15; B-14, C-9, D-6
  5. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 10; B-21, C-11, D-22
  6. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 20; B-6, C-2, D-13
  7. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 75; B-75, C-75, D-78
  8. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 14; B-1, C-16, D-22
  9. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 10; B-2, C-14, D-14
  10. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 27; B-27, C-27, D-27

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки