ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Логарифмические уравнения и неравенства

МатематикаПоказательная и логарифмическая функции

Текст урока
Показательная и логарифмическая функции · Тема 29 / 46

Логарифмические уравнения и неравенства

Этот урок пройдём в бассейне спортивного комплекса: кислотность воды измеряют как pH = −lg c, и каждый вопрос смотрителя превращается в логарифмическое уравнение или неравенство. От простейшего уравнения до ОДЗ, посторонних корней, замены, логарифмирования и неравенств — на уровне ДИМ.

≈ 50 минутГлав: 4Заданий ДИМ: 7материал 10–11 классов

После урока ты сможешь

  • решать простейшие логарифмические уравнения по определению;
  • находить ОДЗ и отбрасывать посторонние корни;
  • находить произведение корней с помощью замены, логарифмирования и теоремы Виета;
  • сохранять или менять знак в логарифмических неравенствах в зависимости от основания.

Перед началом вспомни

  • Определение и свойства логарифма: logₐb = c ⇔ aᶜ = b, logₐ(bc) = logₐb + logₐc.
  • Квадратные уравнения и неравенства, метод интервалов.
  • Логарифмическая функция: при a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.

Содержание

  1. ВведениеСитуация: в норме ли вода в бассейне?история и предположение
  2. Глава 1Простейшие логарифмические уравнения и область определенияlogₐf = b ⇔ f = aᵇ · ОДЗ
  3. Глава 2Решение с помощью свойств и посторонние корниlogₐf = logₐg · посторонние корни · ДИМ 05.07.2026
  4. Глава 3Замена и логарифмированиеt = logₐx · логарифмирование · ДИМ 15.03.2026, 07.06.2026, 12.07.2026
  5. Глава 4Логарифмические неравенствамонотонность + ОДЗ · ДИМ 19.04.2026
  6. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 2, с ответом и официальным пояснением
  7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: в норме ли вода в бассейне?

История

Смотритель бассейна спортивного комплекса каждое утро берёт пробу воды. Кислотность воды измеряют показателем pH: pH = −lg c, где c — концентрация ионов водорода в воде (моль/л). Норма для пловцов: 7 ≤ pH ≤ 8.

Лаборатория присылает не pH, а сразу концентрацию c. Смотритель пишет на доске вопрос: в каком промежутке должна быть c, чтобы вода была в норме?

Крытый бассейн: норма 7 ≤ pH ≤ 8, pH = −lg c. В каком промежутке должна быть концентрация c?Сначала предположи

Как ты думаешь, какие концентрации соответствуют норме? Выбери ответ — решим вместе в 4-й главе.

Глава 1

Простейшие логарифмические уравнения и область определения

История

В комплексе есть и маленький детский бассейн. Прибор смотрителя показывает там pH = 6 — это ниже нормы, вода немного кислая.

Химику нужна сама концентрация: чему равна c? И во сколько раз нужно уменьшить концентрацию, чтобы поднять pH до 7?

В детском бассейне pH = 6. Чему равна концентрация c?

Уравнение, в котором переменная стоит под знаком логарифма (или в его основании), называется логарифмическим. Простейшее имеет вид logₐ f(x) = b, и его решают по определению логарифма.

Простейшее уравнение

При a > 0, a ≠ 1:

logₐ f(x) = b ⇔ f(x) = aᵇ

История

Детский бассейн: −lg c = 6, т. е. lg c = −6, откуда c = 10⁻⁶ моль/л. Для pH = 7 нужно c = 10⁻⁷: концентрация должна уменьшиться в 10 раз. Рост pH на 1 означает уменьшение концентрации в 10 раз.

Область определения

Множество тех x, при которых все выражения уравнения имеют смысл, называется областью определения (ОДЗ). В логарифмическом уравнении: каждое выражение под логарифмом > 0, основание > 0 и ≠ 1. Выражение под корнем ≥ 0.

В простейшем уравнении проверка не нужна: так как f(x) = aᵇ > 0, условие выполняется само. Но при преобразованиях (объединении логарифмов, замене) могут появиться посторонние корни — тогда ОДЗ проверяют обязательно.

Пример 1

Решите уравнение log₃(2x − 1) = 2.

  1. По определению 2x − 1 = 3² = 9.Почему так?

    Логарифм — это показатель: при возведении 3 во 2-ю степень должно получиться 2x − 1.

  2. 2x = 10, x = 5.
  3. Проверка: log₃9 = 2.
  4. Ответ: 5.
Проверь себя

Решите уравнение log₂(x + 3) = 4.

x + 3 = 2⁴.

Глава 2

Решение с помощью свойств и посторонние корни

История

Летом работает и открытый бассейн комплекса. Ночью прошёл сильный дождь. Химик говорит, что дождевая вода увеличила концентрацию ионов водорода в бассейне в 100 раз. Утром прибор показывает pH = 5,5.

Каким был pH до дождя — была ли вода в норме?

После дождя c выросла в 100 раз, pH = 5,5. Каким был pH раньше?Равенство логарифмов с одинаковым основанием

При a > 0, a ≠ 1 logₐ f(x) = logₐ g(x) ⇔ f(x) = g(x) при условии f(x) > 0 и g(x) > 0.

История

Пусть концентрация до дождя c, теперь она 100c. Логарифм произведения: −lg(100c) = −(lg 100 + lg c) = −2 − lg c = 5,5. Значит, −lg c = 7,5: до дождя pH был 7,5 — в норме. Когда концентрация растёт в 100 раз, pH уменьшается на 2.

Превращение суммы логарифмов в логарифм произведения расширяет область определения: выражение log₂x + log₂(x − 2) существует только при x > 2, а log₂(x(x − 2)) — ещё и при x < 0. Поэтому найденные корни проверяем по исходному уравнению.

Пример 2

Решите уравнение log₂x + log₂(x − 2) = 3.

  1. ОДЗ: x > 0 и x − 2 > 0, т. е. x > 2.
  2. log₂(x(x − 2)) = 3, откуда x² − 2x = 8, x² − 2x − 8 = 0.
  3. Корни x = 4 и x = −2. x = −2 не входит в ОДЗ — это посторонний корень.Почему так?

    При x = −2 выражение log₂(−2) не имеет смысла, хотя (−2)·(−4) = 8.

  4. Ответ: 4.

Если переменная стоит в основании, проверяют и условия на основание: f(x) > 0, f(x) ≠ 1. Если справа отношение логарифмов, сначала применяем формулу перехода к новому основанию «справа налево»: log_c b / log_c a = logₐb.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

Решите уравнение log₍₂ₓ₋₁₎ 8 = log₅ 2 / log₅ 3.

A) 10B) 9C) 14D) 12E) 7
  1. Правая часть: log₅2 / log₅3 = log₃2.Почему так?

    Переход к новому основанию: logₐb = log_c b / log_c a, здесь c = 5.

  2. Слева число 8 = 2³; правую часть тоже записываем через 2³: log₃2 = log_(3³) 2³ = log₂₇8.Почему так?

    log_(aᵏ) bᵏ = logₐb: возведение основания и числа в одну степень не меняет логарифм.

  3. log_(2x − 1) 8 = log₂₇8, откуда 2x − 1 = 27, 2x = 28, x = 14.
  4. Условия на основание: 2x − 1 = 27 > 0, 27 ≠ 1.
  5. Ответ: 14 (вариант C).
Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)
log₍₂ₓ₋₁₎ 8 = log₅ 2 / log₅ 3. Применим к правой части равенства формулу log_c b / log_c a = log_a b: log₍₂ₓ₋₁₎ 8 = log₅ 2 / log₅ 3; log₍₂ₓ₋₁₎ 2³ = log₃ 2; log₍₂ₓ₋₁₎ 2³ = log₍₃³₎ 2³; 2x − 1 = 3³; 2x − 1 = 27; 2x = 28; x = 14Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Решите уравнение log₃(x + 1) + log₃(x − 1) = 1.

x² − 1 = 3; отрицательный корень не входит в ОДЗ.

Глава 3

Замена и логарифмирование

Если в уравнении вместе встречаются log₂²x = (log₂x)² и log₂x, замена t = log₂x превращает его в квадратное. В отличие от показательного уравнения здесь t может быть любого знака — ограничений на t нет, условие только x > 0.

Пример 3

Решите уравнение lg²x − 3 lg x + 2 = 0.

  1. t = lg x: t² − 3t + 2 = 0, корни t = 1, t = 2.
  2. lg x = 1 ⇒ x = 10, lg x = 2 ⇒ x = 100.Почему так?

    Оба корня положительны и входят в ОДЗ.

  3. Ответ: 10; 100.

Когда спрашивают произведение корней, теорема Виета экономит время: log₂x₁ + log₂x₂ = t₁ + t₂, значит x₁ · x₂ = 2^(t₁ + t₂).

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 15.03.2026

Найдите произведение корней уравнения log₂(log₂²x − 3log₂x + 4) = 3.

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. Раскрываем внешний логарифм по определению: log₂²x − 3log₂x + 4 = 2³ = 8.Почему так?

    Это простейшее уравнение: logₐf = b ⇔ f = aᵇ; здесь f = log₂²x − 3log₂x + 4.

  2. t = log₂x: t² − 3t − 4 = 0, корни t = −1, t = 4.
  3. x₁ = 2⁻¹ = 1/2, x₂ = 2⁴ = 16. Оба положительны, и под внешним логарифмом в каждом случае 8.Почему так?

    Отрицательное t здесь не запрещено: log₂x = −1 просто означает x = 1/2.

  4. Произведение: (1/2) · 16 = 8.Почему так?

    Проверка по Виету: t₁ + t₂ = 3, x₁x₂ = 2³ = 8.

  5. Ответ: 8.
Официальное пояснение ДИМ (15.03.2026)
В данном уравнении делается замена log₂x = t, оно приводится к квадратному уравнению, квадратное уравнение решается и находятся его корни: log₂(log₂²x − 3log₂x + 4) = 3; log₂²x − 3log₂x + 4 = 8; t² − 3t + 4 = 8; t² − 3t − 4 = 0; t₁ = −1, t₂ = 4. Полученные корни квадратного уравнения подставляются в замену и находятся корни данного уравнения: t₁ = −1, log₂x = −1, x₁ = 1/2; t₂ = 4, log₂x = 4, x₂ = 16. Находится произведение корней данного уравнения x₁·x₂ = (1/2)·16 = 8Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 07.06.2026

Решите уравнение √(log₂x) − log₂(8x) + 5 = 0.

A) 16B) 8C) 128D) 512E) 32
  1. ОДЗ: 8x > 0 и log₂x ≥ 0, т. е. x ≥ 1.Почему так?

    Логарифм под корнем не может быть отрицательным: log₂x ≥ 0 = log₂1.

  2. log₂(8x) = 3 + log₂x, поэтому уравнение: √(log₂x) − log₂x + 2 = 0.
  3. t = √(log₂x) ≥ 0: t² − t − 2 = 0, корни t = −1, t = 2. Отрицательное t отбрасываем.Почему так?

    Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным.

  4. √(log₂x) = 2, log₂x = 4, x = 16. Проверка: 2 − 7 + 5 = 0.
  5. Ответ: 16 (вариант A).
Официальное пояснение ДИМ (07.06.2026)
Сначала найдём область определения уравнения: {8x > 0; log₂x ≥ 0} ⇔ {x > 0; x ≥ 1} ⇒ должно быть x ∈ [1; +∞). √(log₂x) − log₂(8x) + 5 = 0; √(log₂x) − (log₂8 + log₂x) + 5 = 0; √(log₂x) − log₂x + 2 = 0; если сделать замену √(log₂x) = t, то t − t² + 2 = 0, и отсюда t₁ = −1, t₂ = 2. √(log₂x) = −1 быть не может. √(log₂x) = 2 ⇒ log₂x = 4 ⇒ x = 16Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Когда переменная стоит и в основании, и в показателе (x^(f(x)) = b), обе части логарифмируют: log₂(x^(f(x))) = f(x) · log₂x, а затем снова t = log₂x.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

Найдите произведение корней уравнения x^(1+log₂x) = 4.

A) 1B) 1/4C) 2D) 4E) 1/2
  1. Логарифмируем обе части по основанию 2: (1 + log₂x) · log₂x = log₂4 = 2.Почему так?

    x > 0 (основание), поэтому обе части положительны и их можно логарифмировать; логарифм степени: logₐbⁿ = n·logₐb.

  2. t = log₂x: t² + t − 2 = 0, корни t = −2, t = 1, т. е. x = 1/4, x = 2.
  3. Произведение: x₁ · x₂ = 2^(t₁ + t₂) = 2⁻¹ = 1/2.Почему так?

    Проверка: 2^(1 + 1) = 4 и (1/4)^(1 − 2) = 4.

  4. Ответ: 1/2 (вариант E).
Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)
Если прологарифмировать обе части равенства x^(1+log₂x) = 4 по основанию 2, получим log₂(x^(1+log₂x)) = log₂4, или уравнение (1 + log₂x)·log₂x = 2. Сделаем замену log₂x = t. Тогда получим квадратное уравнение t² + t − 2 = 0. Корни этого уравнения t₁ = −2, t₂ = 1. С учётом замены для этих корней можно записать log₂x₁ = t₁ = −2; log₂x₂ = t₂ = 1. Тогда, сложив эти равенства почленно, получим log₂x₁ + log₂x₂ = −2 + 1 = −1, или log₂(x₁ · x₂) = −1 ⇒ x₁ · x₂ = 1/2.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Найдите произведение корней уравнения log₃²x − log₃x − 2 = 0.

t₁ + t₂ = 1, x₁x₂ = 3¹.

Глава 4

Логарифмические неравенства

В неравенстве одновременно следят за двумя вещами: монотонностью логарифмической функции и областью определения.

Правило

При a > 1logₐf < logₐg ⇔ 0 < f < g (знак сохраняется); при 0 < a < 1logₐf < logₐg ⇔ f > g > 0 (знак меняется).

Промежуток решений зависит от основания: при a > 1 — слева (до нуля), при 0 < a < 1 — справа.

Не забывай записывать число как логарифм: 0 = logₐ1, b = logₐaᵇ. В лаборатории меняй основание и b и смотри, как «перескакивает» промежуток решений.

Лаборатория · logₐx ≤ b или logₐx ≥ b: увидь промежуток решенийоснование a2b2

Золотая полоса на оси Ox — множество решений. Сделай основание меньше 1 и посмотри: полоса перескакивает на другую сторону. При a = 1 логарифма не существует, поэтому лаборатория вместо a = 1 берёт 1,1.

История

Вернёмся к вопросу о бассейне: 7 ≤ −lg c ≤ 8, т. е. −8 ≤ lg c ≤ −7. lg — возрастающая функция (основание 10 > 1), знаки сохраняются: 10⁻⁸ ≤ c ≤ 10⁻⁷. Вода в норме, только когда концентрация между 10⁻⁸ и 10⁻⁷ моль/л. Внимание: чем больше pH, тем меньше c — ответ «7 ≤ c ≤ 8» этого не учитывает.

Пример 4

Решите неравенство log₁/₂(x − 1) > −2.

  1. Записываем −2 = log₁/₂4: log₁/₂(x − 1) > log₁/₂4.
  2. Основание 1/2 < 1, знак меняется, и добавляется ОДЗ: 0 < x − 1 < 4.Почему так?

    (1/2)⁻² = 4. У убывающей функции большему значению соответствует меньший аргумент.

  3. 1 < x < 5.
  4. Ответ: (1; 5).
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

Решите неравенство log₃(x − 3) ≤ 0.

A) [4; +∞)B) (3; +∞)C) (3; 4]D) (−∞; 0]E) [3; 4]
  1. Записываем 0 = log₃1: log₃(x − 3) ≤ log₃1.Почему так?

    Правую часть тоже сделали логарифмом с тем же основанием.

  2. Основание 3 > 1, знак сохраняется; вместе с ОДЗ: 0 < x − 3 ≤ 1.Почему так?

    Если забыть условие «x − 3 > 0», получится неверный ответ вида (−∞; 4].

  3. 3 < x ≤ 4.
  4. Ответ: (3; 4] (вариант C).
Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)
log₃(x − 3) ≤ 0 ⇔ { log₃(x − 3) ≤ log₃1; x − 3 > 0 } ⇔ { (x − 3) ≤ 1; x − 3 > 0 } ⇔ { x ≤ 4; x > 3 }Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)
Пример 5

Решите неравенство log₂²x − 3log₂x + 2 < 0.

  1. t = log₂x: t² − 3t + 2 < 0, т. е. 1 < t < 2.
  2. 1 < log₂x < 2, т. е. 2 < x < 4.Почему так?

    Квадратный трёхчлен отрицателен между корнями; основание 2 > 1, знаки сохраняются.

  3. Ответ: (2; 4).
Проверь себя

Сколько целых решений у неравенства log₂(x − 1) ≤ 3?

0 < x − 1 ≤ 8.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 25.05.2025

Найдите наименьшее решение неравенства log₃(x² + x + 3) ≤ 2.

A) −4B) 1C) 2D) −5E) −3Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: −3 (вариант E).

Чтобы неравенство имело смысл, должно выполняться x² + x + 3 > 0. Так как D = 1² − 4·1·3 = −11 < 0, это неравенство выполняется при любом x. При решении данного неравенства учитывается, что логарифмическая функция с основанием больше единицы возрастает. То естьlog₃(x² + x + 3) ≤ 2 → log₃(x² + x + 3) ≤ log₃ 9 →→ x² + x + 3 ≤ 9 → x² + x − 6 ≤ 0 → (x + 3)(x − 2) ≤ 0Неравенство решается методом интервалов, и находим x ∈ [−3; 2]. Наименьшее решение данного неравенства равно –3.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 24.05.2026

Решите неравенство lg²x + lg x > 2.

A) (0; 10)B) ∅C) (0; 0,1)D) (0; 1) ∪ (10; +∞)E) (0; 0,01) ∪ (10; +∞)Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: (0; 0,01) ∪ (10; +∞) (вариант E).

При замене lg x = t (x > 0) получается неравенство t² + t − 2 > 0. Решив его методом интервалов и учитывая, что его нули −2 и 1, получаем решения систем неравенств lg x < −2 ⇒ { x < 0,01; x > 0 } или lg x > 1 ⇒ { x > 10; x > 0 }. Тогда решение данного неравенства — объединение решений полученных систем неравенств, т. е. общее решение (0; 0,01) ∪ (10; +∞).Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)
Итоги

Запомни

  • logₐf(x) = b ⇔ f(x) = aᵇ.
  • ОДЗ: под логарифмом > 0, основание > 0 и ≠ 1, под корнем ≥ 0.
  • logₐf = logₐg ⇔ f = g, f > 0, g > 0; после преобразований проверяй корни — могут быть посторонние.
  • Замена t = logₐx: t любого знака; а t = √(logₐx) требует t ≥ 0.
  • Произведение корней: x₁x₂ = a^(t₁ + t₂).
  • x^(f(x)) = b: логарифмируй обе части.
  • Неравенство: a > 1 — знак сохраняется, 0 < a < 1 — меняется; добавь ОДЗ.

Типичные ошибки

«Корни уравнения log₂x + log₂(x − 2) = 3 — это 4 и −2»

При x = −2 выражение log₂(−2) не имеет смысла. ОДЗ x > 2, ответ только 4.

«log₃(x − 3) ≤ 0 ⇔ x ≤ 4»

Забыта ОДЗ: нужно ещё x − 3 > 0, ответ (3; 4].

«log₁/₂(x − 1) > −2 ⇔ x − 1 > 4»

Основание меньше 1, знак меняется: 0 < x − 1 < 4.

«При замене t = log₂x отрицательное t отбрасывается»

log₂x может быть любым действительным числом: t = −1 ⇒ x = 1/2. Отрицательное t отбрасывают, только когда t = aˣ или t = √(…).

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Корень уравнения log₂(x + 3) = 4:

x + 3 = 2⁴ = 16.

2 · Уровень 1

Решение неравенства log₀,₅ x > 1:

Основание 0,5 < 1, знак меняется: 0 < x < 0,5.

3 · Уровень 2

Решение уравнения lg(x − 1) + lg(x + 2) = 1:

(x − 1)(x + 2) = 10 → x = 3 или x = −4; −4 не входит в ОДЗ.

4 · Уровень 2

Произведение корней уравнения log₃²x − 2log₃x − 3 = 0:

t₁ + t₂ = 2, x₁x₂ = 3² = 9.

5 · Уровень ДИМ

Количество целых решений неравенства log₁/₃(x − 2) ≥ −2:

0 < x − 2 ≤ 9 → 2 < x ≤ 11: 3, 4, …, 11.

6 · Уровень ДИМ

Сумма корней уравнения log₂(x² − 3x) = 2:

x² − 3x = 4 → x = 4, x = −1; в обоих x² − 3x = 4 > 0, сумма 3.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 14; B-5, C-17, D-6
  2. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 76; B-77, C-75, D-74
  3. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 67; B-70, C-72, D-72
  4. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 19; B-9, C-2, D-10
  5. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 20; B-21, C-19, D-21
  6. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 4; B-22, C-16, D-10
  7. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 21; B-2, C-8, D-1

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки