Исследование функции: возрастание, убывание и экстремумы

Производная показывает, как меняется функция: если на промежутке f′(x) > 0, функция возрастает, если f′(x) < 0 — убывает. Точки, где производная равна нулю, — критические (стационарные) точки.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с «+» на «−» — это точка максимума, с «−» на «+» — точка минимума. Если знак не меняется, экстремума нет (например, для f(x) = x³ при x = 0). Чтобы исследовать функцию: найди f′(x) → реши f′(x) = 0 → построй таблицу знаков.

f′ > 0 → возрастаетf′ < 0 → убывает+ → − : max− → + : minf′(x₀) = 0критическая точка — может быть экстремумомменяй a и b: f(x) = x³ + ax² + bx ↓f = x³ − 3x: x = −1 максимум, x = 1 минимум

Вверху f(x) = x³ + ax² + bx: зелёные — промежутки возрастания, красные — убывания; красная точка — максимум, синяя — минимум. Внизу таблица знаков f′(x): «+» — возрастает, «−» — убывает.

a0b−3

• f′(x)
• Критические точки (f′ = 0)
• Точка максимума
• Точка минимума

Задание 1 / 3○○○

Пусть у функции не будет экстремумов.

Настрой ползунки и кнопки…

Что показывает симуляция?

языком ползунков

• f(x) = x³ − 3x: f′ = 3x² − 3, критические точки ±1. x = −1 — максимум, x = 1 — минимум.
• В таблице знаков переход «+ → −» соответствует максимуму, «− → +» — минимуму.
• Увеличь b до положительного: критические точки исчезают, функция возрастает на всей оси.
• a = 0, b = 0: f(x) = x³ — критическая точка x = 0 есть, но экстремума нет (знак не меняется).
• Меняй a: точки экстремума сдвигаются влево-вправо, но «волна» кубической функции сохраняется.

Алгоритм исследования функции

по шагам

Шаг	Что делаем	Для f(x) = x³ − 3x
1	Найти производную	f′(x) = 3x² − 3
2	Решить f′(x) = 0	x = −1, x = 1
3	Найти знаки f′ на промежутках	(−∞; −1): +, (−1; 1): −, (1; +∞): +
4	Возрастание и убывание	возрастает: (−∞; −1] и [1; +∞), убывает: [−1; 1]
5	Экстремумы	xmax = −1, f = 2; xmin = 1, f = −2

Самые частые ошибки

красной ручкой«Если f′(x₀) = 0, экстремум обязательно есть»

Это лишь необходимое условие. Для f(x) = x³ f′(0) = 0, но производная не меняет знак — экстремума нет.

Путать точку максимума с максимумом

Точка максимума — значение x (xmax), а максимум — значение функции в ней f(xmax).

Неверно определять знаки

Надёжнее всего взять по одной точке из каждого промежутка и подставить в f′.

Разобранные задачи

сначала реши сам

Задача 1

Найдите точки экстремума функции f(x) = x³ − 12x.

Показать решениеf′(x) = 3x² − 12 = 0 → x = ±2знаки: +, −, + → x = −2 максимум, x = 2 минимум

Ответ: xmax = −2, xmin = 2.

Задача 2

Есть ли экстремум у функции f(x) = x³ + 3x?

Показать решениеf′(x) = 3x² + 3 > 0 при всех xфункция всегда возрастает — экстремумов нет

Ответ: нет.

В реальной жизни: самая вместительная коробка из картона

максимальный объёмИз углов картона 30 × 30 см вырезаем квадраты x × x и сгибаем коробку

Задачи на экстремум встречаются постоянно: сосуд с наименьшим расходом материала, забор с наибольшей площадью, кратчайший путь, цена с наибольшей выручкой. Везде работает один метод: записать величину как функцию, приравнять производную к нулю, проверить знак.

Проверь себя: 5 тестовых заданий

5 вопросов

1Если на промежутке f′(x) > 0, то функция…

2Производная в точке x₀ меняет знак с «+» на «−». Что такое x₀?

3Какая точка — минимум функции f(x) = x³ − 3x?

4Что такое x = 0 для функции f(x) = x³?

5Открытый вопрос: при каком x функция f(x) = x³ − 12x имеет максимум? Запиши ответ числом.

Источник

Программа вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Производная: применение производной, промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума.