Алгебраические выражения и многочлены: значение, степень, тождество, наименьшее значение

Рациональные выражения · Тема 6 / 46

Алгебраические выражения и многочлены: значение, степень, тождество, наименьшее значение

Этот урок пройдём через работы по благоустройству двора: плитка вокруг бассейна, пирамида из каменных кубиков и две клумбы. В каждой работе расчёт превращается в алгебраическое выражение: мы изучим его значение, действия с одночленами и многочленами, тождества, разности P(x + 1) − P(x) и наименьшее значение выражения.

≈ 45 минутГлав: 6Заданий ДИМ: 5материал 7–9 классов

После урока ты сможешь

• без ошибок вычислять значение алгебраического выражения при отрицательных значениях переменных;
• приводить одночлен и многочлен к стандартному виду и находить их степень;
• складывать, вычитать, умножать многочлены и сравнивать коэффициенты в тождествах;
• складывать разности P(x + 1) − P(x) цепочкой и находить наименьшее значение суммы квадратов.

Перед началом вспомни

• Действия с положительными и отрицательными числами.
• Свойства степени: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
• Распределительный закон: a(b + c) = ab + ac.

Содержание

1. ВведениеСитуация: сколько плиток нужно вокруг бассейна?история и предположение
2. Глава 1Алгебраическое выражение и его значениепеременная, значение, знаки · ДИМ 19.04.2026
3. Глава 2Одночленыстандартный вид, коэффициент, степень
4. Глава 3Многочлены: стандартный вид, степень, действияподобные члены, степень, умножение · ДИМ 25.05.2025
5. Глава 4Тождество и сравнение коэффициентовтождество · ДИМ 13.07.2025
6. Глава 5Значения многочлена: разности P(x + 1) − P(x)P(a), P(x + 1), цепочка разностей · ДИМ 12.07.2026
7. Глава 6Сумма квадратов и наименьшее значение выраженияa² ≥ 0 · наименьшее значение · ДИМ 07.06.2026
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: сколько плиток нужно вокруг бассейна?

История

Весной семья взялась благоустраивать двор. Посреди двора есть небольшой квадратный бассейн. Мастер укладывает вокруг него дорожку шириной 1 м из квадратных плиток со стороной 1 м.

Сторона бассейна — 6 м. Плитку нужно заказать в магазине, лишнюю покупать не хотят. Сколько всего плиток нужно на дорожку?

Сторона бассейна 6 м, ширина дорожки 1 м; часть плиток ещё не уложена.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько плиток нужно на дорожку? Выбери ответ — посчитаем вместе в 1-й главе.

Глава 1

Алгебраическое выражение и его значение

Решим задачу мастера для бассейна любого размера. Обозначим сторону бассейна через x. С каждой стороны вдоль бассейна лежит x плиток, с четырёх сторон — 4x плиток. Кроме того, в четырёх углах остаётся по одной плитке. Значит, плиток 4x + 4.

Определение

Запись, составленная из чисел, переменных (букв), знаков действий и скобок, называется алгебраическим выражением: 4x + 4, 2a²b, 3(x − y). Если подставить вместо переменной число и выполнить действия, получится значение выражения. Выражение без деления на выражение с переменной — целое выражение.

История

Сторона бассейна x = 6, поэтому 4x + 4 = 4·6 + 4 = 28. Мастеру нужно ровно 28 плиток. Ответ 24 забывает про углы, 32 считает каждую угловую плитку дважды (4·8 = 32), а 36 — это площадь самого бассейна.

Подставляя отрицательное число, обязательно бери его в скобки. В чётной степени отрицательное число становится положительным, в нечётной — сохраняет знак: (−1)² = 1, (−1)³ = −1, но −3² = −9 ≠ (−3)² = 9. Порядок действий: сначала степень, затем умножение и деление, в конце сложение и вычитание.

Пример 1

Найдите значение выражения x²y − 2xy² + 5 при x = −2, y = 3.

1. Подставляем со скобками: (−2)²·3 − 2·(−2)·3² + 5.Почему так?

   Без скобок легко прочитать −2² = −4 — это ошибка.

2. Степени: (−2)² = 4, 3² = 9. Тогда 4·3 − 2·(−2)·9 + 5.
3. 12 + 36 + 5 = 53.Почему так?

   Произведение двух отрицательных множителей положительно: −2·(−2) = 4, 4·9 = 36.

4. Ответ: 53.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

Вычислите значение выражения 2x³ + 3x² − 3x + 1 при x = −1.

A) –4B) –3C) –5D) 5E) 1

1. Вычисляем степени: (−1)³ = −1, (−1)² = 1.Почему так?

   При нечётном показателе знак сохраняется, при чётном «−» исчезает.

2. Подставляем: 2·(−1) + 3·1 − 3·(−1) + 1.
3. −2 + 3 + 3 + 1 = 5.Почему так?

   −3·(−1) = +3: минус, умноженный на отрицательное число, даёт плюс — здесь ошибаются чаще всего.

4. Ответ: 5 (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)

2·(−1)³ + 3·(−1)² − 3·(−1) + 1 = 5Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)

Проверь себя

Найдите значение выражения 3a² − 2a + 1 при a = −3.

3·(−3)² = 27, −2·(−3) = +6.

Глава 2

Одночлены

Простейшие «кирпичики» алгебраических выражений — одночлены. Из них строится многочлен, поэтому сначала познакомимся с одночленом.

Определение

Произведение чисел, переменных и их натуральных степеней называется одночленом: 7, x, −5x³y², 2a·3ab. Стандартный вид одночлена: впереди один числовой множитель — коэффициент, затем каждая переменная один раз, в виде степени. Сумма показателей переменных в стандартном виде — степень одночлена.

Степень одночлена — не наибольший показатель, а сумма всех показателей.

Например, запись 2a·3ab не в стандартном виде; её записывают как 6a²b. Ненулевое число — одночлен нулевой степени. Одночлены с одинаковой буквенной частью называются подобными: 3x²y и −8x²y подобны, а x²y и xy² — нет.

Действия с одночленами

При сложении подобных одночленов складываются коэффициенты, буквенная часть не меняется: 3x²y + 5x²y = 8x²y. При умножении одночленов перемножаются коэффициенты, а показатели одинаковых переменных складываются: 2x²y · (−3xy³) = −6x³y⁴. При возведении в степень в степень возводится каждый множитель: (−2a³b)² = 4a⁶b².

Пример 2

Приведите одночлен 3x · (−2xy)² · y³ к стандартному виду и найдите его степень.

1. Сначала степень: (−2xy)² = 4x²y².Почему так?

   Каждый множитель в скобках возводится в квадрат, (−2)² = 4.

2. Коэффициенты: 3·4 = 12; x: x·x² = x³; y: y²·y³ = y⁵.
3. Стандартный вид 12x³y⁵, степень 3 + 5 = 8.
4. Ответ: 12x³y⁵, степень 8.

Проверь себя

Найдите степень одночлена −7a²b · (ab³)².

(ab³)² = a²b⁶; стандартный вид −7a⁴b⁷.

Глава 3

Многочлены: стандартный вид, степень, действия

Определение

Сумма одночленов называется многочленом; одночлены — его члены. Сложить подобные члены (привести подобные) и записать каждый член в стандартном виде — значит привести многочлен к стандартному виду. Наибольшая из степеней членов в стандартном виде — степень многочлена. Член без переменной — свободный член.

Внимание: степень можно читать только в стандартном виде. Члены могут взаимно уничтожиться, и «наибольший показатель» исчезнет.

Пример 3

Приведите многочлен 5x³ − 2x + 4x² − 5x³ + 7x − 1 к стандартному виду и найдите его степень.

1. Группируем подобные члены: (5x³ − 5x³) + 4x² + (−2x + 7x) − 1.Почему так?

   У подобных членов одинаковая буквенная часть: x³ с x³, x с x.

2. 5x³ − 5x³ = 0, поэтому стандартный вид: 4x² + 5x − 1.Почему так?

   Члены с x³ взаимно уничтожились — степень не 3.

3. Ответ: 4x² + 5x − 1, степень 2.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 25.05.2025

При каких значениях a и b степень многочлена 3x⁸ + bx⁶ − x⁵ − ax⁸ + 2x⁶ + 4x² + 1 будет равна 5?

A) a = −3; b = 2B) a = 0; b = 0C) a = −2; b = 3D) a = 3; b = −2E) a = −1; b = 1

1. Приводим подобные члены: (3 − a)x⁸ + (b + 2)x⁶ − x⁵ + 4x² + 1.Почему так?

   3x⁸ и −ax⁸, bx⁶ и 2x⁶ — подобные члены: их коэффициенты складываются.

2. Чтобы степень была 5, члены с x⁸ и x⁶ должны исчезнуть: 3 − a = 0, b + 2 = 0.Почему так?

   Коэффициент члена −x⁵ равен −1 ≠ 0, поэтому, когда x⁸ и x⁶ исчезают, степень равна ровно 5.

3. Отсюда a = 3, b = −2.
4. Ответ: a = 3; b = −2 (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (25.05.2025)

Для решения задания нужно записать данный многочлен в стандартном виде … 3x⁸ + bx⁶ − x⁵ − ax⁸ + 2x⁶ + 4x² + 1 == (3 − a)x⁸ + (b + 2)x⁶ − x⁵ + 4x² + 1Чтобы степень многочлена была равна 5, коэффициенты членов x⁸ и x⁶ должны быть равны 0. То есть3 – a = 0, b + 2 = 0.a = 3, b = –2.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

При сложении и вычитании многочленов раскрываем скобки и приводим подобные; если перед скобкой стоит «−», все знаки внутри меняются: (3x² − x) − (x² − 4x + 2) = 2x² + 3x − 2. При умножении многочлена на многочлен каждый член первого умножается на каждый член второго. Степень произведения равна сумме степеней множителей.

Табличный способ: в строках члены первого множителя, в столбцах — второго; в клетках — произведения.

Теперь посмотрим на задачу о бассейне иначе. Бассейн вместе с дорожкой — квадрат со стороной x + 2. Площадь дорожки = площадь большого квадрата − площадь бассейна: (x + 2)(x + 2) − x² = x² + 4x + 4 − x² = 4x + 4. Это та же формула, что в 1-й главе! В лаборатории меняй и ширину дорожки: при ширине w полосы дают 4wx, а углы — 4w².

Лаборатория · бассейн и дорожка: полосы и углыx — сторона бассейна, м6w — ширина дорожки, м1Проверь себя

Приведите произведение (2x − 3)(x + 4) к стандартному виду. Чему равен коэффициент при x?

2x·4 + (−3)·x = 8x − 3x.

Глава 4

Тождество и сравнение коэффициентов

Определение

Равенство, верное при всех значениях переменных, называется тождеством. Например, 2(x + 3) = 2x + 6 и (x + 2)² − x² = 4x + 4 — тождества, а x² = 4x — нет: оно верно только при x = 0, x = 4.

Сравнение коэффициентов

Если два многочлена тождественно равны, то в их стандартном виде равны степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях x (и свободные члены).

Эта теорема позволяет находить неизвестные коэффициенты: приведи обе части к стандартному виду и приравняй коэффициенты при x², x и свободные члены — получится система уравнений.

Пример 4

Найдите a и b, если (x − 2)(ax + b) = 3x² − 5x − 2 — тождество.

1. Раскрываем левую часть: ax² + bx − 2ax − 2b = ax² + (b − 2a)x − 2b.
2. Сравниваем коэффициенты: при x²: a = 3; свободные члены: −2b = −2, т. е. b = 1.Почему так?

   В тождестве коэффициенты при каждой степени должны совпадать по отдельности.

3. Проверка по коэффициенту при x: b − 2a = 1 − 6 = −5 — сходится.
4. Ответ: a = 3, b = 1.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Если x^(k² − 7k + 14) − 25 = (x − 5)(x + k² − 10k + 29), найдите k.

x^(…) — степень x с показателем, равным выражению в скобках.

1. Правая часть — произведение двух многочленов первой степени, т. е. многочлен второй степени. Значит, и левая часть второй степени: k² − 7k + 14 = 2, т. е. k² − 7k + 12 = (k − 3)(k − 4) = 0, откуда k = 3 или k = 4.Почему так?

   У тождественно равных многочленов степени равны.

2. Обозначим число во второй скобке c = k² − 10k + 29: (x − 5)(x + c) = x² + (c − 5)x − 5c. В левой части нет члена с x, свободный член −25: c − 5 = 0 и −5c = −25, т. е. c = 5.Почему так?

   Сравниваем коэффициенты при x и свободные члены.

3. k² − 10k + 29 = 5, т. е. (k − 4)(k − 6) = 0: k = 4 или k = 6.
4. Единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям, — k = 4. Проверка: x² − 25 = (x − 5)(x + 5).Почему так?

   При k = 3 получается c = 8, а при k = 6 показатель равен 36 − 42 + 14 = 8 — оба не подходят.

5. Ответ: 4.

Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)

Так как правая часть данного равенства — многочлен 2-й степени относительно x, то и левая часть будет 2-й степени. Тогда по условию должно быть { k² − 7k + 14 = 2; k² − 10k + 29 = 5 }. Из этой системы уравнений получаем, что k=4.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите p, если x² + px + 12 = (x + 3)(x + q) — тождество.

Свободные члены: 3q = 12, q = 4; затем p = 3 + q.

Глава 5

Значения многочлена: разности P(x + 1) − P(x)

История

Дорожка готова. А в углу двора остались каменные кубики со стройки. Дети строят из них ступенчатую пирамиду: в верхнем слое 1 кубик, во втором 2·2 = 4, в третьем 3·3 = 9 и т. д. В пирамиде уже 5 слоёв.

Один из детей говорит: «Если в пирамиде из n слоёв S(n) кубиков, то при добавлении нового слоя снизу число растёт на S(n + 1) − S(n) = (n + 1)²». Найдите с помощью этого правила, сколько кубиков в пирамиде из 5 слоёв.

Пирамида из 5 слоёв: в слоях 1, 4, 9, 16 и 25 кубиков.

Многочлен часто обозначают P(x). Запись P(2) — значение при x = 2, а P(x + 1) означает, что вместо x подставлено выражение x + 1. Например, если P(x) = x² − 3x + 1:

P(2) = 4 − 6 + 1 = −1,   P(x + 1) = (x + 1)² − 3(x + 1) + 1 = x² − x − 1

Значит, P(x + 1) − P(x) = 2x − 2. Эта разность показывает, насколько отличаются два соседних значения. Если разности известны, их можно сложить цепочкой.

Цепочка разностей

В сумме соседних разностей промежуточные значения взаимно уничтожаются:

[P(2) − P(1)] + [P(3) − P(2)] + … + [P(n) − P(n − 1)] = P(n) − P(1)

История

Правило ребёнка: S(n + 1) − S(n) = (n + 1)². Записываем его для n = 1, 2, 3, 4 и складываем: S(5) − S(1) = 4 + 9 + 16 + 25 = 54, откуда S(5) = 1 + 54 = 55. В пирамиде 55 кубиков. Математики нашли и формулу этой суммы: S(n) = n(n + 1)(2n + 1)/6 — многочлен третьей степени; проверь: S(5) = 5·6·11/6 = 55.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

Для многочлена P(x) выполняются условия P(x + 1) − P(x) = x² + 2x − 2 и P(1) + P(4) = 2. Найдите P(4).

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 11B) 10C) 14D) 13E) 12

1. Подставляем в условие x = 1, x = 2, x = 3: P(2) − P(1) = 1, P(3) − P(2) = 6, P(4) − P(3) = 13.Почему так?

   x = 1: 1 + 2 − 2 = 1; x = 2: 4 + 4 − 2 = 6; x = 3: 9 + 6 − 2 = 13.

2. Складываем три равенства: P(4) − P(1) = 1 + 6 + 13 = 20.Почему так?

   P(2) и P(3) входят один раз с «+» и один раз с «−» и сокращаются.

3. Из условия P(4) + P(1) = 2. Сложив два равенства: 2P(4) = 22, P(4) = 11.Почему так?

   Чтобы найти P(4), формула P(x) не нужна: достаточно системы из двух равенств. Проверка: P(1) = 2 − 11 = −9, 11 − (−9) = 20.

4. Ответ: 11 (вариант A).

Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)

Подставив вместо переменной x значения x = 1, x = 2 и x = 3, по условию можно записать равенства P(2) − P(1) = 1 + 2 − 2 = 1, P(3) − P(2) = 4 + 4 − 2 = 6, P(4) − P(3) = 9 + 6 − 2 = 13. Сложив эти равенства почленно, получим P(4) − P(1) = 13 + 6 + 1 = 20. С другой стороны, учитывая данное условие P(4) + P(1) = 2, из последних соотношений получим 2P(4) = 22, или P(4) = 11.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите P(4), если P(x + 1) − P(x) = 2x + 1 и P(1) = 3.

Разности при x = 1, 2, 3: 3, 5, 7.

Глава 6

Сумма квадратов и наименьшее значение выражения

История

Последняя работа — клумбы. Семья хочет разбить рядом две квадратные клумбы; длина бордюра вокруг них — 40 м, поэтому 4x + 4y = 40, т. е. x + y = 10.

Клумбы нужно заполнить дорогой плодородной землёй, а землю покупают по общей площади клумб. Какими должны быть стороны, чтобы земли ушло меньше всего? Сколько м² земли нужно как минимум?

Две квадратные клумбы: стороны x и y, x + y = 10 м; общая площадь x² + y².

Ключ к таким задачам — один простой факт: квадрат любого числа неотрицателен.

Свойство квадрата

Для любого a a² ≥ 0; равенство только при a = 0. Поэтому наименьшее значение выражения (x − p)² + q равно q и достигается при x = p.

Выражение принимает наименьшее значение, когда квадрат равен нулю.

Внимание: если выражение внутри квадрата не может обратиться в нуль, наименьшее значение не равно нулю. Например, y² + 5 ≥ 5, поэтому (y² + 5)² ≥ 5² = 25, значит (y² + 5)² + 1 ≥ 26; наименьшее значение достигается при y = 0.

Пример 5

Найдите наименьшее значение выражения (x + 3)² + (y − 1)² + 5 и значения x, y, при которых оно достигается.

1. (x + 3)² ≥ 0, (y − 1)² ≥ 0.Почему так?

   Квадрат не может быть отрицательным.

2. Оба квадрата могут одновременно обратиться в нуль: x = −3, y = 1.
3. Тогда выражение равно 0 + 0 + 5 = 5.
4. Ответ: наименьшее значение 5 при x = −3, y = 1.

История

Общая площадь клумб: x² + (10 − x)² = 2x² − 20x + 100. Это выражение можно записать как 2(x − 5)² + 50 — проверь: 2(x² − 10x + 25) + 50 = 2x² − 20x + 100, результат тот же. Так как 2(x − 5)² ≥ 0, площадь всегда ≥ 50 м² и равна 50 м² только при x = 5. Значит, обе клумбы должны быть 5 м × 5 м, и земли нужно не меньше 50 м². Например, при сторонах 3 м и 7 м понадобилось бы 9 + 49 = 58 м². (Как самому найти такую запись, ты узнаешь в следующем уроке — о формулах сокращённого умножения.)

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 07.06.2026

Установите соответствие. 1. (x − 4)² + (y − 5)² + 2; 2. (x² − 4)² + (y² + 5)² + 2; 3. (x² + 4)² + (y² + 5)² + 2. a. наименьшее значение равно 43; b. наименьшее значение равно 27; c. наименьшее значение равно 2; d. принимает наименьшее значение при x = ±2 и y = 0; e. принимает наименьшее значение при x = 0 и y = 0

Одному выражению может соответствовать несколько букв.

1. 1-е выражение: (x − 4)² ≥ 0, (y − 5)² ≥ 0; оба равны нулю при x = 4, y = 5. Наименьшее значение 0 + 0 + 2 = 2 → c.Почему так?

   Квадраты не зависят друг от друга: x и y выбираются отдельно.

2. 2-е выражение: (x² − 4)² равно нулю при x = ±2, но y² + 5 ≥ 5, значит (y² + 5)² ≥ 25 (y = 0). Наименьшее значение 0 + 25 + 2 = 27 → b и d.Почему так?

   Ловушка: наименьшее значение (y² + 5)² равно не 0, а 25.

3. 3-е выражение: (x² + 4)² ≥ 16, (y² + 5)² ≥ 25; оба наименьшие при x = 0, y = 0. Наименьшее значение 16 + 25 + 2 = 43 → a и e.
4. Ответ: 1 — c; 2 — b, d; 3 — a, e.

Официальное пояснение ДИМ (07.06.2026)

1. Так как (x − 4)² ≥ 0 и (y − 5)² ≥ 0, выражение (x − 4)² + (y − 5)² + 2 принимает наименьшее значение при x=4, y=5, и наименьшее значение равно 2. 2. (x² − 4)² + (y² + 5)² + 2; так как (x² − 4)² ≥ 0 и (y² + 5)² ≥ 25, это выражение принимает наименьшее значение при x = ±2 и y = 0, и его наименьшее значение равно 27. 3. (x² + 4)² + (y² + 5)² + 2; так как (x² + 4)² ≥ 16 и (y² + 5)² ≥ 25, это выражение принимает наименьшее значение при x = 0 и y = 0, и наименьшее значение равно 43.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите наименьшее значение выражения (x² + 1)² + (y² + 2)².

x² + 1 ≥ 1, y² + 2 ≥ 2.

Итоги

Запомни

• Значение выражения: отрицательное число бери в скобки; (−1)²ⁿ = 1, (−1)²ⁿ⁺¹ = −1.
• Степень одночлена — сумма показателей: −5x³y² → 5.
• Степень многочлена читают только в стандартном виде (после приведения подобных).
• При умножении многочленов каждый член умножается на каждый: (x + 3)(2x − 1) = 2x² + 5x − 3.
• В тождестве равны степени и соответствующие коэффициенты.
• Цепочка разностей: P(n) − P(1) = [P(2) − P(1)] + … + [P(n) − P(n − 1)].
• a² ≥ 0: наименьшее значение (x − p)² + q равно q (при x = p); (y² + 5)² ≥ 25.

Типичные ошибки

«При x = −3 x² = −9»

Отрицательное число нужно брать в скобки: (−3)² = 9. В записи −3² = −9 в квадрат возводится только 3.

«Степень одночлена x³y² равна 3»

Степень одночлена — сумма всех показателей: 3 + 2 = 5.

«Степень многочлена 5x³ − 2x + 4x² − 5x³ равна 3»

Сначала приведи подобные: 5x³ − 5x³ = 0, стандартный вид 4x² − 2x, степень 2.

«Наименьшее значение (y² + 5)² равно 0»

Так как y² + 5 ≥ 5, то (y² + 5)² ≥ 25; наименьшее значение достигается при y = 0.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Значение выражения x³ − 2x² + 4x + 3 при x = −2:

−8 − 8 − 8 + 3 = −21.

2 · Уровень 1

Степень одночлена −4x³y²z:

3 + 2 + 1 = 6.

3 · Уровень 2

При каком значении a степень многочлена (a − 2)x⁴ + 3x³ − x + 7 равна 3?

Член с x⁴ должен исчезнуть: a − 2 = 0.

4 · Уровень 2

Стандартный вид произведения (x − 3)(2x + 1):

2x² + x − 6x − 3 = 2x² − 5x − 3.

5 · Уровень ДИМ

Найдите P(3), если P(x + 1) − P(x) = 4x + 2 и P(0) = 1.

Разности при x = 0, 1, 2: 2, 6, 10; P(3) = 1 + 18 = 19.

6 · Уровень ДИМ

Наименьшее значение выражения (x² − 9)² + (y² + 3)² + 1:

При x = ±3 первый квадрат равен 0; (y² + 3)² ≥ 9 (при y = 0): 0 + 9 + 1 = 10.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 9; B-11, C-2, D-16
2. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 23; B-25, C-23, D-26
3. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 63; B-64, C-73, D-73
4. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 27; B-27, C-27, D-27
5. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 2; B-6, C-16, D-12

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.