ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Рациональные дроби: сокращение, действия, параметр

МатематикаРациональные выражения

Текст урока
Рациональные выражения · Тема 8 / 46

Рациональные дроби: сокращение, действия, параметр

Этот урок пройдём через велопоход: класс едет к горному озеру, берёт там лодку напрокат и разбивает лагерь. На каждом шаге расчёт превращается в рациональную дробь: мы изучим её ОДЗ, сокращение, четыре действия с дробями и задачи на отношения.

≈ 45 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 4материал 8 класса

После урока ты сможешь

  • находить ОДЗ рациональной дроби и применять условие равенства дроби нулю;
  • сокращать дробь, раскладывая числитель и знаменатель на множители, и находить условие сократимости;
  • умножать и делить рациональные дроби, приводить их к общему знаменателю, складывать и вычитать;
  • записывать числа через общий множитель в задачах на отношения (средняя скорость, среднее арифметическое и геометрическое).

Перед началом вспомни

  • Формулы сокращённого умножения и разложение на множители.
  • Действия с обыкновенными дробями, НОК.
  • Движение: s = v·t.

Содержание

  1. ВведениеСитуация: средняя скорость поездкиистория и предположение
  2. Глава 1Рациональная дробь и область допустимых значений (ОДЗ)P/Q, Q ≠ 0, нуль дроби
  3. Глава 2Основное свойство дроби и сокращениесокращение, квадратный трёхчлен · ДИМ 15.03.2026, 13.07.2025
  4. Глава 3Умножение и деление рациональных дробейумножение на обратную дробь · ДИМ 09.03.2025
  5. Глава 4Сложение и вычитание рациональных дробейобщий знаменатель, средняя скорость
  6. Глава 5Отношения: среднее арифметическое и среднее геометрическоеa = pk, b = qk · ДИМ 12.07.2026
  7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: средняя скорость поездки

История

Класс отправляется на велосипедах к горному озеру. Дорога к озеру всё время идёт в гору, поэтому туда ученики едут со скоростью 20 км/ч. Вечером они возвращаются той же дорогой, уже под гору, со скоростью 30 км/ч.

Точную длину дороги никто не знает — обозначим её s км. Проводник спрашивает: какой была наша средняя скорость за всю поездку (туда и обратно)?

Туда в гору — 20 км/ч, обратно под гору — 30 км/ч; длина дороги s км.Сначала предположи

Как ты думаешь, чему равна средняя скорость в км/ч? Выбери ответ — посчитаем вместе в 4-й главе.

Глава 1

Рациональная дробь и область допустимых значений (ОДЗ)

Время пути туда — s/20 ч, обратно — s/30 ч. Если в общем случае обозначить скорости через v₁ и v₂, то время будет s/v₁ и s/v₂ — это выражения с переменной в знаменателе. Чтобы работать с такими выражениями, сначала запомни правило: делить на нуль нельзя.

Определение

Отношение двух многочленов P/Q (Q ≠ 0) называется рациональной дробью. Значения переменной, при которых дробь имеет смысл, т. е. знаменатель не обращается в нуль, образуют область допустимых значений (ОДЗ).

Когда дробь равна нулю?

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

P/Q = 0  ⇔  P = 0 и Q ≠ 0

Пример 1

Найдите ОДЗ дроби (x² − 4)/(x² − 3x + 2) и определите, при каком x дробь равна нулю.

  1. Раскладываем знаменатель: x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). Он равен нулю при x = 1 и x = 2.Почему так?

    Произведение равно нулю, только когда один из множителей равен нулю.

  2. ОДЗ: x ≠ 1, x ≠ 2.
  3. Числитель: x² − 4 = 0 при x = ±2. Но x = 2 не входит в ОДЗ.Почему так?

    При x = 2 получается 0/0 — это не нуль, а выражение без смысла.

  4. Ответ: ОДЗ x ≠ 1, x ≠ 2; дробь равна нулю только при x = −2.
Проверь себя

Найдите x, если (x² − 1)/(x + 1) = 0.

x² − 1 = 0 → x = ±1, но x = −1 обращает знаменатель в нуль.

Глава 2

Основное свойство дроби и сокращение

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, значение дроби не изменится:

A/B = (A·C)/(B·C),   C ≠ 0

Для сокращения раскладываем числитель и знаменатель на множители и затем убираем общий множитель. Слагаемые сокращать нельзя: в дроби (x + 3)/(x + 5) ничего не сокращается. После сокращения ОДЗ остаётся такой же, как у исходной дроби, — выколотые точки «помнятся».

После сокращения получаем y = x + 1, но точка x = 1 исключена из ОДЗ: на графике остаётся «дырка».Пример 2

Сократите дробь (x² − 6x + 9)/(x² − 9).

  1. Числитель — полный квадрат: x² − 6x + 9 = (x − 3)²; знаменатель — разность квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).Почему так?

    Формулы сокращённого умножения — главный инструмент разложения.

  2. Общий множитель x − 3: (x − 3)²/((x − 3)(x + 3)) = (x − 3)/(x + 3), x ≠ ±3.
  3. Ответ: (x − 3)/(x + 3).
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 15.03.2026

Сократите дробь (25a² − 16)/(5a + 4).

A) 4a–3B) 5a+4C) 4a+3D) 5a–4E) 5
  1. Числитель — разность квадратов: 25a² − 16 = (5a)² − 4² = (5a − 4)(5a + 4).Почему так?

    25a² = (5a)², 16 = 4².

  2. Сокращаем общий множитель 5a + 4 (a ≠ −4/5): 5a − 4.
  3. Ответ: 5a − 4 (вариант D).
Официальное пояснение ДИМ (15.03.2026)
Числитель дроби раскладывается на множители, и дробь сокращается: (25a² − 16)/(5a + 4) = (5a − 4)(5a + 4)/(5a + 4) = 5a − 4Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

В знаменателе часто стоит квадратный трёхчлен вида x² + px + q. Чтобы разложить его, ищем два числа с суммой −p и произведением q; тогда x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂). Например, x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2): числа с суммой 1 и произведением −2 — это −1 и 2.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Найдите сумму значений, которые может принимать m, чтобы дробь (4x − m)/(x² − x − 2) была сократимой.

A) 12B) 8C) –6D) –2E) 4
  1. Раскладываем знаменатель: x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2). Числитель записываем, вынося 4: 4x − m = 4(x − m/4).
  2. Дробь сократима, только если числитель имеет общий множитель с одним из множителей знаменателя: x − m/4 = x + 1 или x − m/4 = x − 2.Почему так?

    Числитель первой степени; его единственный множитель — x − m/4.

  3. Отсюда m/4 = −1 или m/4 = 2, т. е. m = −4 или m = 8. Сумма: −4 + 8 = 4.
  4. Проверка: m = −4: (4x + 4)/((x + 1)(x − 2)) = 4/(x − 2); m = 8: (4x − 8)/((x + 1)(x − 2)) = 4/(x + 1).Почему так?

    Другой способ: корень числителя x = m/4 должен совпасть с одним из корней знаменателя (−1 или 2).

  5. Ответ: 4 (вариант E).
Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)
Числитель и знаменатель дроби можно представить в виде произведения следующим образом: (4x − m)/(x² − x − 2) = 4 · (x − m/4)/((x + 1)(x − 2)). Чтобы полученную дробь можно было сократить, должно выполняться либо x − m/4 = x + 1, либо x − m/4 = x − 2. Отсюда получаем, что m может принимать значения –4 и 8. Сумма этих значений равна 4Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Сократите дробь (x² − 5x + 6)/(x − 3) и найдите её значение при x = 10.

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

Глава 3

Умножение и деление рациональных дробей

Умножение и деление

При умножении дробей числители перемножаются с числителями, знаменатели — со знаменателями. Чтобы разделить, умножаем первую дробь на обратную второй (числитель дроби-делителя тоже не должен быть нулём):

(A/B)·(C/D) = AC/(BD),   (A/B) : (C/D) = AD/(BC)

Практический совет: до умножения разложи все числители и знаменатели на множители и сократи — раскрывать большие многочлены не придётся.

Пример 3

Упростите: (x² − 4)/(3x) · 6x²/(x + 2).

  1. Раскладываем на множители: (x − 2)(x + 2)·6x² / (3x·(x + 2)).
  2. Сокращаются x + 2 и 3x: 2x(x − 2).Почему так?

    6x² : 3x = 2x. ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ −2.

  3. Ответ: 2x(x − 2).
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2025

Упростите выражение (x³ − 3x² + 3x − 1)/(2x² − 2) : (x² − 2x + 1)/(x + 1).

  1. Числители — полный куб и полный квадрат: x³ − 3x² + 3x − 1 = (x − 1)³, x² − 2x + 1 = (x − 1)².Почему так?

    В формуле (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ берём a = x, b = 1.

  2. Знаменатель: 2x² − 2 = 2(x − 1)(x + 1). ОДЗ: x ≠ ±1.
  3. Заменяем деление умножением на обратную дробь: (x − 1)³/(2(x − 1)(x + 1)) · (x + 1)/(x − 1)².Почему так?

    В числителе (x − 1)³(x + 1), в знаменателе 2(x − 1)³(x + 1) — всё сокращается, остаётся 1/2.

  4. Ответ: 0,5 (при x ≠ ±1).
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2025)
(x³ − 3x² + 3x − 1)/(2x² − 2) : (x² − 2x + 1)/(x + 1) = (x − 1)³/(2(x² − 1)) · (x + 1)/(x − 1)² == (x − 1)³/(2(x − 1)(x + 1)) · (x + 1)/(x − 1)² = 1/2 = 0,5Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

Упростите выражение (a² − 9)/(a + 1) : (a − 3)/(a² − 1) и найдите его значение при a = 2.

Получается (a + 3)(a − 1).

Глава 4

Сложение и вычитание рациональных дробей

История

Ученики добрались до озера. На берегу сдают лодки: дневная аренда одной лодки — 120 ₼, деньги делят поровну те, кто плывёт. Сначала в лодку собирались сесть 4 человека, но потом присоединились ещё 2 человека.

На сколько манатов меньше заплатит каждый по сравнению с планом? А в общем случае: если вместо n человек будет n + 2, какова экономия?

Лодка 120 ₼ / день; по плану было 4 человека, присоединились ещё 2.Сложение и вычитание

При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями складываются (вычитаются) числители. Если знаменатели разные, сначала приводим дроби к общему знаменателю: раскладываем знаменатели на множители, берём их наименьшее общее кратное (НОК) и домножаем каждую дробь на дополнительный множитель.

A/B ± C/D = (AD ± BC)/(BD)

История

По плану каждый платил бы 120/n, теперь — 120/(n + 2). Экономия: 120/n − 120/(n + 2) = (120(n + 2) − 120n)/(n(n + 2)) = 240/(n(n + 2)). При n = 4 получаем 240/(4·6) = 10 — каждый платит на 10 ₼ меньше. Проверка: 120 : 4 − 120 : 6 = 30 − 20 = 10.

Пример 4

Упростите: 1/(x − 2) − 4/(x² − 4).

  1. Раскладываем знаменатели: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Общий знаменатель (x − 2)(x + 2).Почему так?

    Общий знаменатель — не произведение знаменателей, а их НОК: если взять (x − 2)(x² − 4), работы станет больше.

  2. (x + 2 − 4)/((x − 2)(x + 2)) = (x − 2)/((x − 2)(x + 2)) = 1/(x + 2).
  3. Ответ: 1/(x + 2), x ≠ ±2.

Теперь вернёмся к средней скорости поездки. Средняя скорость — не среднее арифметическое скоростей, а отношение всего пути ко всему времени. А время — сумма двух дробей. Меняй скорости в лаборатории: средняя скорость всегда меньше (v₁ + v₂)/2 или равна ему.

Лаборатория · средняя скорость поездки (s = 60 км)v₁ — туда, км/ч20v₂ — обратно, км/ч30История

Всё время: s/20 + s/30 = 3s/60 + 2s/60 = s/12 ч. Весь путь 2s, значит средняя скорость 2s : (s/12) = 24 км/ч. s сократилось — ответ не зависит от длины пути! Общая формула: v = 2v₁v₂/(v₁ + v₂) = 2·20·30/50 = 24. Ответ 25 неверен, потому что в гору едут дольше: например, при s = 60 км туда 3 ч, обратно 2 ч.

Проверь себя

Найдите значение выражения a/(a − b) + b/(b − a) (a ≠ b).

b − a = −(a − b), значит вторая дробь равна −b/(a − b).

Глава 5

Отношения: среднее арифметическое и среднее геометрическое

История

Вечером разбивают лагерь. Площадка под палатку огорожена верёвкой: 5 м × 3,2 м, т. е. стороны относятся как 5 : 3,2 = 25 : 16. Один из учеников говорит: «Лучше бы сделать площадку квадратной».

Квадрат можно сделать двумя способами: из той же верёвки (периметр тот же) или с той же площадью. У какого квадрата сторона длиннее и во сколько раз?

Площадка 5 м × 3,2 м; пунктирные квадраты: с тем же периметром и с той же площадью.Определение

Среднее арифметическое положительных чисел a и b равно (a + b)/2, среднее геометрическое — √(ab). Сторона квадрата с тем же периметром равна среднему арифметическому, а с той же площадью — среднему геометрическому. Всегда (a + b)/2 ≥ √(ab).

Причина неравенства — квадрат: (a + b)/2 − √(ab) = (√a − √b)²/2 ≥ 0. Равенство только при a = b. Если дано отношение, записываем числа через общий множитель: при a : b = p : q имеем a = pk, b = qk. Затем k сокращается.

История

Сторона квадрата из той же верёвки (5 + 3,2)/2 = 4,1 м, сторона квадрата той же площади √(5·3,2) = √16 = 4 м. Первая длиннее: в 4,1 : 4 = 41/40 раза, т. е. всего на 2,5%. При той же верёвке квадратная площадка ещё и чуть больше: 4,1² = 16,81 м², а у прямоугольника 16 м².

Пример 5

Найдите значение дроби (2x + y)/(x − y), если x/y = 3/2.

  1. Пишем x = 3k, y = 2k (k ≠ 0).Почему так?

    Отношение задаёт не сами числа, а только их отношение.

  2. (6k + 2k)/(3k − 2k) = 8k/k = 8.
  3. Ответ: 8.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

Найдите отношение среднего арифметического двух положительных чисел, отношение которых равно 25/16, к их среднему геометрическому.

A) 41/40B) 5/4C) 5/3D) 41/32E) 16/9
  1. Записываем отношение через общий множитель: a = 25k, b = 16k, k > 0.Почему так?

    Числа положительны, поэтому k тоже положительно и √(k²) = k.

  2. Среднее арифметическое: (25k + 16k)/2 = 41k/2. Среднее геометрическое: √(25k·16k) = √(400k²) = 20k.
  3. Отношение: (41k/2) : (20k) = 41k/(40k) = 41/40.
  4. Ответ: 41/40 (вариант A).
Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)
По условию существует такое число k, что данные положительные числа можно записать как a = 25k, b = 16k. Тогда отношение среднего арифметического этих чисел к их среднему геометрическому будет ((a + b)/2)/√(ab) = (a + b)/(2√(ab)) = (25k + 16k)/(2√(25k · 16k)) = 41k/40k = 41/40.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Отношение двух положительных чисел 4 : 1. Найдите отношение их среднего арифметического к среднему геометрическому (десятичной дробью).

a = 4k, b = k: 5k/2 : 2k.

Итоги

Запомни

  • ОДЗ: знаменатель не равен нулю; P/Q = 0 ⇔ P = 0, Q ≠ 0.
  • Сокращение: сначала разложи на множители, потом убери общий множитель; ОДЗ не меняется.
  • x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂), где x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = q.
  • (A/B)·(C/D) = AC/(BD); (A/B) : (C/D) = AD/(BC).
  • Сложение/вычитание: общий знаменатель — НОК знаменателей.
  • Средняя скорость 2v₁v₂/(v₁ + v₂) (один и тот же путь с двумя скоростями) меньше среднего арифметического.
  • Отношение a : b = p : q → a = pk, b = qk; (a + b)/2 ≥ √(ab).

Типичные ошибки

«(x + 3)/(x + 5) = 3/5» — x сократился

Сокращать можно только множители, а не слагаемые. Эта дробь не сокращается.

«(x² − 4)/(x − 2) = 0 при x = ±2»

x = 2 обращает знаменатель в нуль и не входит в ОДЗ; ответ только x = −2.

«Средняя скорость = (v₁ + v₂)/2»

Средняя скорость — весь путь / всё время: при 20 и 30 км/ч это 24, а не 25.

«Общий знаменатель — всегда произведение знаменателей»

Проще всего брать НОК знаменателей: для 1/(x − 2) и 4/(x² − 4) это (x − 2)(x + 2).

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

ОДЗ дроби (x + 5)/(x² − 16):

x² − 16 ≠ 0 → x ≠ ±4.

2 · Уровень 1

Сократите дробь (3x² − 6x)/(x − 2):

3x(x − 2)/(x − 2) = 3x.

3 · Уровень 2

Сократите дробь (x² − 9)/(x² + 6x + 9):

(x − 3)(x + 3)/(x + 3)².

4 · Уровень 2

Разность 2/(x − 1) − 2/(x + 1):

(2(x + 1) − 2(x − 1))/(x² − 1) = 4/(x² − 1).

5 · Уровень ДИМ

При каких значениях m дробь (2x + m)/(x² − 9) сократима? Найдите сумму этих значений.

Корень числителя −m/2 = 3 или −3: m = −6 или 6; сумма 0.

6 · Уровень ДИМ

Для положительных a и b a : b = 9 : 4. Отношение среднего арифметического к среднему геометрическому:

a = 9k, b = 4k: (13k/2) : (6k) = 13/12.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 75; B-78, C-76, D-75
  2. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 5; B-22, C-6, D-9
  3. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 61; B-65, C-63, D-65
  4. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 8; B-1, C-3, D-22

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки