Формулы сокращённого умножения и разложение на множители

Рациональные выражения · Тема 7 / 46

Формулы сокращённого умножения и разложение на множители

Этот урок пройдём через перестройку городского парка: газон расширяют, площадь с бассейном мостят камнем, отливают бетонные вазоны. В каждой работе расчёт сокращают формулы сокращённого умножения; затем научимся применять их в обратную сторону — для разложения на множители.

≈ 45 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 6материал 7–8 классов

После урока ты сможешь

• применять формулы квадрата суммы и разности, разности квадратов, суммы и разности кубов;
• быстро считать в уме с помощью формул (вроде 828² − 72²);
• раскладывать многочлен на множители вынесением общего множителя, группировкой и по формулам;
• выделять полный квадрат и находить наименьшее значение выражения.

Перед началом вспомни

• Умножение многочлена на многочлен.
• Степень степени: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
• НОД чисел.

Содержание

1. ВведениеСитуация: на сколько квадратных метров вырастет газон?история и предположение
2. Глава 1Квадрат суммы и квадрат разности(a ± b)², модель площадей
3. Глава 2Разность квадратовa² − b² = (a − b)(a + b) · ДИМ 02.03.2025
4. Глава 3Разложение на множители: общий множитель и группировкаобщий множитель, группировка · ДИМ 15.03.2026
5. Глава 4Разложение по формулам и полный квадратполный квадрат, выделение, план
6. Глава 5Сумма и разность кубовa³ ± b³, (a ± b)³ · ДИМ 19.04.2026
7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 2, с ответом и официальным пояснением
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: на сколько квадратных метров вырастет газон?

История

Городской парк перестраивают. У входа в парк есть квадратный газон со стороной 20 м. По проекту его расширяют с двух сторон — справа и сзади — на 2 м, чтобы он остался квадратным.

Рабочие привозят рулоны дёрна. Дёрн заказывают по площади. На сколько м² увеличится площадь газона?

Газон 20 м × 20 м; справа и сзади новые полосы шириной 2 м, в углу маленький квадрат.Сначала предположи

Как ты думаешь, на сколько м² увеличится площадь газона? Выбери ответ — посчитаем вместе в 1-й главе.

Глава 1

Квадрат суммы и квадрат разности

Сторона нового газона a + b, площадь (a + b)(a + b). Раскроем это произведение по правилу умножения многочленов — каждый член на каждый:

(a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

Квадрат суммы и квадрат разности

Квадрат суммы (разности) двух выражений равен квадрату первого, плюс (минус) удвоенное произведение первого и второго, плюс квадрат второго:

(a + b)² = a² + 2ab + b²,   (a − b)² = a² − 2ab + b²

На рисунке это выглядит так: большой квадрат состоит из четырёх частей — a², двух прямоугольников ab и маленького квадрата b². Ученик, пишущий (a + b)² = a² + b², забывает два прямоугольника. Проверь это в лаборатории.

Лаборатория · квадрат суммы: четыре частиa6b2История

Для газона a = 20, b = 2: (20 + 2)² = 400 + 2·20·2 + 4. Новая площадь 484 м², прирост 84 м² — две полосы 2·20·2 = 80 и квадрат в углу 2² = 4. Ответ 4 учитывает только угол, 80 — только полосы, а 88 считает угол дважды.

Пример 1

Запишите выражение (2x − 3y)² в виде многочлена.

1. Здесь a = 2x, b = 3y.Почему так?

   В формуле a и b могут быть любыми выражениями; найди в скобках первый и второй члены.

2. (2x)² − 2·2x·3y + (3y)² = 4x² − 12xy + 9y².Почему так?

   (2x)² = 4x², а не 2x²: в квадрат возводятся и коэффициент, и переменная.

3. Ответ: 4x² − 12xy + 9y².

Формулы помогают и в устном счёте: 51² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601, 49² = (50 − 1)² = 2500 − 100 + 1 = 2401.

Проверь себя

Вычислите устно: 99².

(100 − 1)² = 10000 − 200 + 1.

Глава 2

Разность квадратов

История

После газона очередь доходит до центральной площади парка. Площадь — квадрат со стороной 48 м, а в её центре квадратный бассейн со стороной 32 м и фонтан. Всё вокруг бассейна вымостят камнем.

У инженера нет калькулятора. Площадь мощения он считает в уме за минуту. Сколько это м² и как он это делает?

Площадь 48 м × 48 м, бассейн 32 м × 32 м; камень кладут вокруг бассейна.

Площадь камня — разность площадей двух квадратов: 48² − 32². Её можно найти, даже не вычисляя квадраты. Раскроем произведение (a − b)(a + b):

(a − b)(a + b) = a² + ab − ba − b² = a² − b²

Разность квадратов

Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и суммы:

a² − b² = (a − b)(a + b)

Если разрезать остаток на две части и приложить их друг к другу, получится прямоугольник со сторонами a − b и a + b.История

Расчёт инженера: 48² − 32² = (48 − 32)(48 + 32) = 16·80 = 1280. Камня нужно на 1280 м². Через квадраты получается то же: 2304 − 1024 = 1280, но это гораздо дольше.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

Упростите выражение (5 − 6y³)(6y³ + 5).

A) 25 − 36y⁶B) 12y⁶ − 10C) 25 − 12y³ − 36y⁶D) 36y⁶ − 25E) 25 + 12y³ − 36y⁶

1. В скобках одни и те же члены 5 и 6y³; во второй скобке меняем их местами: (5 − 6y³)(5 + 6y³).Почему так?

   Переместительный закон сложения: 6y³ + 5 = 5 + 6y³. Теперь видно «разность · сумма».

2. Формула разности квадратов: 5² − (6y³)² = 25 − 36y⁶.Почему так?

   (6y³)² = 36y⁶: при возведении степени в степень показатели перемножаются (3·2 = 6).

3. Ответ: 25 − 36y⁶ (вариант A).

Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)

(5 − 6y³)(6y³ + 5) = (5 − 6y³)(5 + 6y³) = 25 − 36y⁶Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Пример 2

Вычислите устно: 1003 · 997.

1. Оба числа рядом с 1000: 1003 · 997 = (1000 + 3)(1000 − 3).Почему так?

   Запиши числа относительно круглого числа посередине: получатся сумма и разность.

2. 1000² − 3² = 1000000 − 9 = 999991.
3. Ответ: 999991.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

Вычислите значение выражения (49² + 46² − 26² − 29²)/600.

1. Группируем четыре квадрата попарно: (49² − 29²) + (46² − 26²).Почему так?

   Пары выбираем так, чтобы разности давали одно и то же «круглое» число: 49 − 29 = 20, 46 − 26 = 20.

2. К каждой паре — формулу: 49² − 29² = 20·78, 46² − 26² = 20·72.
3. Числитель: 20·(78 + 72) = 20·150 = 3000; 3000 : 600 = 5.
4. Ответ: 5.

Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)

(49² + 46² − 26² − 29²)/600 = ((49² − 29²) + (46² − 26²))/600 == (20·78 + 20·72)/600 = 20(78 + 72)/600 = 5.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Проверь себя

Вычислите устно: 76² − 24².

(76 − 24)(76 + 24) = 52·100.

Глава 3

Разложение на множители: общий множитель и группировка

В расчёте инженера формула сработала «наоборот»: разность превратилась в произведение. Запись многочлена в виде произведения называется разложением на множители. Это главный инструмент для сокращения дробей, решения уравнений и упрощения вычислений.

Вынесение общего множителя за скобки

Множитель, входящий во все члены, выносим за скобки: ab + ac = a(b + c). Числовая часть — НОД коэффициентов, буквенная — каждая переменная в наименьшей степени. Чтобы найти содержимое скобок, делим каждый член на общий множитель.

Пример 3

Разложите многочлен 18x³y² − 12x²y³ на множители.

1. Коэффициенты: НОД(18; 12) = 6. Переменные: наименьший показатель x — 2, y — 2.
2. Общий множитель 6x²y²; делим: 18x³y² : 6x²y² = 3x, 12x²y³ : 6x²y² = 2y.Почему так?

   Проверка: раскрыв скобки, должны получить исходный многочлен.

3. Ответ: 6x²y²(3x − 2y).

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 15.03.2026

Разложите многочлен 12a² − 24a на множители.

A) 12(a − 12)B) 24a(a + 1)C) 12a(a − 2)D) a(2a − 24)E) 12a(2a − 1)

1. НОД коэффициентов: НОД(12; 24) = 12; переменная: в обоих членах есть хотя бы a. Общий множитель 12a.Почему так?

   Общий множитель нужно вынести полностью: ответ 12(a² − 2a) незавершён.

2. Делим: 12a² : 12a = a, 24a : 12a = 2, значит 12a² − 24a = 12a(a − 2).
3. Ответ: 12a(a − 2) (вариант C).

Официальное пояснение ДИМ (15.03.2026)

12a² − 24a = 12a(a − 2)Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Способ группировки

Если общего множителя у всех членов нет, разбиваем их на группы с общим множителем в каждой, затем снова выносим общую скобку: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b).

Пример 4

Разложите многочлен x³ − 2x² + 3x − 6 на множители.

1. Группы: (x³ − 2x²) + (3x − 6) = x²(x − 2) + 3(x − 2).Почему так?

   После вынесения множителей из каждой группы скобки должны совпасть — иначе выбери группы по-другому.

2. Общая скобка (x − 2): (x − 2)(x² + 3).
3. Ответ: (x − 2)(x² + 3).

Проверь себя

Найдите значение выражения ab + 3a + 2b + 6 при a = 7, b = 7 (сначала разложите на множители).

ab + 3a + 2b + 6 = (a + 2)(b + 3).

Глава 4

Разложение по формулам и полный квадрат

Если читать формулы справа налево, они становятся инструментом разложения: a² − b² = (a − b)(a + b), a² ± 2ab + b² = (a ± b)². Если трёхчлен имеет вид a² ± 2ab + b², это полный квадрат: крайние члены — квадраты, средний — удвоенное произведение их «оснований».

План разложения на множители

1) вынеси общий множитель; 2) ищи в скобках формулу (разность квадратов, полный квадрат, сумма и разность кубов); 3) если членов четыре и больше — группируй; 4) проверь каждый множитель — может, он раскладывается дальше.

Пример 5

Разложите на множители: а) 3x³ − 12x; б) a² − 6a + 9 − b².

1. а) Сначала общий множитель: 3x³ − 12x = 3x(x² − 4); затем разность квадратов: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).Почему так?

   Ответ 3x(x² − 4) незавершён: в скобке ещё прячется формула.

2. б) Первые три члена — полный квадрат: a² − 6a + 9 = (a − 3)². Тогда (a − 3)² − b² = (a − 3 − b)(a − 3 + b).Почему так?

   6a = 2·a·3 и 9 = 3² — признак полного квадрата.

3. Ответ: а) 3x(x − 2)(x + 2); б) (a − b − 3)(a + b − 3).

Если трёхчлен не является полным квадратом, его можно дополнить до полного квадрата: берём половину коэффициента среднего члена, прибавляем и вычитаем её квадрат. Например, x² − 10x + 27 = (x² − 10x + 25) + 2 = (x − 5)² + 2. Так как квадрат неотрицателен, наименьшее значение этого выражения равно 2 и достигается при x = 5. Так же находится и запись 2x² − 20x + 100 = 2(x − 5)² + 50 из задачи о клумбах в предыдущем уроке.

Проверь себя

Найдите наименьшее значение выражения x² + 6x + 14.

x² + 6x + 9 = (x + 3)², 14 = 9 + 5.

Глава 5

Сумма и разность кубов

История

По краю площади поставят полые бетонные кубические вазоны. Внешнее ребро каждого — 5 дм, внутри кубическая полость с ребром 4 дм — туда насыпают землю и сажают цветы.

Мастер готовит опалубку. Сколько дм³ бетона нужно на один вазон? Можно ли найти ответ, не вычисляя кубы по отдельности?

Бетонный вазон: внешнее ребро 5 дм, ребро кубической полости 4 дм (пунктир).

Объём бетона — разность объёмов двух кубов: 5³ − 4³. Как и для разности квадратов, для разности кубов есть формула. Её можно проверить, раскрыв (a − b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³: средние члены взаимно уничтожаются.

Разность и сумма кубов

Выражения a² + ab + b² и a² − ab + b² называются неполными квадратами (в среднем члене нет множителя 2). А куб суммы и разности: (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³.

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²),   a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

История

Расчёт мастера: 5³ − 4³ = (5 − 4)(25 + 20 + 16) = 61. На один вазон уходит 61 дм³ бетона. Через кубы по отдельности тоже получаем 125 − 64 = 61.

Пример 6

Разложите выражение 8x³ + 27 на множители.

1. Оба члена — кубы: 8x³ = (2x)³, 27 = 3³.Почему так?

   Коэффициенты-кубы: 1, 8, 27, 64, 125, …

2. Сумма кубов: (2x + 3)((2x)² − 2x·3 + 3²) = (2x + 3)(4x² − 6x + 9).
3. Ответ: (2x + 3)(4x² − 6x + 9).

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

Объём прямоугольного параллелепипеда высотой 2 моделируется многочленом 2a³ − 128. Если ширина основания этого параллелепипеда равна a − 4, запишите в стандартном виде многочлен, моделирующий площадь его полной поверхности (a > 4).

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Объём — произведение измерений: V = m·n·k. Раскладываем по разности кубов: 2a³ − 128 = 2(a³ − 4³) = 2(a − 4)(a² + 4a + 16).Почему так?

   Сначала общий множитель 2, затем замечаем, что 64 = 4³.

2. Высота k = 2, ширина m = a − 4; значит длина n = a² + 4a + 16.Почему так?

   Делим V на произведение k·m: оставшийся множитель — третье измерение.

3. Полная поверхность: S = 2(mn + nk + mk), где mn = a³ − 64, nk = 2a² + 8a + 32, mk = 2a − 8.
4. S = 2(a³ + 2a² + 10a − 40) = 2a³ + 4a² + 20a − 80.Почему так?

   В скобках: −64 + 32 − 8 = −40; 8a + 2a = 10a.

5. Ответ: 2a³ + 4a² + 20a − 80.

Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)

V = m·n·k (m, n, k — измерения параллелепипеда); V = 2a³ − 128 = 2·(a³ − 64) = 2·(a − 4)·(a² + 4a + 16); { k = 2; m = a − 4 } ⇒ n = a² + 4a + 16; S_полн = 2·(mn + nk + mk) = 2·(a³ − 64 + (a² + 4a + 16)·2 + (a − 4)·2) = 2·(a³ − 64 + 2a² + 8a + 32 + 2a − 8) = 2a³ + 4a² + 20a − 80Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)

Проверь себя

Вычислите устно: 11³ − 10³.

(11 − 10)(121 + 110 + 100).

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 09.03.2025

Разложите выражение 25 − 5a на множители.

A) a(5a − 1)B) 25(1 − a)C) 5(2 − a)D) 5(5 − a)E) a(25 − a)Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 5(5 − a) (вариант D).

25 − 5a = 5·5 − 5·a = 5(5 − a)Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

ДИМ · 09.03.2026

Вычислите значение выражения (828² − 72²)/378.

A) 180B) 800C) 18000D) 2700E) 1800Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 1800 (вариант E).

(828² − 72²)/378 = (828+72)(828−72)/378 = (900·756)/378 = 900·2 = 1800Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Итоги

Запомни

• (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b².
• a² − b² = (a − b)(a + b) — «разность · сумма»; часто используется в устном счёте.
• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²); a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
• (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³.
• План разложения: общий множитель → формула → группировка → проверка.
• Выделение полного квадрата: x² − 10x + 27 = (x − 5)² + 2 → наименьшее значение 2.

Типичные ошибки

«(a + b)² = a² + b²»

Забыты два прямоугольника ab: (20 + 2)² = 484, а не 404.

«(a − b)² = a² − b²»

Квадрат разности — трёхчлен: a² − 2ab + b². А a² − b² — это (a − b)(a + b).

«a³ − b³ = (a − b)(a² + 2ab + b²)»

Второй множитель — неполный квадрат: a² + ab + b² (без множителя 2).

«12a² − 24a = 12(a² − 2a)» — окончательный ответ

Общий множитель вынесен не полностью: a тоже общий, 12a(a − 2).

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Раскрытие выражения (x + 4)²:

x² + 2·4·x + 16.

2 · Уровень 1

Разложите на множители 25x² − 1:

Разность квадратов: (5x)² − 1².

3 · Уровень 2

Значение выражения 67² − 33²:

(67 − 33)(67 + 33) = 34·100.

4 · Уровень 2

Разложение многочлена 2x³ − 8x² + 8x на множители:

2x(x² − 4x + 4) = 2x(x − 2)².

5 · Уровень ДИМ

Найдите a² + b², если a − b = 3 и ab = 10.

a² + b² = (a − b)² + 2ab = 9 + 20.

6 · Уровень ДИМ

Найдите a³ + b³, если a + b = 4 и ab = 3.

a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 64 − 36.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 73; B-64, C-61, D-67; вариант A, 78; B-75, C-76, D-77
2. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 68; B-62, C-64, D-64
3. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 68; B-61, C-72, D-65
4. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 65; B-73, C-65, D-69
5. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 80; B-80, C-80, D-80

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.