ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Квадратное уравнение: дискриминант и теорема Виета

МатематикаУравнения и неравенства

Текст урока
Уравнения и неравенства · Тема 15 / 46

Квадратное уравнение: дискриминант и теорема Виета

Этот урок пройдём через историю: в школе готовятся к выпускному вечеру. Ряды в актовом зале, танцплощадка во дворе и вечерний фейерверк приведут нас к квадратному уравнению, дискриминанту и теореме Виета, а в конце мы решим задания ДИМ с параметром.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 5материал 8–9 классов

После урока ты сможешь

  • решать полные и неполные квадратные уравнения, работать с D и D/4;
  • сводить задачу к квадратному уравнению и отбрасывать посторонний корень;
  • находить по теореме Виета сумму, произведение корней и симметрические выражения;
  • объяснять число корней по параболе, решать задания с параметром и с |x|.

Перед началом вспомни

  • Формулы сокращённого умножения: (a ± b)² = a² ± 2ab + b².
  • Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
  • Определение модуля: при |x| = tx = ±t.

Содержание

  1. ВведениеСитуация: сколько рядов в зале?история и предположение
  2. Глава 1Квадратное уравнение и неполные квадратные уравненияax² + bx + c = 0 · неполные уравнения
  3. Глава 2Дискриминант и формула корнейD = b² − 4ac · D/4 · посторонний корень · ДИМ 09.03.2025
  4. Глава 3Теорема Виетасумма и произведение · симметрические выражения · ДИМ 24.05.2026, 05.07.2026
  5. Глава 4Парабола и число корнейграфический смысл · знак D · лаборатория
  6. Глава 5Задачи с параметром и замена |x|знаки корней · |x| = t · ДИМ 01.06.2025, 13.07.2025
  7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: сколько рядов в зале?

История

В школе готовятся к выпускному вечеру. В актовом зале расставлены стулья, и прежде чем писать приглашения, ученики хотят посчитать места. Завхоз сообщает: всего в зале 280 мест, а в каждом ряду мест на 6 больше, чем рядов.

Пересчитывать ряды по одному неудобно: зал большой, стулья стоят плотно. Вопрос: сколько в зале рядов?

Рядов x, мест в одном ряду x + 6, всего 280 мест.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько рядов в зале? Выбери ответ — посчитаем вместе во 2-й главе.

Глава 1

Квадратное уравнение и неполные квадратные уравнения

Если в задаче о зале обозначить число рядов через x, то в одном ряду x + 6 мест, а всего мест x(x + 6) = 280. Раскрыв скобки, получаем x² + 6x − 280 = 0. Уравнения, содержащие квадрат неизвестного, — тема этого урока.

Определение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x — переменная, a, b, c — числа и a ≠ 0, называется квадратным уравнением. a — первый (старший) коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член. При a = 1 уравнение называется приведённым: x² + px + q = 0.

Если b или c равно нулю, уравнение называется неполным квадратным. Их удобно решать без формул, разложением на множители:

Неполные квадратные уравнения

ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0, откуда x = 0 или x = −b/a;ax² + c = 0 → x² = −c/a; при −c/a > 0x = ±√(−c/a), при −c/a < 0 действительных корней нет;ax² = 0 → x = 0.

Пример 1

Решите уравнения: а) 2x² − 6x = 0; б) x² − 9 = 0; в) 3x² + 12 = 0.

  1. а) Выносим x за скобки: 2x(x − 3) = 0. Произведение равно нулю, значит, один из множителей равен нулю: x = 0 или x = 3.Почему так?

    Делить уравнение на x нельзя: так мы потеряем корень x = 0.

  2. б) x² = 9, откуда x = ±3.
  3. в) x² = −4. Квадрат числа не бывает отрицательным, поэтому действительных корней нет.Почему так?

    Для любого действительного x x² ≥ 0.

  4. Ответ: а) 0; 3; б) −3; 3; в) действительных корней нет.
Проверь себя

Найдите ненулевой корень уравнения 5x² − 20x = 0.

5x(x − 4) = 0.

Глава 2

Дискриминант и формула корней

Полное квадратное уравнение не всегда легко разложить на множители. Для него есть общая формула. Она получается выделением полного квадрата: умножив уравнение на 4a, его можно привести к виду (2ax + b)² = b² − 4ac. Выражение в правой части «различает» число корней, поэтому называется дискриминантом.

Дискриминант и число корней

Выражение D = b² − 4ac — дискриминант квадратного уравнения. При D > 0 уравнение имеет два различных корня, при D = 0 — один корень (два равных): x = −b/(2a); при D < 0 действительных корней нет.

x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)

Пример 2

Решите уравнение 2x² − 3x − 2 = 0.

  1. Коэффициенты: a = 2, b = −3, c = −2.
  2. Дискриминант: D = (−3)² − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25.Почему так?

    Так как c отрицательно, −4ac положительно: следи за знаком.

  3. Корни: x₁ = (3 − 5)/4 = −0,5, x₂ = (3 + 5)/4 = 2.
  4. Ответ: −0,5; 2.

Если b чётно (b = 2k), вычисления короче. Достаточно найти четверть дискриминанта: D/4 = k² − ac, а корни x = (−k ± √(D/4)) / a. В пояснениях ДИМ такая запись встречается часто.

Пример 3

Решите уравнение x² − 10x + 21 = 0.

  1. b = −10 чётно, k = −5: D/4 = (−5)² − 21 = 4.Почему так?

    Не возводим в квадрат большие числа: вместо 100 − 84 считаем 25 − 21.

  2. x = 5 ± 2, т. е. x₁ = 3, x₂ = 7.
  3. Ответ: 3; 7.
История

Вернёмся в актовый зал. В уравнении x² + 6x − 280 = 0 b = 6 чётно: D/4 = 9 + 280 = 289, √289 = 17. Значит, x = −3 + 17 = 14 или x = −3 − 17 = −20. Число рядов не может быть отрицательным, поэтому −20 — посторонний корень: в зале 14 рядов, в каждом 14 + 6 = 20 мест. Проверка: 14 · 20 = 280.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2025

В актовом зале число мест в каждом ряду на 8 больше числа рядов. Если общее число мест в этом зале равно 384, найдите число рядов.

  1. Число рядов x, мест в ряду x + 8. Всего мест: x(x + 8) = 384.Почему так?

    Общее число = число рядов × число мест в ряду.

  2. Приводим к стандартному виду: x² + 8x − 384 = 0; b = 8 чётно, D/4 = 16 + 384 = 400.
  3. x = −4 ± 20: x₁ = 16, x₂ = −24.Почему так?

    Число рядов — натуральное число, −24 не подходит по смыслу задачи. Проверка: 16 · 24 = 384.

  4. Ответ: 16 рядов.
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2025)
Число рядов — xЧисло мест в каждом ряду — x + 8x(x + 8) = 384x² + 8x = 384x² + 8x − 384 = 0D/4 = 16 + 384 = 400x₁ = (−4 + 20)/1 = 16, … = (−4 − 20)/1 = −24Так как число рядов — натуральное число, –24 — посторонний корень, значит, в актовом зале 16 рядов.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

Найдите больший корень уравнения 3x² − 5x + 2 = 0.

D = 25 − 24 = 1; x = (5 ± 1)/6.

Глава 3

Теорема Виета

История

Зал готов, теперь очередь двора. Выпускники хотят устроить перед зданием прямоугольную танцплощадку. Чтобы огородить её, есть ровно 20 м декоративной ленты, а для пола купили покрытие площадью 24 м².

И ленту, и покрытие нужно использовать полностью. Какими должны быть стороны площадки?

Периметр 20 м, площадь 24 м²: сумма сторон 10, произведение 24.

Обозначим стороны через a и b. Из периметра 2(a + b) = 20, т. е. a + b = 10; из площади ab = 24. Ищем два числа с известными суммой и произведением. Это приводит к связи между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.

Теорема Виета

Если x₁ и x₂ — корни уравнения ax² + bx + c = 0, то

x₁ + x₂ = −b/a,   x₁ · x₂ = c/a

Доказательство следует из формулы корней: x₁ + x₂ = (−b − √D + (−b + √D))/(2a) = −b/a; x₁x₂ = (b² − D)/(4a²) = 4ac/(4a²) = c/a. Для приведённого уравнения x² + px + q = 0: сумма корней −p, произведение q.

Обратная теорема

Если u + v = s и u · v = p, то числа u и v — корни уравнения x² − sx + p = 0.

История

Стороны площадки — корни уравнения x² − 10x + 24 = 0. Числа с суммой 10 и произведением 24 подобрать легко: 4 + 6 = 10, 4 · 6 = 24. Площадка должна быть 6 м × 4 м. Проверка: 2(6 + 4) = 20 м, 6 · 4 = 24 м².

Пример 4

Один из корней уравнения x² + px − 12 = 0 равен 3. Найдите второй корень и p.

  1. Произведение: 3 · x₂ = −12, откуда x₂ = −4.Почему так?

    Произведение не зависит от p, поэтому начинаем с него.

  2. Сумма: 3 + (−4) = −p, откуда p = 1.
  3. Ответ: x₂ = −4; p = 1.

Теорема Виета позволяет, не находя корней, вычислять составленные из них симметрические выражения:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂,   1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂)

Пример 5

Для корней уравнения x² − 5x + 3 = 0 вычислите x₁² + x₂² и 1/x₁ + 1/x₂.

  1. Сначала проверяем, что корни есть: D = 25 − 12 = 13 > 0.Почему так?

    Теорема Виета говорит о действительных корнях; при D < 0 выражения не имели бы смысла.

  2. x₁ + x₂ = 5, x₁x₂ = 3.
  3. x₁² + x₂² = 25 − 6 = 19; 1/x₁ + 1/x₂ = 5/3.
  4. Ответ: 19 и 5/3.
Проверь себя

Найдите значение x₁² + x₂² для корней уравнения x² − 6x + 2 = 0.

(x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 36 − 4.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 24.05.2026

При каком значении параметра a корни уравнения ax² − 9x + 3a + 4 = 0 будут взаимно обратными числами?

A) −2B) −1C) 2D) 3E) 1
  1. Произведение взаимно обратных чисел равно 1: x₁ · x₂ = 1.Почему так?

    x и 1/x — взаимно обратные числа: x · (1/x) = 1.

  2. По теореме Виета: x₁ · x₂ = c/a = (3a + 4)/a = 1, откуда 3a + 4 = a, a = −2.
  3. Проверка: при a = −2 уравнение имеет вид −2x² − 9x − 2 = 0, D = 81 − 16 = 65 > 0 — действительные корни есть.Почему так?

    В задачах с параметром после условия Виета всегда проверяй D: если корней нет, то нет и «произведения корней».

  4. Ответ: −2 (вариант A).
Официальное пояснение ДИМ (24.05.2026)
Чтобы корни уравнения были взаимно обратными числами, их произведение должно быть равно 1. По теореме Виета x₁ · x₂ = (3a + 4)/a = 1, 3a + 4 = a, a = −2.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

Если множество корней уравнения (x² + mx + n)(x² + px + q) = 0 есть {1; 2; 3; k} и m + p = 2, найдите k.

A) −8B) −6C) −2D) −10E) −4
  1. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: x² + mx + n = 0 или x² + px + q = 0.Почему так?

    Во множестве корней 4 различных числа, а у каждого квадратного уравнения не больше 2 корней; значит, каждому уравнению достаётся по два корня.

  2. По теореме Виета: сумма корней первого уравнения x₁ + x₂ = −m, второго — x₃ + x₄ = −p.
  3. Сумма четырёх корней: 1 + 2 + 3 + k = −(m + p) = −2, т. е. 6 + k = −2, k = −8.
  4. Ответ: −8 (вариант A).
Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)
(x² + mx + n)(x² + px + q) = 0 ⇒ x² + mx + n = 0 или x² + px + q = 0. Обозначим через x₁, x₂ корни уравнения x² + mx + n = 0, а через x₃, x₄ — корни уравнения x² + px + q = 0. Тогда по теореме Виета x₁ + x₂ = −m, x₃ + x₄ = −p. Отсюда следует, что x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = −m + (−p) = −(m + p); 1 + 2 + 3 + k = −2; k = −8Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)
Глава 4

Парабола и число корней

История

В конце вечера во дворе запускают фейерверк. Учитель физики говорит: заряд летит вертикально вверх, и если не учитывать сопротивление воздуха, через t секунд его высота (в метрах) равна h = 30t − 5t². Заряд должен взорваться на высоте 40 м.

Ученики спрашивают: сколько раз заряд окажется на высоте 40 м? А может ли он подняться до 50 м?

Высота заряда: h = 30t − 5t². Пунктир — уровни 40 м и 50 м.

График функции y = ax² + bx + c — парабола. Корни уравнения ax² + bx + c = 0 — абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox. При a > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 — вниз; абсцисса вершины x₀ = −b/(2a).

Знак дискриминанта показывает, сколько общих точек у параболы с осью Ox.

В лаборатории меняй коэффициенты a, b, c. При увеличении c парабола поднимается: сначала два корня сближаются, затем сливаются в вершине (D = 0), а потом исчезают (D < 0). Следи и за показаниями по теореме Виета.

Лаборатория · меняй коэффициенты a, b, c: парабола, дискриминант и корниa1b-2c-3История

На высоте 40 м: 30t − 5t² = 40, т. е. t² − 6t + 8 = 0. Отсюда D/4 = 9 − 8 = 1: t₁ = 2, t₂ = 4. Значит, заряд проходит высоту 40 м дважды: при подъёме (t = 2 с) и при падении (t = 4 с). Для 50 м: t² − 6t + 10 = 0, D/4 = 9 − 10 = −1 < 0 — действительных корней нет, заряд не долетает до 50 м. Граничный случай — 45 м: t² − 6t + 9 = 0, D = 0, единственный корень t = 3 с — это вершина параболы, наивысшая точка.

Пример 6

При каких значениях k уравнение x² − 4x + k = 0 имеет два различных корня?

  1. Для двух различных корней нужно D > 0.Почему так?

    При D = 0 корни совпадают — это не «два различных корня».

  2. D = 16 − 4k > 0, откуда k < 4.
  3. Ответ: k < 4.

Полезное наблюдение: если a и c разных знаков (ac < 0), то D = b² − 4ac > 0, т. е. уравнение обязательно имеет два корня. Это видно и по параболе: например, при a > 0, c < 0 парабола пересекает ось Oy ниже Ox, а её ветви уходят вверх.

Проверь себя

При каком значении m уравнение x² + 6x + m = 0 имеет единственный корень?

D = 36 − 4m = 0.

Глава 5

Задачи с параметром и замена |x|

В трудных заданиях ДИМ спрашивают не сами корни, а их свойства: знаки, сумму квадратов, количество. Для этого дискриминант и теорему Виета используют вместе.

Знаки корней

два различных положительных корня: D > 0, x₁x₂ > 0, x₁ + x₂ > 0;два различных отрицательных корня: D > 0, x₁x₂ > 0, x₁ + x₂ < 0;корни разных знаков: x₁x₂ = c/a < 0 (при этом D > 0 выполняется автоматически).

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

При каком значении параметра b сумма квадратов корней уравнения x² − (2b − 3)x − 2b = 0 будет наименьшей?

  1. По теореме Виета: x₁ + x₂ = 2b − 3, x₁x₂ = −2b.
  2. Сумма квадратов: x₁² + x₂² = (2b − 3)² + 4b = 4b² − 8b + 9.Почему так?

    x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂; −2 · (−2b) = +4b.

  3. Выделяем полный квадрат: 4b² − 8b + 9 = 4(b − 1)² + 5. Выражение наименьшее при b = 1 (значение 5).Почему так?

    4(b − 1)² ≥ 0 и равно нулю только при b = 1.

  4. Проверка: D = (2b − 3)² + 8b = 4b² − 4b + 9 = (2b − 1)² + 8 положителен при любом b, корни всегда действительны.Почему так?

    В каждом ответе, опирающемся на теорему Виета, нужно проверять существование корней.

  5. Ответ: b = 1.
Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)
По теореме Виета сумма и произведение корней уравнения x² − (2b − 3)x − 2b = 0 соответственно равны x₁ + x₂ = 2b − 3, x₁ · x₂ = −2b. x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁ · x₂ = (2b − 3)² − 2 · (−2b) = = 4b² − 12b + 9 + 4b = 4b² − 8b + 9 = 4b² − 8b + 4 + 5 = = 4(b² − 2b + 1) + 5 = 4(b − 1)² + 5. При b = 1 выражение 4(b − 1)² + 5 принимает своё наименьшее значение.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Теперь рассмотрим уравнения с модулем. Так как x² = |x|², в уравнении ax² + b|x| + c = 0 делаем замену |x| = t ≥ 0 и получаем квадратное уравнение относительно t. Каждое положительное t даёт два корня (x = ±t), t = 0 даёт один корень (x = 0), а отрицательное t не даёт корней.

Пример 7

Решите уравнение x² − 5|x| + 6 = 0.

  1. |x| = t ≥ 0: t² − 5t + 6 = 0.
  2. По Виету: сумма 5, произведение 6, значит, t₁ = 2, t₂ = 3 — оба положительны.Почему так?

    Каждое положительное t даёт два числа: |x| = 2 → x = ±2.

  3. |x| = 2 → x = ±2, |x| = 3 → x = ±3.
  4. Ответ: −3; −2; 2; 3 (четыре корня).
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

При скольких целых значениях параметра p уравнение x² − 8|x| + p − 4 = 0 имеет четыре различных действительных корня?

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. Замена |x| = t ≥ 0: t² − 8t + p − 4 = 0.
  2. Четыре различных корня x получаются, только если для t есть два различных положительных корня.Почему так?

    Каждое положительное t даёт два x; при t = 0 получился бы только один корень (x = 0).

  3. Условия: D = 64 − 4(p − 4) = 80 − 4p > 0, откуда p < 20; t₁t₂ = p − 4 > 0, т. е. p > 4; условие на сумму корней t₁ + t₂ = 8 > 0 выполняется автоматически.
  4. 4 < p < 20: целые значения 5, 6, …, 19 — всего 19 − 5 + 1 = 15.
  5. Ответ: 15.
Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)
Если сделать замену |x| = t, то x² = |x|² = t². Тогда t² − 8t + p − 4 = 0. По условию задания из последнего уравнения получаем: { D = 8² − 4(p − 4) > 0, p − 4 > 0 } ⇒ { 64 − 4p + 16 > 0, p > 4 } ⇒ { p < 20, p > 4. } Число целых значений, которые может принимать p, равно 15.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

При скольких целых значениях параметра c уравнение x² − 6|x| + c = 0 имеет четыре различных действительных корня?

t² − 6t + c = 0: D = 36 − 4c > 0 и c > 0.

Итоги

Запомни

  • Квадратное уравнение: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0; неполные решай разложением на множители.
  • D = b² − 4ac: D > 0 — два корня, D = 0 — один, D < 0 — действительных корней нет.
  • Корни: x = (−b ± √D)/(2a); при b = 2k D/4 = k² − ac.
  • Виет: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a; обратная теорема: числа с суммой s и произведением p — корни уравнения x² − sx + p = 0.
  • x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂.
  • Корни — точки пересечения параболы y = ax² + bx + c с осью Ox.
  • Корень, не подходящий по смыслу задачи, — посторонний; в задаче с параметром после условия Виета проверяй D.
  • |x| = t: четыре корня — два различных положительных корня для t.

Типичные ошибки

D = b² + 4ac

Дискриминант равен b² − 4ac. При отрицательном c слагаемое −4ac положительно, пиши знак со скобками: −4·2·(−2) = +16.

Виет: x₁ + x₂ = b/a

Сумма −b/a, произведение c/a. Для x² − 5x + 6 = 0 сумма равна +5.

x² = 3x → x = 3

Деление на x теряет корень x = 0. Правильно: x(x − 3) = 0, x = 0 или x = 3.

Параметр найден из условия Виета — ответ готов

Корни должны быть действительными. Например, для x² + x + 1 = 0 можно написать «сумма −1, произведение 1», но D = −3 < 0 и корней нет.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Сколько корней имеет уравнение x² − 6x + 9 = 0?

D = 36 − 36 = 0, единственный корень x = 3.

2 · Уровень 1

Сумма корней уравнения 2x² − 8x + 3 = 0:

D = 64 − 24 = 40 > 0; x₁ + x₂ = −b/a = 8 : 2 = 4.

3 · Уровень 2

Приведённое квадратное уравнение с корнями −2 и 5:

Сумма 3, произведение −10: x² − 3x − 10 = 0.

4 · Уровень 2

Один из корней уравнения x² + px + 15 = 0 равен 3. Найдите p.

x₂ = 15 : 3 = 5; p = −(3 + 5) = −8.

5 · Уровень ДИМ

При каком m сумма квадратов корней уравнения x² − (m + 1)x + m − 2 = 0 наименьшая?

x₁² + x₂² = (m + 1)² − 2(m − 2) = m² + 5, наименьшее при m = 0; D = (m − 1)² + 8 > 0.

6 · Уровень ДИМ

При каких m корни уравнения x² − 2(m − 1)x + m + 5 = 0 разных знаков?

x₁x₂ = m + 5 < 0, откуда m < −5 (при этом D > 0 автоматически).

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 79; B-79, C-79, D-79
  2. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 23; B-25, C-26, D-25
  3. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 26; B-26, C-25, D-25
  4. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 3; B-14, C-1, D-19
  5. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 11; B-8, C-10, D-19

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки