ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Рациональные, иррациональные уравнения и уравнения с модулем

МатематикаУравнения и неравенства

Текст урока
Уравнения и неравенства · Тема 16 / 46

Рациональные, иррациональные уравнения и уравнения с модулем

Этот урок пройдём через летнюю поездку: класс едет в лагерь на берегу реки. Лодка, киоск на прибрежной тропе и зиплайн в лагере приведут нас к трём видам уравнений: дробно-рациональным, с модулем и иррациональным. В каждом главная опасность одна — посторонний или потерянный корень.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 4материал 8–10 классов

После урока ты сможешь

  • решать дробно-рациональные уравнения с учётом области определения;
  • находить параметр в дробном уравнении, подставляя корень;
  • решать уравнения |f(x)| = c, |f| = |g| и уравнения «сумма неотрицательных = 0»;
  • решать иррациональные уравнения возведением в квадрат или вынесением общего множителя и проверять корни.

Перед началом вспомни

  • Решение квадратного уравнения и теорема Виета.
  • Приведение дробей к общему знаменателю; a² − b² = (a − b)(a + b).
  • Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю; знаменатель дроби не равен нулю.

Содержание

  1. ВведениеСитуация: какова собственная скорость лодки?история и предположение
  2. Глава 1Дробно-рациональные уравненияобласть определения · общий знаменатель · посторонний корень
  3. Глава 2Область определения и параметрпараметр · подстановка корня · ДИМ 12.07.2026
  4. Глава 3Уравнения с модулем|x − a| — расстояние · лаборатория · ДИМ 19.04.2026
  5. Глава 4Сумма неотрицательных выражений равна нулюA² + |B| = 0 · общий корень · ДИМ 25.05.2025
  6. Глава 5Иррациональные уравнениявозведение в квадрат · проверка · общий множитель · ДИМ 06.07.2025
  7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: какова собственная скорость лодки?

История

Летом класс едет в лагерь на берегу реки. От пристани у села до пристани лагеря по реке 24 км. Лодочник везёт учеников по течению в лагерь и возвращается обратно с пустой лодкой. Скорость течения реки 2 км/ч.

Путь туда и обратно без учёта остановок занял ровно 5 ч. Один из учеников спрашивает: какова скорость лодки в стоячей воде (собственная скорость)?

Скорость по течению v + 2, против течения v − 2; в каждую сторону 24 км.Сначала предположи

Как ты думаешь, какова собственная скорость лодки? Выбери ответ — посчитаем вместе в 1-й главе.

Глава 1

Дробно-рациональные уравнения

Обозначим собственную скорость лодки через v. По течению скорость v + 2, против течения v − 2. Время = путь : скорость, поэтому 24/(v + 2) + 24/(v − 2) = 5. Здесь переменная стоит в знаменателе — такие уравнения называются дробно-рациональными.

Определение

Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Множество всех значений x, при которых знаменатели отличны от нуля, — область определения уравнения. Число, не входящее в область определения, никогда не может быть корнем.

Алгоритм решения

1) Запиши область определения: все знаменатели ≠ 0.2) Умножь обе части уравнения на общий знаменатель.3) Реши полученное целое уравнение (часто квадратное).4) Отбрось корни, не входящие в область определения.

Пример 1

Решите уравнение x/(x − 2) − 8/(x² − 4) = 1.

  1. Область определения: x² − 4 = (x − 2)(x + 2) ≠ 0, т. е. x ≠ ±2.
  2. Умножаем на общий знаменатель: x(x + 2) − 8 = x² − 4, откуда 2x = 4, x = 2.Почему так?

    При умножении x² сократился, и уравнение стало линейным.

  3. x = 2 не входит в область определения — посторонний корень.Почему так?

    При x = 2 знаменатель первой дроби обращается в нуль, уравнение теряет смысл.

  4. Ответ: решений нет.
Пример 2

Решите уравнение 2/(x − 1) + 3/(x + 1) = 1.

  1. Область определения: x ≠ ±1.
  2. Умножаем на (x − 1)(x + 1): 2(x + 1) + 3(x − 1) = x² − 1, т. е. x² − 5x = 0.
  3. x(x − 5) = 0: x = 0 или x = 5 — оба входят в область определения.
  4. Ответ: 0; 5.
История

Вернёмся к уравнению про лодку: 24/(v + 2) + 24/(v − 2) = 5; область определения v ≠ ±2, а по смыслу v > 2. Умножаем на (v + 2)(v − 2): 24(v − 2) + 24(v + 2) = 5(v² − 4), т. е. 5v² − 48v − 20 = 0. D/4 = 24² + 5·20 = 676, √676 = 26, откуда v = (24 + 26)/5 = 10 или v = (24 − 26)/5 = −0,4. Скорость не может быть отрицательной, значит, собственная скорость лодки 10 км/ч. Проверка: по течению 24 : 12 = 2 ч, против течения 24 : 8 = 3 ч, всего 5 ч.

Проверь себя

Найдите положительный корень уравнения 6/x − 6/(x + 1) = 1.

Умножь на x(x + 1): 6 = x² + x.

Глава 2

Область определения и параметр

В дробных уравнениях с параметром главную роль играет область определения: если найденный корень обращает знаменатель в нуль, он «пропадает». А иногда корень дан, и параметр находят, подставив его в уравнение.

Пример 3

При каком a уравнение (x + a)/(x − 3) = 2 не имеет корней?

  1. Область определения: x ≠ 3. Умножаем: x + a = 2x − 6, откуда x = a + 6.
  2. Это число не является корнем, только если a + 6 = 3: a = −3.Почему так?

    При всех остальных a x = a + 6 ≠ 3, т. е. корень есть.

  3. Ответ: a = −3.
Пример 4

Корень уравнения 3/(x − 1) + m/x = 2 равен x = 4. Найдите m.

  1. Корень обращает уравнение в верное равенство: 3/3 + m/4 = 2.Почему так?

    x = 4 входит в область определения (x ≠ 0, x ≠ 1), поэтому подставлять можно.

  2. m/4 = 1, m = 4.
  3. Ответ: m = 4.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

Если один из корней уравнения 24/(5 − x) − m/(x + 2) = 6/(3 − x) является простым множителем числа 90, найдите значение параметра m.

A) 6B) 10C) 8D) 7E) 9
  1. Область определения: x ≠ 5, x ≠ 3, x ≠ −2.Почему так?

    Знаменателей три: 5 − x, x + 2 и 3 − x.

  2. 90 = 2·3²·5 — простые множители 2, 3 и 5. 3 и 5 не входят в область определения, значит, корень x = 2.Почему так?

    В этом ключ задания: область определения сразу исключает двух «кандидатов» из трёх.

  3. Подставляем: 24/3 − m/4 = 6/1, т. е. 8 − m/4 = 6, m = 8.
  4. Ответ: m = 8 (вариант C).
Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)
Сначала отметим, что числа x = 3 и x = 5 не входят в область определения данного уравнения с параметром. Разложим число 90 на простые множители: 90=2·3²·5. Так как x ≠ {3;5}, корнем данного уравнения будет только число x = 2. Подставив этот корень в уравнение, получим относительно параметра m уравнение 24/(5 − 2) − m/(2 + 2) = 6/(3 − 2), или 8 − m/4 = 6, а отсюда m = 8.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

При каком положительном a уравнение (x² − 4)/(x − a) = 0 имеет единственный корень?

Числитель равен нулю: x = ±2. Один из корней должен обращать знаменатель в нуль.

Глава 3

Уравнения с модулем

История

Лагерь находится на 6-м км тропы вдоль озера; вдоль тропы на каждом километре стоит пронумерованный столбик. Ученики хотят купить мороженое. Турист из соседней палатки говорит: «Киоск — ровно в 2,5 км от лагеря по тропе».

В какую сторону идти, турист не сказал. На каком километре тропы может быть киоск?

Место киоска x: расстояние от лагеря |x − 6| = 2,5.Определение

Модуль числа: при a ≥ 0|a| = a, при a < 0|a| = −a. Геометрический смысл: |x| — расстояние на числовой оси от точки x до 0, а |x − a| — от x до a. Модуль никогда не бывает отрицательным.

Уравнения с модулем

|f(x)| = c: при c > 0f(x) = ±c; при c = 0f(x) = 0; при c < 0 решений нет;|f(x)| = |g(x)| ⇔ f(x) = g(x) или f(x) = −g(x);|f(x)| = g(x) ⇔ g(x) ≥ 0 и f(x) = ±g(x).

История

Пусть место киоска x. Расстояние от лагеря |x − 6| = 2,5, т. е. x − 6 = ±2,5. Значит, x = 8,5 или x = 3,5: киоск либо на 8,5-м, либо на 3,5-м километре — у уравнения с модулем два решения. Турист уточняет: «В сторону села». Село на 0-м километре, значит, киоск на 3,5-м км.

Пример 5

Решите уравнения: а) |2x − 3| = 7; б) |x − 1| = |2x + 4|.

  1. а) 2x − 3 = ±7: x = 5 или x = −2.
  2. б) x − 1 = 2x + 4 или x − 1 = −(2x + 4).Почему так?

    Числа с равными модулями либо равны, либо противоположны.

  3. Из первого x = −5, из второго 3x = −3, x = −1. Проверка: |−6| = |−6|, |−2| = |2|.
  4. Ответ: а) −2; 5; б) −5; −1.

В лаборатории посмотри на уравнение |x − a| = c графически: левая часть — «уголок» (буква V), правая — горизонтальная прямая. При изменении c число точек пересечения бывает 2, 1 или 0.

Лаборатория · графическое решение уравнения с модулемa2c3Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

Решите уравнение |a| = −1/5 + 1/4.

Внимание: даже верно вычислив правую часть (1/20), ответ — не одно число: у уравнения с модулем два решения. Вариант B (9/20) получается, если забыть знак у −1/5.

A) ±1/9B) 9/20C) 1/10D) ±1/5E) ±1/20
  1. Вычисляем правую часть: −1/5 + 1/4 = (−4 + 5)/20 = 1/20.Почему так?

    Общий знаменатель 20: 1/5 = 4/20, 1/4 = 5/20.

  2. 1/20 — положительное число, поэтому решений два: a = ±1/20.Почему так?

    Числа с модулем 1/20 лежат на оси на расстоянии 1/20 от 0, по обе стороны.

  3. Ответ: ±1/20 (вариант E).
Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)
|a| = −1/5 + 1/4 ⇔ |a| = (−4 + 5)/20 ⇔ |a| = 1/20 ⇔ a = ±1/20Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)
Проверь себя

Найдите меньший корень уравнения |3x + 1| = 8.

3x + 1 = 8 или 3x + 1 = −8.

Глава 4

Сумма неотрицательных выражений равна нулю

Квадрат, модуль и квадратный корень никогда не бывают отрицательными: A² ≥ 0, |B| ≥ 0, √C ≥ 0. Этот простой факт позволяет решать уравнения очень коротко.

Свойство

Сумма неотрицательных выражений равна нулю, только если каждое из них равно нулю:

A² + |B| = 0 ⇔ A = 0 и B = 0

Значит, решения такого уравнения — общие корни двух уравнений (система!), а не их объединение. Причина: если одно из слагаемых положительно, то и сумма положительна.

Пример 6

Решите уравнение (x² − 4)² + |x² − 5x + 6| = 0.

  1. Оба слагаемых должны быть равны нулю: x² − 4 = 0 и x² − 5x + 6 = 0.
  2. Первое: x = ±2. Второе: x = 2, x = 3.
  3. Общий корень: x = 2.Почему так?

    При x = −2 второе слагаемое |4 + 10 + 6| = 20 ≠ 0; при x = 3 первое (9 − 4)² = 25 ≠ 0.

  4. Ответ: x = 2.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 25.05.2025

Решите уравнение (x² + x − 6)² + |x² + 4x + 3| = 0.

A) −3; −1B) 2C) −3D) −3; 2E) 2; −1
  1. Квадрат и модуль неотрицательны, их сумма равна нулю — значит, оба равны нулю: x² + x − 6 = 0 и x² + 4x + 3 = 0.Почему так?

    Это условие «и» (система), а не «или».

  2. Первое уравнение (Виет: сумма −1, произведение −6): x = 2, x = −3. Второе (сумма −4, произведение 3): x = −1, x = −3.
  3. Общий корень только x = −3.Почему так?

    Варианты D (−3; 2) и A (−3; −1) — ловушки, где взят и необщий корень.

  4. Ответ: −3 (вариант C).
Официальное пояснение ДИМ (25.05.2025)
Чтобы сумма квадрата одного из выражений и модуля другого была равна 0, каждое из них одновременно должно быть равно 0. Поэтому нужно найти решение следующей системы уравнений.{ (x² + x − 6)² = 0, |x² + 4x + 3| = 0 } → { x² + x − 6 = 0, x² + 4x + 3 = 0 }Отсюда как решение уравнения x² + x – 6 = 0 находим x₁ = 2, x₂ = −3, с другой стороны, как решение уравнения x² + 4x + 3 = 0 находим x₁ = −1, x₂ = −3. Решением системы уравнений будет общее решение этих двух уравнений. То есть решение данного уравнения x = −3.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Решите уравнение (x² − 1)² + |x² + 3x + 2| = 0.

x² − 1 = 0 → ±1; x² + 3x + 2 = 0 → −1; −2.

Глава 5

Иррациональные уравнения

История

Любимое развлечение лагеря — зиплайн: от вышки высотой 5 м через залив к площадке приземления натянут стальной трос. Инструктор говорит, что длина троса ровно на 1 м больше горизонтального расстояния от вышки до площадки.

Какова ширина залива (горизонтальное расстояние) в метрах?

Вышка 5 м, горизонтальное расстояние x, трос x + 1.

Пусть горизонтальное расстояние x. Трос — гипотенуза прямоугольного треугольника: √(x² + 25). По условию √(x² + 25) = x + 1. Переменная стоит под знаком корня — это иррациональное уравнение.

Правило

Чтобы решить иррациональное уравнение, оставляем корень в одной части и возводим обе части в квадрат. Возведение в квадрат может добавить посторонние корни, поэтому либо проверяем каждый корень, либо заранее записываем условие:

√f = g ⇔ g ≥ 0 и f = g²

Пример 7

Решите уравнение √(x + 2) = x.

  1. Возводим в квадрат: x + 2 = x², т. е. x² − x − 2 = 0.
  2. Корни: x = 2, x = −1.
  3. Проверка: √4 = 2 — верно; √1 = 1 ≠ −1 — неверно. x = −1 — посторонний корень.Почему так?

    При возведении в квадрат «подключается» и корень уравнения −√(x + 2) = x: (−1)² = 1 = −1 + 2. Условие x ≥ 0 сразу это показывает.

  4. Ответ: x = 2.
История

Вернёмся к тросу: √(x² + 25) = x + 1. Условие: x + 1 ≥ 0 (расстояние и так положительно). Возводим в квадрат: x² + 25 = x² + 2x + 1, откуда 2x = 24, x = 12. Проверка: √(144 + 25) = √169 = 13 = 12 + 1. Ширина залива 12 м, длина троса 13 м.

В заданиях ДИМ часто встречается другой вид иррационального уравнения: у подкоренных выражений есть общий множитель. Тогда возводить в квадрат не нужно: выносим множитель из-под корня и приводим подобные: √(a²·u) = a√u (a ≥ 0).

Пример 8

Решите уравнение √(9x − 18) + √(x − 2) = 8.

  1. 9x − 18 = 9(x − 2), поэтому √(9x − 18) = 3√(x − 2).Почему так?

    √9 = 3 выносится из-под корня.

  2. 4√(x − 2) = 8, √(x − 2) = 2, x − 2 = 4, x = 6.
  3. Ответ: x = 6.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

Решите уравнение √(16x + 16) + √(4x + 4) − √(x + 1) = 25.

A) 35B) 14C) 15D) 24E) 21
  1. Общий множитель под корнями — x + 1: 16x + 16 = 16(x + 1), 4x + 4 = 4(x + 1).Почему так?

    Общий множитель сводит уравнение к одному виду корня.

  2. 4√(x + 1) + 2√(x + 1) − √(x + 1) = 25, т. е. 5√(x + 1) = 25.
  3. √(x + 1) = 5, x + 1 = 25, x = 24. Проверка: √400 + √100 − √25 = 20 + 10 − 5 = 25.Почему так?

    Так как √(x + 1) = 5 положительно, посторонний корень не появляется.

  4. Ответ: 24 (вариант D).
Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)
√(16x + 16) + √(4x + 4) − √(x + 1) = 25√(16(x + 1)) + √(4(x + 1)) − √(x + 1) = 254√(x + 1) + 2√(x + 1) − √(x + 1) = 25… 5√(x + 1) = 25√(x + 1) = 5x + 1 = 25x = 24Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Решите уравнение √(25x + 25) − √(x + 1) = 12.

√(25(x + 1)) = 5√(x + 1); 4√(x + 1) = 12.

Итоги

Запомни

  • Дробное уравнение: сначала область определения (знаменатели ≠ 0), затем умножение на общий знаменатель, в конце отбор корней.
  • Если корень дан, подставь его в уравнение и найди параметр; область определения отсеивает «кандидатов».
  • |x − a| = c: c > 0 — два решения x = a ± c, c = 0 — одно, c < 0 — решений нет.
  • |f| = |g| ⇔ f = ±g.
  • A² + |B| = 0 ⇔ A = 0 и B = 0: берутся общие корни.
  • √f = g ⇔ g ≥ 0 и f = g²; после возведения в квадрат проверяй корни.
  • Общий множитель: √(16(x + 1)) = 4√(x + 1).

Типичные ошибки

|a| = 1/20 → a = 1/20

Чисел с модулем 1/20 два: 1/20 и −1/20.

«Все корни дробного уравнения — ответ»

Корень, обращающий знаменатель в нуль, — посторонний: в уравнении x/(x − 2) − 8/(x² − 4) = 1 полученный x = 2 отбрасывается.

«При A² + |B| = 0 ответ — все корни обоих уравнений»

Оба выражения должны равняться нулю одновременно: только общие корни.

«Возвёл в квадрат — корни готовы»

Возведение в квадрат может добавить посторонний корень: в уравнении √(x + 2) = x x = −1 не проходит проверку.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Решите уравнение |x| = 1/3 − 1/2 + 1/4.

1/3 − 1/2 + 1/4 = (4 − 6 + 3)/12 = 1/12 > 0, два решения.

2 · Уровень 1

Сумма корней уравнения |x − 4| = 3:

x = 4 ± 3: 7 и 1, сумма 8.

3 · Уровень 2

Произведение корней уравнения 4/(x − 2) = x + 1:

x ≠ 2; 4 = (x + 1)(x − 2), x² − x − 6 = 0, корни 3 и −2 (оба подходят), произведение −6.

4 · Уровень 2

Решите уравнение (x² − 9)² + |x² + 2x − 3| = 0.

x² − 9 = 0 → ±3; x² + 2x − 3 = 0 → −3; 1; общий корень −3.

5 · Уровень ДИМ

Решите уравнение √(x + 7) = x − 5.

x ≥ 5; x + 7 = x² − 10x + 25, x² − 11x + 18 = 0, x = 9 или 2; 2 < 5 — посторонний корень.

6 · Уровень ДИМ

Один из корней уравнения 12/(4 − x) + m/(x + 1) = 9/(3 − x) — простой множитель числа 12. Найдите m.

12 = 2²·3; x ≠ 3, значит, x = 2: 12/2 + m/3 = 9/1, m = 9.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 19; B-15, C-4, D-17
  2. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 1; B-18, C-17, D-11
  3. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 72; B-71, C-71, D-69
  4. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 18; B-11, C-19, D-8

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки