Уравнения и неравенства с модулем: расстояние на числовой прямой
Текст урока
|x − a| — это расстояние на числовой прямой от точки x до точки a. Поэтому уравнения и неравенства с модулем можно читать как вопрос: «на каком расстоянии от a находятся точки?»
При b > 0: |x − a| = b → x = a ± b; |x − a| < b → a − b < x < a + b; |x − a| > b → x < a − b или x > a + b. Модуль не бывает отрицательным, поэтому при b < 0 уравнение |x − a| = b решений не имеет.
|x − a| = bдве точки на расстоянии b от a|x − a| < bточки ближе b к a — один промежуток|x − a| > bточки дальше b от a — два лучаменяй знак, a и b ↓|x| = 3: две точки на расстоянии 3 от нуля — −3 и 3Вверху «галочка» y = |x − a| и красная прямая y = b, зелёная часть — точки, удовлетворяющие условию. Внизу решения на числовой прямой: закрашенный кружок — точка входит, пустой — не входит. Двигай точку x и проверяй расстояние до a.
Знакaцентр2bрасстояние3Проверяемая точка, x4|x − 2| < 3x ∈ (−1; 5)- Расстояние точки|4 − 2| = 2 ✓
Пусть решением |x − a| < b будет (1; 7).
Настрой ползунки и кнопки…Что показывает симуляция?
языком ползунков- Выбери «=», поставь a = 0, b = 3: решения −3 и 3 — две точки на расстоянии 3 от нуля. На графике это пересечение «галочки» с прямой y = 3.
- Измени a на 2: решения станут −1 и 5. |x − 2| — расстояние до 2, поэтому вся картинка сдвигается на 2 вправо.
- Выбери «<»: решение становится промежутком (−1; 5) — частью «галочки» ниже прямой y = b.
- Выбери «>»: решение — два луча, две ветви «галочки» выше прямой.
- Сделай b отрицательным: прямая уходит под ось, «галочка» её никогда не пересекает. Для «=» и «<» решений нет, а для «>» подходит любое x.
Все случаи в одной таблице
смотри на знак b| Уравнение / неравенство | b > 0 | b = 0 | b < 0 |
|---|---|---|---|
| |x − a| = b | x = a − b, x = a + b | x = a | решений нет |
| |x − a| < b | (a − b; a + b) | решений нет | решений нет |
| |x − a| ≤ b | [a − b; a + b] | x = a | решений нет |
| |x − a| > b | (−∞; a − b) ∪ (a + b; +∞) | x ≠ a | любое x |
| |x − a| ≥ b | (−∞; a − b] ∪ [a + b; +∞) | любое x | любое x |
Самые частые ошибки
красной ручкой«|x + 3| — расстояние до 3»|x + 3| = |x − (−3)|, то есть это расстояние до −3. Центр — всегда точка, в которой выражение под модулем равно нулю: x + 3 = 0 → x = −3.
«|x| = −2 → x = ±2»Модуль (расстояние) не бывает отрицательным. Если правая часть отрицательна, решений нет — проверь это до вычислений.
Путать случаи «<» и «>»«Меньше» — точки рядом с центром, один промежуток: a − b < x < a + b. «Больше» — точки вдали от центра, два луча и их объединение.
Разобранные задачи
сначала реши самЗадача 1
Решите неравенство |x − 4| ≤ 3 и найдите число его целых решений.
Показать решение−3 ≤ x − 4 ≤ 3 → 1 ≤ x ≤ 7Целые решения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7Ответ: [1; 7], 7 целых решений.
Задача 2
Решите методом интервалов: |x − 1| + |x + 2| = 5.
Показать решениеНули модулей: x = −2 и x = 1 → три промежуткаx < −2: −2x − 1 = 5 → x = −3 ✓; −2 ≤ x ≤ 1: 3 = 5 ✗; x > 1: 2x + 1 = 5 → x = 2 ✓Ответ: x = −3 и x = 2. На числовой прямой: точки, сумма расстояний которых до −2 и до 1 равна 5.
В реальной жизни: контроль качества на заводе
модуль на производствеЗавод выпускает болты диаметром 50 мм; допустимая погрешность ±0,2 ммНа заводах для размера каждой детали задают допуск — допустимую погрешность — и записывают условие в виде |d − d₀| ≤ δ. Тем же языком описывают работу термостата (|t − 22°| ≤ 1°), точность дозировки лекарств и погрешность GPS: расстояние до цели не должно превышать заданного предела.
Проверь себя: 5 тестовых заданий
5 вопросов1Найдите корни уравнения |x − 3| = 5.
2Какое множество является решением неравенства |x + 1| < 4?
3Сколько корней имеет уравнение |x − 2| = −3?
4Какое множество является решением неравенства |x| ≥ 2?
5Открытый вопрос: найдите сумму корней уравнения |2x − 6| = 4. Запиши ответ числом.
ИсточникПрограмма вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Уравнения и неравенства: уравнения и неравенства, содержащие модуль, метод интервалов.