ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Система линейных уравнений с двумя переменными и решение задач

МатематикаУравнения и неравенства

Текст урока
Уравнения и неравенства · Тема 17 / 46

Система линейных уравнений с двумя переменными и решение задач

Этот урок пройдём через одну субботу: семья идёт на рынок. Вопросы у фруктового прилавка, в чайхане и на стоянке такси приведут нас к системам линейных уравнений с двумя неизвестными: к способам сложения и подстановки, графическому способу и текстовым задачам ДИМ.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 11материал 7–9 классов

После урока ты сможешь

  • проверять, является ли пара решением системы, и находить параметры по известному решению;
  • решать системы способами сложения и подстановки;
  • объяснять графический способ и находить число решений по коэффициентам;
  • строить модель текстовой задачи и правильно записывать искомую величину.

Перед началом вспомни

  • Решение линейного уравнения с одной переменной: ax = b.
  • Процент: 20% = 0,2; среднее = сумма : количество.
  • График функции y = kx + m — прямая.

Содержание

  1. ВведениеСитуация: сколько стоит килограмм яблок?история и предположение
  2. Глава 1Линейные уравнения с двумя переменными и их системыax + by = c · пара-решение · ДИМ 24.05.2026
  3. Глава 2Способ сложенияпочленное сложение · ДИМ 02.03.2025, 07.06.2026
  4. Глава 3Способ подстановкивырази переменную · среднее · ДИМ 09.03.2026
  5. Глава 4Графический способ и число решенийточка пересечения · параллельные прямые · лаборатория
  6. Глава 5Решение задач с помощью систем уравненийпостроение модели · таблица · совместная работа · ДИМ 09.03.2025, 13.07.2025
  7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 5, с ответом и официальным пояснением
  8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: сколько стоит килограмм яблок?

История

В субботу семья идёт на рынок. На фруктовом прилавке цены не написаны, а продавец занят покупателями. Покупатель впереди берёт 2 кг яблок и 1 кг груш и платит 7 ₼. Следующий покупатель берёт 1 кг яблок и 2 кг груш и платит 8 ₼.

Можно ли, не спрашивая продавца, узнать цену килограмма яблок?

Две покупки — два уравнения: 2 кг яблок + 1 кг груш = 7 ₼, 1 кг яблок + 2 кг груш = 8 ₼.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько стоит 1 кг яблок? Выбери ответ — посчитаем вместе во 2-й главе.

Глава 1

Линейные уравнения с двумя переменными и их системы

Обозначим цену 1 кг яблок через a, а 1 кг груш — через p. Первая покупка даёт уравнение 2a + p = 7, вторая — a + 2p = 8. В каждом уравнении два неизвестных, и оба уравнения должны выполняться одновременно.

Определение

Уравнение вида ax + by = c (a и b не равны нулю одновременно) называется линейным уравнением с двумя переменными. Каждая пара (x; y), обращающая его в верное равенство, — его решение. Таких решений бесконечно много, их график — прямая.

Система уравнений

Если ищем общее решение нескольких уравнений, они образуют систему уравнений и записываются с фигурной скобкой. Решение системы — пара (x; y), удовлетворяющая каждому уравнению системы.

Пример 1

Является ли пара (3; −1) решением системы {2x + y = 5, x − 3y = 6}?

  1. Первое уравнение: 2·3 + (−1) = 5 — верно.
  2. Второе уравнение: 3 − 3·(−1) = 6 — верно.Почему так?

    Чтобы пара была решением системы, она должна удовлетворять обоим уравнениям; если бы не выполнялось хотя бы одно, ответ был бы «нет».

  3. Ответ: да, (3; −1) — решение системы.
Проверь себя

В решении уравнения 3x − 2y = 10 x = 2. Найдите y.

6 − 2y = 10.

Если решение известно, подстановка его в систему сразу даёт параметры. В ДИМ эта идея проверяется так:

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 24.05.2026

При каких значениях параметров a и b решением системы уравнений { 2x − 3y = a, 3x + 4y = b } будет пара (2; −3)?

A) a = 13, b = −6B) a = −5, b = 6C) a = −5, b = 18D) a = 7, b = 15E) a = −13, b = 6
  1. Так как решение (2; −3), подставляем x = 2, y = −3 в оба уравнения.Почему так?

    Первое число пары — x, второе — y.

  2. Первое уравнение: a = 2·2 − 3·(−3) = 4 + 9 = 13.
  3. Второе уравнение: b = 3·2 + 4·(−3) = 6 − 12 = −6.Почему так?

    Отрицательное число пиши в скобках: 4·(−3), чтобы не ошибиться в знаке.

  4. Ответ: a = 13, b = −6 (вариант A).
Официальное пояснение ДИМ (24.05.2026)
Так как решение системы уравнений (2; −3), то, подставив значения x = 2, y = −3 в систему уравнений, получаем { 2·2 − 3·(−3) = a; … }, откуда a = 13, b = −6.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)
Глава 2

Способ сложения

Если почленно сложить (или вычесть) два уравнения системы, снова получится верное равенство. Если при этом одна из переменных исчезает, остаётся уравнение с одной переменной.

Способ сложения

1) Если нужно, умножь уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными;2) сложи уравнения почленно: эта переменная исчезнет;3) из полученного уравнения найди одну переменную, подставь её в любое уравнение и найди вторую.

Пример 2

Решите систему {3x + 2y = 12, 5x − 2y = 4}.

  1. Коэффициенты при y равны 2 и −2 — складываем: 8x = 16, x = 2.Почему так?

    Противоположные коэффициенты при сложении дают нуль.

  2. Подставляем в первое уравнение: 6 + 2y = 12, y = 3.
  3. Ответ: (2; 3).
История

Система с рынка: {2a + p = 7, a + 2p = 8}. Складываем уравнения: 3a + 3p = 15, т. е. a + p = 5. Вычитаем: a − p = −1. Сложив и эти два простых уравнения, получаем 2a = 4, a = 2, значит, p = 3. 1 кг яблок стоит 2 маната, 1 кг груш — 3 маната. Проверка: 2·2 + 3 = 7, 2 + 2·3 = 8.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

Если сумма двух чисел равна 137, а их разность — 19, найдите большее из этих чисел.

A) 76B) 78C) 68D) 79E) 67
  1. Обозначим числа через a (большее) и b: {a + b = 137, a − b = 19}.
  2. Складываем: 2a = 156, a = 78.Почему так?

    Коэффициенты при b равны 1 и −1, при сложении b исчезает.

  3. Проверка: b = 137 − 78 = 59, 78 + 59 = 137, 78 − 59 = 19.
  4. Ответ: 78 (вариант B).
Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)
По условию можно записать { a + b = 137, a − b = 19 }.Складывая почленно уравнения системы, получаем 2a = 156 ⇒ a = 78.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 07.06.2026

Найдите отношение x/y из системы уравнений {5x − 21y = 9, x + 10y = 16}.

A) 3B) 6C) 1/6D) −1/6E) −6
  1. Умножаем второе уравнение на 5: 5x + 50y = 80.Почему так?

    Теперь в обоих уравнениях коэффициент при x равен 5; при вычитании x исчезает.

  2. Вычитаем из первого второе: (5x − 21y) − (5x + 50y) = 9 − 80, −71y = −71.
  3. y = 1, x + 10 = 16, x = 6; отношение x/y = 6.
  4. Ответ: 6 (вариант B).
Официальное пояснение ДИМ (07.06.2026)
{5x − 21y = 9; x + 10y = 16 |×5} ⇒ {5x − 21y = 9; 5x + 50y = 80} ⇒ −71y = −71, y = 1; x + 10y = 16 ⇒ x + 10 = 16 ⇒ x = 6. Тогда x/y = 6/1 = 6.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Для системы {2x + 3y = 13, 2x − y = 1} найдите сумму x + y.

Вычти: 4y = 12.

Глава 3

Способ подстановки

История

После покупок семья заходит в чайхану рядом с рынком. В зале два вида столов: квадратные четырёхместные и длинные шестиместные. Хозяин с гордостью говорит: «У меня всего 15 столов и 74 мест».

Для большого семейного застолья нужны шестиместные столы. Сколько шестиместных столов в зале?

x — число четырёхместных, y — шестиместных столов: x + y = 15, 4x + 6y = 74.Способ подстановки

1) Из одного уравнения вырази одну переменную через другую (напр., x = 15 − y);2) подставь это выражение во второе уравнение — получится уравнение с одной переменной;3) реши его и, подставив найденное значение в выражение, найди вторую переменную.

Способ подстановки особенно удобен, когда коэффициент при одной из переменных равен 1: выражение получается без дробей.

История

Чайхана: {x + y = 15, 4x + 6y = 74}. Из первого x = 15 − y. Подставляем во второе: 4(15 − y) + 6y = 74, 60 + 2y = 74, y = 7, x = 8. В зале 7 шестиместных и 8 четырёхместных столов. Проверка: 8·4 + 7·6 = 32 + 42 = 74.

Пример 3

Решите систему {x − 2y = 1, 3x + y = 17}.

  1. Из первого x = 1 + 2y.Почему так?

    Коэффициент при x равен 1, поэтому x выразить проще всего.

  2. 3(1 + 2y) + y = 17, 7y = 14, y = 2.
  3. x = 1 + 2·2 = 5.
  4. Ответ: (5; 2).
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2026

В рабочей группе из 24 человек средний возраст женщин равен 21, а средний возраст мужчин — 29. Если средний возраст всех работников группы равен 26, сколько мужчин в группе?

  1. Число женщин x, мужчин y: x + y = 24.Почему так?

    Среднее = сумма : количество, поэтому сумма = среднее · количество.

  2. Сумма возрастов: у женщин 21x, у мужчин 29y, у всех 26·24 = 624. Значит, 21x + 29y = 624.
  3. Подстановка: x = 24 − y, 21(24 − y) + 29y = 624, 504 + 8y = 624, y = 15.
  4. Проверка: x = 9, 21·9 + 29·15 = 189 + 435 = 624.
  5. Ответ: 15 мужчин.
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2026)
Если обозначить число женщин через x, а число мужчин через y, получим x+y=24. По условию сумма возрастов женщин равна 21x, а сумма возрастов мужчин — 29y. Сумма же возрастов всех работников будет 26(x+y)=26·24. Тогда получаем систему уравнений { x + y = 24, 21x + 29y = 26·24 }. Отсюда x=9, y=15. Значит, в группе 15 мужчин.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

Найдите y из системы {y = 2x − 1, 3x + 2y = 19}.

3x + 2(2x − 1) = 19.

Глава 4

Графический способ и число решений

История

Домой возвращаются на такси. На стоянке такси двух компаний. В такси «A» посадка 2 ₼ и 0,5 ₼ за километр, в такси «B» — посадка 1 ₼ и 0,7 ₼ за километр. От рынка до дома 8 км.

Какое такси дешевле? На каком расстоянии плата одинакова?

Два тарифа — две прямые: y = 2 + 0,5x и y = 1 + 0,7x.

График каждого линейного уравнения с двумя переменными — прямая. Решение системы — точка, лежащая на обеих прямых, т. е. точка их пересечения. Это графический способ: он не всегда точен, но сразу показывает число решений и их примерное положение.

Взаимное расположение двух прямых определяет число решений системы.Число решений

Для системы {a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂}: если a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, решение единственное; если a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, решений нет; если a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, решений бесконечно много.

В лаборатории одна прямая неподвижна (x + y = 5), а второй (y = kx + m) управляешь с помощью k и m. При k = −1 прямые параллельны; если ещё и m = 5, они совпадают.

Лаборатория · две прямые и точка их пересеченияk (угловой коэффициент)1m1История

Цена за x км пути: y = 2 + 0,5x, y = 1 + 0,7x. Где они равны: 2 + 0,5x = 1 + 0,7x, 0,2x = 1, x = 5 — прямые пересекаются в точке (5; 4,5). На пути длиннее 5 км дешевле «A», потому что каждый километр у неё дешевле. До дома 8 км: 2 + 0,5·8 = 6 ₼, 1 + 0,7·8 = 6,6 ₼. Семья выбирает такси «A» и экономит 60 гяпиков.

Пример 4

При каком k система {2x + 3y = 5, 4x + ky = 7} не имеет решений?

  1. Для отсутствия решений нужно 2/4 = 3/k ≠ 5/7.Почему так?

    Прямые должны быть параллельны: коэффициенты при x и y пропорциональны, а свободные члены — нет.

  2. 3/k = 1/2, k = 6; 1/2 ≠ 5/7 выполняется.
  3. Ответ: k = 6.
Проверь себя

При каком k система {x − 2y = 3, 3x + ky = 9} имеет бесконечно много решений?

1/3 = −2/k = 3/9.

Глава 5

Решение задач с помощью систем уравнений

Многие текстовые задачи ДИМ сводятся к системе с двумя неизвестными. Главное — построить математическую модель, а решать систему ты уже умеешь.

Модель задачи

1) Обозначь неизвестные буквами (с единицами: штуки, кг, манаты, дни);2) переведи каждое условие в уравнение;3) реши систему;4) проверь смысл решения (натуральное число, положительное значение) и запиши то, что спрашивают, — это может быть не x и не y.

Пример 5

Сумма двух чисел равна 50. 20% первого числа равны 30% второго. Найдите эти числа.

  1. Модель: {x + y = 50, 0,2x = 0,3y}.
  2. Из второго x = 1,5y.Почему так?

    Делим обе части равенства 0,2x = 0,3y на 0,2.

  3. 1,5y + y = 50, y = 20, x = 30.
  4. Ответ: 30 и 20.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2025

В таблице приведены данные о количестве студентов группы в зависимости от их роста. Найдите количество юношей в этой группе, рост которых больше 170 см.

Таблица: меньше 170 см — юноши y, девушки 3x, всего 21; больше 170 см — юноши 2y, девушки x, всего 17.

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. Столбец «меньше 170 см»: y + 3x = 21.
  2. Столбец «больше 170 см»: 2y + x = 17.
  3. Умножаем первое уравнение на −2 и складываем со вторым: −5x = −25, x = 5, y = 21 − 15 = 6.Почему так?

    −2y + 2y = 0: y исчезает.

  4. Спрашивают не y, а число юношей ростом больше 170 см: 2y = 12.Почему так?

    Ловушка: y = 6 — это юноши ростом меньше 170 см.

  5. Ответ: 12.
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2025)
{ y + 3x = 21 ; 2y + x = 17 } ⇒ { −2y − 6x = −42 ; 2y + x = 17 } ⇒ −5x = −25 ⇒⇒ x = 5, y = 6Количество юношей в этой группе, рост которых больше 170 см, будет 2y=12.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

В задачах на совместную работу всю работу принимают за 1: работник, выполняющий её за x дней, за день делает 1/x её часть. Если производительность возрастает в 2 раза, работа выполняется вдвое быстрее, т. е. за x/2 дней. Если неизвестные в знаменателе, замена u = 1/x, v = 1/y делает систему линейной.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Мастер и его ученик вместе выполняют определённую работу за 10 дней. Если мастер повысит производительность труда в 2 раза, а ученик — в 3 раза, то эту работу вместе они выполнят за 4 дня. За сколько дней мастер с прежней производительностью выполнит эту работу один?

  1. Мастер выполняет работу за x дней, ученик — за y. Вместе за день: 1/x + 1/y = 1/10.Почему так?

    Работа, выполняемая за 10 дней, за день выполняется на 1/10.

  2. С новой производительностью мастер выполняет работу за x/2, ученик — за y/3 дней: 1/(x/2) + 1/(y/3) = 1/4, т. е. 2/x + 3/y = 1/4.Почему так?

    При увеличении производительности в k раз время уменьшается в k раз.

  3. u = 1/x, v = 1/y: {u + v = 1/10, 2u + 3v = 1/4}. Умножаем первое на 2 и вычитаем из второго: v = 1/4 − 1/5 = 1/20, u = 1/10 − 1/20 = 1/20.
  4. u = 1/x = 1/20, значит, x = 20. Проверка: 2/20 + 3/20 = 5/20 = 1/4.
  5. Ответ: 20 дней.
Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)
Допустим, мастер один выполняет определённую работу за x дней, а ученик — за y дней. Тогда по условию задачи можно составить следующую систему уравнений: { 1/x + 1/y = 1/10, 1/(x/2) + 1/(y/3) = 1/4 } ⇒ { 1/x + 1/y = 1/10, 2/x + 3/y = 1/4 } ⇒ x = 20Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Отец старше сына на 26 лет. Через 4 года отец будет в 3 раза старше сына. Сколько лет сыну сейчас?

{f = s + 26, f + 4 = 3(s + 4)}.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 15.03.2026

Принтер печатает одну цветную страницу за 50 секунд, а одну чёрно-белую — за 30 секунд. Если принтер, работая без перерыва полчаса, напечатал 40 страниц, сколько из них цветных?

A) 30B) 25C) 35D) 20E) 40Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 30 (вариант A).

Пусть число цветных страниц, напечатанных принтером, равно x, а число чёрно-белых — y. По условию записывается уравнение x+y=40. Так как на печать всех цветных страниц затрачивается 50x секунд, а чёрно-белых — 30y секунд, и принтер … работал полчаса, или 1800 с, составляется и решается следующая система уравнений: { x + y = 40; 50x + 30y = 1800 } ⇒ { x + y = 40; 5x + 3y = 180 } ⇒ { −3x − 3y = −120; 5x + 3y = 180 } ⇒ { x + y = 40; 2x = 60 } ⇒ { y = 10; x = 30 } …Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
ДИМ · 24.05.2026

3 машины типа «A» и 2 машины типа «B» вместе за один рейс привезли 21 т груза, а 2 машины типа «C» и 3 машины типа «D» вместе за один рейс — 32 т. Найдите, сколько тонн груза привозит за один рейс одна машина типа «A».

Ситуация (ДИМ, перевод): «Для проведения строительных работ во дворе жилого комплекса стройматериалы привезли на грузовиках четырёх типов. Каждая машина типа "A" привезла на 2 т груза меньше каждой машины типа "C", а каждая машина типа "B" — на 3 т меньше каждой машины типа "D". …»

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 5 т.

Если груз, привозимый машиной типа A, равен x, а машиной типа B — y, то груз машины типа C равен (x+2), а машины типа D — (y+3). Тогда по условию { 3x + 2y = 21; 2(x + 2) + 3(y + 3) = 32 } ⇒ { 3x + 2y = 21; 2x + 3y = 19 } ⇒ ⇒ { −9x − 6y = −63; 4x + 6y = 38 } ⇒ −5x = −25, x = 5Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 25.05.2025

Найдите массу пустого сундука.

Ситуация (ДИМ, перевод): «… Если в сундук положить 10 предметов одинаковой массы, масса сундука будет 24 кг. Если же положить в сундук 15 предметов одинаковой массы, масса каждого из которых на 20% больше массы одного из предметов, положенных в первый раз, его масса будет 30 кг. …»

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 16,5 кг.

I способ: Для решения задания составляется система двух линейных уравнений с двумя переменными. Предположим, что масса сундука x кг, а масса одного из 10 одинаковых по массе предметов, положенных в сундук сначала, — y кг. Тогда, так как масса каждого из предметов, которые будут положены в сундук во второй раз, на 20% больше массы одного из предметов, положенных в первый раз, она будет 1,2y кг. Если в сундук положить первые 10 предметов, то по условию задачи выполняется уравнение x + 10y = 24, а если в следующий раз положить 15 предметов — уравнение x + 15·1,2y = 30.{ x + 10y = 24, x + 18y = 30 } ⇒ { −x − 10y = −24, x + 18y = 30 } ⇒ { x + 10y = 24, 8y = 6 } ⇒⇒ { x + 10y = 24, y = 3/4 } ⇒ x + 10·(3/4) = 24 ⇒ x = 16,5 кг …Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 05.07.2026

Если сумма цен телефона марки A и принтера марки B равна 1120 манатам, найдите цену принтера марки B.

Ситуация (ДИМ, перевод): «… Несмотря на то что телефон марки A на 10% дешевле телефона марки B, а принтер марки A на 20% дороже принтера марки B, сумма цен телефона и принтера марки A равна сумме цен телефона и принтера марки B». По таблице в пояснении ДИМ x — цена телефона марки B, y — цена принтера марки B; тогда телефон марки A стоит 0,9x, а принтер марки A — 1,2y манатов.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 400 манатов.

В соответствии с данными ситуации обозначим цены товаров следующим образом и составим соответствующую систему уравнений: { 0,9x + 1,2y = x + y; 0,9x + y = 1120 } ⇒ { 0,2y = 0,1x; 0,9x + y = 1120 } ⇒ ⇒ { x = 2y; 0,9·2y + y = 1120 } ⇒ { x = 2y; 2,8y = 1120 } ⇒ y = 400Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 01.06.2025

В лагере, где находятся также Эльмир и Гюльнар, Эльмир, вычисляя отношение числа мальчиков к числу девочек, забывает посчитать себя и Гюльнар и получает дробь 3/5. Гюльнар же, вычисляя отношение числа мальчиков к числу девочек, забывает посчитать себя, а Эльмира считает дважды и в результате получает дробь 2/3. Сколько детей в лагере?

Эльмир — мальчик, Гюльнар — девочка.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 50.

Если обозначить число мальчиков через x, а число девочек через y, то по условиям задачи можно записать следующую систему уравнений: { (x − 1)/(y − 1) = 3/5; (x + 1)/(y − 1) = 2/3 }. Разделим почленно уравнения системы: (x − 1)/(y − 1) : (x + 1)/(y − 1) = 3/5 : 2/3; (x − 1)/(x + 1) = 9/10; 10x − 10 = 9x + 9; x = 19. Учтём, что x = 19, в первом уравнении системы: (19 − 1)/(y − 1) = 3/5; y = 31. Таким образом, общее число детей в лагере x + y = 19 + 31 = 50.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)
Итоги

Запомни

  • Решение системы — пара (x; y), удовлетворяющая обоим уравнениям; если решение известно, подставь его.
  • Способ сложения: сделай коэффициенты противоположными и сложи уравнения.
  • Способ подстановки: вырази, например, x = 15 − y и подставь в другое уравнение.
  • Графический способ: решение — точка пересечения прямых.
  • a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ — одно решение; a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ — нет решений; a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ — бесконечно много.
  • В задаче о среднем сумма = среднее · количество: 21x + 29y = 26·24.
  • Совместная работа: за день 1/x часть; замена u = 1/x делает систему линейной.
  • В конце всегда смотри, что спрашивают: в задаче с таблицей ответ был не y, а 2y.

Типичные ошибки

«Если пара удовлетворяет одному уравнению, она решение системы»

Решение системы должно удовлетворять обоим уравнениям.

Умножать на число только левую часть уравнения

Умножаются обе части: 5(x + 10y) = 5·16 → 5x + 50y = 80, не 16, а 80.

«Решил систему — ответ x»

Записывай то, что спрашивают: в задаче с таблицей 2y = 12, в задаче на отношение x/y = 6/1 = 6.

«Производительность выросла в 2 раза — работа делается за 2x дней»

При росте производительности время уменьшается: x/2 дней, т. е. за день 2/x части.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Решением какой системы является пара (1; 2)?

1 + 2 = 3 и 2·1 − 2 = 0 — оба уравнения выполняются.

2 · Уровень 1

Найдите x из системы {x + y = 10, x − y = 4}.

Складываем: 2x = 14, x = 7.

3 · Уровень 2

Произведение x·y для системы {3x − y = 7, x + 2y = 7}:

y = 3x − 7; x + 6x − 14 = 7, x = 3, y = 2; x·y = 6.

4 · Уровень 2

При каком a система {ax + 2y = 4, 3x + y = 5} не имеет решений?

a/3 = 2/1 ≠ 4/5 → a = 6.

5 · Уровень ДИМ

В классе 30 учеников. Каждый мальчик посадил 3 дерева, каждая девочка — 2, всего посажено 76 деревьев. Сколько девочек в классе?

{x + y = 30, 3x + 2y = 76}: x = 76 − 60 = 16 мальчиков, y = 14 девочек.

6 · Уровень ДИМ

Первая труба наполняет бассейн за x ч, вторая — за y ч; вместе они наполняют его за 6 ч. Если первая проработает 5 ч, а вторая 3 ч, наполнится 70% бассейна. Найдите x.

u = 1/x, v = 1/y: u + v = 1/6, 5u + 3v = 7/10; 2u = 7/10 − 3/6 = 1/5, u = 1/10, x = 10 (y = 15).

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 69; B-71, C-68, D-72
  2. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 84; B-84, C-84, D-84
  3. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 29; B-29, C-29, D-29
  4. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 28; B-28, C-28, D-28
  5. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 28; B-28, C-28, D-28
  6. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 80; B-80, C-80, D-80
  7. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 81; B-81, C-81, D-81
  8. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 11; B-5, C-11, D-8; вариант A, 29; B-29, C-29, D-29
  9. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 8; B-3, C-3, D-16
  10. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 29; B-29, C-29, D-29

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки