Основы термодинамики

Молекулярная физика · Тема 11 / 27

Основы термодинамики

Этот урок пройдём вместе с одной семьёй в праздничный день: утром на кухне вода и масло на одинаковых плитках нагреваются с разной скоростью, в полдень гелиевый шар расширяется на солнце, вечером двигатель автомобиля превращает энергию топлива в работу. На каждом шаге увидим в анимациях, куда идёт энергия, выведем законы термодинамики и решим задания ГЭЦ.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ГЭЦ: 7материал 8 и 10 классов

После урока ты сможешь

• объяснять внутреннюю энергию и способы её изменения, вычислять по U = 1,5νRT;
• вычислять количество теплоты по Q = cmΔt, λm, rm, qm и по уравнению теплового баланса;
• находить работу газа по формуле и как площадь на диаграмме p–V;
• применять первый закон Q = ΔU + A′ к изопроцессам;
• вычислять КПД теплового двигателя и КПД Карно.

Перед началом вспомни

• Уравнение состояния pV = νRT и изопроцессы (предыдущий урок).
• Абсолютная температура: T = t + 273; разность температур в °C и К одинакова.
• Механическая работа A = Fs, мощность P = A/t, закон сохранения энергии.
• 1 л = 10⁻³ м³, 1 кПа = 10³ Па, 1 кДж = 10³ Дж.

Содержание

1. ВведениеСитуация: вода и масло на одинаковых плиткахистория и предположение
2. Глава 1Внутренняя энергия и способы её измененияU = 1,5νRT, работа и теплопередача · ГЭЦ 2025
3. Глава 2Теплопередача, количество теплоты и тепловой балансQ = cmΔt, Qотд = Qпол · ГЭЦ 2026
4. Глава 3Работа в термодинамикеA′ = pΔV, площадь на диаграмме p–V
5. Глава 4Первый закон термодинамикиQ = ΔU + A′, изопроцессы · ГЭЦ 2026
6. Глава 5II закон, тепловые двигатели и КПД Карноη = A/Q₁, ηmax = (T₁ − T₂)/T₁
7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ГЭЦ: 2, с ответом и официальным пояснением
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: вода и масло на одинаковых плитках

История

Праздничное утро. Семья готовит обед, ученик 10 класса помогает на кухне. На одну из двух электроплиток одинаковой мощности (1000 Вт) поставили кастрюлю с 1 кг воды, на другую — кастрюлю с 1 кг растительного масла. Обе при 20 °C; их нужно нагреть до 70 °C.

Массы одинаковые, плитки одинаковые, изменение температуры тоже. Но ученик, глядя на термометры, видит, что масло нагревается заметно быстрее. Почему так, и на сколько секунд раньше масло достигнет 70 °C?

Анимация ускорена в 30 раз; при 70 °C плитку выключают.Сначала предположи

Как ты думаешь, на сколько раньше воды масло нагреется до 70 °C? Ответ рассчитаем во 2-й главе.

Ответ на этот вопрос связан с количеством теплоты. В этом уроке узнаем, что такое внутренняя энергия тела и как её изменить, что такое работа газа, законы термодинамики и как работают тепловые двигатели — и всё это на примере одного дня одной семьи.

Глава 1

Внутренняя энергия и способы её изменения

Молекулы воды в кастрюле хаотически движутся и взаимодействуют друг с другом. Поэтому у них есть кинетическая и потенциальная энергия. Эта энергия не зависит от движения тела как целого — она «хранится внутри» тела.

Внутренняя энергия

Сумму кинетической энергии хаотического движения всех молекул тела и потенциальной энергии их взаимодействия называют внутренней энергией (U). В идеальном газе молекулы не взаимодействуют, поэтому его внутренняя энергия — только кинетическая. Для одноатомного идеального газа U = (3/2)·(m/M)·RT = (3/2)·νRT = (3/2)·pV.

Значит, внутренняя энергия идеального газа постоянной массы зависит только от температуры: ΔU = (3/2)·νRΔT. Если температура не изменилась, не изменилась и внутренняя энергия — как бы газ ни сжимали или ни расширяли. Внутреннюю энергию можно изменить двумя способами: совершая работу (например, сжимая газ поршнем, натирая тела друг о друга) и теплопередачей (передачей энергии от горячего тела к холодному).

Анимация · два способа — один результатСлева поршень быстро сжимает газ (на теплообмен нет времени), справа газу передают теплоту от пламени. В обоих случаях молекулы ускоряются, T растёт от 300 К до 476 К и ΔU одинаково: внутренняя энергия — функция состояния, она не зависит от того, каким путём газ в него пришёл.Пример 1

В сосуде 2 моль гелия (одноатомный газ) при 27 °C. Какова его внутренняя энергия? На сколько она вырастет, если температура поднимется до 127 °C?

1. Абсолютная температура: T = 300 К.
2. U = 1,5·νRT = 1,5 · 2 · 8,31 · 300 ≈ 7480 Дж ≈ 7,5 кДж.Почему так?

   Гелий одноатомный, поэтому коэффициент 3/2.

3. ΔT = 100 К (градусы Цельсия и Кельвина равны): ΔU = 1,5 · 2 · 8,31 · 100 ≈ 2490 Дж.Почему так?

   Разность температур в обеих шкалах одинакова: 127 − 27 = 400 − 300 = 100.

4. Ответ: U ≈ 7,5 кДж; ΔU ≈ 2,5 кДж.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 01.06.2025

Идеальный газ данной массы переходит из состояния 1 в состояние 2. Какое утверждение верно (p — давление, V — объём газа)?

Рисунок меняется вместе с шагами.A) температура газа не меняетсяB) плотность газа уменьшаетсяC) внутренняя энергия газа уменьшаетсяD) плотность газа увеличиваетсяE) внутренняя энергия газа увеличивается

1. На диаграмме 1 → 2 — вертикальный отрезок: V = const, давление уменьшается.Почему так?

   На диаграмме p–V вертикаль — изохора.

2. В изохорном процессе p/T = const: если давление уменьшается, температура тоже уменьшается.Почему так?

   Это закон Шарля (предыдущий урок).

3. U = (3/2)νRT: T уменьшается, значит, внутренняя энергия уменьшается (C). Плотность ρ = m/V не меняется (B и D неверны).Почему так?

   Масса и объём постоянны — плотность тоже.

4. Ответ: внутренняя энергия газа уменьшается (вариант C).

Это же задание было и на экзамене 01.06.2025, IV группа специальностей (A75).

Официальное пояснение ГЭЦ (01.06.2025)

При переходе идеального газа данной массы из состояния 1 в состояние 2объём газа остаётся постоянным, а давление уменьшается. Изохорноеуменьшение давления газа происходит в результате уменьшениятемпературы. Это приводит к уменьшению внутреннейэнергии.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 13.07.2025

Какой график соответствует зависимости внутренней энергии одноатомного идеального газа постоянной массы от его давления в изотермическом процессе?

A)B)C)D)E)

1. Одноатомный газ: U = (3/2)(m/M)RT — U зависит только от T.Почему так?

   Масса постоянна, M и R постоянны.

2. В изотермическом процессе T = const, значит U = const — как бы ни менялось давление.
3. График U(p) — горизонтальная прямая, параллельная оси p, — D.
4. Ответ: вариант D (U = const).

Это же задание было и на экзамене 13.07.2025, IV группа специальностей (A71).

Официальное пояснение ГЭЦ (13.07.2025)

Внутренняя энергия одноатомного идеального газавыражается формулой U = (3/2)(m/M)RT. В изотермическомпроцессе температура газа остаётся постоянной. Так как масса газа тожепостоянна, его внутренняя энергия остаётся постоянной и в этомслучае не зависит от давления.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Давление одноатомного идеального газа 100 кПа, объём 2 л. Найдите его внутреннюю энергию (Дж).

U = 1,5·pV; 100 кПа = 10⁵ Па, 2 л = 2·10⁻³ м³.

Глава 2

Теплопередача, количество теплоты и тепловой баланс

Плитка нагревает кастрюлю без совершения работы — энергия передаётся теплопередачей. Есть три вида теплопередачи: теплопроводность (энергия передаётся от частиц вещества соседним, вещество не перемещается), конвекция (энергию переносят потоки жидкости или газа) и излучение (энергию переносят электромагнитные волны, вещество не нужно — тепло Солнца приходит к Земле через пустоту).

Анимация · три вида теплопередачиВ стержне горячая зона постепенно продвигается — атомы колеблются сильнее. В кастрюле горячая вода поднимается в середине, остывшая опускается по бокам. Излучение нагревателя нагревает пластину на расстоянии.Количество теплоты

Энергию, которую тело получает или отдаёт при теплопередаче, называют количеством теплоты (Q), единица — джоуль (Дж). Для нагревания тела нужно Q = cm(t₂ − t₁) = cmΔt, где c — удельная теплоёмкость: количество теплоты, нужное для нагревания 1 кг вещества на 1 К (единица Дж/(кг·К)). Для воды c = 4200 Дж/(кг·К) — одна из самых больших среди веществ.

При фазовых переходах: на плавление Q = λm (для льда λ = 3,3·10⁵ Дж/кг), на парообразование Q = rm (для воды r = 2,3·10⁶ Дж/кг), при сгорании топлива выделяется Q = qm (для бензина q = 4,6·10⁷ Дж/кг).

Нагреватель мощностью P за время τ отдаёт Q = Pτ. Если всё идёт в жидкость, Pτ = cmΔt, откуда τ = cmΔt/P: при одинаковых массе, изменении температуры и мощности время нагревания пропорционально удельной теплоёмкости.

Анимация · вода и масло: графики t(τ)Анимация ускорена в 30 раз. Каждый сосуд получает в секунду одни и те же 1000 Дж; температура масла растёт быстрее, потому что на нагрев 1 кг масла на 1 К нужно 1700 Дж, а воды — 4200 Дж.Так спрашивают на экзамене (ситуация)ГЭЦ · 12.07.2026

Вычислите, на сколько секунд раньше воды температура растительного масла достигнет 70 °C.

Ситуация (ГЭЦ, перевод): Ученики налили в одну из одинаковых колб 1 кг воды, а в другую — 1 кг растительного масла и нагрели их одинаковыми нагревателями мощностью 1000 Вт от 20 °C до 70 °C. Было замечено, что температура растительного масла достигла 70 °C быстрее, чем у воды. Удельная теплоёмкость воды c_в = 4200 Дж/(кг·К), удельная теплоёмкость растительного масла c_рм = 1700 Дж/(кг·К) (считать, что всё количество теплоты, выделяемое нагревателем, идёт на нагревание жидкостей).

1. Изменение температуры: Δt = 70 − 20 = 50 °C = 50 К.
2. Вода: τв = cвmΔt/P = 4200 · 1 · 50 / 1000 = 210 с.Почему так?

   Вся теплота нагревателя идёт в жидкость: Pτ = cmΔt.

3. Масло: τм = 1700 · 1 · 50 / 1000 = 85 с.
4. Разность: 210 − 85 = 125 с.
5. Ответ: 125 с.

Официальное пояснение ГЭЦ (12.07.2026)

Изменение температуры обеих жидкостейΔT = Δt = 70 °C − 20 °C = 50 °C = 50 К.Время нагревания водыτ_в = c_в mΔT/P = (4200 Дж/(кг·К) · 1 кг · 50 К)/1000 Вт = 210 с.Время нагревания растительного маслаτ_рм = c_рм mΔT/P = (1700 Дж/(кг·К) · 1 кг · 50 К)/1000 Вт = 85 с.При нагревании обеих жидкостей от 20 °C до 70 °C время нагревания растительного масла меньше времени нагревания воды на τ = τ_в − τ_рм = 210 − 85 = 125 с.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, IV группа специальностей (PDF)

История

Вернёмся на кухню. По расчёту вода нагревается 210 с (3,5 мин), а масло всего 85 с: масло достигает 70 °C на 125 с, т. е. примерно на 2 минуты раньше. Причина — удельная теплоёмкость масла в 2,5 раза меньше, чем у воды: та же энергия нагревает масло сильнее.

Так спрашивают на экзамене (ситуация)ГЭЦ · 12.07.2026

Постройте график зависимости температуры воды от количества теплоты, полученного от нагревателя, при нагревании воды до 70 °C, указав соответствующие значения величин на осях координат. Обоснуйте ответ, используя соответствующие формулы.

Ситуация (ГЭЦ, перевод): Ученики налили в одну из одинаковых колб 1 кг воды, а в другую — 1 кг растительного масла и нагрели их одинаковыми нагревателями мощностью 1000 Вт от 20 °C до 70 °C. Было замечено, что температура растительного масла достигла 70 °C быстрее, чем у воды. Удельная теплоёмкость воды c_в = 4200 Дж/(кг·К), удельная теплоёмкость растительного масла c_рм = 1700 Дж/(кг·К) (считать, что всё количество теплоты, выделяемое нагревателем, идёт на нагревание жидкостей).

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Из Q = cm(t − t₀): t = t₀ + Q/(cm) — температура линейно зависит от Q, график — прямая, пересекающая ось t при t₀ = 20 °C.Почему так?

   При Q = 0 вода ещё не нагрета — она при начальной температуре.

2. Конечная точка: Q = 4200 · 1 · 50 = 210000 Дж = 210 кДж, t = 70 °C.
3. Соединяем точки (0; 20) и (210; 70) прямой и подписываем значения на осях.
4. Ответ: прямая от (0 кДж; 20 °C) до (210 кДж; 70 °C).

Официальное пояснение ГЭЦ (12.07.2026)

Количество теплоты, необходимое для нагревания воды,определяется формулой Q = cm(t − t₀). Отсюда для конечной температуры воды получаем t = t₀ + Q/(cm). Из формулы видно, что температура воды линейно зависит от полученного количества теплоты. Количество теплоты, необходимое для нагревания воды от 20 °C до 70 °C,Q = cm(t − t₀) = 4200 Дж/(кг·К) · 1 кг · 50 К = 210000 Дж = 210 кДж.Если построить график зависимости, … получим.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, IV группа специальностей (PDF)

Когда горячее и холодное тела соприкасаются (и нет теплообмена с окружающей средой), сколько теплоты отдаёт горячее тело, столько получает холодное: Qотд = Qполуч — это уравнение теплового баланса, следствие закона сохранения энергии.

Пример 2

В чайнике смешали 0,2 кг воды при 80 °C и 0,3 кг холодной воды при 20 °C. Найдите температуру смеси (потерями пренебречь).

1. Горячая вода отдаёт: Q₁ = cm₁(80 − θ); холодная получает: Q₂ = cm₂(θ − 20).Почему так?

   θ — общая конечная температура; для горячего тела пишем «большая − меньшая», чтобы Q было положительным.

2. Баланс: 0,2(80 − θ) = 0,3(θ − 20) ⇒ 16 − 0,2θ = 0,3θ − 6 ⇒ θ = 44 °C.Почему так?

   c одинаково в обеих частях (оба тела — вода) и сокращается.

3. Ответ: 44 °C.

Проверь себя

Сколько кДж теплоты нужно, чтобы нагреть 2 кг воды от 10 °C до 60 °C?

Q = cmΔt = 4200 · 2 · 50 (Дж); разделите на 1000.

Глава 3

Работа в термодинамике

Крышка кастрюли «подпрыгивает» при кипении: расширяющийся пар поднимает её, т. е. совершает работу. Чтобы учесть роль работы в изменении внутренней энергии, рассмотрим газ в цилиндре с поршнем. Газ давит на поршень силой F = pS; при перемещении поршня на Δh газ совершает работу A′ = F·Δh = pS·Δh = p·ΔV, где ΔV = SΔh — изменение объёма.

Работа газа

При постоянном давлении работа газа A′ = pΔV. При расширении A′ > 0, при сжатии A′ < 0, если объём не меняется, A′ = 0. Работа внешних сил над газом A = −A′. В любом процессе работа газа равна площади под линией процесса на диаграмме p–V.

A′ = p·ΔV = p(V₂ − V₁)

Анимация · работа при изобарном расширенииГаз поднимает груз: груз на поршне поддерживает давление постоянным (200 кПа). Площадь зелёного прямоугольника на диаграмме: 200 кПа · 5 л = 1000 Дж (кПа·л = Дж).Пример 3

Газ расширяется при постоянном давлении 200 кПа от 3 л до 8 л. Найдите работу газа.

1. ΔV = 8 − 3 = 5 л = 5·10⁻³ м³, p = 2·10⁵ Па.
2. A′ = pΔV = 2·10⁵ · 5·10⁻³ = 1000 Дж.Почему так?

   Удобное правило: кПа · л = Дж (10³ · 10⁻³ = 1).

3. Ответ: 1 кДж.

Важный вывод: работа зависит не только от начального и конечного состояний газа, но и от пути. В анимации газ переходит из одного и того же состояния 1 в одно и то же состояние 2 тремя разными путями.

Анимация · одни состояния, разные путиНа пути a работа 300 · 4 = 1200 Дж, на b — 100 · 4 = 400 Дж, на c (трапеция) — 200 · 4 = 800 Дж. В обоих состояниях pV = 600 Дж, т. е. температура одна и та же и ΔU = 0 — полученная газом теплота Q = A′ тоже зависит от пути.Проверь себя

Газ расширяется при постоянном давлении 100 кПа, объём увеличивается на 0,02 м³. Найдите работу газа в кДж.

A′ = pΔV = 10⁵ · 0,02.

Глава 4

Первый закон термодинамики

История

В полдень гости собрались в саду. К праздничному столу привязаны гелиевые шары. В одном из них 1 моль гелия; шар большой, резина почти не сжимает газ, поэтому давление внутри можно считать постоянным (равным атмосферному).

Шар из тени попадает на солнце и получает 250 Дж теплоты — он немного увеличивается. Ученик задумывается: вся ли полученная энергия идёт на нагревание газа или часть тратится на раздувание шара (на расталкивание воздуха)? Какую работу совершает газ?

Шар получает теплоту на солнце; давление постоянно, объём растёт.

Когда газу передают теплоту, энергия не исчезает и не возникает из ничего. Это закон сохранения энергии в применении к тепловым процессам:

Первый закон термодинамики

Количество теплоты, переданное системе, идёт на изменение её внутренней энергии и на работу, которую система совершает над внешними телами. Другая запись: ΔU = Q + A — изменение внутренней энергии равно сумме переданной теплоты и работы внешних сил.

Q = ΔU + A′

Процесс	Условие	I закон
изохорный	V = const, A′ = 0	Q = ΔU
изотермический	T = const, ΔU = 0	Q = A′
изобарный (одноатомный газ)	A′ = νRΔT, ΔU = 1,5νRΔT	Q = 2,5νRΔT
адиабатный	нет теплообмена	A′ = −ΔU

При адиабатном расширении газ совершает работу за счёт своей внутренней энергии и охлаждается; при адиабатном сжатии — нагревается (как поршень в 1-й главе). В лаборатории передавай одну и ту же теплоту в разных процессах и смотри, как она делится между ΔU и A′.

Лаборатория · куда идёт теплота?Анимация · I закон в трёх процессах изобарный изохорный изотермическийпереданная теплота Q500 ДжВ изобарном процессе 60 % теплоты идёт на внутреннюю энергию, 40 % — на работу; в изохорном — всё на внутреннюю энергию (поршень закреплён); в изотермическом — всё на работу: газ расширяется, но не нагревается.История

Вернёмся к шару. Давление постоянно — изобарный процесс. Для одноатомного газа A′ = νRΔT, ΔU = 1,5νRΔT, Q = 2,5νRΔT. Значит A′/Q = 1/2,5 = 0,4: A′ = 0,4 · 250 = 100 Дж, ΔU = 150 Дж.

40 % энергии Солнца уходит на расталкивание окружающего воздуха (раздувание шара), 60 % — на нагревание гелия. Гелий нагревается на ΔT = Q/(2,5R) ≈ 12 К, а объём растёт с 24,1 л до 25,1 л.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 07.06.2026

В процессе, происходящем с одноатомным идеальным газом данной массы, газ получил количество теплоты 100 кДж. На основании графика зависимости плотности газа от абсолютной температуры (ab — гипербола) постройте график зависимости работы, совершённой газом, от количества теплоты, указав на осях координат соответствующие значения.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. На графике ρ(T) — гипербола: ρT = const. Из уравнения состояния p = ρRT/M, значит p = const — изобарный процесс; в направлении a → b T растёт: изобарное нагревание.Почему так?

   Плотность ρ = m/V; ρ ∝ 1/T означает V ∝ T — закон Гей-Люссака.

2. I закон: Q = ΔU + A′ = 1,5νRΔT + νRΔT = 2,5νRΔT.
3. A′/Q = νRΔT / (2,5νRΔT) = 0,4 — работа прямо пропорциональна количеству теплоты: A′(Q) — прямая через начало координат.Почему так?

   В пояснении ГЭЦ в отношении вместо ΔT записано T; так как ΔT сокращается, результат не меняется.

4. При Q = 100 кДжA′ = 0,4 · 100 = 40 кДж: прямая проводится до точки (100; 40).
5. Ответ: A′(Q) — прямая из начала координат до точки (100 кДж; 40 кДж).

Официальное пояснение ГЭЦ (07.06.2026)

Так как в процессе, происходящем с одноатомным идеальным газом данной массы, плотность газа обратно пропорциональна температуре, согласно уравнению состояния (P = ρRT/M) давление остаётся постоянным. То есть в системе идёт процесс изобарного нагревания. По I закону термодинамики переданное газу количество теплотыQ = ΔU + A′ = (3/2)νRΔT + νRΔT = (5/2)νRΔT. Тогда доля переданного газу количества теплоты, идущая на совершённую им работу,A′/Q … = 2/5 = 0,4. То есть работа газа прямо пропорциональна переданному ему количеству теплоты. При Q = 100 кДж A′ = 0,4·100 = 40 кДж.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

При изобарном расширении одноатомный идеальный газ совершил работу 100 Дж. Какое количество теплоты (Дж) ему передали?

В изобарном процессе Q = 2,5·A′.

Глава 5

II закон, тепловые двигатели и КПД Карно

История

Вечером семья возвращается домой на автомобиле. В цилиндрах двигателя сгорает бензин, температура газов сгорания достигает примерно 1500 К; выхлопные газы выбрасываются в воздух при 300 К. Отец говорит: «Хороший двигатель превращает в работу лишь треть энергии бензина».

Ученик спрашивает: а нельзя ли построить двигатель так, чтобы вся теплота топлива превращалась в работу? Каким может быть наибольший КПД теплового двигателя при таких температурах?

Автомобиль едет; выхлопные газы уносят часть энергии в воздух.

Опыт показывает, что у процессов в природе есть направление: горячий чай сам остывает, но остывший чай не закипит сам, забрав теплоту из комнаты. Первый закон этого не запрещает — энергия бы сохранялась; это запрещает второй закон.

Второй закон термодинамики

Теплота не переходит сама собой (без других изменений) от холодного тела к горячему (Клаузиус). Иначе: циклически работающий двигатель не может превратить в работу всю теплоту, полученную от нагревателя, — часть её обязательно отдаётся холодильнику.

У любого теплового двигателя три части: нагреватель (T₁), рабочее тело (газ) и холодильник (T₂, чаще всего окружающий воздух). За цикл рабочее тело получает от нагревателя Q₁, совершает работу A и отдаёт холодильнику Q₂. После цикла газ возвращается в начальное состояние (ΔU = 0), поэтому A = Q₁ − Q₂.

Анимация · поток энергии в тепловом двигателеКрасные порции приходят от нагревателя; из каждых десяти три вращают колесо (зелёные, работа), семь уходят в холодильник (синие). В циклическом двигателе «синюю» часть нельзя свести к нулю.КПД и формула Карно

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя — отношение работы за цикл к количеству теплоты, полученному от нагревателя: η = A/Q₁ = (Q₁ − Q₂)/Q₁. По второму закону всегда η < 1. Французский инженер С. Карно показал, что КПД идеального двигателя с нагревателем T₁ и холодильником T₂ наибольший и не зависит от рода рабочего тела.

ηmax = (T₁ − T₂)/T₁

Анимация · цикл КарноИдеальный цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат. Газ получает теплоту только при температуре нагревателя и отдаёт только при температуре холодильника. В этой модели T₁ = 400 К, T₂ = 300 К, η = 25 %; площадь цикла — работа за цикл.Пример 4

Двигатель за цикл получает от нагревателя 1000 Дж и отдаёт холодильнику 700 Дж. Найдите его КПД и работу за цикл.

1. A = Q₁ − Q₂ = 1000 − 700 = 300 Дж.
2. η = A/Q₁ = 300/1000 = 0,3 = 30 %.Почему так?

   КПД всегда считают по отношению к полученной теплоте (Q₁), а не к отданной.

3. Ответ: η = 30 %, A = 300 Дж.

История

Вернёмся к автомобилю. Даже у идеального двигателя ηmax = (1500 − 300)/1500 = 0,8 = 80 %. То есть не меньше 20 % теплоты топлива должно уйти в воздух — этого требует второй закон, а не недоработка инженеров.

В реальном двигателе трение, тепловые потери и неидеальность цикла снижают КПД примерно до 30 %: из 46 МДж энергии 1 кг бензина в работу превращается лишь ≈ 14 МДж, а ≈ 32 МДж уходит в воздух в виде теплоты.

Проверь себя

Температура нагревателя идеального теплового двигателя 500 К, холодильника 300 К. Найдите его КПД в процентах.

η = (T₁ − T₂)/T₁ · 100 %.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

Эти задания взяты из экзаменов ГЭЦ. Сначала реши сам, затем открой «Ответ и пояснение ГЭЦ».

ГЭЦ · 12.07.2026

Дан график зависимости внутренней энергии одноатомного идеального газа данной массы от давления. Какой из графиков зависимости средней кинетической энергии молекул газа (Ē_k) от объёма газа (V) соответствует этому процессу?

A)B)C)D)E)Ответ и пояснение ГЭЦ

Ответ: вариант E (Ēk постоянна, V уменьшается).

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа определяется формулой U = (3/2)(m/M)RT. Так как масса газа постоянна, его внутренняя энергия будет зависеть от температуры. По данным графика внутренняя энергия газа не меняется. То есть температура газа постоянна. Так как средняя кинетическая энергия молекул одноатомного идеального газа определяется формулой E_k = (3/2)kT, средняя кинетическая энергия молекул тоже не меняется. При постоянной температуре давление идеального газа обратно пропорционально объёму. Если по графику давление газа выросло, то объём уменьшился.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

ГЭЦ · 12.07.2026

Объясните, записав соответствующие формулы, почему температура растительного масла достигает 70 °C быстрее, несмотря на одинаковые массы жидкостей и изменения температуры.

Ситуация (ГЭЦ, перевод): Ученики налили в одну из одинаковых колб 1 кг воды, а в другую — 1 кг растительного масла и нагрели их одинаковыми нагревателями мощностью 1000 Вт от 20 °C до 70 °C. Было замечено, что температура растительного масла достигла 70 °C быстрее, чем у воды. Удельная теплоёмкость воды c_в = 4200 Дж/(кг·К), удельная теплоёмкость растительного масла c_рм = 1700 Дж/(кг·К) (считать, что всё количество теплоты, выделяемое нагревателем, идёт на нагревание жидкостей).

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ГЭЦ

Ответ: Q = Pτ = cmΔt ⇒ τ = cmΔt/P; m, Δt и P одинаковы, поэтому время нагревания прямо пропорционально c. Так как cм = 1700 < cв = 4200 Дж/(кг·К), масло нагревается быстрее.

Нагреватель мощностью P за время τ отдаёт количество теплоты Q = Pτ. Количество теплоты, идущее на нагревание жидкости, вычисляется по формуле Q = cmΔT (или Q = cmΔt). Так как теплота нагревателя полностью идёт на нагревание жидкости, Pτ = cmΔT. Отсюда время, необходимое для изменения температуры жидкости на Δt, определяется формулой τ = cmΔT/P. Так как остальные величины одинаковы, время нагревания жидкости прямо пропорционально её удельной теплоёмкости. Так как удельная теплоёмкость растительного масла меньше удельной теплоёмкости воды, время его нагревания по сравнению с водой тоже будет меньше.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, IV группа специальностей (PDF)

Итоги

Запомни

• Внутренняя энергия — энергия хаотического движения и взаимодействия молекул; для одноатомного идеального газа U = 1,5νRT = 1,5pV, зависит только от T.
• Внутреннюю энергию меняют работой и теплопередачей (теплопроводность, конвекция, излучение).
• Q = cmΔt, Q = λm, Q = rm, Q = qm; тепловой баланс: Qотд = Qпол.
• Работа газа A′ = pΔV — площадь под линией на диаграмме p–V; работа и теплота зависят от пути, а ΔU — нет.
• I закон: Q = ΔU + A′; изохорный: Q = ΔU; изотермический: Q = A′; изобарный: Q = 2,5νRΔT, A′ = 0,4Q; адиабатный: A′ = −ΔU.
• II закон: теплота сама не переходит от холодного к горячему; двигатель не может превратить в работу всю теплоту.
• КПД: η = A/Q₁ = (Q₁ − Q₂)/Q₁; Карно: ηmax = (T₁ − T₂)/T₁ (T в кельвинах).

Типичные ошибки

Количество теплоты — это энергия, «содержащаяся» в теле

У тела есть внутренняя энергия; количество теплоты — энергия, переданная при теплопередаче: оно характеризует процесс, а не состояние.

В изотермическом процессе T не меняется, поэтому Q = 0

Если T постоянна, то ΔU = 0, но Q = A′: расширяющийся газ получает теплоту и всю превращает в работу. Q = 0 — это адиабатный процесс.

В формулу Карно можно подставлять температуру по Цельсию

Только в кельвинах: для 227 °C и 27 °C η = (500 − 300)/500 = 40 %, а не (227 − 27)/227 ≈ 88 %.

Работа газа зависит только от начального и конечного состояний

Работа — площадь под путём на диаграмме p–V: разные пути между одними состояниями дают разную работу. От пути не зависит только ΔU.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Какими способами можно изменить внутреннюю энергию тела?

Внутренняя энергия — энергия молекул; её меняют работа или теплопередача, а не движение тела как целого.

2 · Уровень 1

В каком процессе вся переданная газу теплота идёт на увеличение внутренней энергии?

При V = const A′ = 0, значит Q = ΔU.

3 · Уровень 2

Количество теплоты для нагревания 0,5 кг воды от 20 °C до 100 °C (c = 4200 Дж/(кг·К)):

Q = 4200 · 0,5 · 80 = 168000.

4 · Уровень 2

В изотермическом процессе газ получил 400 Дж теплоты. Работа газа:

T = const ⇒ ΔU = 0 ⇒ A′ = Q.

5 · Уровень ГЭЦ

Одноатомному идеальному газу в изобарном процессе передали 1000 Дж теплоты. Работа газа:

A′/Q = νRΔT/(2,5νRΔT) = 0,4.

6 · Уровень ГЭЦ

Температура нагревателя идеального двигателя 800 К, КПД 60 %. Температура холодильника:

T₂ = T₁(1 − η) = 800 · 0,4 = 320.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ГЭЦ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 46; B-48, C-38, D-35
2. 01.06.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 75; B-78, C-74, D-75
3. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 39; B-44, C-44, D-43
4. 13.07.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 71; B-80, C-68, D-65
5. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 60; B-60, C-60, D-60
6. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 41; B-44, C-46, D-35
7. 12.07.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 89; B-89, C-89, D-89; вариант A, 90; B-90, C-90, D-90; вариант A, 88; B-88, C-88, D-88

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ГЭЦ. Задания и пояснения ГЭЦ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.