ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Механические колебания и волны

ФизикаМеханические колебания и волны

Текст урока
Механические колебания и волны · Тема 8 / 27

Механические колебания и волны

Этот урок пройдём вместе с семьёй, отдыхающей в горной деревне: качели во дворе, машина, которую трясёт на бугристой горной дороге, и эхо в ущелье. Каждое явление сначала увидим в анимации, затем рассчитаем по формулам и применим в заданиях ГЭЦ.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ГЭЦ: 8материал 10 класса

После урока ты сможешь

  • описывать гармоническое колебание: находить амплитуду, период, частоту, фазу по графику и уравнению;
  • рассчитывать периоды пружинного и математического маятников и знать, от чего они зависят;
  • прослеживать превращения энергии при колебаниях и находить полную энергию;
  • применять условие резонанса;
  • различать поперечные и продольные волны, решать задачи на υ = λν и эхо.

Перед началом вспомни

  • Закон Гука: F = kx; второй закон Ньютона: F = ma.
  • Равномерное движение по окружности: ω = 2π/T, υ = ωR, a = ω²R.
  • Кинетическая и потенциальная энергия: mυ²/2, kx²/2; сохранение энергии.
  • График и период функции косинус.

Содержание

  1. ВведениеСитуация: качели во двореистория и предположение
  2. Глава 1Гармонические колебания: амплитуда, период, частотаx = A cos(ωt + φ₀) · ГЭЦ 01.06.2025, 13.07.2025
  3. Глава 2Пружинный и математический маятникиT = 2π√(m/k), T = 2π√(l/g) · лаборатория
  4. Глава 3Превращения энергии при колебанияхE = kA²/2, TE = T/2 · ГЭЦ 07.06.2026, 12.07.2026
  5. Глава 4Затухающие и вынужденные колебания. Резонансν₀ = (1/2π)√(k/m), резонанс · ГЭЦ 07.06.2026
  6. Глава 5Механические волны. Звукυ = λν, звук, эхо
  7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ГЭЦ: 2, с ответом и официальным пояснением
  8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: качели во дворе

История

Летние каникулы. Семья живёт в гостевом доме в горной деревне. Во дворе к ветке старого ореха подвешены качели: сиденье держится на двух крепких верёвках длиной 2,5 м. Маленькая дочь качается, а папа каждый раз, когда сиденье возвращается к нему, слегка подталкивает его.

Брат засекает время по часам: качели совершают полное качание примерно за одно и то же время — и при больших, и при малых отклонениях. Потом папа сам хочет сесть. Вопрос: какова длительность одного полного колебания качелей (период) и изменится ли она, когда сядет тяжёлый папа?

Качели колеблются около положения равновесия; часы слева вверху показывают время.Сначала предположи

Как ты думаешь, как изменится период, если на качели сядет папа (в 3 раза тяжелее дочери)? Ответ рассчитаем во 2-й главе.

Качели, маятник часов, струна гитары, рессоры автомобиля, звук — всё это колебания: движение повторяется через определённое время. В этом уроке научимся описывать колебания, рассчитывать периоды маятников, разберём резонанс и распространение колебаний в пространстве — волны.

Глава 1

Гармонические колебания: амплитуда, период, частота

Качели отклоняются от положения равновесия в одну сторону, затем в другую, и каждый раз повторяют один и тот же путь. Такое движение называют колебанием. Для колебаний нужны два условия: сила, возвращающая тело к положению равновесия (сила упругости пружины, составляющая силы тяжести), и инертность тела — оно «проскакивает» положение равновесия.

Гармоническое колебание

Колебание, при котором координата меняется со временем по закону косинуса (или синуса), — гармоническое: x = A·cos(ωt + φ₀). Здесь A — амплитуда (наибольшее отклонение от положения равновесия), T — период (длительность одного полного колебания), ν = 1/T — частота (число колебаний за 1 с, единица — герц: 1 Гц = 1 с⁻¹), ω = 2π/T = 2πν — циклическая частота, φ = ωt + φ₀ — фаза колебания, φ₀ — начальная фаза.

Гармоническое колебание полезно сравнить с равномерным движением по окружности. Точка вращается по окружности радиуса A с угловой скоростью ω; её проекция на диаметр как раз совершает гармоническое колебание. Посмотри анимацию: точка на окружности движется равномерно, а её «тень» — быстро в середине и медленно у краёв.

Анимация · движение по окружности и гармоническое колебаниеЗелёная стрелка — скорость, оранжевая — ускорение. В положении равновесия (x = 0) скорость наибольшая, ускорение равно нулю; в крайних точках (x = ±A) скорость равна нулю, ускорение наибольшее и всегда направлено к положению равновесия.Скорость и ускорение

При гармоническом колебании скорость и ускорение тоже меняются гармонически. Их амплитудные (максимальные) значения:

υₘ = Aω,   aₘ = Aω² = 4π²ν²A

В любой момент a = −ω²x: ускорение пропорционально смещению и направлено противоположно ему. Это — характерный признак гармонического колебания.

Пример 1

Сиденье качелей колеблется по закону x = 0,4·cos(πt) (м). Найдите амплитуду, период, частоту, максимальные значения скорости и ускорения (π² = 10).

  1. Сравниваем с x = A·cos ωt: A = 0,4 м, ω = π рад/с.Почему так?

    Число перед косинусом — амплитуда, коэффициент при t — циклическая частота.

  2. T = 2π/ω = 2π/π = 2 с, ν = 1/T = 0,5 Гц.
  3. υₘ = Aω = 0,4π ≈ 1,26 м/с; aₘ = Aω² = 0,4·π² = 4 м/с².Почему так?

    Скорость наибольшая в положении равновесия, ускорение — в крайних точках.

  4. Ответ: A = 0,4 м; T = 2 с; ν = 0,5 Гц; υₘ ≈ 1,26 м/с; aₘ = 4 м/с².
Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 01.06.2025

По графику зависимости координаты от времени вычислите амплитудное значение ускорения тела, совершающего гармонические колебания (π=3).

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 0,8 м/с²B) 0,2 м/с²C) 1,8 м/с²D) 0,9 м/с²E) 1,6 м/с²
  1. Амплитуда по графику: наибольшее отклонение A = xₘ = 0,8 м.Почему так?

    Амплитуда — наибольшее расстояние от положения равновесия (x = 0), на графике уровень 0,8.

  2. Период: тело было в 0,8 при t = 0 и снова вернулось туда при t = 4 с: T = 4 с.Почему так?

    Период — время возврата в то же положение с тем же направлением движения: от максимума до следующего максимума.

  3. ω = 2π/T = 2·3/4 = 1,5 рад/с (π = 3).
  4. aₘ = ω²A = 1,5²·0,8 = 2,25·0,8 = 1,8 м/с².
  5. Ответ: 1,8 м/с² (вариант C).

Это же задание было и на экзамене 01.06.2025, IV группа специальностей (A76).

Официальное пояснение ГЭЦ (01.06.2025)
Амплитудное значение ускорения телавычисляется по формуле a_m = ω² · x_m. Из графикаизвестно, что x_m = 0,8 м. А частотаω = 2π/T = 2·3/4 = 3/2. Тогда амплитудноезначениеускорения тела a_m = ω² · x_m = 9/4 · 0,8 = 1,8 м/с².Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Импульс тела p = mυ, поэтому он меняется вместе со скоростью: наибольший в положении равновесия, нулевой в крайних точках. Как это увидеть на графике? Наклон графика x(t) — скорость: там, где график пересекает ось t, он круче всего, а на вершинах горизонтален.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 13.07.2025

Дан график зависимости координаты тела, совершающего гармонические колебания, от времени. В моменты времени, соответствующие каким точкам графика, модуль импульса тела был наибольшим?

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 1 и 5B) 2 и 4C) 2 и 5D) 3 и 5E) 1 и 3
  1. Модуль импульса |p| = m|υ|: масса постоянна, значит |p| наибольший вместе со скоростью.Почему так?

    При колебаниях масса тела не меняется, меняется только скорость.

  2. При гармоническом колебании скорость наибольшая при прохождении положения равновесия (x = 0). На графике x = 0 в точках 2 и 4.Почему так?

    В этих точках наклон графика x(t) наибольший; в анимации зелёная стрелка здесь тоже самая длинная.

  3. В точках 1 и 3 тело в крайнем положении, скорость (и импульс) равна нулю; точка 5 близка к крайнему положению.
  4. Ответ: 2 и 4 (вариант B).
Официальное пояснение ГЭЦ (13.07.2025)
В момент, когда координата тела, совершающего гармонические колебания, равна нулю(x=0 — положение равновесия), то есть когда телопроходит положение равновесия, его импульсмаксимален по модулю. Этому моменту соответствуют точки 2и 4.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Тело совершает 240 колебаний за 2 минуты. Чему равен период колебаний (в секундах)?

T = t/N; 2 мин = 120 с.

Глава 2

Пружинный и математический маятники

Есть две простые модели гармонических колебаний. Пружинный маятник — груз массой m на пружине жёсткостью k: к положению равновесия его возвращает сила упругости F = −kx. Математический маятник — материальная точка на нерастяжимой невесомой нити длиной l: его возвращает составляющая силы тяжести. Качели — хорошее приближение математического маятника.

Периоды маятников

Периоды (для математического маятника — при малых отклонениях):

T = 2π√(m/k),   T = 2π√(l/g)

Период пружинного маятника зависит от массы груза и жёсткости пружины. Период математического маятника зависит только от длины нити и g — не зависит ни от массы, ни от амплитуды. Периоды обоих маятников не зависят от амплитуды (это свойство гармонических колебаний).

Анимация · два маятника в одном ритмеПружинный маятник: k = 8 Н/м, m = 400 г; математический: l = 0,5 м. Период обоих 2π√0,05 ≈ 1,4 с. Это модель задания ГЭЦ ниже.Пример 2

К пружине жёсткостью 40 Н/м подвешен груз массой 100 г. Найдите период и частоту колебаний (π = 3,14).

  1. Переводим массу в СИ: m = 0,1 кг.
  2. T = 2π√(m/k) = 2π√(0,1/40) = 2π·0,05 = 0,1π ≈ 0,314 с.Почему так?

    √(0,0025) = 0,05.

  3. ν = 1/T ≈ 3,18 Гц.
  4. Ответ: T ≈ 0,31 с; ν ≈ 3,2 Гц.
История

Вернёмся к качелям во дворе. Считаем их математическим маятником: l = 2,5 м, g = 10 м/с². Тогда T = 2π√(2,5/10) = 2π·0,5 = π ≈ 3,14 с.

В формуле нет массы: и если сядет папа, период останется около 3,14 с. Наблюдение брата тоже верно — при малых отклонениях период не зависит от амплитуды. А папа подталкивает сиденье каждые 3,14 с, точно в ритме колебаний: в 4-й главе увидим, что это резонанс.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 01.06.2025

Даны пружинный и математический маятники, совершающие гармонические колебания. Если частоты колебаний маятников равны, вычислите длину математического маятника (g=10 м/с²).

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 50 смB) 90 смC) 40 смD) 80 смE) 20 см
  1. Частоты равны: (1/2π)·√(k/m₁) = (1/2π)·√(g/l), откуда k/m₁ = g/l.Почему так?

    Если равны частоты, равны и периоды; 2π и корень сокращаются.

  2. l = m₁g/k = 0,4·10/8 = 0,5 м = 50 см.Почему так?

    Массу записываем в килограммах: 400 г = 0,4 кг.

  3. Внимание: масса математического маятника m₂ = 50 г на ответ не влияет — его период от массы не зависит. Это отвлекающее данное.
  4. Ответ: 50 см (вариант A).
Официальное пояснение ГЭЦ (01.06.2025)
Так как частоты колебаний маятников равны,из выражения ν = 1/(2π) √(k/m) = 1/(2π) √(g/l) получаем k/m = g/l.Отсюда для длины математического маятника:l = mg/k = 0,4·10/8 = 0,5м = 50смИсточник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Теперь попробуй сам: в лаборатории ниже меняй массу груза, жёсткость пружины и длину нити и приведи маятники к одному ритму.

Лаборатория · приведи два маятника к одному ритмуАнимация · пружинный и математический маятникимасса груза m400 гжёсткость пружины k8 Н/мдлина нити l0.8 мЗадание: оставь m = 400 г и k = 8 Н/м и подбери l так, чтобы маятники колебались в одном ритме. Затем увеличь массу груза в 4 раза — как изменится период пружинного маятника? Период математического маятника не зависит от массы шарика, поэтому слайдера для массы шарика нет.Проверь себя

Во сколько раз увеличится период математического маятника, если его длину увеличить в 4 раза?

T ~ √l; √4 = 2.

Глава 3

Превращения энергии при колебаниях

Качели на миг останавливаются в высшей точке — вся их энергия потенциальная. В нижней точке они движутся быстрее всего — энергия кинетическая. Если нет трения, при колебаниях энергия переходит из одного вида в другой, но полная энергия не меняется.

Полная механическая энергия

У пружинного маятника в любой момент kx²/2 + mυ²/2 = const. В крайней точке вся энергия потенциальная, в положении равновесия — кинетическая:

E = kA²/2 = mυₘ²/2 = mω²A²/2

Обрати внимание: за один период тело дважды бывает в крайней точке (+A и −A) и дважды проходит положение равновесия. Поэтому период потенциальной и кинетической энергии вдвое меньше периода колебаний: TE = T/2. Путь тела за один период равен 4A (а перемещение — нулю).

Анимация · энергия: потенциальная ⇄ кинетическаяВ столбце фиолетовая часть — потенциальная, бирюзовая — кинетическая энергия; их сумма остаётся 1,8 Дж. На графике Eₚ(t) и Eₖ(t) меняются с периодом 2 с, а период колебаний 4 с. Посмотри на счётчик пути: за 4 с — 24 см.Пример 3

Тело массой 0,5 кг на пружине жёсткостью 200 Н/м колеблется с амплитудой 5 см. Найдите полную энергию и максимальную скорость.

  1. E = kA²/2 = 200·0,05²/2 = 0,25 Дж.Почему так?

    В крайней точке скорость равна нулю, вся энергия — потенциальная энергия пружины.

  2. mυₘ²/2 = E ⇒ υₘ = √(2E/m) = √(0,5/0,5) = 1 м/с.Почему так?

    Проверка: ω = √(k/m) = 20 рад/с, υₘ = Aω = 0,05·20 = 1 м/с.

  3. Ответ: 0,25 Дж; 1 м/с.
Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 07.06.2026

Тело, прикреплённое к пружине жёсткостью 1 кН/м, совершает гармонические колебания. По графику зависимости потенциальной энергии пружины от времени вычислите путь, пройденный телом за 4 с.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 8 смB) 24 смC) 48 смD) 16 смE) 36 см
  1. На графике Ep проходит полный цикл от 0 до 2 с: период энергии 2 с, а период колебаний вдвое больше: T = 4 с.Почему так?

    За один период тело дважды оказывается в крайней точке — E_p дважды достигает максимума.

  2. Амплитуда по максимальной потенциальной энергии: kxₘ²/2 = 1,8 ⇒ xₘ = √(2·1,8/1000) = √0,0036 = 0,06 м.Почему так?

    1 кН/м = 1000 Н/м.

  3. 4 с — один период. Путь за период s = 4xₘ = 4·0,06 = 0,24 м = 24 см.Почему так?

    Внимание: перемещение за период равно нулю (тело возвращается в начальную точку); 4xₘ — пройденный путь. Слово «перемещение» в пояснении ГЭЦ здесь неточно, поэтому в цитате пропущено.

  4. Ответ: 24 см (вариант B).

Это же задание было и на экзамене 07.06.2026, IV группа специальностей (A77).

Официальное пояснение ГЭЦ (07.06.2026)
Из графика зависимости потенциальной энергии пружины от времени при гармонических колебаниях следует, что период … T=4 с. По максимальному значению потенциальной энергииE_p_max = kxₘ²/2 = 1,8 можно вычислить максимальное смещение тела:xₘ = √(2·1,8 Н·м / (1000 Н/м)) = √(3,6/1000) = √(36/10000) = 6/100 = 0,06 м … S = 4·xₘ = 4·0,06 = 0,24 м = 24 смИсточник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)
Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 12.07.2026

Дан график зависимости координаты от времени для тела массой 400 г, совершающего гармонические колебания вдоль оси x. Вычислите полную механическую энергию тела (π=3).

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. По графику: xₘ = 40 см = 0,4 м, период T = 0,4 с (от максимума до максимума).
  2. Полная энергия равна кинетической энергии в положении равновесия: E = mυₘ²/2 = mω²xₘ²/2, ω = 2π/T.Почему так?

    Жёсткость пружины не дана, поэтому используем формулу кинетической энергии: ω находим по графику.

  3. ω = 2·3/0,4 = 15 рад/с; E = 0,4·15²·0,4²/2 = 0,4·225·0,16/2 = 7,2 Дж.
  4. Ответ: 7,2 Дж.
Официальное пояснение ГЭЦ (12.07.2026)
Из графика следует, что амплитуда координаты тела 0,4 м, а период колебаний 0,4 с. Записав формулу полной механической энергии гармонически колеблющегося тела, вычисляем её значение:E_t = mυ_m²/2 = mω²x_m²/2 = m2π²x_m²/T² = (0,4 кг · 2 · 9 · 0,16 м²)/(0,16 с²) = 7,2 ДжИсточник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Во сколько раз увеличится полная механическая энергия пружинного маятника, если его амплитуду увеличить в 2 раза?

E = kA²/2 — энергия пропорциональна квадрату амплитуды.

Глава 4

Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс

История

На следующий день семья едет на машине к водопаду. Горная дорога гравийная, поперёк неё через каждые 2,5 м — бугры. Кузов автомобиля стоит на пружинах: масса на пружинах 1000 кг, общая жёсткость пружин 90 кН/м.

Сначала папа едет со скоростью 36 км/ч — машина слегка дрожит. Потом для осторожности он снижает скорость до 13,5 км/ч, и ... машину трясёт ещё сильнее! Вопрос: почему медленная езда оказалась хуже и при какой скорости машину трясёт сильнее всего?

Вертикальные смещения увеличены в 3 раза для наглядности. Автомобиль проезжает дважды: 36 км/ч и 13,5 км/ч.

В реальных маятниках всегда есть трение и сопротивление, поэтому после одного толчка амплитуда постепенно уменьшается — это затухающие колебания. Чтобы поддерживать колебания, на систему нужно периодически действовать внешней силой. Колебания под действием внешней периодической силы — вынужденные; они происходят с частотой внешней силы.

Вынужденные колебания и резонанс

Частота колебаний самой системы (без внешнего воздействия) — собственная частота: для пружинного маятника ν₀ = (1/2π)·√(k/m). Когда частота внешней силы приближается к собственной, амплитуда вынужденных колебаний резко растёт. Явление резкого возрастания амплитуды при совпадении частоты внешней силы с собственной частотой называют резонансом.

Анимация · резонансная криваяЧастота внешней силы медленно растёт от 0,4 Гц до 3,6 Гц. При ν ≈ 2 Гц (собственная частота) груз колеблется с наибольшей амплитудой. При резонансе амплитуда не становится бесконечной — её ограничивает сопротивление: чем оно меньше, тем выше и острее резонансный пик.Пример 4

Задача из истории: масса автомобиля на пружинах 1000 кг, жёсткость пружин 90 кН/м, расстояние между буграми 2,5 м. При какой скорости автомобиль будет трясти сильнее всего (π² = 10)?

  1. Собственная частота: ν₀ = (1/2π)·√(k/m) = √90/(2√10) = √9/2 = 1,5 Гц.Почему так?

    При π² = 10 получаем 2π = √40 = 2√10; √(90 000/1000) = √90.

  2. Каждый бугор один раз «толкает» кузов. При скорости υ частота толчков ν = υ/d.Почему так?

    Расстояние 2,5 м между буграми автомобиль проходит за d/υ — это период внешней силы.

  3. Резонанс: υ/d = ν₀ ⇒ υ = d·ν₀ = 2,5·1,5 = 3,75 м/с = 13,5 км/ч.
  4. Ответ: 3,75 м/с (13,5 км/ч).
История

Папа попал точно на резонансную скорость! При 36 км/ч бугры толкают кузов 4 раза в секунду — это намного больше собственной частоты (1,5 Гц), кузов «не успевает», и дрожь слабая. При 13,5 км/ч толчки идут 1,5 раза в секунду — совпадают с собственным ритмом кузова, и амплитуда резко растёт. Без амортизаторов (сопротивления) трясло бы ещё сильнее.

На качелях то же явление, но полезное: папа каждые 3,14 с — в ритме собственных колебаний — даёт маленький толчок, и качели взлетают высоко. Резонанс может быть опасен для мостов и зданий, а в музыкальных инструментах и радиоприёмниках он полезен.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 07.06.2026

Дан график зависимости амплитуды гармонически колеблющегося пружинного маятника от частоты внешней силы. Если масса груза 100 г, вычислите значение силы в момент резонанса в ньютонах (π²=10).

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. Резонанс наступает при частоте, где амплитуда максимальна: по графику ν = 2 Гц, xₘ = 50 см = 0,5 м.Почему так?

    Резонансная частота — это собственная частота; здесь колебания наибольшей амплитуды.

  2. Максимальное ускорение: aₘ = 4π²ν²xₘ = 4·10·4·0,5 = 80 м/с².
  3. Fₘ = m·aₘ = 0,1·80 = 8 Н.Почему так?

    Внимание: m·aₘ — максимальное значение равнодействующей силы, действующей на тело (при резонансе она равна максимальной силе упругости kxₘ). Сама внешняя вынуждающая сила при резонансе компенсирует силу сопротивления и по этим данным не находится. Ответ ГЭЦ (8 Н) следует понимать как «максимальная сила, действующая на тело».

  4. Ответ: 8 Н.

Это же задание было и на экзамене 07.06.2026, IV группа специальностей (A86).

Официальное пояснение ГЭЦ (07.06.2026)
В механических колебаниях резонанс … наступает. Тогдаν = 2 Гц. … Fₘₐₓ = maₘ = m·4π²·ν²·xₘ = 0,1·4·10·4·1/2 = 8 НИсточник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Масса пружинного маятника 0,4 кг, жёсткость пружины 160 Н/м. При какой частоте внешней силы (Гц) наступит резонанс (π² = 10)?

ν₀ = √(k/m)/(2π) = √400/(2√10) = 20/6,32.

Глава 5

Механические волны. Звук

История

На обратном пути от водопада семья идёт по узкому ущелью. Мальчик останавливается посреди тропы, кричит «Эй!» в сторону скалы напротив и через 2 с снова слышит свой голос — это эхо.

Папа говорит, что в воздухе звук распространяется со скоростью около 340 м/с. Вопрос: как далеко от мальчика скала? И вообще, как звук «идёт» по воздуху?

Анимация замедлена в 2 раза: синие дуги — звуковая волна, идущая к скале, красные — отражённая волна, идущая назад.

В упругой среде частицы связаны друг с другом: когда одна начинает колебаться, она приводит в колебание соседнюю. Распространение колебаний в среде — механическая волна. Волна переносит энергию, но не переносит вещество: каждая частица колеблется около своего положения равновесия. Механическая волна не распространяется в вакууме — ей нужна среда.

Поперечные и продольные волны

Если частицы колеблются перпендикулярно направлению распространения, волна поперечная (волна на верёвке); если вдоль направления — продольная (звук в воздухе). Расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе, — длина волны (λ): за один период волна проходит λ. Отсюда скорость волны υ = λ/T = λν.

Анимация · поперечная и продольная волнаПосмотри на красную частицу: она не уходит вправо вместе с волной, а лишь колеблется на месте. За один период (2 с) волна проходит одну длину волны (λ = 2 м). Внизу места, где линии сгущаются, — сгущения, где редеют, — разрежения: так звук распространяется в воздухе.

Звук — продольные механические волны частотой примерно от 20 Гц до 20 000 Гц, которые слышит человеческое ухо. Волны с частотой меньше 20 Гц — инфразвук, больше 20 кГц — ультразвук (летучие мыши, дельфины, медицинское УЗИ). Высота звука зависит от частоты, громкость — от амплитуды. Скорость звука зависит от среды: в воздухе ≈ 340 м/с, в воде ≈ 1500 м/с, в стали ≈ 5000 м/с.

Пример 5

Струна гитары звучит с частотой 680 Гц. Скорость звука в воздухе 340 м/с. Найдите длину звуковой волны. Какой станет длина волны, когда звук перейдёт в воду (1500 м/с)?

  1. В воздухе: λ = υ/ν = 340/680 = 0,5 м.
  2. При переходе из одной среды в другую частота не меняется (её задаёт источник), а скорость меняется: в воде λ = 1500/680 ≈ 2,2 м.Почему так?

    Частицы среды колеблются в ритме источника; меняются лишь скорость и длина волны.

  3. Ответ: 0,5 м; ≈ 2,2 м.
История

Вернёмся в ущелье. За 2 с звук дошёл до скалы и вернулся, то есть прошёл двойное расстояние: 2L = υt. Отсюда L = υt/2 = 340·2/2 = 340 м.

Чтобы ухо различило два звука, между ними должно пройти не меньше ≈ 0,1 с. Поэтому, чтобы эхо было слышно отдельно, препятствие должно быть не ближе 340·0,1/2 = 17 м. Так же работает эхолот на кораблях: ультразвук идёт до дна и обратно, и глубину находят по той же формуле.

Проверь себя

Ультразвуковой сигнал эхолота корабля, отразившись от дна, вернулся через 0,8 с. Скорость звука в воде 1500 м/с. Какова глубина моря в метрах?

Сигнал проходит двойную глубину: h = υt/2.

Проверь себя

Волна на верёвке за 2 с распространяется на 10 м, частицы колеблются с частотой 2,5 Гц. Чему равна длина волны в метрах?

Сначала скорость: υ = 10/2 = 5 м/с; затем λ = υ/ν.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

Эти задания взяты из экзаменов ГЭЦ. Сначала реши сам, затем открой «Ответ и пояснение ГЭЦ».

ГЭЦ · 12.07.2026

Какая физическая величина определяется выражением 4π²ν²x_m при гармонических колебаниях вдоль оси x в горизонтальной плоскости (x_m — максимальное значение координаты материальной точки, ν — частота колебаний)?

A) мгновенное значение потенциальной энергииB) мгновенное значение кинетической энергииC) максимальное значение скоростиD) максимальное значение ускоренияE) полная механическая энергияОтвет и пояснение ГЭЦ

Ответ: максимальное значение ускорения (вариант D).

Выражением 4π²ν²x_m при гармонических колебаниях определяется максимальное значение ускорения колеблющегося тела (материальной точки). a_m = ω²x_m = 4π²ν²x_m.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Это же задание было и на экзамене 12.07.2026, IV группа специальностей (A71).

ГЭЦ · 13.07.2025

Какие из графиков зависимости периода колебаний (T) математического маятника от длины маятника (l), напряжённости гравитационного поля (g) и амплитуды колебаний (A) верны?

A) 2, 4, 5B) 1, 3, 6C) 2, 3, 5D) 2, 3, 6E) 1, 4, 6Ответ и пояснение ГЭЦ

Ответ: 2, 4, 5 (вариант A).

Так как период колебаний математического маятника выражается формулой T = 2π√(l/g),он зависит от длины маятника и напряжённости гравитационногополя и не зависит отамплитуды колебаний. Верный ответ — графики 2, 4 и 5.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Это же задание было и на экзамене 13.07.2025, IV группа специальностей (A79).

Итоги

Запомни

  • Гармоническое колебание: x = A·cos(ωt + φ₀); ω = 2π/T = 2πν, ν = 1/T.
  • υₘ = Aω, aₘ = Aω² = 4π²ν²A; в положении равновесия скорость максимальна, в крайних точках — ускорение; a = −ω²x.
  • Пружинный маятник: T = 2π√(m/k); математический: T = 2π√(l/g) — не зависит от массы и амплитуды.
  • Энергия: E = kA²/2 = mυₘ²/2; период Eₚ и Eₖ равен T/2; путь за период 4A, перемещение 0.
  • Резонанс: при совпадении частоты внешней силы с собственной амплитуда резко растёт; ν₀ = (1/2π)√(k/m).
  • Волна переносит энергию, а не вещество; υ = λ/T = λν; поперечные (верёвка) и продольные (звук) волны.
  • Звук: 20 Гц – 20 кГц; в воздухе ≈ 340 м/с; эхо: 2L = υt.

Типичные ошибки

Тяжёлый груз замедляет колебания математического маятника

В формуле T = 2π√(l/g) массы нет. Масса меняет только период пружинного маятника: T = 2π√(m/k).

Период потенциальной энергии равен периоду колебаний

За период тело дважды бывает в крайней точке, поэтому Eₚ и Eₖ меняются вдвое чаще: TE = T/2.

За один период путь тела равен нулю

Нулю равно перемещение. Путь за период 4A, за полпериода 2A.

Волна уносит частицы с собой

Частицы лишь колеблются около своих положений равновесия; волна переносит энергию и состояние колебаний.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Период колебаний 0,2 с. Их частота:

ν = 1/T = 1/0,2 = 5 Гц.

2 · Уровень 1

Какой волной является звук в воздухе?

В воздухе частицы колеблются вдоль направления распространения — сгущения и разрежения.

3 · Уровень 2

Если массу груза пружинного маятника увеличить в 4 раза, период:

T ~ √m; √4 = 2.

4 · Уровень 2

Пружинный маятник массой 0,2 кг колеблется по закону x = 0,1·cos(10t) (м). Полная механическая энергия:

E = mω²A²/2 = 0,2·100·0,01/2 = 0,1 Дж.

5 · Уровень ГЭЦ

Пружинный маятник проходит положение x = A/2. Какую долю полной энергии составляет в этот момент кинетическая энергия?

E_p = k(A/2)²/2 = E/4, значит E_k = E − E/4 = 3E/4.

6 · Уровень ГЭЦ

Период математического маятника на Земле 2 с. На Луне (g_Л = g/6) его период примерно:

T ~ 1/√g: T = 2·√6 ≈ 4,9 с.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ГЭЦ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 32; B-38, C-47, D-43; вариант A, 42; B-34, C-52, D-31
  2. 01.06.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 76; B-63, C-78, D-73
  3. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 40; B-37, C-32, D-34; вариант A, 44; B-38, C-41, D-36
  4. 13.07.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 79; B-63, C-74, D-73
  5. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 48; B-32, C-48, D-43; вариант A, 53; B-53, C-55, D-54
  6. 07.06.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 77; B-79, C-63, D-74; вариант A, 86; B-84, C-83, D-84
  7. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 59; B-59, C-59, D-59; вариант A, 37; B-36, C-50, D-45
  8. 12.07.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 71; B-68, C-73, D-62

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ГЭЦ. Задания и пояснения ГЭЦ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки