Fəzada bucaq və məsafə: kub üzərində

Fəzada bucaq və məsafə məsələlərinin əsas fikri: fəza məsələsini müstəvi üçbucağa gətirmək. Çarpaz düz xətlər arasında bucaq üçün birini paralel köçürürük ki, kəsişsinlər. Düz xətt ilə müstəvi arasında bucaq — düz xətt ilə onun proyeksiyası arasındakı bucaqdır.

Məsafə həmişə perpendikulyarın uzunluğudur: nöqtədən müstəviyə, çarpaz düz xətlər arasında — ortaq perpendikulyar. Kubda ən çox lazım olanlar: üzün diaqonalı a√2, kubun diaqonalı a√3.

a√2kubun üzünün diaqonalıa√3kubun diaqonalı (AC₁)proyeksiyadüz xətt–müstəvi bucağı proyeksiya ilə tapılırməsələni seç, kubu fırlat ↓Çarpaz A₁B və B₁C: B₁C-ni A₁D-yə köçürürük — A₁BD bərabərtərəflidir, 60°

Qırmızı — axtarılan bucağın və ya məsafənin elementi, yaşıl — köməkçi qurma (paralel köçürmə, proyeksiya), göy sahə — müstəvi. Qırıq qara xətlər görünməyən tillərdir. Kubu sürgü ilə və ya şəkli barmaqla dartıb fırlada bilərsən.

MəsələKubu fırlat (və ya şəkli dart)Kubun tili, a4Tapşırıq 1 / 2○○

Kubun diaqonalı ≈ 12,12 olsun — tili seç.

Sürgüləri və düymələri tənzimlə…

Simulyasiyada nə görürsən?

sürgünün dili ilə

• 1-ci məsələdə B₁C-nin yaşıl “kölgəsi” A₁D-dir: paralel köçürmədən sonra bucaq A₁BD bərabərtərəfli üçbucağında görünür — 60°.
• 2-ci məsələdə AC₁ öz proyeksiyası AC ilə düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir: fəza bucağı müstəvi bucağa çevrilir.
• Kubu fırladanda bəzi bucaqlar “dəyişmiş” görünür, amma həqiqi qiymət dəyişmir — şəkil yalnız proyeksiyadır.
• Tili 1-dən 10-a dəyiş: bucaqlar eyni qalır, məsafələr isə tillə düz mütənasib artır.
• 5-ci məsələdə A₁BD müstəvisi AC₁ diaqonalını onun üçdə birində kəsir — məsafə a√3/3.

Bucaq və məsafənin tapılması

addım-addım

Nə axtarılır	Necə tapılır
Çarpaz düz xətlər arasında bucaq	birini paralel köçür ki, kəsişsinlər; üçbucaqdan bucağı tap
Düz xətt ilə müstəvi arasında bucaq	düz xəttin müstəviyə proyeksiyasını qur; düzbucaqlı üçbucaqdan
Nöqtədən müstəviyə məsafə	perpendikulyar endir; çox vaxt həcm üsulu ilə
Çarpaz düz xətlər arasında məsafə	ortaq perpendikulyar; ya da birinin digərinə paralel müstəviyə məsafəsi
Üç perpendikulyar teoremi	maili xətt proyeksiyaya perpendikulyardırsa, mailiyə də perpendikulyardır

Ən çox edilən səhvlər

qırmızı qələmÇarpaz düz xətlər arasında bucağı “0” saymaq

Çarpaz düz xətlər kəsişmir, amma aralarında bucaq var — birini paralel köçürüb tapılır. Məsələn, AA₁ ilə BD arasında bucaq 90°-dir.

Düz xətt–müstəvi bucağında proyeksiya əvəzinə istənilən xətti götürmək

Bucaq məhz düz xətt ilə onun proyeksiyası arasındadır. AC₁ ilə ABCD müstəvisi üçün AC-ni götürürük, AB-ni yox.

Məsafəni maili xətt üzrə ölçmək

Məsafə yalnız perpendikulyar üzrə ölçülür. A-dan A₁BD müstəvisinə məsafə AA₁ (= a) deyil, a/√3-dür.

Həll olunmuş məsələlər

əvvəl özün həll et

Məsələ 1

Ölçüləri 3, 4 və 12 olan düzbucaqlı paralelepipedin diaqonalını tapın.

Həllini göstərd² = 3² + 4² + 12² = 9 + 16 + 144 = 169d = 13

Cavab: 13.

Məsələ 2

Tili 6 olan kubda AC₁ diaqonalı ilə ABCD müstəvisi arasındakı bucağın tangensini tapın.

Həllini göstərProyeksiya AC = 6√2, CC₁ = 6tg φ = 6 / (6√2) = 1/√2 = √2/2

Cavab: √2/2 — tildən asılı deyil.

Real həyatda: uzun boru otağa sığarmı?

fəza diaqonalıOtağın ölçüləri: 4 m × 3 m × 2,5 m

Mebel daşıyanda, anbarda yük yerləşdirəndə və ya tikintidə fəza diaqonalı düsturu tez-tez lazım olur: d = √(a² + b² + c²). Bu, iki dəfə tətbiq olunmuş Pifaqor teoremidir — əvvəlcə döşəmənin diaqonalı, sonra onunla hündürlükdən düzbucaqlı üçbucaq.

Özünü yoxla: 5 sınaq testi

5 sual

1Tili 2 olan kubun diaqonalı nəyə bərabərdir?

2Kubda AA₁ və BD düz xətləri arasındakı bucaq nə qədərdir?

3Ölçüləri 3, 4, 12 olan paralelepipedin diaqonalı nəyə bərabərdir?

4Düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucaq necə tapılır?

5Açıq tipli: tili 4 olan kubda AC₁ diaqonalının uzunluğunun kvadratını tapın. Cavabı rəqəmlə yaz.

Mənbə

DİM 2026 qəbul imtahanı proqramı: Riyaziyyat → Stereometriya: fəzada düz xətlərin və müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti, düz xətlər, düz xətt və müstəvi arasında bucaq, nöqtədən müstəviyə və çarpaz düz xətlər arasında məsafə.

/section>