ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Квадратные, рациональные неравенства и неравенства с модулем

МатематикаУравнения и неравенства

Текст урока
Уравнения и неравенства · Тема 20 / 46

Квадратные, рациональные неравенства и неравенства с модулем

Этот урок пройдём через школьный спортивный праздник: подброшенный мяч, зона «хорошо» в прыжках в длину и расходы на автобус до следующих соревнований приведут нас к трём видам неравенств — квадратным, с модулем и рациональным. Знак параболы, метод интервалов и задания с параметром разберём на уровне ДИМ.

≈ 55 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 9материал 8–10 классов

После урока ты сможешь

  • определять знак квадратного трёхчлена по a и D и решать квадратные неравенства;
  • находить параметр из условия, что трёхчлен всегда положителен (отрицателен);
  • решать неравенства с модулем вида |f| < r, |f| > r;
  • решать рациональные неравенства методом интервалов и находить сумму целых решений.

Перед началом вспомни

  • Корни квадратного уравнения и разложение на множители: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
  • Линейные неравенства и запись промежутков.
  • Определение модуля: |a| ≥ 0.

Содержание

  1. ВведениеСитуация: сколько времени мяч находится выше 15 м?история и предположение
  2. Глава 1Знак квадратного трёхчленапарабола · a и D · знак
  3. Глава 2Решение квадратного неравенстваалгоритм · ДИМ 15.03.2026
  4. Глава 3Трёхчлен, который всегда положителен или отрицателенусловия на a и D · полный квадрат · ДИМ 07.06.2026
  5. Глава 4Неравенства с модулеммодуль — расстояние · ДИМ 06.07.2025
  6. Глава 5Рациональные неравенства и метод интерваловметод интервалов · ДИМ 05.07.2026, 24.05.2026, 13.07.2025
  7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 3, с ответом и официальным пояснением
  8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: сколько времени мяч находится выше 15 м?

История

В школе спортивный праздник. Одно из состязаний такое: ученик бьёт по мячу так, что мяч летит почти вертикально вверх. На мачте прожектора отмечена высота 15 м. Учитель физики говорит, что высота мяча (в метрах) задаётся формулой h = 20t − 5t², где t — время после удара (в секундах).

Пока мяч выше отметки, судьи свистят. Сколько секунд будет звучать свисток?

Путь мяча — парабола; линия 15 м пересекает её в двух точках.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько секунд мяч находится выше 15 м? Выбери ответ — посчитаем вместе во 2-й главе.

Глава 1

Знак квадратного трёхчлена

Вопрос о мяче — это вопрос «когда выражение 20t − 5t² больше 15?». Чтобы отвечать на такие вопросы, сначала нужно знать, при каких x квадратный трёхчлен положителен, а при каких отрицателен.

Определение

Неравенство вида ax² + bx + c > 0 (или со знаками <, ≥, ≤), где a ≠ 0, называется квадратным неравенством. График функции f(x) = ax² + bx + c — парабола: при a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз. Часть параболы над осью Ox — положительные значения функции, под осью — отрицательные.

Знак квадратного трёхчлена

Пусть D = b² − 4ac. 1) Если D > 0, корни x₁ < x₂: вне корней f(x) имеет знак a, между корнями — противоположный. 2) Если D = 0, f(x) имеет знак a везде, кроме точки x₀ = −b/(2a). 3) Если D < 0, f(x) при всех x имеет знак a.

Шесть случаев: направление ветвей зависит от a, пересечение с осью Ox — от D.

Меняй в лаборатории коэффициенты a, b, c и смотри на схему знаков внизу. В начале построен трёхчлен x² − 6x − 7 — это задание ДИМ из 2-й главы. Сделай a отрицательным: знаки поменяются на противоположные; увеличивай c: корни сближаются, а потом исчезают.

Лаборатория · парабола и схема знаковa1b-6c-7Пример 1

Исследуйте знак трёхчлена f(x) = −x² + 2x + 8.

  1. Корни: D = 4 + 32 = 36, x₁ = −2, x₂ = 4.
  2. a = −1 < 0: ветви направлены вниз. Вне корней f(x) отрицательна, между корнями — положительна.Почему так?

    Проверка: f(0) = 8 > 0, а 0 лежит между корнями.

  3. Ответ: f(x) > 0 при x ∈ (−2; 4); f(x) < 0 при x ∈ (−∞; −2) ∪ (4; +∞).
Проверь себя

Сколько существует целых x, для которых −x² + 2x + 8 > 0?

Корни −2 и 4; целые числа лежат между ними.

Глава 2

Решение квадратного неравенства

Алгоритм

1) Перенеси все слагаемые в одну часть: ax² + bx + c ∨ 0. 2) Если нужно, умножь на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробных коэффициентов, и на −1, чтобы сделать старший коэффициент положительным (поменяй знак!). 3) Найди корни и разложи на множители. 4) По правилу знаков (или по эскизу параболы) возьми нужные промежутки. При знаках «≤» и «≥» корни тоже входят в решение.

Пример 2

Задача о мяче: решите неравенство 20t − 5t² > 15.

  1. Переносим всё вправо: 5t² − 20t + 15 < 0.
  2. Делим на 5: t² − 4t + 3 < 0, т. е. (t − 1)(t − 3) < 0.Почему так?

    Деление на положительное число знак не меняет. Корни: 1 + 3 = 4, 1·3 = 3 (Виет).

  3. Старший коэффициент положителен, трёхчлен отрицателен между корнями: 1 < t < 3.Почему так?

    Проверка: при t = 2 h = 40 − 20 = 20 > 15.

  4. Ответ: t ∈ (1; 3); продолжительность 3 − 1 = 2 с.
История

Мяч достигает 15 м в конце 1-й секунды и снова проходит эту высоту в конце 3-й: свисток звучит ровно 2 секунды. Высшая точка — в момент t = 2: h = 20 м. Ответ «3 с» получается, если принять за ответ один из корней, а нужна длительность между корнями.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 15.03.2026

Найдите сумму целых решений неравенства x² − 6x − 7 < 0.

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. Находим корни: D = 36 + 28 = 64, x₁ = −1, x₂ = 7. Значит, (x + 1)(x − 7) < 0.Почему так?

    Старший коэффициент 1 > 0, парабола направлена вверх.

  2. Трёхчлен отрицателен между корнями: x ∈ (−1; 7); корни не входят (строгое «<»).Почему так?

    Схема знаков: +, −, +; нам нужен средний промежуток со знаком «−».

  3. Целые решения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; сумма 21.
  4. Ответ: 21.
Официальное пояснение ДИМ (15.03.2026)
Для решения квадратного неравенства вычисляется его дискриминант, находятся корни и левая часть неравенства раскладывается на множители: D = (−6)² − 4·1·(−7) = 64 = 8² > 0; x₁ = −1, x₂ = 7; (x + 1)(x − 7) < 0. Полученное неравенство решается методом интервалов: x ∈ (−1; 7). Находится сумма целых решений неравенства: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
Пример 3

Решите неравенство x² + 2x − 8 ≥ 0.

  1. Корни: x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2), откуда x = −4, x = 2.
  2. a > 0: трёхчлен положителен вне корней; из-за «≥» корни тоже входят.Почему так?

    Квадратная скобка — конец входит, у бесконечности всегда круглая скобка.

  3. Ответ: (−∞; −4] ∪ [2; +∞).
Проверь себя

Найдите сумму целых решений неравенства x² − 2x − 15 < 0.

(x + 3)(x − 5) < 0.

Глава 3

Трёхчлен, который всегда положителен или отрицателен

На экзамене часто спрашивают: при каких значениях параметра неравенство верно при всех x? Посмотри на параболу: она должна целиком лежать выше оси Ox (или ниже). Это выражается двумя условиями.

Теорема

ax² + bx + c > 0 при всех x ⇔ a > 0 и D < 0.   ax² + bx + c < 0 при всех x ⇔ a < 0 и D < 0. В нестрогом неравенстве (≥, ≤) условие D < 0 заменяется на D ≤ 0.

Особое внимание — случаю D = 0: трёхчлен становится полным квадратом. Например, x² − 6x + 9 = (x − 3)². Квадрат никогда не бывает отрицательным, поэтому у четырёх неравенств разные ответы:

(x − 3)² > 0 ⇔ x ≠ 3;   (x − 3)² ≥ 0 ⇔ x ∈ R;   (x − 3)² ≤ 0 ⇔ x = 3;   (x − 3)² < 0 ⇔ x ∈ ∅

Пример 4

При каких значениях a неравенство x² + ax + 4 > 0 верно при всех значениях x?

  1. Старший коэффициент 1 > 0 — первое условие выполнено. Остаётся D < 0.Почему так?

    Парабола направлена вверх; чтобы она не пересекала ось Ox, у неё не должно быть корней.

  2. D = a² − 16 < 0 ⇔ (a − 4)(a + 4) < 0 ⇔ −4 < a < 4.
  3. Ответ: a ∈ (−4; 4).
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 07.06.2026

При каких значениях a квадратный трёхчлен ax² + (a − 2)x − 2,25 всегда принимает отрицательные значения?

A) (−6; −2)B) (−2; 2)C) (−2; 1)D) (−1; 0)E) (−4; −1)
  1. Чтобы трёхчлен был всегда отрицателен, парабола должна быть направлена вниз и не пересекать ось Ox: a < 0 и D < 0.Почему так?

    Здесь a — и старший коэффициент, и часть коэффициента при x; подставляем его как обычное число.

  2. Дискриминант: D = (a − 2)² − 4·a·(−2,25) = a² − 4a + 4 + 9a = a² + 5a + 4 = (a + 1)(a + 4).Почему так?

    4·2,25 = 9, а произведение двух отрицательных положительно: −4a·(−2,25) = +9a.

  3. (a + 1)(a + 4) < 0 ⇔ −4 < a < −1. Этот промежуток лежит внутри условия a < 0, поэтому пересечение равно (−4; −1).Почему так?

    Проверка: при a = −2 получаем −2x² − 4x − 2,25 = −2(x + 1)² − 0,25 < 0.

  4. Ответ: (−4; −1) (вариант E).
Официальное пояснение ДИМ (07.06.2026)
Квадратный трёхчлен ax² + bx + c всегда принимает отрицательные значения тогда и только тогда, когда выполняются условия {a < 0; D < 0}. Значит, a должно быть решением следующей системы неравенств. {a < 0; (a − 2)² − 4a(−2,25) < 0} ⇔ {a < 0; a² − 4a + 4 + 9a < 0} ⇔ {a < 0; a² + 5a + 4 < 0} ⇔ {a < 0; (a + 1)(a + 4) < 0} ⇔ ⇒ (−∞; 0) ∩ (−4; −1) = (−4; −1)Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Та же идея работает и в системе неравенств: система { x ≥ p; x ≤ q } имеет единственное решение, когда левая и правая границы совпадают, т. е. p = q. В практикуме есть такое задание ДИМ.

Проверь себя

Неравенство x² + 4x + m > 0 верно при всех значениях x. Найдите наименьшее целое значение m.

D = 16 − 4m < 0.

Глава 4

Неравенства с модулем

История

Следующее состязание праздника — прыжки в длину. В яме по обе стороны от линии 4,2 м нанесена зелёная зона шириной 0,3 м: ученик, чей результат попал в неё, получает «хорошо». Расстояние отсчитывается от бруска для отталкивания.

Результаты трёх учеников: 3,6 м, 4,0 м и 4,75 м. Каковы границы зоны и кто получит «хорошо»?

Зелёная зона: по 0,3 м в каждую сторону от линии 4,2 м.

Если результат x, то его отклонение от 4,2 м берётся «без знака» — это и есть модуль: |x − 4,2|. Условие зоны: |x − 4,2| ≤ 0,3.

Определение

|x − a| — расстояние между точками x и a на числовой оси. Модуль никогда не бывает отрицательным: |f(x)| ≥ 0.

Правила

Если r > 0: |f| < r ⇔ −r < f < r;   |f| > r ⇔ f < −r или f > r.Если r < 0: неравенство |f| < r не имеет решений, а |f| > r верно при всех x из области определения f.

«Расстояние меньше r» — промежуток; «расстояние больше r» — два луча.Пример 5

Зона: решите неравенство |x − 4,2| ≤ 0,3.

  1. По правилу: −0,3 ≤ x − 4,2 ≤ 0,3.
  2. Прибавляем ко всем частям 4,2: 3,9 ≤ x ≤ 4,5.Почему так?

    Центр 4,2, радиус 0,3: границы 4,2 − 0,3 и 4,2 + 0,3.

  3. Ответ: x ∈ [3,9; 4,5].
История

Зона — [3,9; 4,5] м. Результат 3,6 м вне зоны (|3,6 − 4,2| = 0,6 > 0,3), 4,0 м — внутри, а 4,75 м — за зоной (|4,75 − 4,2| = 0,55 > 0,3). «Хорошо» получает второй ученик.

Пример 6

Решите неравенство |2x − 1| > 5.

  1. Два случая: 2x − 1 < −5 или 2x − 1 > 5.
  2. x < −2 или x > 3.
  3. Ответ: (−∞; −2) ∪ (3; +∞).
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

Установите соответствие для неравенств.1. |4x − 3| < 52. |3x + 5| > −33. |2x − 5| < −2a. решений нетb. наименьшее целое решение равно 0c. наибольшее целое решение равно 1d. наименьшее целое решение равно 2e. x ∈ (−∞; +∞)

  1. 1) |4x − 3| < 5 ⇔ −5 < 4x − 3 < 5 ⇔ −2 < 4x < 8 ⇔ −1/2 < x < 2: наименьшее целое решение 0, наибольшее 1 — b и c.Почему так?

    Первое целое число справа от −1/2 — это 0, последнее целое слева от 2 — это 1 (2 не входит).

  2. 2) |3x + 5| > −3 верно всегда, так как |3x + 5| ≥ 0 > −3: x ∈ (−∞; +∞) — e.Почему так?

    Чтобы быть больше отрицательного числа, модулю достаточно быть неотрицательным.

  3. 3) |2x − 5| < −2: модуль не может быть меньше отрицательного числа — решений нет, a. Пункт d не подходит ни к одному.
  4. Ответ: 1 – b, c; 2 – e; 3 – a.
Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)
1.|4x − 3| < 5 ⇔ −5 < 4x − 3 < 5 ⇔ −5 + 3 < 4x < 5 + 3 ⇔⇔ −2 < 4x < 8 ⇔ −1/2 < x < 2Значит, наименьшее целое решение этого неравенства равно 0, а наибольшее целое решение равно 1.1 – b, c2.|3x + 5| > −3. По определению модуля это неравенство верно при любом x ∈ (−∞; +∞).2– e3.|2x − 5| < −2. По определению модуля это неравенство не имеет решений.3– aИсточник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Сколько целых решений имеет неравенство |x + 1| ≤ 3?

−3 ≤ x + 1 ≤ 3.

Глава 5

Рациональные неравенства и метод интервалов

История

Праздник окончен, в следующем месяце класс хочет поехать на районные соревнования. Аренда автобуса стоит 240 ₼, билет на стадион для каждого ученика — 2 ₼. Родители договорились, что расход на одного ученика должен быть не больше 10 ₼.

Какое наименьшее число учеников должно поехать, чтобы условие выполнялось?

Аренда 240 ₼ делится на весь класс, билет — 2 ₼ каждому; на человека ≤ 10 ₼.

Если поедут n учеников, расход на одного ученика равен 240/n + 2 манатов. Переменная в знаменателе — это рациональное неравенство: 240/n + 2 ≤ 10.

Метод интервалов

1) Перенеси всё в одну часть и приведи к общему знаменателю: P(x)/Q(x) < 0 (или ≤, >, ≥). Не умножай неравенство на знаменатель — его знак неизвестен. 2) Разложи числитель и знаменатель на множители, отметь их нули на числовой оси: нули знаменателя — всегда пустые точки, нули числителя при «≤, ≥» — закрашенные. 3) Найди знак на крайнем правом промежутке; двигаясь влево, знак меняется в каждом простом корне и не меняется в корне множителя чётной степени (например, (x − 3)²). 4) Выпиши нужные промежутки.

Пример 7

Автобус: найдите натуральные решения неравенства 240/n + 2 ≤ 10.

  1. Переносим всё влево: 240/n − 8 ≤ 0 ⇔ (240 − 8n)/n ≤ 0 ⇔ 8(30 − n)/n ≤ 0.
  2. Делим на −8 и меняем знак: (n − 30)/n ≥ 0. Точки: 0 (пустая), 30 (закрашенная); знаки: +, −, +.Почему так?

    При n = 0 дробь не имеет смысла, а при n = 30 равна 0 и удовлетворяет условию «≥ 0».

  3. Решение: n < 0 или n ≥ 30. Так как n натуральное, n ≥ 30.
  4. Ответ: не менее 30 учеников.
История

Если поедут 30 учеников, на каждого придётся 240 : 30 + 2 = 10 ₼ — ровно предел. С 40 учениками расход будет 8 ₼, а с 24 — 12 ₼, это нарушило бы договорённость. В классе 32 ученика, значит, могут поехать все: 240 : 32 + 2 = 9,5 ₼.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

Решите неравенство 2x − 7 ≤ −16/(2x + 1).

Рисунок меняется вместе с шагами.A) (−3/2; 3/2)B) (−∞; −1/2) ∪ {3/2}C) (−3/2; 1/2] ∪ {3}D) (−3/2; +∞)E) (−∞; −1/2)
  1. Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю: 2x − 7 + 16/(2x + 1) ≤ 0 ⇔ ((2x − 7)(2x + 1) + 16)/(2x + 1) ≤ 0.Почему так?

    Умножать на знаменатель нельзя: 2x + 1 может быть и положительным, и отрицательным.

  2. Числитель: 4x² + 2x − 14x − 7 + 16 = 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)². Неравенство: (2x − 3)²/(2x + 1) ≤ 0.Почему так?

    4x² − 12x + 9 — полный квадрат: (2x)² − 2·2x·3 + 3².

  3. Точки: −1/2 (знаменатель, пустая) и 3/2 (числитель, закрашенная). В 3/2 множитель в квадрате — знак не меняется: −, +, +.Почему так?

    Дробь ≤ 0 в двух случаях: числитель равен 0 (x = 3/2) или знаменатель отрицателен (x < −1/2).

  4. Множество решений: (−∞; −1/2) ∪ {3/2}. Забыть отдельную точку 3/2 — главная ловушка задания.
  5. Ответ: (−∞; −1/2) ∪ {3/2} (вариант B).
Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)
2x − 7 + 16/(2x + 1) ≤ 0 ⇔ ((2x − 7)(2x + 1) + 16)/(2x + 1) ≤ 0 ⇔ (4x² − 12x + 9)/(2x + 1) ≤ 0 ⇔ (2x − 3)²/(2x + 1) ≤ 0 ⇔ [ 2x − 3 = 0, x ≠ −1/2; 2x + 1 < 0 ] … x = 3/2 или x < −1/2, отсюда x ∈ (−∞; −1/2) ∪ {3/2}.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

Иногда метод интервалов даже не нужен: если большинство множителей всегда положительны, знак выражения определяет один оставшийся множитель.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 24.05.2026

Решите неравенство |x − 2| · 5^(−7x+3) · (x² − x + 5)/(x − 1)² ≤ 0.

A) (−∞; 1) ∪ (1; +∞)B) (−∞; 2) ∪ (2; +∞)C) (−∞; +∞)D) {2}E) {5}
  1. Проверяем каждый множитель отдельно: |x − 2| ≥ 0; 5^(−7x+3) > 0, так как показательная функция всегда положительна.Почему так?

    Значения показательной функции лежат в (0; +∞) при любом показателе.

  2. x² − x + 5: D = 1 − 20 = −19 < 0, старший коэффициент положителен — трёхчлен всегда положителен. При x ≠ 1(x − 1)² > 0.Почему так?

    Это теорема из 3-й главы: a > 0 и D < 0.

  3. Значит, выражение не может быть отрицательным; «≤ 0» выполняется только в случае равенства: |x − 2| = 0 ⇒ x = 2 (условие x ≠ 1 выполнено).Почему так?

    Если бы было строгое «< 0», решений не было бы вовсе.

  4. Ответ: {2} (вариант D).
Официальное пояснение ДИМ (24.05.2026)
При любом значении x выполняются неравенства |x − 2| ≥ 0, 5^(−7x+3) > 0, (x² − x + 5) > 0 при D < 0 и (x − 1)² > 0 при x ≠ 1. Поэтому данное неравенство верно только при |x − 2| = 0. То есть единственное решение неравенства — x = 2.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Найдите сумму целых чисел, удовлетворяющих неравенству |x − 3|/(|x − 2| − 7) < 0.

A) 19B) 15C) 23D) 18E) 24
  1. Числитель |x − 3| ≥ 0. Чтобы дробь была строго отрицательной, числитель не должен равняться нулю (x ≠ 3), а знаменатель должен быть отрицательным.Почему так?

    При x = 3 дробь равна 0, а 0 < 0 неверно.

  2. |x − 2| − 7 < 0 ⇔ |x − 2| < 7 ⇔ −7 < x − 2 < 7 ⇔ −5 < x < 9.
  3. Целые числа: −4, −3, …, 8, но 3 исключается. Сумма: (−4 + … + 4) + 5 + 6 + 7 + 8 − 3 = 0 + 26 − 3 = 23.Почему так?

    Симметричные пары (−4 и 4, …) дают 0. Ответ 26 получается, если забыть условие x ≠ 3.

  4. Ответ: 23 (вариант C).
Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)
Данное неравенство имеет решение только при условиях x − 3 ≠ 0 и |x − 2| − 7 < 0. Тогда x ≠ 3 и |x − 2| < 7 ⇒ −7 < x − 2 < 7 ⇒ −5 < x < 9. Сумма значений x, удовлетворяющих этому условию, равна 23.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Сколько целых решений имеет неравенство (x − 4)/(x + 2) ≤ 0?

4 входит (нуль числителя), −2 не входит (нуль знаменателя).

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 02.03.2025

Решите неравенство (2x² + x)/2 > 3x/5 + 9/10.

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножь каждый член на НОК знаменателей (10).

A) (−∞; −9) ∪ (0,1; +∞)B) (−9; 0,1)C) (−∞; −0,9) ∪ (1; +∞)D) (−0,9; +∞)E) (−∞; 1)Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: (−∞; −0,9) ∪ (1; +∞) (вариант C).

Умножив каждый член неравенства на 10, получим 5(2x² + x) > 6x + 9.10x² − x − 9 > 0(10x + 9)(x − 1) > 0Решив последнее неравенство методом интервалов, находим, что множество решений неравенства x ∈ (−∞; −0,9) ∪ (1; +∞).Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
ДИМ · 12.07.2026

Установите соответствие для неравенств. 1. x² − ax + 9 > 0; 2. x² − ax + 9 ≤ 0; 3. x² − ax + 9 < 0. a. при a = 6 решение — {3}; b. при a = 6 решение — (−∞; 3) ∪ (3; +∞); c. при a = 6 решений нет; d. при −6 < a < 6 решение — (−∞; +∞); e. при a = 6 решение — (−∞; +∞)

При a = 6 x² − 6x + 9 = (x − 3)² (глава 3).

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 1 – b, d; 2 – a; 3 – c.

В этом задании на соответствие требуется установить, к какому множеству принадлежат решения квадратных неравенств, зависящих от параметра, при данных значениях параметра, и в результате найти соответствие неравенств данным множествам решений. При a=6, так как x² − ax + 9 = x² − 6x + 9 = (x − 3)², то (x − 3)² > 0 ⇔ (−∞; 3) ∪ (3; +∞); (x − 3)² ≤ 0 ⇔ x = 3; (x − 3)² < 0 ⇔ x = ∅; а при a ∈ (−6; 6), так как D = a² − 36 < 0, то x² − ax + 9 > 0 ⇔ x ∈ (−∞; +∞). Таким образом, учитывая сказанное, установим соответствие 1→ b, d; 2→ a; 3→ c. При a = 6 среди данных неравенств нет такого, решение которого (−∞; +∞).Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)
ДИМ · 25.05.2025

При каком значении параметра b система неравенств { x ≥ 2b² − 3b + 7, x ≤ b² + 5b − 9 } имеет единственное решение?

Система имеет единственное решение, когда левая граница равна правой (глава 3).

A) 7B) 4C) 10D) 5E) 8Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 4 (вариант B): b² − 8b + 16 = (b − 4)² ≤ 0 ⇒ b = 4; тогда единственное решение x = 27.

Решение задания сводится к решению квадратного неравенства. { x ≥ 2b² − 3b + 7, x ≤ b² + 5b − 9 } → 2b² − 3b + 7 ≤ x ≤ b² + 5b − 9 → → 2b² − 3b + 7 ≤ b² + 5b − 9 → b² − 8b + 16 ≤ 0 → … b = 4.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)
Итоги

Запомни

  • D > 0: вне корней f(x) имеет знак a, между корнями — противоположный.
  • ax² + bx + c > 0 всегда ⇔ a > 0, D < 0; ax² + bx + c < 0 всегда ⇔ a < 0, D < 0.
  • (x − 3)² > 0 ⇔ x ≠ 3; (x − 3)² ≥ 0 ⇔ x ∈ R; (x − 3)² ≤ 0 ⇔ x = 3; (x − 3)² < 0 ⇔ ∅.
  • |f| < r ⇔ −r < f < r; |f| > r ⇔ f < −r или f > r.
  • r < 0: |f| < r — решений нет, |f| > r — все x.
  • Рациональное неравенство: всё в одну часть, общий знаменатель, нули на оси; нуль знаменателя — всегда пустая точка.
  • У множителя чётной степени знак не меняется; при «≤» его корень может быть отдельным решением: (−∞; −1/2) ∪ {3/2}.

Типичные ошибки

«Решение квадратного неравенства — это его корни»

Корни — только границы: для x² − 6x − 7 < 0 решение — промежуток (−1; 7) между корнями.

«При (2x − 3)²/(2x + 1) ≤ 0 должен быть отрицателен только знаменатель»

«≤» включает и равенство: при x = 3/2 дробь равна 0, поэтому 3/2 — тоже решение.

«Модуль может быть меньше отрицательного числа»

Модуль всегда ≥ 0: |2x − 5| < −2 не имеет решений, а |3x + 5| > −3 верно при любом x.

«Умножаю обе части неравенства на знаменатель»

Если знак знаменателя неизвестен, умножать нельзя: перенеси всё в одну часть и примени метод интервалов.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Сколько целых решений имеет неравенство x² − 5x + 4 ≤ 0?

(x − 1)(x − 4) ≤ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤ 4: 1, 2, 3, 4.

2 · Уровень 1

Множество решений неравенства x² < 9:

(x − 3)(x + 3) < 0 — между корнями.

3 · Уровень 2

Сумма целых решений неравенства |2x − 1| < 7:

−7 < 2x − 1 < 7 ⇒ −3 < x < 4: −2 + … + 3 = 3.

4 · Уровень 2

Множество решений неравенства (x + 3)/(x − 1) ≥ 0:

−3 входит (числитель), 1 не входит (знаменатель); знаки +, −, +.

5 · Уровень ДИМ

При каких значениях a неравенство −x² + 4x + a < 0 верно при всех значениях x?

Старший коэффициент −1 < 0; D = 16 + 4a < 0 ⇒ a < −4.

6 · Уровень ДИМ

Сколько целых решений имеет неравенство (x − 2)²(x + 1)/(x − 5) ≤ 0?

Точки −1 (закрашенная), 2 (чётная степень), 5 (пустая): решение [−1; 5) — −1, 0, 1, 2, 3, 4.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 62; B-73, C-63, D-71
  2. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 21; B-10, C-9, D-7
  3. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 27; B-27, C-27, D-27
  4. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 1; B-3, C-4, D-20
  5. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 77; B-76, C-76, D-76
  6. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 22; B-3, C-3, D-3
  7. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 3; B-15, C-7, D-2
  8. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 2; B-3, C-14, D-17
  9. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 27; B-27, C-27, D-27

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки