Система нелинейных уравнений: подстановка, преобразование, произведение равно нулю

Уравнения и неравенства · Тема 18 / 46

Система нелинейных уравнений: подстановка, преобразование, произведение равно нулю

Этот урок пройдём через историю о даче: семья разбивает овощную грядку, клумбы и ставит бак для полива. В каждом деле появляются два неизвестных и два условия, причём одно из условий не линейное. Научимся решать такие системы подстановкой, почленным вычитанием, разложением на множители, формулами сокращённого умножения и через общий знаменатель.

≈ 45 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 5материал 9 класса

После урока ты сможешь

• решать нелинейную систему, одно уравнение которой линейное, способом подстановки;
• почленно складывать и вычитать уравнения и разбивать систему с нулевым произведением на две системы;
• находить выражения xy, x + y, x² + y², 1/x + 1/y, не находя x и y;
• определять число решений по графику и дискриминанту.

Перед началом вспомни

• Решение квадратного уравнения: D = b² − 4ac.
• Формулы сокращённого умножения: (a ± b)² = a² ± 2ab + b².
• Система линейных уравнений и её решение.

Содержание

1. ВведениеСитуация: какими должны быть размеры грядки?история и предположение
2. Глава 1Нелинейная система и способ подстановкиопределение · подстановка · графический смысл
3. Глава 2Почленное сложение и вычитание уравненийравносильные преобразования · ДИМ 06.07.2025
4. Глава 3Когда произведение равно нулюab = 0 · совокупность систем · ДИМ 12.07.2026
5. Глава 4x + y, xy и формулы сокращённого умножениятождества · Виет · ДИМ 25.05.2025
6. Глава 5Системы с дробными уравнениямиобщий знаменатель · задача на работу · ДИМ 05.07.2026, 19.04.2026
7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: какими должны быть размеры грядки?

История

Весной семья переехала на дачу. Отец хочет разбить во дворе прямоугольную грядку. На пакете семян написано: «на площадь 48 м²». Грядку обнесут сеткой от кур, а в сарае ровно 28 м сетки.

Сетка должна уйти вся, а площадь грядки — быть ровно 48 м². Какими должны быть длина и ширина грядки?

Сетка идёт по всему периметру: 28 м; площадь грядки 48 м².Сначала предположи

Как ты думаешь, какими должны быть размеры грядки? Выбери ответ — посчитаем вместе в 1-й главе.

Глава 1

Нелинейная система и способ подстановки

Обозначим длину грядки x, ширину — y. Сетка идёт по всему периметру: 2(x + y) = 28, т. е. x + y = 14. Площадь: xy = 48. Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому объединяем уравнения фигурной скобкой и записываем систему:

{ x + y = 14;   xy = 48 }

Определение

Система, в которой хотя бы одно уравнение не является линейным (содержит квадраты переменных, произведение xy, переменную в знаменателе и т. п.), называется системой нелинейных уравнений. Решение системы с двумя переменными — пара чисел (x; y), обращающая каждое уравнение в верное равенство. Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Способ подстановки

1) Из линейного уравнения вырази одну переменную через другую. 2) Подставь это выражение во второе уравнение — получится уравнение с одной переменной. 3) Реши его. 4) Для каждого корня найди вторую переменную. 5) Запиши ответ в виде пар.

Пример 1

Решите систему { x + y = 14; xy = 48 }.

1. Из первого (линейного) уравнения: y = 14 − x.Почему так?

   Из линейного уравнения выражать проще всего: не появляются корни и дроби.

2. Подставляем во второе уравнение: x(14 − x) = 48, т. е. x² − 14x + 48 = 0.
3. D = 14² − 4·48 = 196 − 192 = 4, откуда x = (14 − 2) : 2 = 6 или x = (14 + 2) : 2 = 8.
4. При x = 6 получаем y = 8; при x = 8 — y = 6.Почему так?

   Каждому x соответствует своё y; пары нельзя перемешивать. Проверка: 6 + 8 = 14, 6·8 = 48.

5. Ответ: (6; 8) и (8; 6).

История

Обе пары дают одну и ту же грядку: длина 8 м, ширина 6 м. У квадрата 7 м × 7 м периметр тоже 28 м, но площадь 49 м² — семян на такую грядку не хватит. У грядки 10 м × 4 м периметр тоже 28 м, но площадь всего 40 м² — семена останутся. У грядки 12 м × 4 м площадь ровно 48 м², но периметр 32 м — сетки не хватит.

Решение системы можно увидеть и на графике. График уравнения x + y = s — прямая, уравнения xy = p — гипербола. Решения — точки их пересечения. Меняй в лаборатории числа s и p: линии могут пересекаться в двух точках, касаться в одной или не пересекаться вовсе. Это заранее показывает дискриминант D = s² − 4p.

Лаборатория · прямая и гипербола: сколько решений?s = x + y (полупериметр)14p = xy (площадь)48

Поставь s = 14 и увеличь p с 48 до 49: две точки сливаются, прямоугольник превращается в квадрат (7 × 7). При p = 50 решений нет: площадь прямоугольника с периметром 28 м не может быть больше 49 м².

Проверь себя

Из системы { x − y = 3; xy = 10 } найдите сумму x + y (x > 0, y > 0).

Запиши x = y + 3: (y + 3)y = 10, y² + 3y − 10 = 0.

Глава 2

Почленное сложение и вычитание уравнений

Подстановка работает всегда, но иногда ведёт долгим путём. Если в двух уравнениях есть одинаковая «тяжёлая» часть (например, x² или 2x), короче почленно сложить или вычесть уравнения: если из равных выражений вычесть равные, снова получится равенство.

Правило

Уравнение системы можно умножить на число (отличное от 0) или почленно сложить (вычесть) с другим уравнением: полученная система равносильна данной, т. е. имеет те же решения.

Пример 2

Решите систему { x² + y² = 25; x² − y² = 7 }.

1. Складываем уравнения: 2x² = 32, x² = 16.Почему так?

   При сложении y² и −y² взаимно уничтожаются.

2. Вычитаем из первого второе: 2y² = 18, y² = 9.
3. x = ±4, y = ±3. Любой x сочетается с любым y, так как в уравнения входят только квадраты.Почему так?

   У квадрата два корня: x² = 16 ⇒ x = 4 или x = −4. Забыть один — типичная ошибка.

4. Ответ: (4; 3), (4; −3), (−4; 3), (−4; −3).

На экзамене часто спрашивают не сами x и y, а составленное из них выражение. Тогда объединяй уравнения так, чтобы сразу получилось искомое выражение.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

Из системы уравнений { 2x + y² = 7, x + y = 4 } найдите произведение y(y − 2).

A) −3B) −1C) 2D) −2E) 3

1. Искомое выражение: y(y − 2) = y² − 2y. В первом уравнении есть y², во втором — y. Умножаем второе уравнение на 2: 2x + 2y = 8.Почему так?

   Цель — убрать 2x: он должен войти в оба уравнения с одинаковым коэффициентом.

2. Вычитаем из первого уравнения: (2x + y²) − (2x + 2y) = 7 − 8, т. е. y² − 2y = −1.Почему так?

   Это и есть искомое выражение — находить x и y по отдельности не нужно.

3. Проверка: y² − 2y + 1 = 0 ⇒ y = 1, тогда x = 3; 2·3 + 1² = 7 — верно.
4. Ответ: −1 (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)

Умножим обе части второго уравнения системы { 2x + y² = 7, x + y = 4 } на 2 и почленно вычтем полученное уравнение из первого: { 2x + y² = 7, 2x + 2y = 8 } 2x + y² − (2x + 2y) = 7 − 8 ⇒ ⇒ y² − 2y = −1 ⇒ y(y − 2) = −1Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Из системы { 2x + y² = 11; x + y = 4 } найдите значение выражения y² − 2y.

Умножь второе уравнение на 2 и вычти из первого.

Глава 3

Когда произведение равно нулю

Если одно из уравнений системы разложено на множители, а справа стоит нуль, система распадается на две простые системы. Это следует из условия равенства произведения нулю:

Правило

A·B = 0 ⇔ A = 0 или B = 0. Поэтому система { A·B = 0; C = 0 } равносильна совокупности двух систем: { A = 0; C = 0 } или { B = 0; C = 0 }. Каждую систему решаем отдельно и записываем все пары вместе.

Пример 3

Решите систему { (x − 1)(y − 3) = 0; x + y = 5 }.

1. Первый случай: x − 1 = 0, x = 1. Тогда y = 5 − 1 = 4.Почему так?

   Если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю — проверяем каждый по очереди.

2. Второй случай: y − 3 = 0, y = 3. Тогда x = 5 − 3 = 2.
3. Ответ: (1; 4) и (2; 3).

Иногда произведение нужно получить самому: уравнение x² − 2xy = 0 записывается как x(x − 2y) = 0. Самая опасная ошибка — делить обе части уравнения на переменную: разделив на x, мы потеряем случай x = 0.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

Найдите наименьшее значение произведения xy для пар (x; y), удовлетворяющих системе уравнений {(x − y)(x − 2) = 0, x − 2y = −1}.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) −5B) 3C) 1D) 2E) −4

1. Из первого уравнения: x = y или x = 2. Первая система: { x = y; x − 2y = −1 }.Почему так?

   При x = y второе уравнение становится −y = −1, откуда y = 1, x = 1.

2. Вторая система: { x = 2; x − 2y = −1 }. Тогда 2 − 2y = −1, y = 1,5.Почему так?

   Геометрически: прямая x − 2y = −1 пересекает прямые x = y и x = 2 в двух точках.

3. Произведения: 1·1 = 1 и 2·1,5 = 3. Наименьшее равно 1.
4. Ответ: 1 (вариант C).

Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)

Данная система уравнений равносильна совокупности систем уравнений I. {x − y = 0, x − 2y = −1} и II. {x − 2 = 0, x − 2y = −1}. Из системы I получаем {x = y, −y = −1} ⇔ {x = 1, y = 1}; а из системы II — пару решений {x = 2, 2 − 2y = −1} ⇔ {x = 2, y = 1,5}. Отсюда получается, что либо xy = 1, либо xy = 3. Тогда наименьшее значение произведения xy равно 1.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите наименьшее значение произведения xy для решений системы { (x + y)(x − 3) = 0; 2x − y = 3 }.

Два случая: y = −x и x = 3.

Глава 4

x + y, xy и формулы сокращённого умножения

История

Овощная грядка готова. Теперь мама разбивает на мощёной площадке рядом две квадратные клумбы. Сторона большой клумбы на 2 м длиннее стороны малой. Рассады цветов хватает на две клумбы общей площадью 52 м².

Мама спрашивает: какова сторона каждой клумбы? И здесь одно из уравнений не линейное: x² + y² = 52.

Две квадратные клумбы: стороны x и y, x − y = 2 м, сумма площадей 52 м².

В таких системах x и y входят не по отдельности, а через сумму x + y, разность x − y и произведение xy. Их связывают формулы сокращённого умножения:

Главные тождества

x² + y² = (x + y)² − 2xy = (x − y)² + 2xy

(x + y)² − (x − y)² = 4xy,   x² − y² = (x − y)(x + y)

Разбей квадрат на части: если убрать из (x + y)² два прямоугольника xy, останется x² + y².Сумма и произведение

Если известны x + y = s и xy = p, то числа x и y — корни квадратного уравнения t² − st + p = 0 (теорема, обратная теореме Виета).

Пример 4

Клумбы: найдите x и y из системы { x − y = 2; x² + y² = 52 } (x > 0, y > 0).

1. Из тождества: x² + y² = (x − y)² + 2xy, т. е. 52 = 4 + 2xy, откуда xy = 24.Почему так?

   Разность известна, поэтому выбираем формулу с квадратом разности.

2. Сумма: (x + y)² = x² + y² + 2xy = 52 + 48 = 100; стороны положительны, поэтому x + y = 10.Почему так?

   Длина не может быть отрицательной, поэтому случай x + y = −10 отбрасываем.

3. x + y = 10 и x − y = 2: складываем и делим пополам — x = 6, y = 4. Проверка: 36 + 16 = 52.
4. Ответ: x = 6, y = 4.

История

Сторона большой клумбы 6 м, малой — 4 м: площади 36 м² и 16 м², вместе ровно 52 м². Больше двух третей рассады мама высаживает на большую клумбу.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 25.05.2025

Из системы уравнений { x² − 6xy + y² = −47, x − y = 1 } найдите произведение xy.

A) −16B) −12C) 12D) 16E) 18

1. В левой части первого уравнения выделяем (x − y)²: x² − 6xy + y² = (x² − 2xy + y²) − 4xy = (x − y)² − 4xy.Почему так?

   −6xy = −2xy − 4xy: −2xy «уходит» в квадрат разности, −4xy остаётся.

2. Так как x − y = 1, получаем 1 − 4xy = −47.Почему так?

   Получаем xy сразу, не находя x и y.

3. 4xy = 48, xy = 12. Проверка: при x = 4, y = 3 16 − 72 + 9 = −47.
4. Ответ: 12 (вариант C).

Официальное пояснение ДИМ (25.05.2025)

Чтобы найти из системы уравнений произведение xy, нужно преобразовать первое уравнение с помощью формулы сокращённого умножения и учесть в нём второе уравнение. x² − 6xy + y² = −47 → (x − y)² + 2xy − 6xy = −47 → → 1 − 4xy = −47 → 4xy = 48 → xy = 12Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Из системы { x + y = 7; x² + y² = 29 } найдите произведение xy.

x² + y² = (x + y)² − 2xy.

Глава 5

Системы с дробными уравнениями

История

Грядки и цветы нужно поливать. Во дворе на подставке стоит бак для воды, его наполняют две трубы. По счётчику отец знает, что вместе трубы наполняют бак за 6 ч. Первая труба, работая одна, наполняет бак на 5 ч быстрее второй.

За сколько часов первая труба одна наполняет бак?

Две трубы вместе — за 6 ч, первая одна — за x ч, вторая одна — за x + 5 ч.

В таких задачах всю работу принимают за 1. Если первая труба наполняет бак за x ч, то за 1 ч она наполняет 1/x бака; если вторая наполняет бак за y ч, то за 1 ч — 1/y бака. Вместе за 1 ч наполняется 1/6 бака. Переменная попадает в знаменатель — получается система с дробными уравнениями.

Правило

Если переменная стоит в знаменателе, сначала запиши область допустимых значений: знаменатели не равны нулю. Каждое найденное решение проверь по этому условию. Складывая дроби, используй общий знаменатель: 1/m + 1/n = (m + n)/(mn).

Пример 5

Задача о баке: решите систему { 1/x + 1/y = 1/6; y − x = 5 } (x > 0, y > 0).

1. Из линейного уравнения y = x + 5, подставляем: 1/x + 1/(x + 5) = 1/6.
2. Умножаем обе части на 6x(x + 5): 6(x + 5) + 6x = x(x + 5), т. е. x² − 7x − 30 = 0.Почему так?

   Умножение на общий знаменатель убирает дроби; оно допустимо, так как x ≠ 0 и x ≠ −5.

3. Корни: x = 10 и x = −3. Время не может быть отрицательным, поэтому x = 10, тогда y = 15.Почему так?

   Проверка: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6.

4. Ответ: первая труба — за 10 ч, вторая — за 15 ч.

История

Первая труба одна наполняет бак за 10 ч, вторая — за 15 ч. Вечером отец перекрывает вторую трубу: к утру (за 10 ч) первая успевает наполнить бак полностью.

На экзамене большинство систем с дробями решается одним приёмом: либо приводишь дроби к общему знаменателю и подставляешь сумму и произведение, либо с помощью линейного уравнения делаешь знаменатели одинаковыми.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

Из системы уравнений { m + n = 16, m·n = 4 } найдите сумму 1/m + 1/n.

A) 1/2B) 4C) 2D) 8E) 1/4

1. Приводим дроби к общему знаменателю: 1/m + 1/n = n/(mn) + m/(mn) = (m + n)/(mn).Почему так?

   В числителе получается сумма, в знаменателе — произведение, и обе даны в условии.

2. Подставляем: 16/4 = 4.
3. Ответ: 4 (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)

1/m + 1/n = (n + m)/(mn) = 16/4 = 4Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

Из системы уравнений { 21/(x + 4) + 13/(y + 1) = 2, y − x = 3 } найдите сумму x + y.

1. Из второго уравнения y = x + 3, тогда y + 1 = x + 4 — знаменатели совпадают.Почему так?

   Используй линейное уравнение так, чтобы два разных знаменателя превратились в один: это позволяет сложить дроби.

2. Складываем дроби: 21/(x + 4) + 13/(x + 4) = 34/(x + 4) = 2, откуда x + 4 = 17.
3. x = 13, y = 16, x + y = 29.Почему так?

   Знаменатели не равны нулю: x + 4 = 17, y + 1 = 17. Проверка: 21/17 + 13/17 = 34/17 = 2.

4. Ответ: 29.

Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)

{ 21/(x+4) + 13/(y+1) = 2; y − x = 3 } → { 21/(x+4) + 13/(x+4) = 2; y = x + 3 } → { 34/(x+4) = 2; y = x + 3 } → → { x + 4 = 17; y = x + 3 } → { x = 13; y = 16 }; x + y = 29Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)

Проверь себя

Из системы { a + b = 9; ab = 18 } найдите сумму 1/a + 1/b (десятичной дробью).

1/a + 1/b = (a + b)/(ab).

Итоги

Запомни

• Решение системы — пара (x; y), удовлетворяющая обоим уравнениям; ответ записывай парами.
• Подстановка: из линейного уравнения y = …, затем подставь в другое уравнение.
• Почленное сложение/вычитание убирает общую часть (x², 2x).
• A·B = 0 ⇒ две системы: A = 0 или B = 0.
• x² + y² = (x + y)² − 2xy = (x − y)² + 2xy; (x + y)² − (x − y)² = 4xy.
• x + y = s, xy = p ⇒ x, y — корни уравнения t² − st + p = 0; решение есть ⇔ s² − 4p ≥ 0.
• Система с дробями: знаменатели ≠ 0; 1/m + 1/n = (m + n)/(mn).

Типичные ошибки

«Если произведение равно нулю, достаточно одного случая»

(x − y)(x − 2) = 0 даёт две системы: x = y и x = 2. Найди решения обеих и сравни (задание 12.07.2026).

«Чтобы найти xy, сначала нужно найти x и y»

При x − y = 1 x² − 6xy + y² = (x − y)² − 4xy = 1 − 4xy: xy = 12 без нахождения x и y.

1/m + 1/n = 1/(m + n)

Дроби приводят к общему знаменателю: 1/m + 1/n = (m + n)/(mn).

«x² = 16 ⇒ x = 4»

У квадрата два корня: x = 4 или x = −4. Каждому соответствует своя пара.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Из системы { x + y = 7; xy = 12 } найдите значение выражения x² + y².

x² + y² = (x + y)² − 2xy = 49 − 24 = 25.

2 · Уровень 1

Какая пара — решение системы { x + y = 5; xy = 6 }?

2 + 3 = 5, 2·3 = 6; в остальных парах одно из условий не выполняется.

3 · Уровень 2

Из системы { x − y = 2; x² − y² = 16 } найдите сумму x + y.

x² − y² = (x − y)(x + y) ⇒ 2(x + y) = 16 ⇒ x + y = 8.

4 · Уровень 2

Найдите сумму произведений xy для всех решений системы { (x − 1)(y − 3) = 0; x + y = 5 }.

x = 1 ⇒ y = 4, xy = 4; y = 3 ⇒ x = 2, xy = 6; сумма 10.

5 · Уровень ДИМ

Из системы { x + y = 10; x² + y² = 52 } найдите произведение xy.

(x + y)² = x² + y² + 2xy ⇒ 100 = 52 + 2xy ⇒ xy = 24.

6 · Уровень ДИМ

Из системы { 12/(x − 1) + 6/(y + 2) = 3; x − y = 3 } найдите сумму x + y.

y + 2 = x − 1 ⇒ 18/(x − 1) = 3 ⇒ x = 7, y = 4, x + y = 11.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 10; B-16, C-20, D-18
2. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 5; B-3, C-15, D-7
3. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 78; B-78, C-78, D-77
4. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 18; B-7, C-18, D-18
5. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 6; B-19, C-21, D-16

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.