Loqarifm: üstlü funksiyanın tərsi

Loqarifm sualın cavabıdır: “a-nı neçənci dərəcəyə yüksəltmək lazımdır ki, x alınsın?” Məsələn, log₂ 8 = 3, çünki 2³ = 8. Ümumi şəkildə: loga x = y ⇔ ay = x.

Burada a > 0, a ≠ 1 və x > 0 olmalıdır — mənfi ədədin və sıfırın loqarifmi yoxdur. y = loga x qrafiki y = ax qrafikinin y = x düz xəttinə nəzərən güzgü əksidir. lg x — 10 əsaslı loqarifmdir.

loga x = y ⇔ ay = xtərif: loqarifm — üstdürloga 1 = 0, loga a = 1çünki a⁰ = 1, a¹ = ax > 0, a > 0, a ≠ 1tərif oblastı və əsasın şərtiəsası seç və x-i dəyiş ↓log₂ 8 = 3, çünki 2³ = 8: qırmızı və göy nöqtə y = x-ə nəzərən simmetrikdir

Göy — üstlü funksiya y = aˣ, qırmızı — loqarifm y = log_a x, boz qırıq xətt — y = x. Qırmızı nöqtə (x; log_a x) ilə göy nöqtə (log_a x; x) y = x xəttinə nəzərən simmetrikdir.

Əsas, ax8log₂ 8 = 3çünki 2³ = 8

• Funksiyaartandır

Tapşırıq 1 / 3○○○

log₃ x = 2 olsun.

Sürgüləri və düymələri tənzimlə…

Simulyasiyada nə görürsən?

sürgünün dili ilə

• a = 2, x = 8: qırmızı nöqtənin hündürlüyü 3-dür — log₂ 8 = 3. Göy nöqtə isə (3; 8): 2³ = 8. Eyni fakt, iki tərəfdən.
• x = 1 qoy: hər əsas üçün loqarifm 0-dır — bütün qırmızı əyrilər (1; 0) nöqtəsindən keçir.
• x-i 1-dən kiçik et (a = 2): loqarifm mənfi olur. log₂ 0,5 = −1, çünki 2⁻¹ = 0,5.
• a = 10 seç: əyri çox yavaş artır. lg 10 = 1, lg 100 = 2 — 10 dəfə artım loqarifmi cəmi 1 vahid artırır.
• a = 1/2 seç: hər iki funksiya azalandır. Əsas 1-dən kiçikdirsə, böyük x-in loqarifmi daha kiçikdir.

Loqarifmin xassələri

hesablamaları sadələşdirir

Xassə	Düstur	Nümunə
Hasilin loqarifmi	loga(xy) = loga x + loga y	log₂ 32 = log₂ 4 + log₂ 8 = 2 + 3
Nisbətin loqarifmi	loga(x/y) = loga x − loga y	lg 1000 − lg 10 = 3 − 1 = 2
Qüvvətin loqarifmi	loga xk = k · loga x	log₃ 81 = log₃ 3⁴ = 4
Əsas loqarifm eyniliyi	aloga x = x	5log₅ 7 = 7
Yeni əsasa keçid	loga x = logc x / logc a	log₄ 8 = log₂ 8 / log₂ 4 = 3/2

Ən çox edilən səhvlər

qırmızı qələm“log(x + y) = log x + log y”

Cəmin loqarifmi üçün belə qayda yoxdur. Toplanmaya çevrilən hasilin loqarifmidir: log(xy) = log x + log y.

Mənfi ədədin loqarifmini almaq

log₂(−4) mövcud deyil: 2-nin heç bir qüvvəti mənfi olmur. Tənlik həll edəndə tapılan kökləri x > 0 şərti ilə mütləq yoxla.

“Loqarifm mənfi ola bilməz”

Loqarifmin özü mənfi ola bilər: log₂ 0,25 = −2. Mənfi ola bilməyən — loqarifm altındakı ədəddir.

Həll olunmuş məsələlər

əvvəl özün həll et

Məsələ 1

Hesablayın: log₂ 32 və log₃ (1/9).

Həllini göstər2⁵ = 32 → log₂ 32 = 53⁻² = 1/9 → log₃ (1/9) = −2

Cavab: 5 və −2.

Məsələ 2

Tənliyi həll edin: log₂(x − 1) = 3.

Həllini göstərx − 1 = 2³ = 8 → x = 9Yoxlama: x − 1 = 8 > 0 ✓

Cavab: x = 9. Kökü həmişə tərif oblastı ilə yoxla.

Real həyatda: səsin gücü desibellə

loqarifm qulağımızdaPıçıltı ≈ 30 dB — müqayisə üçün başlanğıc

Səsin gücünü desibellə (dB) ölçürlər. Bu, loqarifmik şkaladır: L = 10 · lg(I / I₀). Hər +10 dB səsin intensivliyini 10 dəfə artırır, ona görə 60 dB-lik söhbət 30 dB-lik pıçıltıdan 1000 dəfə güclüdür. Uzun müddət təxminən 85 dB-dən yüksək səsdə qalmaq eşitməyə ziyan vura bilər. Turşuluq (pH) və zəlzələnin maqnitudası da loqarifmik şkala ilə ölçülür.

Özünü yoxla: 5 sınaq testi

5 sual

1log₃ 81 nəyə bərabərdir?

2log₅ 1 nəyə bərabərdir?

3lg 1000 nəyə bərabərdir?

4log₂ x ifadəsi x-in hansı qiymətlərində mənalıdır?

5Açıq tipli: log₂(x + 3) = 4 tənliyini həll edin. Cavabı rəqəmlə yaz.

Mənbə

DİM 2026 qəbul imtahanı proqramı: Riyaziyyat → Üstlü və loqarifmik funksiyalar: ədədin loqarifmi, loqarifmin xassələri, loqarifmik funksiya və onun qrafiki, loqarifmik tənliklər.

section>