ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Движение и подобие

МатематикаПланиметрия

Текст урока
Планиметрия · Тема 41 / 46

Движение и подобие

Этот урок пройдём через историю спектакля: школа готовится к праздничному представлению. Проектор в классе, переносимая по сцене декорация и тень на задней стене приведут нас к движениям и подобию: симметрия, параллельный перенос, признаки подобия, треугольники, отсекаемые параллельной прямой, отношения периметров и площадей.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 11материал 8–9 классов

После урока ты сможешь

  • находить координаты образа точки при симметрии, параллельном переносе и повороте;
  • доказывать подобие треугольников по трём признакам и правильно выбирать соответственные стороны;
  • вычислять отрезки с помощью подобных треугольников, отсекаемых параллельной прямой;
  • применять отношение периметров (k) и площадей (k²).

Перед началом вспомни

  • Сумма углов треугольника 180°; вертикальные углы равны.
  • При параллельных прямых соответственные и накрест лежащие углы равны.
  • Основное свойство пропорции: a/b = c/d ⇒ ad = bc.

Содержание

  1. ВведениеСитуация: если отодвинуть проектористория и предположение
  2. Глава 1Движения: симметрия, параллельный перенос, поворотдвижение · x′ = x + a · ДИМ 09.03.2025
  3. Глава 2Подобные треугольники и признаки подобияk · три признака · ДИМ 24.05.2026, 13.07.2025
  4. Глава 3Параллельная прямая и подобные треугольникиMN ∥ AC · тень · ДИМ 09.03.2026
  5. Глава 4Периметры и площади подобных фигурP → k, S → k² · ДИМ 01.06.2025
  6. Глава 5Высота, проведённая к гипотенузеCD² = AD·DB · ДИМ 12.07.2026
  7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 5, с ответом и официальным пояснением
  8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: если отодвинуть проектор

История

В школе готовят праздничный спектакль. После уроков ученики проверяют слайды в классе: проектор на парте проецирует на экран изображение треугольника. Проектор стоит в 2 м от экрана, ширина изображения — 1,2 м.

Спектакль будет в большом зале, там проектор встанет вдвое дальше от экрана — в 4 м. Ширина изображения удвоится. А во сколько раз увеличится его площадь? Свет распределится по большей площади — насколько поблёкнет картинка?

С расстояния 2 м проектор даёт изображение шириной 1,2 м. А с 4 м?Сначала предположи

Как ты думаешь, во сколько раз увеличится площадь изображения? Выбери ответ — проверим вместе в 4-й главе.

Глава 1

Движения: симметрия, параллельный перенос, поворот

История

На следующий день репетиция идёт на сцене. Режиссёр велел нарисовать на полу сцены белыми линиями две оси и разбить пол на квадраты по 1 м. Теперь он может назвать место любой декорации координатами.

Декорация-дерево стоит в точке A(−2; 1). Режиссёр говорит: «Перенесите дерево на 3 м вправо и на 2 м вглубь». Каковы координаты нового места и меняются ли размеры дерева при переносе?

Координатная сетка на полу сцены: дерево переносят из точки A(−2; 1) на 3 м вправо и на 2 м вглубь.

Преобразование, переводящее точки фигуры в новые точки по определённому правилу, называется движением, если оно сохраняет расстояния между точками. При движении отрезок переходит в равный отрезок, угол — в равный угол, фигура — в равную фигуру. В школьном курсе изучают четыре движения.

Синий флажок — исходная фигура, красный — его образ. Размеры не меняются ни в одном случае.Четыре движения

Осевая симметрия: точка переходит по перпендикуляру к оси на другую сторону, на то же расстояние. Относительно Ox (x; y) → (x; −y), относительно Oy (x; y) → (−x; y).Центральная симметрия (относительно O): (x; y) → (−x; −y); точка O — середина отрезка, соединяющего точку и её образ.Параллельный перенос на вектор (a; b): x′ = x + a, y′ = y + b — все точки сдвигаются в одном направлении на одно и то же расстояние.Поворот вокруг точки O на 90° (против часовой стрелки): (x; y) → (−y; x); поворот на 180° — это и есть центральная симметрия.

История

Команда режиссёра — параллельный перенос на вектор (3; 2): x′ = −2 + 3 = 1, y′ = 1 + 2 = 3, новое место дерева A′(1; 3). Дерево просто сдвинулось — ни высота, ни ветки не изменились, потому что параллельный перенос — движение.

Пример 1

Найдите точку, симметричную точке K(2; −5) относительно оси Oy, точку, симметричную относительно O, и образ при повороте вокруг O на 90°.

  1. Относительно Oy меняет знак абсцисса: K₁(−2; −5).Почему так?

    Ось Oy — прямая x = 0; точка удалена от неё на |x| = 2, образ — на том же расстоянии по другую сторону.

  2. Относительно O меняют знак обе координаты: K₂(−2; 5).
  3. Поворот на 90°: (x; y) → (−y; x) = (5; 2).Почему так?

    Проверка: OK = √(4 + 25) = √29, и расстояние от O до (5; 2) тоже √29 — поворот сохраняет расстояние.

  4. Ответ: (−2; −5), (−2; 5), (5; 2).
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2025

В какую точку переходит точка A(−3; 2) при параллельном переносе, заданном формулами x′ = x + 4 и y′ = y + 1?

A) (−1; −3)B) (1; 3)C) (2; 3)D) (−3; 2)E) (−1; 3)
  1. Формулы задают параллельный перенос на вектор a = 4, b = 1: к абсциссе прибавляется 4, к ординате — 1.Почему так?

    x′ и y′ — координаты новой точки, x и y — старой.

  2. x′ = −3 + 4 = 1, y′ = 2 + 1 = 3.
  3. Ответ: (1; 3) (вариант B).
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2025)
{ x → x′ = x + 4 ; y → y′ = y + 1 }A(−3; 2) → A′(−3 + 4; 2 + 1) = A′(1; 3)Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

Параллельный перенос переводит точку A(1; −2) в точку A′(4; 3). В какую точку перейдёт при этом точка B(−2; 0)? Запишите ординату образа.

Вектор переноса (3; 5): все точки сдвигаются одинаково.

Глава 2

Подобные треугольники и признаки подобия

Движение не меняет фигуру, а проектор увеличивает изображение: форма остаётся той же, а все размеры меняются в одно и то же число раз. Такие фигуры называются подобными.

Определение

Треугольники, у которых углы соответственно равны, а соответственные стороны пропорциональны, называются подобными: △A₁B₁C₁ ~ △ABC, A₁B₁/AB = B₁C₁/BC = A₁C₁/AC = k. Число k — коэффициент подобия. Соответственные стороны — это стороны, лежащие против равных углов.

Одинаковое число дуг — равные углы; против равных углов лежат соответственные стороны.Признаки подобия треугольников

По двум углам: если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны.По двум сторонам и углу между ними: если две стороны пропорциональны, а углы между ними равны.По трём сторонам: если три стороны пропорциональны.

Пример 2

Подобны ли треугольники со сторонами 3, 4, 6 и 4,5; 6; 9? Найдите коэффициент подобия.

  1. Упорядочиваем стороны по возрастанию и сравниваем отношения: 4,5/3 = 1,5; 6/4 = 1,5; 9/6 = 1,5.Почему так?

    Меньшую сторону сравниваем с меньшей, большую — с большей: они лежат против равных углов.

  2. Все три отношения равны: треугольники подобны по трём сторонам.
  3. Ответ: подобны, k = 1,5.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 24.05.2026

В треугольнике ABC AB = BD, AC = BC, AD = 3, DC = 9. Найдите периметр треугольника ABC.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 24B) 30C) 32D) 19E) 20
  1. Так как AB = BD, треугольник ABD равнобедренный: ∠BAD = ∠BDA. Так как AC = BC, треугольник ABC равнобедренный: ∠BAC = ∠ABC.Почему так?

    В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

  2. В треугольниках ABD и ACB угол A общий, ∠ADB = ∠BAD = ∠ABC. По двум углам △ABD ~ △ACB.Почему так?

    Соответствие: A ↔ A, B ↔ C, D ↔ B. Оба треугольника равнобедренные с углом при основании A.

  3. Соответственные стороны: AB/AC = AD/AB, AB² = AD·AC = 3·12 = 36, AB = 6.
  4. BC = AC = 12, периметр P = 6 + 12 + 12 = 30.
  5. Ответ: 30 (вариант B).
Официальное пояснение ДИМ (24.05.2026)
Так как AB=BD, в △ABD ∠BAD = ∠BDA. Аналогично из условия AC=BC в △ABC ∠BAC = ∠CBA. Из равенства двух углов △ABD ~ △ACB. Из подобия AB/AC = AD/AB, AB/(3+9) = 3/AB, AB² = 36, AB = 6. Тогда P△ABC = 12 + 12 + 6 = 30Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Отрезки AB и CD пересекаются в точке E. Если AE = 2√5, AC = 4, DE = 3EC и BE = 6√5, найдите длину отрезка BD.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 3√5B) 15√5C) 12D) 12√5E) 18
  1. Углы AEC и BED вертикальные, поэтому они равны.Почему так?

    При пересечении двух прямых противолежащие углы равны.

  2. Стороны при этом угле: BE/AE = 6√5 / 2√5 = 3, DE/CE = 3.Почему так?

    Внимание: соответственные стороны — AE и BE, CE и DE: каждая пара лежит на одной прямой.

  3. Две стороны пропорциональны, углы между ними равны: по второму признаку △AEC ~ △BED, k = 3.
  4. AC и BD — соответственные стороны: BD = 3·AC = 3·4 = 12.
  5. Ответ: 12 (вариант C).
Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)
Углы AEC и DEB конгруэнтны как вертикальные. Кроме того, так как DE=3CE, BE=3AE, … треугольники AEC и BED подобны и BD=3AC. Тогда BD=12.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

△ABC ~ △A₁B₁C₁, AB = 4, BC = 6, A₁B₁ = 10. Найдите B₁C₁.

k = 10 : 4 = 2,5.

Глава 3

Параллельная прямая и подобные треугольники

История

Генеральная репетиция. На полу сцены стоит прожектор: он освещает актёра снизу и отбрасывает на заднюю стену большую тень. Режиссёр хочет знать, поместится ли тень на стене: её высота 4,5 м.

Рост актёра 1,6 м, он стоит в 2 м от прожектора, а задняя стена — ещё в 3 м за актёром. Какова высота тени H?

Актёр и стена вертикальны, то есть параллельны; луч света образует два подобных треугольника.Теорема

Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает треугольник, подобный данному: если в ABC MN ∥ AC (M ∈ AB, N ∈ BC), то △MBN ~ △ABC и BM/BA = BN/BC = MN/AC.

Причина — признак по двум углам: угол B общий, а соответственные углы при параллельных прямых равны (∠BMN = ∠BAC). Самая частая ошибка — брать не всю сторону, а её часть. Сторона малого треугольника — BN, а большого — BC = BN + NC, а не NC.

История

Прожектор, ноги и голова актёра образуют треугольник, а прожектор, основание стены и верх тени — больший треугольник. Актёр параллелен стене, значит, треугольники подобны: H/1,6 = (2 + 3)/2, откуда H = 1,6·2,5 = 4 м. Тень помещается на стене высотой 4,5 м, но до верхнего края стены остаётся всего 0,5 м.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2026

В треугольнике ABC MN∥AC, AC=20 см, BN=8 см и NC=17 см. Найдите MN.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 6,4 смB) 6,8 смC) 10 смD) 8 смE) 5,2 см
  1. Так как MN ∥ AC, то △MBN ~ △ABC (угол B общий, углы при M и A — соответственные).Почему так?

    Параллельные прямые образуют с секущей равные соответственные углы.

  2. Сторона большого треугольника: BC = BN + NC = 8 + 17 = 25.Почему так?

    BN — сторона малого треугольника, BC — большого; NC не является стороной ни одного из них.

  3. MN/AC = BN/BC = 8/25, MN = 20·8/25 = 6,4.
  4. Ответ: 6,4 см (вариант A).
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2026)
Так как MN∥AC, ΔMBN∼ΔABC, поэтому MN/AC = BN/BC, MN/20 = 8/25, MN=6,4.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

Тень столба высотой 6 м равна 4 м. Какой длины в тот же момент тень ученика ростом 1,5 м?

Солнечные лучи параллельны: 6/4 = 1,5/x.

Глава 4

Периметры и площади подобных фигур

Вернёмся к вопросу из введения. Проектор увеличивает изображение лучами, выходящими из одной точки: вдвое дальше от лампы каждый отрезок становится вдвое длиннее. А площадь?

Теорема

Отношение периметров подобных фигур с коэффициентом k равно k, а отношение площадей — k²:

P₁ : P₂ = k,    S₁ : S₂ = k²

Если сторона выросла в 2 раза, квадрат делится на 4 маленьких квадрата, в 3 раза — на 9.

Причина проста: площадь — произведение двух линейных размеров (например, ½·основание·высота), каждый растёт в k раз, а произведение — в k·k = k² раз. В лаборатории меняй ползунок k: лучи «проецируют» малый треугольник, периметр растёт в k раз, площадь — в k² раз.

Лаборатория · проектор: увеличь в k разкоэффициент подобия k2История

В большом зале k = 4 : 2 = 2: ширина изображения 1,2·2 = 2,4 м, а площадь больше в k² = 4 раза. Свет проектора распределяется по вчетверо большей площади, поэтому картинка станет примерно вчетверо тусклее — ученики решают задёрнуть в зале шторы.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

Найдите отношение площадей S₁ : S₂ двух подобных треугольников, отношение периметров которых P₁ : P₂ = 2 : 1.

A) 4:1B) 3:2C) 3:1D) 5:2E) 2:1
  1. Отношение периметров равно коэффициенту подобия: k = P₁ : P₂ = 2.Почему так?

    Периметр — линейная величина, сумма сторон; каждая сторона меняется в k раз.

  2. Отношение площадей: S₁ : S₂ = k² = 4 : 1.
  3. Ответ: 4:1 (вариант A).
Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)
Известно, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия, а отношение площадей — квадрату коэффициента подобия. P₁/P₂ = k ⇒ S₁/S₂ = k². P₁/P₂ = k = 2/1 ⇒ S₁/S₂ = (2/1)² = 4 : 1Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)
Пример 3

Площади двух подобных треугольников равны 18 и 50. Периметр первого равен 12. Найдите периметр второго.

  1. k² = 50 : 18 = 25/9, откуда k = 5/3.Почему так?

    Чтобы найти k по отношению площадей, извлекаем корень.

  2. P₂ = 12·5/3 = 20.
  3. Ответ: 20.
Проверь себя

Соответственные стороны подобных многоугольников равны 4 и 6. Площадь меньшего 20. Найдите площадь большего.

k = 1,5; k² = 2,25.

Глава 5

Высота, проведённая к гипотенузе

Одно из самых красивых применений подобия — в прямоугольном треугольнике. Если из вершины прямого угла провести высоту CD к гипотенузе, треугольник разделится на две части, и все три треугольника — большой и два малых — окажутся подобными.

У каждого малого треугольника один острый угол общий с большим, а другой угол прямой — признак по двум углам.Пропорциональные отрезки

△ACD ~ △CBD ~ △ABC; отсюда CD² = AD·DB, AC² = AD·AB, BC² = BD·AB.

Пример 4

Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 4 и 9. Найдите высоту и меньший катет.

  1. CD² = 4·9 = 36, CD = 6.Почему так?

    Из подобия ACD ~ CBD: AD/CD = CD/DB.

  2. Меньший катет прилегает к меньшему отрезку: AC² = AD·AB = 4·13 = 52, AC = 2√13.
  3. Ответ: 6 и 2√13.
Пример доказательстваДИМ · 12.07.2026

В треугольнике ABC ∠C = 90°, CD — высота, проведённая к гипотенузе. Докажите, что S△ACD/S△BCD = AC²/BC².

  1. У обоих треугольников высота CD: S△ACD = ½·AD·CD, S△BCD = ½·DB·CD.
  2. Отношение: S△ACD/S△BCD = AD/DB.Почему так?

    Площади треугольников с общей высотой относятся как основания.

  3. Из пропорциональных отрезков: AC² = AD·AB, BC² = BD·AB. При делении AB сокращается: AC²/BC² = AD/DB.Почему так?

    Короткий путь: ACD и CBD подобны, AC и BC — их соответственные гипотенузы, k = AC/BC, отношение площадей k².

  4. Значит, S△ACD/S△BCD = AC²/BC².
  5. Что и требовалось доказать.
Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)
Доказательство: Сделаем рисунок по условию задачи. Здесь CD ⊥ AB. I способ: S△ACD = ½·AD·CD; S△BCD = ½·DB·CD. Высота CD, проведённая из вершины прямого угла, делит прямоугольный треугольник ABC на два треугольника, подобных ему. Так как △ACD ~ △CBD ~ △ABC, AC² = AD·AB; BC² = BD·AB. Тогда, подставив приведённые выше выражения площадей в отношение, получим S△ACD/S△BCD = (AD·CD)/(DB·CD) = AD/DB = (AD·AB)/(DB·AB) = AC²/BC². … Примечание. Утверждение задачи на самом деле является частным случаем утверждения: «Отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения соответствующих линейных размеров, или квадрату коэффициента подобия». Поэтому доказательство, в котором показано, что △ACD и △BCD подобны, и S△ACD/S△BCD = k² = (AC/BC)² = AC²/BC², тоже верно.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8, высота отсекает от неё отрезок длиной 2. Найдите катет, прилежащий к этому отрезку.

AC² = 2·8.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 19.04.2026

Сторона первого из двух подобных многоугольников равна 6, а соответственная сторона второго — 10. Периметр первого многоугольника равен 42. Найдите периметр второго многоугольника.

A) 48B) 60C) 52,2D) 25,2E) 70Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 70 (вариант E).

Об отношении соответственных сторон и периметров подобных фигур известно, что a₁/a₂ = P₁/P₂ ⇒ 6/10 = 42/P₂ ⇒ P₂ = (42·5)/3 = 70Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)
ДИМ · 15.03.2026

Корабли, находящиеся в точках A и B моря, движутся по прямым AE и BD. Если DE=12 км, BD=20 км и AD=9 км, найдите расстояние от точки C пересечения траекторий до пункта D (точки D и E лежат на одной прямой).

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 7,2 км.

В прямоугольном треугольнике BED по теореме Пифагора BE = √(BD² − DE²) = √(20² − 12²) = √256 = 16 (км). Если принять DC=x и BC=20 − x, то из подобия треугольников ADC и EBC (ΔADC ∼ ΔEBC) AD/EB = DC/BC ⇒ 9/16 = x/(20 − x) ⇒ x = 7,2Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
ДИМ · 06.07.2025

ABC — прямоугольный треугольник, ADE — равнобедренный треугольник с основанием AE. Если BF = 6, CF = 12 и EF = 20, найдите AB.

A) 30B) 25C) 40D) 28E) 36Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 30 (вариант A).

Так как △ADE равнобедренный, обозначим ∠DAE = ∠DEA = α. По признаку подобия по двум углам можно записать △ACB ∼ △ECF. Отсюда:BC/AB = FC/EF18/AB = 12/20AB = 30Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 05.07.2026

На данной фигуре AB = 16, BE = 7, CD = 9, CD ∥ AB и ED ∥ AC. Найдите длину отрезка CE.

A) 6B) 8C) 9D) 10E) 7Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 9 (вариант C).

I способ: Обозначим через K точку пересечения прямой, проходящей через точки E и D, со стороной AB. По условию KE∥AC. Тогда, так как AKDC — параллелограмм, AK = CD = 9. KB = AB − AK = 16 − 9 = 7. Треугольник KBE подобен треугольнику ABC. Так как ΔKBE равнобедренный, ΔABC тоже равнобедренный. Тогда AB = BC = 16, EC = BC − BE = 16 − 7 = 9. II способ: Так как ED∥AC и BC — секущая, обозначим ∠DEC = ∠BCA = α; так как AB∥CD и BC — секущая, обозначим ∠ABC = ∠DCE = β. По признаку подобия по двум углам ΔABC ~ ΔDCE. Тогда AB/DC = BC/CE = AC/DE; 16/9 = (7 + CE)/CE ⇒ CE = 9Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 07.06.2026

Цилиндрический сосуд высотой 20 см наполовину заполнен жидкостью, и в него помещена тонкая палочка длиной, равной высоте цилиндра. Один конец палочки находится на окружности нижнего основания, а другой — на боковой стенке сосуда на расстоянии 4 см от верхнего основания. Найдите длину части палочки, находящейся в жидкости.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 12,5 см.

По условию BM=10 см, CD=4 см, CM=6 см, CB=10+6=16 см. Обозначим AN=x, NC=20-x. Известно, что при пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью получающиеся прямые пересечения параллельны. Плоскость, проходящая через поверхность жидкости в цилиндре, и нижнее основание цилиндра — параллельные плоскости, и при пересечении их плоскостью, проходящей через прямые CA и CB, получаются параллельные прямые MN и AB: MN// AB. Поэтому △ABC ~ △NMC. Отсюда CB/CM = AC/NC, значит 16/6 = 20/(20 − x) ⇒ 40 − 2x = 15, x = 12,5.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)
Итоги

Запомни

  • Движение сохраняет расстояния: симметрия, параллельный перенос (x′ = x + a, y′ = y + b), поворот (90°: (x; y) → (−y; x)).
  • Подобие: углы равны, соответственные стороны пропорциональны, a₁ : a = k.
  • Признаки: по двум углам, по двум сторонам и углу, по трём сторонам; соответственные стороны лежат против равных углов.
  • MN ∥ AC → △MBN ~ △ABC, MN/AC = BN/BC (вся сторона!).
  • Отношение периметров k, площадей k².
  • Высота к гипотенузе: CD² = AD·DB, AC² = AD·AB.

Типичные ошибки

«Отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия»

Отношение периметров равно k, а площадей — k²: если стороны выросли в 2 раза, площадь выросла в 4 раза.

“MN/AC = BN/NC”

Берутся целые стороны подобных треугольников: MN/AC = BN/BC, где BC = BN + NC.

«Соответственные стороны — те, у которых буквы стоят на тех же местах»

Соответственные стороны лежат против равных углов. В записи △ABD ~ △ACB вершина D соответствует B — сначала сопоставь углы.

«При параллельном переносе размеры фигуры меняются»

Параллельный перенос — движение: расстояния и углы сохраняются, меняется только положение.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Образ точки P(3; −1) при параллельном переносе x′ = x − 2, y′ = y + 5:

(3 − 2; −1 + 5) = (1; 4).

2 · Уровень 1

Площадь меньшего из двух подобных треугольников с коэффициентом 3 равна 5. Площадь большего:

5·3² = 45.

3 · Уровень 2

Точка, в которую переходит A(4; −1) при повороте вокруг O на 90° против часовой стрелки:

(x; y) → (−y; x) = (1; 4).

4 · Уровень 2

В треугольнике ABC MN ∥ AC, M ∈ AB, N ∈ BC, BM = 4, MA = 6, MN = 5. Найдите AC.

AC/MN = BA/BM = 10/4 → AC = 12,5.

5 · Уровень ДИМ

Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 4 и 16. Площадь треугольника:

CD = √(4·16) = 8; S = ½·20·8 = 80.

6 · Уровень ДИМ

Основания трапеции равны 6 и 15, O — точка пересечения диагоналей. Площадь треугольника, образованного меньшим основанием и точкой O, равна 8. Площадь треугольника, образованного большим основанием и O:

Треугольники подобны, k = 15/6 = 2,5; S = 8·2,5² = 50.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 61; B-70, C-70, D-70
  2. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 3; B-19, C-10, D-11
  3. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 6; B-1, C-4, D-17
  4. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 18; B-4, C-5, D-8
  5. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 62; B-64, C-61, D-68
  6. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 83; B-83, C-83, D-83
  7. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 62; B-65, C-69, D-71
  8. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 1; B-4, C-4, D-7
  9. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 28; B-28, C-28, D-28
  10. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 20; B-19, C-17, D-14
  11. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 30; B-30, C-30, D-30

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки