Метод координат

Планиметрия · Тема 40 / 46

Метод координат

Этот урок пройдём через историю практики: ученик работает в отделе городского планирования. Две булавки на карте, дождеватель в парке и две дороги на берегу реки приведут нас к главным формулам метода координат: расстояние, середина отрезка, уравнения окружности и прямой, координаты в пространстве.

≈ 45 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 8материал 8–10 классов

После урока ты сможешь

• определять четверть точки, её расстояния до осей и симметричные точки;
• вычислять расстояние между точками и середину отрезка (на плоскости и в пространстве);
• находить центр и радиус окружности по её уравнению (выделяя полные квадраты);
• находить точки пересечения прямых и площадь образованного ими треугольника.

Перед началом вспомни

• Теорема Пифагора: a² + b² = c².
• Формула сокращённого умножения: (x − a)² = x² − 2ax + a².
• Линейные уравнения и системы двух уравнений с двумя неизвестными.
• Модуль числа: |−3| = 3.

Содержание

1. ВведениеСитуация: две булавки на картеистория и предположение
2. Глава 1Координатная плоскость: четверти, расстояние до осей, симметриячетверти · |x|, |y| · симметрия · ДИМ 15.03.2026
3. Глава 2Расстояние между точками и середина отрезкаAB = √(Δx² + Δy²) · середина · ДИМ 19.04.2026
4. Глава 3Уравнение окружности(x − a)² + (y − b)² = R² · полный квадрат · ДИМ 05.07.2026
5. Глава 4Прямые: точки пересечения и площадь треугольникаy = kx + b · пересечение · площадь · ДИМ 12.07.2026
6. Глава 5Координаты в пространстветри координаты · расстояние в пространстве · ДИМ 06.07.2025
7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 3, с ответом и официальным пояснением
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: две булавки на карте

История

Этим летом ученик проходит практику в отделе городского планирования. На столе развёрнута большая карта города с координатной сеткой: начало O — центральная площадь, одна клетка — 1 км.

Архитектор втыкает две булавки: школа в точке A(1; 2), новый стадион — в точке B(7; 10). Улицы идут вдоль линий сетки, поэтому пешком путь составляет 6 + 8 = 14 км. Архитектор спрашивает: «А каково расстояние между школой и стадионом по прямой? Именно так мы проложим велодорожку».

На карте школа A(1; 2) и стадион B(7; 10). По улицам путь 14 км, а по прямой?Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько километров между школой и стадионом по прямой? Выбери ответ — посчитаем вместе во 2-й главе.

Глава 1

Координатная плоскость: четверти, расстояние до осей, симметрия

Сетка на карте — это прямоугольная система координат: две перпендикулярные оси — ось абсцисс Ox (горизонтальная) и ось ординат Oy (вертикальная) — пересекаются в точке O, начале координат. Положение каждой точки задаётся двумя числами: A(x; y); первое число — абсцисса, второе — ордината.

Оси делят плоскость на четыре четверти. Четверти нумеруются против часовой стрелки, и в каждой знаки координат определены: I — (+; +), II — (−; +), III — (−; −), IV — (+; −). Точки на осях не принадлежат ни одной четверти: на Ox y = 0, на Oy x = 0.

Расстояние от точки до осей

Расстояние от точки A(x; y) до оси Ox равно |y|, а до оси Oy — |x|. Внимание: расстояние до оси Ox даёт ордината, а до оси Oy — абсцисса.

При симметрии относительно Ox меняет знак ордината, относительно Oy — абсцисса, относительно O — обе координаты.Симметричные точки

Точка, симметричная точке (x; y): относительно оси Ox — (x; −y), относительно оси Oy — (−x; y), относительно начала координат — (−x; −y). В последнем случае O — середина отрезка, соединяющего симметричные точки.

Пример 1

В какой четверти лежит точка K(−3; 5)? Найдите расстояния от неё до осей и точку, симметричную ей относительно оси Oy.

1. Абсцисса отрицательна, ордината положительна: знаки (−; +), значит, точка K во II четверти.Почему так?

   II четверть лежит левее оси Oy и выше оси Ox.

2. Расстояние до оси Ox |5| = 5, до оси Oy |−3| = 3.Почему так?

   Перпендикуляр к оси Ox вертикален, его длина — «высота» точки, т. е. |y|.

3. При симметрии относительно Oy меняет знак абсцисса: K′(3; 5).
4. Ответ: II четверть; 5 и 3; K′(3; 5).

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 15.03.2026

Расстояние от точки A, лежащей в IV четверти, до оси абсцисс равно 4, а до оси ординат — 6. Найдите координаты точки A.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) (–4; 6)B) (2; 3)C) (6; –4)D) (4; 6)E) (3; 2)

1. В IV четверти x > 0, y < 0.Почему так?

   Если заранее записать знаки четверти, модули раскрываются без ошибок.

2. Расстояние до оси Ox |y| = 4, значит y = −4.Почему так?

   Расстояние до оси Ox даёт не абсцисса, а ордината — в этом ловушка задания.

3. Расстояние до оси Oy |x| = 6, значит x = 6.
4. Ответ: A(6; −4) (вариант C).

Официальное пояснение ДИМ (15.03.2026)

То, что расстояние от точки A, лежащей в IV четверти, до оси абсцисс равно 4, означает, что ордината этой точки равна –4, а то, что расстояние до оси ординат равно 6, — что её абсцисса равна 6. Значит, координаты точки A будут (6; –4).Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Проверь себя

Расстояние от точки, лежащей в III четверти, до оси Ox равно 2, а до оси Oy — 5. Найдите сумму её абсциссы и ординаты.

В III четверти обе координаты отрицательны: точка (−5; −2).

Глава 2

Расстояние между точками и середина отрезка

Вернёмся к карте. Если провести через A и B прямые, параллельные осям, получится прямоугольный треугольник: AB — его гипотенуза, а катеты — разности координат. Остальное делает теорема Пифагора.

Катеты — разности координат, середина — среднее арифметическое координат.Расстояние между двумя точками

Расстояние между точками A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂):

AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

История

Вопрос архитектора: катеты 7 − 1 = 6 и 10 − 2 = 8, значит AB = √(6² + 8²) = √100 = 10. Велодорожка будет длиной 10 км — на 4 км короче пути по улицам (14 км). Это треугольник 6, 8, 10 — удвоенная тройка 3, 4, 5.

Середина отрезка

Координаты середины отрезка AB равны средним арифметическим координат его концов:

M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2)

Посередине велодорожки архитектор хочет поставить пункт отдыха: M((1 + 7)/2; (2 + 10)/2) = M(4; 6). В лаборатории двигай точки сам: выбери кнопкой A или B, меняй её координаты ползунками и смотри, как меняются расстояние и середина.

Лаборатория · две точки: расстояние и серединаабсцисса x4ордината y7Пример 2

Даны точки A(−3; 4) и B(2; −8). Найдите длину отрезка AB и его середину.

1. Разности: x₂ − x₁ = 2 − (−3) = 5, y₂ − y₁ = −8 − 4 = −12.Почему так?

   Вычитая отрицательное число, ставь скобки: 2 − (−3) = 5. Знак разности на расстояние не влияет — она возводится в квадрат.

2. AB = √(5² + 12²) = √169 = 13.
3. Середина: M((−3 + 2)/2; (4 − 8)/2) = M(−0,5; −2).
4. Ответ: AB = 13, M(−0,5; −2).

Формулу используют и в обратную сторону: если известны середина M и один конец A, то второй конец — B(2x_M − x_A; 2y_M − y_A) («повтори шаг от A до M ещё раз»).

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

Центры двух окружностей находятся в точке O(2;5); диаметр одной из них — AB, другой — CD. Если A(m; n+1), B(n; 2m) и C(m; n), найдите координаты точки D.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Центр окружности — середина любого её диаметра, значит, O(2; 5) — середина и AB, и CD.Почему так?

   Диаметр — хорда, проходящая через центр; центр делит его на два радиуса.

2. Для AB: (m + n)/2 = 2, (n + 1 + 2m)/2 = 5, т. е. m + n = 4, 2m + n = 9.
3. Вычитаем из второго уравнения первое: m = 5, тогда n = −1. Значит, C(5; −1).Почему так?

   Проверка: A(5; 0), B(−1; 10), середина ((5 − 1)/2; (0 + 10)/2) = (2; 5).

4. Для CD по формуле второго конца: D(2·2 − 5; 2·5 − (−1)) = D(−1; 11).
5. Ответ: D(−1; 11).

Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)

Известно, что центры обеих окружностей находятся в точке O(2;5). Значит, эта точка — середина диаметров. На этом основании составляется следующая система уравнений. { (m + n)/2 = 2; (2m + n + 1)/2 = 5 } ⇒ { m + n = 4; 2m + n = 9 } ⇒ { m = 5; n = −1 }; { (5 + x)/2 = 2; (−1 + y)/2 = 5 } ⇒ { x = −1; y = 11 }Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)

Проверь себя

Найдите расстояние между точками P(−1; 3) и Q(5; −5).

Разности 6 и −8.

Проверь себя

Середина отрезка AB — M(1; −2), A(4; 3). Найдите ординату точки B.

y_B = 2·(−2) − 3.

Глава 3

Уравнение окружности

История

На следующий день ученик едет в новый парк. Здесь две дорожки пересекаются под прямым углом; инженеры приняли их за оси координат и отметили каждый метр. На газоне стоит вращающийся дождеватель, он поливает круглый участок.

На табличке написано уравнение границы политого участка: x² + y² − 6x − 8y = 0. Вопрос: где стоит дождеватель, на сколько метров бьёт вода и какая площадь газона поливается?

Дорожки — оси координат; граница политого круга задана уравнением x² + y² − 6x − 8y = 0.

Окружность — множество точек, удалённых от центра на одно и то же расстояние R. Пусть центр C(a; b), а M(x; y) — любая точка окружности. Формула расстояния даёт CM = R; возводим обе части в квадрат.

Уравнение окружности — это просто формула расстояния до центра.Уравнение окружности

Уравнение окружности с центром в точке C(a; b) и радиусом R:

(x − a)² + (y − b)² = R²

В скобках уравнения стоит знак минус. Поэтому центр окружности (x + 3)² + (y − 1)² = 20 — точка (−3; 1), ведь x + 3 = x − (−3); а радиус равен √20 = 2√5, а не 20.

Если уравнение дано в раскрытом виде (x² + y² + Dx + Ey + F = 0), выделяем полные квадраты: собираем вместе слагаемые с x и с y и дополняем до формулы x² − 2ax + a² = (x − a)².

Пример 3

Найдите центр и радиус окружности x² + y² − 6x − 8y = 0 с таблички.

1. Группируем слагаемые: (x² − 6x) + (y² − 8y) = 0.Почему так?

   −6x = −2·3·x, поэтому для x нужно 3²; −8y = −2·4·y, поэтому для y нужно 4².

2. Прибавляем к обеим частям 9 + 16: (x − 3)² + (y − 4)² = 25.Почему так?

   Что прибавили к одной части уравнения, нужно прибавить и к другой.

3. Центр (3; 4), радиус R = √25 = 5. Интересно: 3² + 4² = 25, т. е. окружность проходит через точку O — угол дорожек.
4. Ответ: центр (3; 4), R = 5.

История

Дождеватель стоит в точке (3; 4) — в 3 м и 4 м от дорожек — и бьёт водой на 5 м. Площадь полива S = πR² = 25π ≈ 78,5 м². Вода достаёт ровно до угла дорожек: угол лежит на окружности.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

Найдите площадь круга, уравнение окружности которого x² + y² − 3y = 0 (π = 3).

1. Из слагаемых с x есть только x², его не трогаем. Слагаемые с y дополняем до полного квадрата: 3y = 2·1,5·y, поэтому прибавляем 1,5² = 2,25.Почему так?

   В уравнении нет x в первой степени, значит, абсцисса центра равна 0.

2. Получаем: x² + (y − 1,5)² = 2,25. Центр (0; 1,5), R² = 2,25.
3. Площадь круга: S = πR² = 3·2,25 = 6,75.Почему так?

   Для площади нужен не сам R, а R², — извлекать корень не нужно.

4. Ответ: 6,75.

Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)

Приведём данное уравнение к виду (x − a)² + (y − b)² = r²: x² + y² − 3y = 0 x² + y² − 2·1,5y + 1,5² = 1,5² x² + (y − 1,5)² = 1,5² отсюда r² = 2,25, а площадь соответствующего круга S = π·r² = 3·2,25 = 6,75.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите радиус окружности x² + y² + 4x − 10y + 20 = 0.

(x + 2)² + (y − 5)² = 4 + 25 − 20.

Глава 4

Прямые: точки пересечения и площадь треугольника

История

В последнюю неделю практики отдел работает над проектом нового парка на берегу реки. Линия берега прямая, поэтому её принимают за ось Ox, единица — 1 км. От берега проложат две новые дороги: d₁: y = x + 2 и d₂: y = −2x + 8.

На треугольном участке между дорогами и берегом разобьют парк. Ученику поручают: вычисли площадь парка.

Берег — ось Ox; между дорогами d₁, d₂ и берегом — треугольный участок парка.

Уравнение y = kx + b задаёт прямую: k — угловой коэффициент (при k > 0 прямая возрастает, при k < 0 — убывает), а b — ордината точки пересечения прямой с осью Oy. Если точка лежит на прямой, её координаты удовлетворяют уравнению.

Точки пересечения

Пересечение с осью Ox: подставь y = 0 и найди x. Пересечение с осью Oy: подставь x = 0. Пересечение двух прямых: приравняй правые части, k₁x + b₁ = k₂x + b₂, найди x, затем y из любого уравнения.

Если две вершины треугольника лежат на оси Ox, площадь считается очень просто: основание — модуль разности абсцисс этих вершин, высота — модуль ординаты третьей вершины: S = ½·|x_C − x_A|·|y_B|.

Пример 4

Найдите площадь парка: дороги d₁: y = x + 2, d₂: y = −2x + 8, берег — ось Ox (единица 1 км).

1. Пересечения с Ox: x + 2 = 0 → x = −2, A(−2; 0); −2x + 8 = 0 → x = 4, C(4; 0).
2. Пересечение дорог: x + 2 = −2x + 8 → x = 2, y = 4, B(2; 4).Почему так?

   Проверка: 4 = −2·2 + 8 — B лежит на обеих прямых.

3. Основание AC = 4 − (−2) = 6, высота 4, площадь S = ½·6·4 = 12.
4. Ответ: 12 км².

История

Ученик показывает расчёт архитектору: парк займёт 12 км². Архитектор улыбается: «Видишь? Чтобы выбрать место на карте, мы не сделали ни одного замера — всё сказали координаты».

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

Если уравнения прямых d₁ и d₂ соответственно y = 2x + 6 и y = −x + 12, найдите площадь треугольника ABC.

На рисунке d₁ и d₂ пересекают ось Ox в точках A и C, а друг с другом — в точке B в I четверти.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 64B) 92C) 80D) 75E) 96

1. Точки A и C лежат на Ox, их ордината 0: 2x + 6 = 0 → A(−3; 0); −x + 12 = 0 → C(12; 0).Почему так?

   На рисунке d₁ пересекает Ox в отрицательной части, а d₂ — в положительной; найденные точки этому соответствуют.

2. B — пересечение прямых: 2x + 6 = −x + 12 → x = 2, y = 2·2 + 6 = 10.
3. Основание AC = 12 − (−3) = 15, высота BH = 10; S = ½·15·10 = 75.Почему так?

   Высота — перпендикуляр из B на Ox, её длина равна ординате B.

4. Ответ: 75 (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)

Сначала найдём координаты точек A, B и C. Так как точки A и C лежат на оси абсцисс, их ординаты равны нулю: 2x_A + 6 = y_A = 0; −x_C + 12 = y_C = 0. Отсюда x_A = −3; x_C = 12. Так как прямые d₁ и d₂ пересекаются в точке B, 2x_B + 6 = −x_B + 12 ⇒ x_B = 2. Таким образом, y_B = 2·x_B + 6 = 2·2 + 6 = 10. Опустим из вершины B треугольника ABC высоту BH. Тогда S△ABC = ½·AC·BH = ½|x_C − x_A|·|y_B| = ½·|12 − (−3)|·10 = 75.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми y = 3x − 3, y = −x + 5 и осью Ox.

Пересечения с Ox: x = 1 и x = 5; прямые пересекаются в точке (2; 3).

Глава 5

Координаты в пространстве

Карта — это плоскость, но чтобы знать положение дрона над городом, нужна третья координата — высота. В пространстве берут три взаимно перпендикулярные оси: Ox, Oy, Oz. Точка задаётся тремя числами: P(x; y; z).

Формула расстояния в пространстве получается двукратным применением теоремы Пифагора: сначала «по полу», затем по вертикали.Расстояние в пространстве

Расстояние между точками A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂):

AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)

Середина находится так же, как на плоскости, — каждая из трёх координат усредняется отдельно. Вид точек на осях: на Ox (x; 0; 0), на Oy (0; y; 0), на Oz (0; 0; z).

Пример 5

Найдите расстояние между точками A(1; −2; 3) и B(3; 2; −1).

1. Разности: 3 − 1 = 2, 2 − (−2) = 4, −1 − 3 = −4.
2. AB = √(4 + 16 + 16) = √36 = 6.Почему так?

   Квадраты всегда неотрицательны, поэтому (−4)² = 16.

3. Ответ: 6.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

Найдите сумму координат точки, лежащей на координатной оси Ox и равноудалённой от точек A(–2; 1; 3) и B(3; 4; –1).

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 1,2B) 0,6C) 0,8D) 2,2E) 1,6

1. Искомая точка лежит на Ox: C(x; 0; 0).Почему так?

   У всех точек оси Ox y = 0 и z = 0; остаётся одна неизвестная.

2. Условие CA = CB; чтобы избавиться от корней, приравниваем квадраты: (x + 2)² + 1 + 9 = (x − 3)² + 16 + 1.Почему так?

   Оба расстояния положительны, поэтому их равенство равносильно равенству квадратов.

3. x² сокращается: 4x + 14 = −6x + 26, откуда 10x = 12, x = 1,2.Почему так?

   Проверка: CA² = 3,2² + 10 = 20,24; CB² = (−1,8)² + 17 = 20,24.

4. Сумма координат: 1,2 + 0 + 0 = 1,2.
5. Ответ: 1,2 (вариант A).

Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)

Ясно, что точка, лежащая на координатной оси Ox, имеет координаты вида C(x; 0; 0). По условию CA = CB. По формуле расстояния между двумя точками√((−2 − x)² + 1² + 3²) = √((3 − x)² + 4² + (−1)²)(−2 − x)² + 1² + 3² = (3 − x)² + 4² + (−1)²4 + 4x + x² + 1 + 9 = 9 − 6x + x² + 16 + 110x = 12x = 1,2.Значит, сумма координат точки C(x; 0; 0) равна x + 0 + 0 = 1,2.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите на оси Oz точку, равноудалённую от точек A(1; 0; 2) и B(0; 3; 1). Запишите её аппликату (z).

Точка (0; 0; z): 1 + (z − 2)² = 9 + (z − 1)².

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 25.05.2025

Если точки A(a; 3) и B(2; b) симметричны относительно начала координат, найдите a и b.

A) a = −2, b = 3B) a = 2, b = 3C) a = 2, b = −3D) a = −2, b = −3E) a = 3, b = 2Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: a = −2, b = −3 (вариант D).

Если точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) симметричны относительно начала координат, то точка O(0;0) является серединой отрезка AB. То есть,(x₁ + x₂)/2 = 0, (y₁ + y₂)/2 = 0 ⇒ (a + 2)/2 = 0, (b + 3)/2 = 0 ⇒⇒ a = −2, b = −3Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

ДИМ · 09.03.2026

Если середина отрезка, соединяющего точки A(k² − 4k; k²) и B(12 − 4k; 32 − 12k), лежит на отрицательной части оси абсцисс, найдите k.

Середина лежит на отрицательной части оси абсцисс: её ордината равна 0, абсцисса отрицательна.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 4.

Координаты середины отрезка AB: x = (k² − 4k + 12 − 4k)/2 = (k² − 8k + 12)/2, y = (k² + 32 − 12k)/2 = (k² − 12k + 32)/2. У точки, лежащей на отрицательной части оси абсцисс, абсцисса отрицательна, а ордината равна нулю. Тогда корни уравнения k²–12k+32=0 — k₁=4, k₂=8. По условию должно быть k²–8k+12<0. I способ: если учесть корни уравнения в неравенстве, то абсцисса середины отрицательна только при k=4. … II способ: решение неравенства k²–8k+12<0 по методу интервалов — промежуток (2;6). В промежуток (2;6) входит только k=4.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

ДИМ · 01.06.2025

Найдите расстояние между центрами окружностей (x − 3)² + (y − 1)² = 15 и (x + 3)² + (y − 1)² = 20.

A) 6B) 2C) √6D) 4E) √3Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 6 (вариант A).

Так как уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид (x − a)² + (y − b)² = R², центры окружностей (x − 3)² + (y − 1)² = 15 и (x + 3)² + (y − 1)² = 20 — соответственно точки M₁(3;1) и M₂(−3;1), поэтому по формуле расстояния между двумя точками расстояние между их центрами M₁M₂ = √((−3 − 3)² + (1 − 1)²) = 6.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Итоги

Запомни

• Знаки по четвертям: I (+; +), II (−; +), III (−; −), IV (+; −); расстояние до оси Ox |y|, до Oy |x|.
• Симметрия: относительно Ox (x; −y), относительно Oy (−x; y), относительно O (−x; −y).
• Расстояние: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
• Середина: M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2); второй конец: B(2x_M − x_A; 2y_M − y_A).
• Окружность: (x − a)² + (y − b)² = R²; в раскрытом уравнении выделяй полные квадраты.
• Пересечения: с Ox y = 0, с Oy x = 0, двух прямых — приравнять правые части; треугольник с двумя вершинами на Ox: S = ½·|x_C − x_A|·|y_B|.
• В пространстве: AB = √(Δx² + Δy² + Δz²); точка на Ox — (x; 0; 0).

Типичные ошибки

«Расстояние от точки до оси Ox — это её абсцисса»

Расстояние до оси Ox — это модуль ординаты |y|, а до оси Oy — |x|. Если в IV четверти расстояние до Ox равно 4, то y = −4.

«Середина — это половина разности координат»

Координаты середины — половина суммы координат концов: (x₁ + x₂)/2. Разность используется в формуле расстояния.

«Центр окружности (x + 3)² + (y − 1)² = 20 — (3; 1), радиус 20»

В скобках стоит x − a: x + 3 = x − (−3), центр (−3; 1). Справа стоит R²: R = √20.

«Радиус окружности x² + y² − 3y = 0 равен √3»

Сначала выдели полный квадрат: x² + (y − 1,5)² = 2,25, R = 1,5. Ноль в правой части ничего не говорит о радиусе.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Расстояние между точками A(1; 2) и B(4; 6):

√(3² + 4²) = √25 = 5.

2 · Уровень 1

Точка, симметричная точке M(−3; 5) относительно оси Ox:

При симметрии относительно Ox меняет знак только ордината.

3 · Уровень 2

Центр и радиус окружности x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0:

(x − 2)² + (y + 3)² = 3 + 4 + 9 = 16.

4 · Уровень 2

Середина отрезка AB — M(2; −1), A(5; 3). Точка B:

B(2·2 − 5; 2·(−1) − 3) = B(−1; −5).

5 · Уровень ДИМ

Площадь треугольника, ограниченного прямыми y = 2x − 4, y = −x + 5 и осью Ox:

Пересечения с Ox: x = 2 и x = 5; прямые пересекаются в точке (3; 2); S = ½·3·2 = 3.

6 · Уровень ДИМ

Точка на оси Oy, равноудалённая от точек A(2; 1; 0) и B(0; 3; 2):

(0; y; 0): 4 + (y − 1)² = (y − 3)² + 4 → −2y + 1 = −6y + 9 → y = 2.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 16; B-9, C-16, D-9
2. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 17; B-10, C-17, D-22
3. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 19; B-8, C-12, D-5
4. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 84; B-84, C-84, D-84
5. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 71; B-64, C-67, D-63
6. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 85; B-85, C-85, D-85
7. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 26; B-24, C-23, D-26
8. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 19; B-10, C-1, D-17

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.