Многоугольники: углы и диагонали

Планиметрия · Тема 36 / 46

Многоугольники: углы и диагонали

Этот урок пройдём через историю стройки: мастер строит в парке правильную восьмиугольную беседку. Углы пола, гирлянды под потолком и велодорожка вокруг приведут нас к трём главным формулам о многоугольниках: сумме внутренних углов, внешним углам и числу диагоналей.

≈ 40 минутГлав: 4Заданий ДИМ: 5материал 8–9 классов

После урока ты сможешь

• различать элементы многоугольника, выпуклый и правильный многоугольник;
• находить сумму внутренних углов по формуле 180°(n − 2);
• находить число сторон правильного многоугольника по сумме внешних углов (360°);
• решать задания ДИМ на число диагоналей из одной вершины (n − 3) и всех диагоналей (n(n − 3)/2).

Перед началом вспомни

• Сумма углов треугольника равна 180°.
• Сумма смежных углов равна 180°.
• Решение квадратного уравнения разложением на множители: n² − 3n − 18 = (n − 6)(n + 3).

Содержание

1. ВведениеСитуация: угол беседкиистория и предположение
2. Глава 1Многоугольник и его элементывершина, сторона, диагональ · выпуклый и правильный
3. Глава 2Сумма внутренних углов180°·(n − 2) · лаборатория · ДИМ 2025–2026
4. Глава 3Число диагоналейn(n − 3)/2 · ДИМ 15.03.2026, 09.03.2025
5. Глава 4Внешние углы и правильный многоугольник360° · правильный многоугольник · ДИМ 01.06.2025
6. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
7. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: угол беседки

История

В парке мастер строит правильную восьмиугольную беседку. Восемь сторон пола равны, по углам поставлены столбы. Теперь нужно соединить в углах крайние брусья — для этого мастер должен знать угол в каждом углу.

Угломер остался дома. Мастер говорит: «Можно посчитать!» Сколько градусов в каждом углу восьмиугольника?

Правильный восьмиугольник: все стороны и все углы равны.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько градусов в каждом углу? Выбери ответ — посчитаем вместе во 2-й главе.

Глава 1

Многоугольник и его элементы

Замкнутая ломаная без самопересечений ограничивает часть плоскости — эта фигура называется многоугольником. Звенья ломаной — его стороны, их концы — вершины. У многоугольника с n вершинами n сторон и n углов; его называют n-угольником: треугольник, четырёхугольник, пятиугольник, …

Определение

Отрезок, соединяющий две несоседние вершины, называется диагональю. Если многоугольник лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону, он выпуклый (каждый его угол меньше 180°). Выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны, — правильный.

В этом уроке все многоугольники выпуклые.Диагонали из одной вершины

Из одной вершины выпуклого n-угольника выходит n − 3 диагонали: нельзя провести диагональ к самой вершине и к двум соседним.

Пример 1

Сколько диагоналей выходит из одной вершины десятиугольника? На сколько треугольников они его делят?

1. Вершин 10. Исключаем саму вершину и двух соседей: 10 − 3 = 7.Почему так?

   Отрезки к соседним вершинам — не диагонали, а стороны.

2. 7 диагоналей делят десятиугольник на 7 + 1 = 8 треугольников.Почему так?

   Каждая диагональ — один «разрез»: k разрезов дают k + 1 часть, т. е. треугольников n − 2.

3. Ответ: 7 диагоналей, 8 треугольников.

Проверь себя

Из одной вершины выпуклого многоугольника выходит 9 диагоналей. Сколько у него сторон?

n − 3 = 9.

Глава 2

Сумма внутренних углов

n − 3 диагонали, проведённые из одной вершины, делят выпуклый n-угольник на n − 2 треугольника. Все углы этих треугольников вместе в точности составляют углы многоугольника, а в каждом треугольнике сумма углов 180°.

Шестиугольник: 3 диагонали, 4 треугольника, 720°.Теорема

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника:

180°·(n − 2)

В правильном n-угольнике все углы равны, поэтому один угол равен 180°·(n − 2) : n. Меняй n в лаборатории и смотри, как меняются число треугольников, сумма углов и один угол.

Лаборатория · меняй n: углы и диагоналичисло вершин n8История

Для восьмиугольника: 180°·(8 − 2) = 1080°. Восемь равных углов: 1080° : 8 = 135°. Мастер срезает конец каждого бруса под половиной этого угла — 67,5°, и два бруса аккуратно сходятся в углу.

Пример 2

Найдите внутренний угол правильного пятиугольника.

1. Сумма углов: 180°·(5 − 2) = 540°.
2. Углы равны: 540° : 5 = 108°.Почему так?

   По определению правильного многоугольника все углы равны.

3. Ответ: 108°.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Найдите сумму внутренних углов выпуклого многоугольника, у которого из одной вершины выходит 4 диагонали.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 1080°B) 720°C) 540°D) 800°E) 900°

1. Из одной вершины выходит n − 3 диагонали: n − 3 = 4, откуда n = 7.Почему так?

   К самой вершине и двум соседним диагональ не проводится.

2. Семиугольник делится на 7 − 2 = 5 треугольников.
3. 180°·(7 − 2) = 180°·5 = 900°.
4. Ответ: 900° (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)

Известно, что в выпуклом n-угольнике из одной вершины выходит n − 3 диагонали. Тогда n − 3 = 4 ⇒ n = 7. Также известно, что сумма внутренних углов выпуклого n-угольника находится по формуле 180°(n − 2). 180°(7 − 2) = 180° · 5 = 900°Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

Найдите число диагоналей, проведённых из одной вершины выпуклого многоугольника, сумма внутренних углов которого равна 2160°.

1. Из формулы суммы: 180°·(n − 2) = 2160°, n − 2 = 2160 : 180 = 12, n = 14.Почему так?

   n − 2 — число треугольников: в 2160° содержится 12 раз по 180°.

2. Диагонали из одной вершины: n − 3 = 14 − 3 = 11.Почему так?

   Спрашивают не о всех диагоналях, а только о проведённых из одной вершины — писать n(n − 3)/2 = 77 было бы ошибкой.

3. Ответ: 11.

Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле 180⁰·(n − 2). 180⁰·(n − 2) = 2160⁰; n − 2 = 2160:180; n − 2 = 12; n = 14. Число диагоналей, выходящих из одной вершины выпуклого многоугольника, … (n − 3) =14-3=11Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)

Проверь себя

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 1440°. Сколько у него сторон?

180°·(n − 2) = 1440°.

Глава 3

Число диагоналей

История

Потолочная рама беседки готова. Вечером праздник, и мастер хочет протянуть гирлянды из каждого угла рамы ко всем несоседним углам. Из одного угла он уже протянул пять гирлянд.

Перед походом в магазин нужно посчитать: сколько всего нужно гирлянд?

Гирлянды — диагонали восьмиугольника.

Из каждой вершины выходит n − 3 диагонали, а вершин n. Но в произведении n·(n − 3) каждая диагональ посчитана дважды — из обоих её концов. Поэтому делим на 2.

Теорема

Число диагоналей выпуклого n-угольника:

n·(n − 3) / 2

У шестиугольника 9 диагоналей; красные выходят из одной вершины.История

Для восьмиугольной рамы: 8·(8 − 3)/2 = 8·5/2 = 20. Мастер покупает 20 гирлянд, а не 40, потому что гирлянда из A в B — та же, что из B в A.

Пример 3

Сколько диагоналей у выпуклого семиугольника?

1. 7·(7 − 3)/2 = 7·4/2 = 14.
2. Ответ: 14.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 15.03.2026

Найдите число диагоналей прямоугольника.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 1B) 2C) 5D) 3E) 4

1. Прямоугольник — четырёхугольник: n = 4.Почему так?

   Прямые углы прямоугольника на ответ не влияют: число диагоналей зависит только от числа вершин.

2. 4·(4 − 3)/2 = 2: AC и BD.
3. Ответ: 2 (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (15.03.2026)

Так как число диагоналей многоугольника находится по формуле n·(n − 3)/2, число диагоналей прямоугольника равно 4·(4 − 3)/2 = 2.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2025

Найдите число сторон выпуклого многоугольника, число диагоналей которого равно 9.

A) 5B) 8C) 6D) 7E) 9

1. По формуле: n(n − 3)/2 = 9, т. е. n(n − 3) = 18.
2. Квадратное уравнение: n² − 3n − 18 = 0, (n − 6)(n + 3) = 0; корни n = 6, n = −3.Почему так?

   Быстрый путь: n и n − 3 — натуральные числа с разностью 3, их произведение 18: 6·3 = 18, значит n = 6.

3. Число сторон натуральное, значит n = 6. Проверка: у шестиугольника 9 диагоналей (рисунок выше).
4. Ответ: 6 (вариант C).

Официальное пояснение ДИМ (09.03.2025)

Число диагоналей выпуклого многоугольника вычисляется по формуле n(n − 3)/2.n(n − 3)/2 = 9n(n − 3) = 18n² − 3n − 18 = 0(n − 6)(n + 3) = 0n₁ = 6; n₂ = −3Так как число сторон выпуклого многоугольника натуральное, правильный ответ n=6.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Проверь себя

Число диагоналей выпуклого многоугольника в 2 раза больше числа его сторон. Сколько у него сторон?

n(n − 3)/2 = 2n → n − 3 = 4.

Глава 4

Внешние углы и правильный многоугольник

История

Вокруг беседки проложена велодорожка — тоже в форме правильного многоугольника. Чтобы проверить её, мастер проезжает круг на велосипеде. На каждом углу он поворачивает руль на один и тот же угол — 30° — и заканчивает круг там же, где начал, и в том же направлении.

Сколько углов у дорожки?

Угол поворота на каждом углу — внешний угол многоугольника.Определение

Если продолжить сторону многоугольника за вершину, угол между продолжением и соседней стороной — внешний угол при этой вершине. Внешний и внутренний углы — смежные: их сумма 180°.

При каждой вершине берётся один внешний угол.Теорема

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника (по одному при каждой вершине) не зависит от числа сторон и равна 360°. В правильном n-угольнике один внешний угол 360° : n, внутренний 180° − 360° : n.

Проверим вычислением: в каждой вершине внутренний и внешний углы вместе дают 180°, а во всех n вершинах — 180°·n. Вычтем сумму внутренних углов (180°(n − 2)) — останется сумма внешних: 180°·n − 180°(n − 2) = 360°. Велосипедист чувствует это сам: за один круг он поворачивается ровно на полный оборот — 360°.

История

Мастер поворачивает на каждом углу на 30°, а сумма всех поворотов 360°: n = 360° : 30° = 12. У дорожки 12 углов, каждый внутренний угол 180° − 30° = 150°.

Пример 4

Внутренний угол правильного многоугольника равен 140°. Сколько у него сторон?

1. Внешний угол: 180° − 140° = 40°.Почему так?

   С внешним углом работать проще: сумма внешних углов всегда 360°.

2. n = 360° : 40° = 9.
3. Ответ: 9.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

Сколько диагоналей у правильного многоугольника, внешний угол которого равен 36°?

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Внешние углы правильного многоугольника равны, их сумма 360°: n = 360° : 36° = 10.Почему так?

   Так как сумма внешних углов не зависит от n, один внешний угол сразу даёт число сторон.

2. Из каждой вершины выходит 10 − 3 = 7 диагоналей.
3. 10·(10 − 3)/2 = 35.
4. Ответ: 35.

Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)

Известно, что внешние углы правильного многоугольника конгруэнтны и их сумма равна 360°. Тогда число его сторон n = 360°/36° = 10. Так как число диагоналей n-угольника вычисляется по формуле n · (n − 3)/2, число диагоналей правильного 10-угольника равно 10 · (10 − 3)/2 = 35.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника в 3 раза больше суммы его внешних углов. Сколько у него сторон?

180°(n − 2) = 3·360°.

Итоги

Запомни

• Диагональ соединяет две несоседние вершины; из одной вершины выходит n − 3 диагонали.
• Диагонали из одной вершины делят n-угольник на n − 2 треугольника.
• Сумма внутренних углов: 180°·(n − 2).
• Сумма внешних углов всегда 360°; внутренний + внешний = 180°.
• Правильный n-угольник: внешний угол 360° : n, внутренний 180°(n − 2) : n.
• Число всех диагоналей: n(n − 3)/2.

Типичные ошибки

«Из одной вершины выходит n − 1 диагональ»

Диагонали не проводят к самой вершине и к двум соседним вершинам: n − 3.

«Число диагоналей равно n(n − 3)»

Каждая диагональ посчитана дважды — из обоих её концов, поэтому делим на 2: n(n − 3)/2.

«Сумма внешних углов зависит от числа сторон»

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника всегда равна 360°.

«Сумма внутренних углов равна 180°·n»

Многоугольник делится не на n, а на n − 2 треугольника: 180°·(n − 2).

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника:

180°·(6 − 2) = 720°.

2 · Уровень 1

Сколько диагоналей у выпуклого одиннадцатиугольника?

11·(11 − 3)/2 = 44.

3 · Уровень 2

Внутренний угол правильного шестиугольника:

720° : 6 = 120°.

4 · Уровень 2

Внутренний угол правильного многоугольника равен 160°. Сколько у него сторон?

Внешний угол 20°: 360° : 20° = 18.

5 · Уровень ДИМ

Сколько сторон у выпуклого многоугольника, число диагоналей которого равно числу его сторон?

n(n − 3)/2 = n → n − 3 = 2 → n = 5.

6 · Уровень ДИМ

Сколько диагоналей у выпуклого многоугольника, сумма внутренних углов которого 1260°?

n − 2 = 7 → n = 9; 9·6/2 = 27.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 71; B-71, C-65, D-66
2. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 26; B-23, C-24, D-26
3. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 3; B-18, C-17, D-11
4. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 69; B-69, C-64, D-72
5. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 76; B-76, C-76, D-76

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.