Основные понятия геометрии: отрезки, углы, параллельные прямые

Планиметрия · Тема 33 / 46

Основные понятия геометрии: отрезки, углы, параллельные прямые

Этот урок пройдём через историю стройки: в новом микрорайоне прокладывают улицу. Расстояния между колышками, проспект, пересекающий параллельные улицы, и стрела крана приведут нас к первым понятиям геометрии: отрезкам, углам, параллельным прямым и проекции.

≈ 45 минутГлав: 6Заданий ДИМ: 10материал 7–8 классов

После урока ты сможешь

• находить длины отрезков на прямой сложением и вычитанием;
• применять свойства смежных и вертикальных углов;
• находить углы при параллельных прямых и секущей, проводить вспомогательную параллельную прямую;
• решать задания ДИМ на углы с соответственно параллельными сторонами и проекцию отрезка.

Перед началом вспомни

• Решение линейного уравнения: 2x − 26 = 124.
• Проценты: 80% — это 0,8, на 20% больше — в 1,2 раза.
• В прямоугольном треугольнике катет против угла 30° равен половине гипотенузы.

Содержание

1. ВведениеСитуация: расстояние между остановкамиистория и предположение
2. Глава 1Точка, прямая, луч и отрезоксложение отрезков · ДИМ 06.07.2025
3. Глава 2Углы: смежные и вертикальныебиссектриса · смежные и вертикальные углы · ДИМ 2025–2026
4. Глава 3Параллельные прямые и секущаянакрест лежащие, соответственные, односторонние углы · лаборатория
5. Глава 4Вспомогательная параллельная прямаяломаная · ДИМ 01.06.2025
6. Глава 5Углы с соответственно параллельными сторонамиравны или в сумме 180° · ДИМ 24.05.2026
7. Глава 6Проекция отрезка на прямуюпроекция · ДИМ 12.07.2026
8. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 4, с ответом и официальным пояснением
9. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
10. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: расстояние между остановками

История

На окраине города строят новый микрорайон. Инженер и мастер разметили линию будущей улицы и вбили на ней четыре колышка: A, B, C и D. В этих точках будут автобусные остановки.

Чертёж промок под дождём, на нём читаются только три размера: AC = 500 м, BD = 600 м, AD = 800 м. Мастер спрашивает: каково расстояние между остановками B и C?

Колышки стоят на одной прямой; известны только три расстояния.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько метров BC? Выбери ответ — посчитаем вместе в 1-й главе.

Глава 1

Точка, прямая, луч и отрезок

Геометрия начинается с простейших фигур: точки и прямой. Их не определяют, их узнают по свойствам. Главное свойство: через две точки проходит одна и только одна прямая. Мастер так и размечает улицу — натягивает шнур между двумя колышками. Точки обозначают заглавными буквами (A, B), прямые — строчными (a, b) или двумя своими точками (AB).

Определение

Точка прямой делит её на две части; каждая часть вместе с этой точкой называется лучом, а точка — началом луча. Две точки прямой и все точки между ними образуют отрезок; эти точки — концы отрезка.

У прямой нет концов, у луча один конец, у отрезка — два.Сложение отрезков

Если точка C лежит на отрезке AB, то AC + CB = AB. Середина отрезка делит его на два равных отрезка.

В каждой задаче на отрезки сначала нарисуй прямую и отметь точки в данном порядке. Затем запиши каждый отрезок как сумму маленьких «кирпичиков». В вопросе мастера отрезки AC и BD перекрываются: BC входит в оба.

История

Запишем: AC = AB + BC, BD = BC + CD. Сложив, получим AC + BD = (AB + BC + CD) + BC, т. е. AC + BD = AD + BC. Значит, BC = 500 + 600 − 800 = 300 м. Между остановками B и C 300 м.

Пример 1

Точки A, B, C лежат на прямой в этом порядке: AB = 12 см, BC = 8 см. M и N — середины отрезков AB и BC. Найдите отрезок MN.

1. M — середина AB: MB = 12 : 2 = 6 см.Почему так?

   Середина делит отрезок на две равные части.

2. N — середина BC: BN = 8 : 2 = 4 см.
3. Точка B лежит между M и N, поэтому MN = MB + BN = 6 + 4 = 10 см.Почему так?

   M лежит на AB, N — на BC, их разделяет точка B.

4. Ответ: 10 см.

Проверь себя

Точки A, B, C, D лежат на прямой в этом порядке: AC = 9, BD = 11, AD = 15. Найдите отрезок BC.

Формула мастера: BC = AC + BD − AD.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

Длина отрезка AC на 4 см больше CB. А CD в 2 раза меньше DB. Если CD = 3 см, найдите длину отрезка AB.

На рисунке точки расположены на прямой слева направо: A, C, D, B.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 20 смB) 28 смC) 22 смD) 18 смE) 14 см

1. «CD в 2 раза меньше DB» — значит, DB = 2·CD = 2·3 = 6 см.Почему так?

   Меньший отрезок, увеличенный в 2 раза, равен большему.

2. Точка D лежит между C и B: CB = CD + DB = 3 + 6 = 9 см.
3. Отрезок AC на 4 см больше CB: AC = 9 + 4 = 13 см.
4. Точка C лежит между A и B: AB = AC + CB = 13 + 9 = 22 см.Почему так?

   AB — вся линия; мы разбили её на два «кирпичика»: AC и CB.

5. Ответ: 22 см (вариант C).

Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)

По условию DB = 2·CD = 2·3=6 см и CB = CD + DB = 3+6=9 см. Так как длина отрезка AC на 4 см больше CB, AC = CB + 4 = 9+4=13 см. Таким образом, AB = AC + CB = 13+9=22 см.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)

Глава 2

Углы: смежные и вертикальные

Два луча, выходящие из одной точки, образуют угол: точка — вершина угла, лучи — его стороны. Углы измеряют в градусах. Угол меньше 90° — острый, угол в 90° — прямой, угол между 90° и 180° — тупой; угол, стороны которого образуют прямую, — развёрнутый, он равен 180°.

Сложение углов

Луч, проведённый из вершины угла внутрь него, делит угол на два угла, и их сумма равна всему углу: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB. Луч, делящий угол пополам, — его биссектриса.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 07.06.2026

Луч, выходящий из вершины угла 124°, делит его на два угла, разность градусных мер которых равна 26°. Найдите величину большего угла.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 65°B) 62°C) 80°D) 55°E) 75°

1. Обозначим больший угол x; тогда меньший равен x − 26°.Почему так?

   Разность равна 26°, значит меньший угол на 26° меньше большего.

2. Луч делит угол на две части, их сумма 124°: x + x − 26° = 124°, 2x = 150°, x = 75°.
3. Проверка: меньший угол 75° − 26° = 49°; 75° + 49° = 124°, 75° − 49° = 26°.
4. Ответ: 75° (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (07.06.2026)

x + x − 26° = 124°; 2x = 150°; x = 75°.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Определение

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие дополняют друг друга до прямой, называются смежными. Если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого, такие углы называются вертикальными.

Свойства

Сумма смежных углов равна 180°: α + β = 180°. Вертикальные углы равны.

Смежные углы вместе образуют развёрнутый угол; вертикальные углы — «отражения» друг друга.

Равенство вертикальных углов следует из свойства смежных: на рисунке ∠1 + ∠2 = 180° и ∠3 + ∠2 = 180°, значит ∠1 = ∠3.

Пример 2

Один из смежных углов на 40° больше другого. Найдите больший угол.

1. Пусть больший угол x, меньший x − 40°.Почему так?

   Разность 40°, поэтому меньший угол выражаем через больший.

2. Сумма смежных углов 180°: x + x − 40° = 180°, 2x = 220°, x = 110°.
3. Ответ: 110° (меньший угол 70°).

Проверь себя

При пересечении двух прямых сумма двух из образовавшихся углов равна 250°. Найдите наименьший из четырёх углов (в градусах).

Два угла с суммой 250° не могут быть смежными (их сумма 180°), значит, они вертикальные: по 125°.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Установите соответствие для смежных углов α и β.1. α − β > 20°2. 2α + 3β < 400°3. 2α − β < 30°a. наибольшее целое значение β равно 39°b. наименьшее целое значение α равно 101°c. наименьшее целое значение α равно 140°d. наименьшее целое значение β равно 111°e. наибольшее целое значение β равно 79°

1. Так как α и β смежные, α = 180° − β. В каждом неравенстве заменяем α и оставляем только β.Почему так?

   Неравенство с одной переменной решить проще, чем с двумя.

2. 1) 180° − 2β > 20°, т. е. β < 80°. Наибольшее целое значение β — 79° (e), тогда наименьшее целое значение α — 180° − 79° = 101° (b).Почему так?

   Неравенство строгое: β = 80° нельзя, поэтому целое значение 79°. Чем меньше β, тем больше α.

3. 2) 2(180° − β) + 3β < 400°, т. е. 360° + β < 400°, откуда β < 40°. Наибольшее целое значение β — 39° (a). Тогда наименьшее целое значение α — 141°, поэтому c (140°) не подходит.Почему так?

   Вариант c — ловушка: так как α > 140°, 140° невозможно.

4. 3) 2(180° − β) − β < 30°, т. е. 360° − 3β < 30°, откуда β > 110°. Наименьшее целое значение β — 111° (d).
5. Ответ: 1 — b, e; 2 — a; 3 — d.

Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)

Так как α и β — смежные углы, α=180° − β. 1. (180° − β) − β > 20° ⇒ β < 80°. Отсюда наибольшее целое значение β равно 79°. Тогда наименьшее целое … 101°. 2. 2(180° − β) + 3β < 400°; 360° − 2β + 3β < 400° ⇒ β < 40°. Отсюда наибольшее целое значение β равно 39°. Тогда наименьшее целое значение α будет 141°. 3. 2(180° − β) − β < 30°; 360° − 2β − β < 30° ⇒ β > 110°. Отсюда наименьшее целое значение β равно 111°. Тогда наибольшее целое значение α будет 69°.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Глава 3

Параллельные прямые и секущая

История

Улица готова, теперь она становится проспектом и тянется к старому кварталу. Две улицы старого квартала параллельны друг другу, а новый проспект наискось пересекает обе. На первом перекрёстке мастер измеряет угол между проспектом и улицей: 62°.

На втором перекрёстке на углу нужно уложить бордюрный камень, а для этого вырезать шаблон. Мастер не хочет измерять второй раз: сколько градусов в угле, отмеченном на рисунке знаком «?»?

Две параллельные улицы и пересекающий их проспект: на первом перекрёстке 62°.Определение

Прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются параллельными: a ∥ b. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Когда две прямые пересекает третья — секущая, образуется восемь углов. Их называют парами. Углы между прямыми — внутренние, снаружи — внешние.

Восемь углов: 1–4 при прямой a, 5–8 при прямой b.Названия пар углов

внутренние накрест лежащие: 3 и 5, 4 и 6 (по разные стороны от секущей, между прямыми);соответственные: 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8 (у каждой прямой «на одном и том же месте»);внутренние односторонние: 4 и 5, 3 и 6 (по одну сторону от секущей, между прямыми).

Свойство и признак параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°. Обратно: если выполнено одно из этих равенств, прямые параллельны.

Проверь это в лаборатории: поворачивай секущую — все углы меняются, но равенства сохраняются. Затем немного наклони прямую b: как только прямые перестают быть параллельными, равенства нарушаются.

Лаборатория · поворачивай секущую, сравнивай углыугол секущей с a62°наклон прямой b (0° — a ∥ b)0°История

Проспект — секущая, две улицы — параллельные прямые. Угол 62° — у первой улицы, между улицами, справа от проспекта; угол «?» — у второй улицы, тоже между улицами и справа от проспекта. Значит, это внутренние односторонние углы: ? = 180° − 62° = 118°. Мастер вырезает шаблон на 118°.

Пример 3

Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из внутренних накрест лежащих углов, умноженный на 3, на 50° больше другого, умноженного на 2. Найдите эти углы.

1. При параллельных прямых внутренние накрест лежащие углы равны: обозначим оба через x.Почему так?

   «Один» и «другой» в условии на самом деле имеют одинаковую величину.

2. Условие: 3x = 2x + 50°, откуда x = 50°.
3. Ответ: каждый по 50°.

Проверь себя

При пересечении двух параллельных прямых секущей один из внутренних односторонних углов на 30° больше другого. Найдите больший угол (в градусах).

x + (x − 30°) = 180°.

Глава 4

Вспомогательная параллельная прямая

Часто между двумя параллельными прямыми расположена «ломаная», и спрашивают угол при её вершине. Если секущей нет, создай её сам: проведи через вершину вспомогательную прямую, параллельную данным. Она разделит угол при вершине на две части, и каждая часть окажется членом уже знакомой пары углов.

Метод вспомогательной прямой

d₁ ∥ d₂, вершина V ломаной лежит между ними. Если провести через V прямую d₃ ∥ d₁, угол при вершине окажется равен сумме двух внутренних накрест лежащих углов: ∠V = ∠1 + ∠2.

d₃ параллельна обеим прямым; ∠1 и ∠2 «повторяются» в точке V.Пример 4

d₁ ∥ d₂. Звенья ломаной образуют с d₁ угол 40°, с d₂ — угол 35° (как на рисунке). Найдите угол при вершине V.

1. Проводим через V прямую d₃ ∥ d₁ ∥ d₂.Почему так?

   Единственный способ «перенести» угол между параллельными — секущая; вспомогательная прямая её создаёт.

2. Верхняя часть — внутренний накрест лежащий угол с d₁: 40°. Нижняя — с d₂: 35°.
3. ∠V = 40° + 35° = 75°.
4. Ответ: 75°.

Проверь себя

d₁ ∥ d₂. Звенья ломаной образуют с d₁ угол 28°, с d₂ — угол 47° (как на рисунке выше). Найдите угол при вершине V (в градусах).

∠V = ∠1 + ∠2.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

Установите соответствие (d₁ ∥ d₂). … a. α = 110°b. α + β = 160°c. α = 130°d. α + β = 220°e. α = 120°

1, 2, 3 — рисунки ниже. На каждом шаге на соответствующем рисунке появляется вспомогательная прямая d₃.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Рисунок 1. β и 30° — вертикальные углы: β = 30°. Через вершину проводим d₃ ∥ d₁: нижняя часть x = 30° (накрест лежащий с 30°), верхняя y = 80° − 30° = 50°. У d₁ z = 50° (накрест лежащий с y), а α смежен с z: α = 180° − 50° = 130°. Значит, α + β = 160°.Почему так?

   Первому рисунку подходят два ответа: c (α = 130°) и b (α + β = 160°).

2. Рисунок 2. β и 50° смежные: β = 130°. Через вершину α проводим d₃ ∥ d₂; она делит α на части x и y: так как их стороны соответственно параллельны, x = 70°, y = 50°. Значит, α = 70° + 50° = 120°.Почему так?

   Здесь α + β = 250° — такого нет в списке, поэтому подходит только e.

3. Рисунок 3. β и 60° смежные: β = 120°. Через вершину проводим d₃ ∥ d₂: y = 60° (накрест лежащий с 60°), x = 180° − 40° − 60° = 80°. α и x — внутренние односторонние: α = 180° − 80° = 100°. Значит, α + β = 220°.
4. Вариант «a» (α = 110°) не подходит ни к одному рисунку.
5. Ответ: 1 — b, c; 2 — e; 3 — d.

Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)

1) Так как β и 30° — вертикальные углы, β = 30°. Проведём d₁ ∥ d₂ ∥ d₃. Так как x и 30° — внутренние накрест лежащие углы, x=30°, и так как x+y=80°, y=80° – 30°=50°. Аналогично, так как y и z — внутренние накрест лежащие углы, z=50°. Так как α и z — смежные углы, α=180° – 50°=130°. 1-bc2) Так как β и 50° — смежные углы, β = 180° − 50° = 130°. Проведём d₁ ∥ d₂ ∥ d₃. Так как x и 70°, y и 50° — углы с соответственно параллельными сторонами, x=70° и y=50°. Так как α=x+y, α=70°+50°=120°. 2-e3) Так как β и 60° — смежные углы, β = 180° − 60° = 120°. Проведём d₁ ∥ d₂ ∥ d₃. Так как y и 60° — внутренние накрест лежащие углы, y=60°. x=180° – 40° – y=180° – 40° – 60°=80°. Так как α и x — внутренние односторонние углы, α=180° – x=180° – 80°=100°. 3-dИсточник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Глава 5

Углы с соответственно параллельными сторонами

Если первые стороны двух углов параллельны друг другу и вторые стороны тоже параллельны, такие углы называют углами с соответственно параллельными сторонами. Связь между ними доказывают, продолжив одну сторону до пересечения: каждый из углов оказывается либо равен одному и тому же углу, либо смежен с ним.

Теорема

Углы с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо в сумме дают 180°. Если оба острые или оба тупые (одноимённые углы), они равны; если один острый, а другой тупой (разноимённые углы), их сумма равна 180°.

Слева: стороны сонаправлены — углы равны. Справа: одна пара сторон противоположно направлена — сумма 180°.

Главный вопрос на экзамене: углы равны или их сумма 180°? Если по условию углы различны (один больше другого, отношение не равно 1), они не могут быть равны — значит, их сумма 180°.

Пример 5

Отношение двух углов с соответственно параллельными сторонами равно 4 : 5. Найдите больший угол.

1. Отношение не равно 1, углы различны, значит, они не равны; их сумма 180°.Почему так?

   В теореме только два случая: равенство или сумма 180°.

2. Углы 4k и 5k: 9k = 180°, k = 20°.
3. Больший угол 5·20° = 100°.
4. Ответ: 100°.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 24.05.2026

Один из углов с соответственно параллельными сторонами на 42° меньше другого. Найдите градусную меру большего угла.

A) 66°B) 111°C) 132°D) 122°E) 57°

1. Один угол на 42° меньше другого, значит, они не равны и их сумма 180°.Почему так?

   У равных углов разность была бы 0°.

2. Больший угол x, меньший x − 42°: x + x − 42° = 180°, 2x = 222°, x = 111°.
3. Проверка: меньший угол 69°, 111° + 69° = 180°.
4. Ответ: 111° (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (24.05.2026)

Углы с соответственно параллельными сторонами по условию не равны. Значит, их сумма равна 180°. Если обозначить градусную меру большего угла через x, меньший угол будет x-42°. Тогда x+x-42°=180°, откуда x=111°Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Сумма двух углов с соответственно параллельными сторонами равна 110°. Найдите один из углов (в градусах).

Сумма не 180° — значит, углы равны.

Глава 6

Проекция отрезка на прямую

История

Вдоль проспекта ставят фонарные столбы. Стрела крана на грузовике имеет длину 16 м, мастер поднял её под углом 60° к горизонту. Столб висит на тросе отвесно под концом стрелы.

Яму для столба нужно выкопать заранее. На каком горизонтальном расстоянии от основания стрелы её копать?

«Тень» стрелы на землю — её проекция на горизонтальную прямую.Определение

Основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, — проекция этой точки на прямую. Если A₁ и B₁ — проекции концов отрезка AB, то отрезок A₁B₁ называется проекцией AB.

Если провести AC ∥ a, проекция превращается в катет прямоугольного треугольника ABC.Длина проекции

Если отрезок AB образует с прямой угол α, то его проекция A₁B₁ = AB·cos α. В частности, при 60° проекция равна половине отрезка (это свойство «катет против угла 30° равен половине гипотенузы» — см. урок о теореме Пифагора); если отрезок параллелен прямой, проекция равна ему, если перпендикулярен — вырождается в точку.

История

Стрела крана — гипотенуза, её проекция — катет, прилежащий к углу 60°: 16·cos 60° = 16·0,5 = 8 м. Яму копают в 8 м от основания стрелы по горизонтали.

Пример 6

Конец A отрезка AB длиной 12 см лежит на прямой a, AB образует с a угол 30°. Найдите проекцию AB на a и расстояние от точки B до a.

1. Опускаем из B перпендикуляр BH на a; ABH — прямоугольный треугольник, AH — проекция.Почему так?

   Перпендикуляр — кратчайшее расстояние, и он задаёт конец проекции.

2. BH — катет против угла 30°: BH = 12 : 2 = 6 см.Почему так?

   Катет против 30° равен половине гипотенузы.

3. Теорема Пифагора: AH = √(144 − 36) = √108 = 6√3 см (или 12·cos 30° = 6√3).
4. Ответ: проекция 6√3 см, расстояние 6 см.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

a ∥ b, AC = 31 см, α = β = 60°. Найдите проекцию отрезка AB на прямую b.

На рисунке точки C и A лежат на a, точка B — на b; β — угол между левой частью b и BC, α — угол между BA и правой частью b.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 10 смB) 21 смC) 25 смD) 15,5 смE) 15,1 см

1. Три угла при точке B (β, ∠CBA, α) вместе образуют развёрнутый угол: ∠CBA = 180° − 60° − 60° = 60°.Почему так?

   Развёрнутый угол прямой b в точке B равен 180°.

2. Так как a ∥ b, ∠ACB = β = 60° и ∠BAC = α = 60° (внутренние накрест лежащие). Все углы треугольника ABC по 60° — он равносторонний: AB = AC = 31 см.Почему так?

   CB и AB — секущие; β и ∠ACB, α и ∠BAC лежат по разные стороны от секущей, между параллельными.

3. Опускаем из A перпендикуляр AH на b; проекция AB на b — это BH: BH = AB·cos 60° = 31·0,5 = 15,5 см.
4. Ответ: 15,5 см (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)

Опустим из точки A перпендикуляр на прямую b, основание перпендикуляра обозначим H. Так как α = β = 60°, ∠CBA = 60°. Из a ∥ b α = ∠BAC = β = ∠ACB = 60°, т. е. △ABC равносторонний, AB=AC=31. Тогда проекцией отрезка AB на прямую b будет катет BH прямоугольного треугольника AHB. Таким образом, BH = AB·cosα = AC·cos60° = 31·0,5 = 15,5.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Отрезок длиной 18 образует с прямой угол 60°. Найдите его проекцию на эту прямую.

18·cos 60° = 18·0,5.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 05.07.2026

Точки A, B, C и D отмечены на прямой в порядке их записи. Если AD = 81 см, CD = 36 см и AB = 39 см, найдите длину отрезка BC.

A) 12 смB) 18 смC) 24 смD) 9 смE) 6 смОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: 6 см (вариант E).

Если отметить точки A, B, C, D последовательно на одной прямой: Отсюда BC = AD − (AB + CD) BC = 81 − (39 + 36) = 81 − 75 = 6 (см)Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

ДИМ · 09.03.2025

Один из двух углов с соответственно параллельными сторонами составляет 80% другого. Найдите градусную меру большего угла.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 100°.

По свойству углов с соответственно параллельными сторонами они либо равны друг другу, либо их сумма равна 180°. Так как один из этих углов равен 80% другого, они не могут быть равны.{ α + β = 180° ; α = 0,8β } ⇒ β + 0,8β = 180° ⇒⇒ 1,8β = 180° ⇒ β = 100°Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

ДИМ · 25.05.2025

Установите соответствие для углов α и β с соответственно параллельными сторонами.1. α : β = 2 : 32. α : β = 5 : 43. α = 3βa. разность углов равна 90°b. разность углов равна 36°c. разность углов равна 40°d. меньший из углов равен 80°e. больший из углов равен 135°

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 1 — b; 2 — d; 3 — a, e.

Углы с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо сумма их градусных мер равна 180⁰.1. α : β = 2 : 3 → α = 2k, β = 3kα + β = 5k = 180⁰ → k = 36α = 72⁰, β = 108⁰ … 2. α : β = 5 : 4 → α = 5k, β = 4kα + β = 9k = 180⁰ → k = 20⁰α = 100⁰, β = 80⁰3. α = 3β → α = 3k, β = kα + β = 4k = 180⁰ → k = 45⁰α = 135⁰, β = 45⁰α − β = 90⁰Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

ДИМ · 09.03.2026

α и β — разноимённые углы с соответственно параллельными сторонами, а γ и φ — одноимённые углы с соответственно параллельными сторонами. Если градусная мера γ на 20% меньше градусной меры α, а градусная мера φ на 20% больше градусной меры β, найдите градусную меру каждого из углов α и β.

Одноимённые углы — оба острые или оба тупые; разноимённые — один острый, другой тупой (глава 5).

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: α = 108°, β = 72°.

Так как α и β — разноимённые углы с соответственно параллельными сторонами, α+β=180°, а так как γ и φ — одноимённые углы с соответственно параллельными сторонами, γ=φ. По условию γ=0,8α, φ=1,2β. Отсюда 0,8α=1,2β. α=1,5β, 1,5β+β=180°, β=72°, α=108°.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Итоги

Запомни

• Если C лежит на AB, то AC + CB = AB; для перекрывающихся отрезков BC = AC + BD − AD.
• Луч делит угол на две части: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB; биссектриса делит угол пополам.
• Смежные углы: α + β = 180°; вертикальные углы равны.
• При a ∥ b накрест лежащие и соответственные углы равны, сумма внутренних односторонних углов 180°.
• Через вершину ломаной между параллельными проведи вспомогательную параллельную: ∠V = ∠1 + ∠2.
• Углы с соответственно параллельными сторонами либо равны (одноимённые), либо в сумме дают 180° (разноимённые).
• Проекция: A₁B₁ = AB·cos α; при 60° — половина отрезка.

Типичные ошибки

«Перекрывающиеся отрезки можно просто сложить: AC + BD = AD»

AC + BD = AD + BC: общая часть BC посчитана дважды. Нарисуй: BC = AC + BD − AD.

«Сумма смежных углов равна 90°»

Смежные углы образуют развёрнутый угол, их сумма 180°: α = 180° − β.

«Углы с соответственно параллельными сторонами всегда равны»

Они либо равны, либо в сумме 180°. Если один составляет 80% другого, они не равны — значит, сумма 180°.

«Проекция отрезка равна самому отрезку»

Проекция — катет прямоугольного треугольника: AB·cos α; при 60° — половина отрезка.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Один из смежных углов в 4 раза больше другого. Найдите меньший угол.

x + 4x = 180° → x = 36°.

2 · Уровень 1

Сумма вертикальных углов равна 130°. Найдите угол, смежный с одним из них.

Вертикальные углы равны: по 65°; смежный угол 180° − 65° = 115°.

3 · Уровень 2

Внутренние односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей относятся как 2 : 7. Найдите меньший угол.

2k + 7k = 180° → k = 20°, меньший угол 40°.

4 · Уровень 2

Два угла с соответственно параллельными сторонами относятся как 7 : 11. Найдите больший угол.

Не равны → 18k = 180°, k = 10°, больший угол 110°.

5 · Уровень ДИМ

d₁ ∥ d₂. Звенья ломаной между параллельными образуют с d₁ угол 35°, с d₂ — 47° (внутренние накрест лежащие). Угол при вершине ломаной:

Вспомогательная параллельная: ∠V = 35° + 47° = 82°.

6 · Уровень ДИМ

Отрезок AB длиной 10 образует с прямой угол 30°. Проекция AB на эту прямую:

10·cos 30° = 10·√3/2 = 5√3.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 77; B-74, C-78, D-76
2. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 27; B-27, C-27, D-27
3. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 27; B-27, C-27, D-27
4. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 22; B-14, C-22, D-2
5. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 27; B-27, C-27, D-27
6. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 82; B-82, C-82, D-82
7. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 17; B-16, C-17, D-18
8. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 2; B-1, C-8, D-8
9. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 6; B-14, C-9, D-5
10. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 14; B-7, C-5, D-15

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.