ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Треугольник: теоремы синусов и косинусов

МатематикаПланиметрия

Текст урока
Планиметрия · Тема 34 / 46

Треугольник: теоремы синусов и косинусов

Этот урок пройдём через историю о парке: садовник рассчитывает ограду треугольного газона, расстояние через пруд и размер фонтана на клумбе. Каждый вопрос приведёт нас к одному из законов треугольника: сумме углов, неравенству треугольника, теоремам косинусов и синусов, площади и вписанной окружности.

≈ 50 минутГлав: 6Заданий ДИМ: 6материал 8–10 классов

После урока ты сможешь

  • находить углы треугольника и его внешний угол;
  • находить возможные значения стороны по неравенству треугольника и определять вид угла по сторонам;
  • правильно выбирать и применять теоремы косинусов и синусов;
  • вычислять площадь по разным формулам и решать задания ДИМ с r = 2S/P.

Перед началом вспомни

  • Теорема Пифагора и свойство прямоугольного треугольника с углом 30°.
  • Значения sin, cos: sin 30° = cos 60° = ½, sin 45° = cos 45° = √2/2, cos 120° = −½.
  • При параллельных прямых соответственные углы равны.

Содержание

  1. ВведениеСитуация: третья сторона газонаистория и предположение
  2. Глава 1Углы треугольникасумма углов · внешний угол · ДИМ 07.06.2026
  3. Глава 2Неравенство треугольника и вид угла|a − b| < c < a + b · ДИМ 25.05.2025
  4. Глава 3Равнобедренный и равносторонний треугольник60° и 30° · ДИМ 12.07.2026
  5. Глава 4Теорема косинусовc² = a² + b² − 2ab·cos C · лаборатория · ДИМ 05.07.2026
  6. Глава 5Теорема синусовa/sin A = 2R · ДИМ 01.06.2025
  7. Глава 6Площадь треугольника и вписанная окружностьГерон · r = 2S/P · ДИМ 06.07.2025
  8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: третья сторона газона

История

Садовник разбивает в новом парке треугольный газон. Из угла C уже поставлены две ограды: одна длиной 30 м, другая 50 м, угол между ними 120°.

Для третьей стороны AB нужно заказать сетку для ограды. Измерить трудно: мешают цветочные клумбы. Садовник спрашивает: сколько метров AB?

Известны две стороны и угол между ними, ищем третью сторону.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько метров AB? Выбери ответ — посчитаем вместе в 4-й главе.

Глава 1

Углы треугольника

У треугольника три вершины, три стороны и три угла. Стороны обычно обозначают строчной буквой противолежащего угла: a = BC, b = CA, c = AB. Все дальнейшие формулы записываются в этих обозначениях.

Теорема

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Внешний угол φ смежен с γ: φ = 180° − γ = α + β.Пример 1

В треугольнике ABC ∠A = 50°, внешний угол при вершине C равен 120°. Найдите ∠B.

  1. Внешний угол равен сумме двух не смежных с ним внутренних: 120° = ∠A + ∠B.Почему так?

    Внешний угол при C смежен с ∠C, а не с ∠A и ∠B.

  2. ∠B = 120° − 50° = 70°.
  3. Ответ: 70°.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 07.06.2026

Если ∠BDC+∠BCD=150°, найдите градусную меру суммы ∠BAC+∠ACB.

На рисунке точка D лежит на стороне AB, проведён отрезок DC.

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. Рассмотрим треугольник BDC: его углы ∠BDC, ∠BCD и ∠B. ∠B = 180° − 150° = 30°.Почему так?

    ∠B — угол и треугольника BDC, и треугольника ABC: это «мостик» между двумя треугольниками.

  2. В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ACB = 180° − 30° = 150°.
  3. Ответ: 150°.
Официальное пояснение ДИМ (07.06.2026)
∠BDC + ∠BCD = 150° ⇒ ∠B = 30°. Тогда ∠BAC + ∠ACB = 180° − ∠B = 180° − 30° = 150°Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите наибольший угол (в градусах).

2k + 3k + 4k = 180°.

Глава 2

Неравенство треугольника и вид угла

Не из любых трёх отрезков можно сложить треугольник: палочки 2, 3 и 10 см не сойдутся. Две короткие стороны вместе должны быть длиннее длинной.

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других и больше модуля их разности: |a − b| < c < a + b. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Вид угла по сторонам

Угол C лежит против стороны c. Если c² < a² + b², угол C острый; если c² = a² + b² — прямой; если c² > a² + b² — тупой. (Это обобщение обратной теоремы Пифагора; причина — в теореме косинусов из 4-й главы.)

Пример 2

Две стороны треугольника равны 6 и 10. Сколько целых значений может принимать третья сторона?

  1. 10 − 6 < c < 10 + 6, т. е. 4 < c < 16.Почему так?

    Неравенства строгие: при c = 4 или c = 16 «треугольник» вырождается в отрезок.

  2. Целые значения: 5, 6, …, 15 — всего 15 − 5 + 1 = 11.
  3. Ответ: 11.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 25.05.2025

В разностороннем треугольнике ABC AB = 5, BC = 12, ∠B < 90°. Найдите количество целых значений, которые может принимать сторона AC.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 3B) 4C) 6D) 2E) 7
  1. Неравенство треугольника: 12 − 5 < AC < 12 + 5, т. е. 7 < AC < 17.Почему так?

    Это условие лишь гарантирует существование треугольника; о ∠B оно пока ничего не говорит.

  2. Сторона AC лежит против угла B. Так как ∠B острый, AC² < 5² + 12² = 169, т. е. AC < 13.Почему так?

    При ∠B = 90° было бы AC = 13 (тройка 5, 12, 13); при остром угле противолежащая сторона короче.

  3. Значит, 7 < AC < 13: AC = 8, 9, 10, 11, 12.
  4. Треугольник разносторонний: AC ≠ BC = 12. Остаются 8, 9, 10, 11 — четыре значения.Почему так?

    Слово «разносторонний» — ловушка: если забыть о нём, получится 5, а такого варианта нет.

  5. Ответ: 4 (вариант B).
Официальное пояснение ДИМ (25.05.2025)
Так как ∠B < 90°,|BC − AB| < AC < √(AB² + BC²)12 − 5 < AC < √(12² + 5²)7 < AC < 13AC = 8, 9, 10, 11, 12Так как треугольник ABC разносторонний, AC=12 быть не может.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Две стороны треугольника равны 3 и 8. Сколько целых значений может принимать третья сторона?

5 < c < 11.

Глава 3

Равнобедренный и равносторонний треугольник

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным; равные стороны — боковые, третья — основание. Углы при основании равны, высота, проведённая к основанию, является и медианой, и биссектрисой. Треугольник с тремя равными сторонами — равносторонний: каждый его угол равен 60°.

Высота делит равносторонний треугольник на два треугольника с углами 30°, 60°, 90°.Свойства

В равностороннем треугольнике со стороной a h = a√3/2, S = a²√3/4. Прямая, параллельная стороне равностороннего треугольника, отсекает от него снова равносторонний треугольник. В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет против 30° равен половине гипотенузы (см. урок о теореме Пифагора).

Пример 3

Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его высоту и площадь.

  1. Высота делит основание пополам: h = √(10² − 5²) = √75 = 5√3.Почему так?

    Или по формуле: h = a√3/2 = 10√3/2.

  2. S = ½ · 10 · 5√3 = 25√3.
  3. Ответ: h = 5√3, S = 25√3.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

В равностороннем треугольнике ABC DF ⊥ FE, FE ⊥ BC, DF = 6 и CE = 5. Найдите BE.

На рисунке точка D лежит на AB, F — на AC, E — на BC.

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. Так как DF ⊥ FE и BC ⊥ FE, то DF ∥ BC.Почему так?

    Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны.

  2. Так как DF ∥ BC, треугольник ADF тоже равносторонний: AF = DF = 6.Почему так?

    ∠ADF = ∠ABC = 60° и ∠AFD = ∠ACB = 60° (соответственные углы).

  3. В треугольнике FEC ∠E = 90°, ∠C = 60°, значит ∠EFC = 30°. Катет EC лежит против угла 30°: FC = 2·EC = 10.Почему так?

    FC — гипотенуза, а EC — катет против угла 30°.

  4. BC = AC = AF + FC = 6 + 10 = 16; значит, BE = BC − CE = 16 − 5 = 11.
  5. Ответ: 11.
Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)
I способ: Из данных задачи ясно, что … ∠DFA = 60°, ∠EFC = 30°. Тогда получаем AF = DF = 6, FC = 2EC = 2·5 = 10. Тогда BC = AC = AF + FC = 6 + 10 = 16, таким образом, BE = BC − CE = 16 − 5 = 11. …Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Высота равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите его периметр.

a√3/2 = 9√3 → a = 18.

Глава 4

Теорема косинусов

Вернёмся к вопросу о газоне: известны две стороны и угол между ними. Теорема Пифагора работает только для прямого угла, а здесь угол 120°. Нужна общая формула — теорема косинусов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

c² = a² + b² − 2ab·cos C

Высота BH делит треугольник на два прямоугольных; теорема Пифагора в ABH даёт c² = (b − a·cos C)² + (a·sin C)².

При раскрытии скобок, так как sin²C + cos²C = 1, получается теорема. При угле 90° cos 90° = 0, и теорема превращается в теорему Пифагора. У тупого угла косинус отрицателен, поэтому противолежащая сторона удлиняется. Нужные значения: cos 60° = ½, cos 120° = −½, cos 45° = √2/2.

Лаборатория · две стороны и угол между ними → третья сторонаa3b5угол C между a и b120°История

Стороны газона: a = 50, b = 30, C = 120°. Тогда AB² = 50² + 30² − 2·50·30·(−½) = 2500 + 900 + 1500 = 4900, т. е. AB = 70 м. Садовник заказывает 70 м сетки. Внимание: косинус 120° отрицателен, поэтому член «− 2ab·cos C» на самом деле прибавляется.

Следствие

Чтобы найти угол по трём сторонам:

cos C = (a² + b² − c²) / (2ab)

Пример 4

Стороны треугольника a = 7, b = 8, c = 13. Найдите угол C.

  1. cos C = (49 + 64 − 169) / (2·7·8) = −56/112 = −½.
  2. C = 120°.Почему так?

    Косинус отрицателен — угол тупой, что согласуется с тем, что c — наибольшая сторона.

  3. Ответ: 120°.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

В треугольнике ABC ∠C = 90°, AD=DB=10, AE=12 и EC=4. Найдите длину DE.

На рисунке точка D лежит на AB, точка E — на AC.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 2√13B) 6C) 8D) 4√5E) 2√17
  1. В прямоугольном треугольнике ABC AB = 10 + 10 = 20, AC = 12 + 4 = 16, значит cos A = AC/AB = 16/20 = 4/5.Почему так?

    Угол A есть и в треугольнике ABC, и в ADE; косинус находим из большого треугольника и «переносим» в малый.

  2. В треугольнике ADE известны две стороны и угол между ними — теорема косинусов: DE² = 10² + 12² − 2·10·12·(4/5) = 100 + 144 − 192 = 52.
  3. DE = √52 = √(4·13) = 2√13.
  4. Ответ: 2√13 (вариант A).
Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)
I способ: По данным задачи AB=20, AC=16. cos∠A = AC/AB = 16/20 = 4/5. По теореме косинусов DE² = AD² + AE² − 2·AD·AE·cos∠A = = 100 + 144 − 2·10·12·(4/5) = 52 DE = √52 = 2√13. II способ: По данным задачи AB=20, AC=16. Тогда BC = √(20² − 16²) = 12. Проведём через точку D прямую, параллельную стороне BC. Точку пересечения этой прямой со стороной AC обозначим K. Тогда DK — средняя линия треугольника ABC и DK = ½·BC = ½·12 = 6. AK = √(AD² − DK²) = √(10² − 6²) = 8 KE = 12 − 8 = 4. DE = √(DK² + KE²) = √(6² + 4²) = √52 = 2√13Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Две стороны треугольника равны 3 и 5, угол между ними 120°. Найдите третью сторону.

c² = 9 + 25 − 2·3·5·(−½).

Глава 5

Теорема синусов

История

В углу парка есть пруд. Садовник хочет проложить водопровод до дерева B на другом берегу, но измерить расстояние рулеткой не может — мешает вода. На этом берегу он вбивает колышки A и C на расстоянии 50 м и измеряет угломером: ∠A = 105°, ∠C = 45°.

Известны одна сторона и два угла. Сколько метров от A до дерева B?

На берегу базис AC = 50 м и два угла; AB проходит над водой.Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а отношение равно диаметру описанной окружности:

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

R — радиус окружности, проходящей через вершины треугольника.

Теорему синусов применяй, когда даны «сторона и два угла» или «две стороны и угол против одной из них». Теорема косинусов — для задач «две стороны и угол между ними» или «три стороны». Пару составляй правильно: сторона всегда делится на синус противолежащего угла.

История

Третий угол: ∠B = 180° − 105° − 45° = 30°. Сторона AB лежит против угла C, а AC — против угла B: AB / sin 45° = 50 / sin 30°, откуда AB = 50 · (√2/2) : (1/2) = 50√2 ≈ 70,7 м. Садовник покупает около 71 м трубы.

Пример 5

В треугольнике ABC BC = 6, ∠A = 30°. Найдите радиус описанной окружности.

  1. Сторона BC лежит против угла A: BC / sin A = 2R.Почему так?

    В теореме сторона и противолежащий ей угол идут парой.

  2. 2R = 6 : ½ = 12,   R = 6.
  3. Ответ: R = 6.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

В треугольнике ABC ∠A : ∠B = 1 : 2 и BC : AC = 5 : 6. Найдите cos∠A.

A) 0,2B) 0,4C) 0,6D) 0,3E) 0,8
  1. Записываем отношения: ∠A = α, ∠B = 2α; BC = 5k, AC = 6k.
  2. Сторона BC лежит против A, AC — против B. Теорема синусов: 5k / sin α = 6k / sin 2α.Почему так?

    Известны не сами углы, а их отношение — теорема синусов как раз связывает отношение сторон с углами.

  3. Синус двойного угла: sin 2α = 2 sin α · cos α. Тогда 5k / sin α = 6k / (2 sin α · cos α), 5 = 3 / cos α, откуда cos α = 0,6.Почему так?

    sin α ≠ 0, поэтому обе части можно сократить на sin α. Проверка: α ≈ 53°, 2α ≈ 106°, сумма меньше 180° — такой треугольник существует.

  4. Ответ: 0,6 (вариант C).
Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)
∠A : ∠B = 1 : 2 ⇒ ∠A = α, ∠B = 2α и BC : AC = 5 : 6 ⇒ если обозначить BC = 5k, AC = 6k, то в треугольнике ABC по теореме синусов BC/sin∠A = AC/sin∠B ⇒ 5k/sin α = 6k/sin 2α ⇒ ⇒ 5k/sin α = 6k/(2 sin α · cos α) ⇒ cos α = 0,6. Значит, косинус угла A cos∠A = 0,6.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

В треугольнике ABC BC = 10, ∠A = 30°. Найдите радиус описанной окружности.

BC / sin A = 2R.

Глава 6

Площадь треугольника и вписанная окружность

История

В центре парка разбита треугольная клумба со сторонами 13 м, 14 м и 15 м. Внутри неё нужно построить круглый фонтан так, чтобы чаша касалась всех трёх краёв клумбы.

Мастер готовит опалубку для чаши. Каким должен быть радиус фонтана?

Фонтан — окружность, вписанная в треугольник.Площадь треугольника

S = ½·a·hₐ — сторона и проведённая к ней высота;S = ½·a·b·sin C — две стороны и угол между ними;S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p = (a + b + c)/2 — полупериметр (формула Герона);S = p·r = abc/(4R) — через радиусы вписанной и описанной окружностей.

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис; он делит треугольник на три треугольника с высотой r.

Причина формулы S = p·r видна на рисунке: соединив центр с вершинами, получаем три треугольника, у каждого высота r: S = ½ar + ½br + ½cr = p·r. Отсюда r = S/p = 2S/P.

История

Для клумбы p = (13 + 14 + 15)/2 = 21. Формула Герона: S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84 м². Тогда r = S/p = 84/21 = 4 м. Радиус фонтана должен быть 4 м.

Пример 6

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите радиус вписанной окружности.

  1. Гипотенуза √(36 + 64) = 10, периметр P = 24.
  2. Площадь S = ½·6·8 = 24.Почему так?

    В прямоугольном треугольнике один катет — высота, проведённая к другому.

  3. r = 2S/P = 48/24 = 2.
  4. Ответ: 2.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

В равнобедренном треугольнике ABC с периметром 40 AB = BC. Если радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 2/5 высоты BD, найдите длину основания AC.

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. Записываем отношение через вспомогательную переменную: r = 2k, h = BD = 5k.Почему так?

    r/h = 2/5 задаёт только отношение; k — общий множитель.

  2. Площадь: S = ½·AC·h = ½·AC·5k.
  3. Подставляем в формулу r = 2S/P: 2k = AC·5k / 40 = (AC/8)·k, откуда 2 = AC/8, AC = 16.Почему так?

    k сокращается, поэтому его значение знать не нужно. Проверка: боковые стороны (40 − 16)/2 = 12, h = √(144 − 64) = √80, r = S/p = 8√80/20 = 0,4·√80.

  4. Ответ: 16.
Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)
Для площади треугольника можно записать S = (1/2)AC·BD.Пусть r — радиус вписанной окружности, h = BD — высота треугольника, P — периметр треугольника. По условию r/h = 2/5. Отсюда r = 2k и h = 5k. Известно, что r = 2S/P.Здесь S = (1/2)AC·BD = (1/2)AC·h = (1/2)AC·5k; учитывая, что r = 2k и P = 40, можно найти основание AC:r = 2S/P2k = 2S/P = (2·(1/2)·AC·5k)/40 = (AC/8)·k2 = AC/8AC = 16.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 5, 5 и 6 (десятичной дробью).

Высота к основанию 4, S = 12, p = 8.

Итоги

Запомни

  • ∠A + ∠B + ∠C = 180°; внешний угол равен сумме двух не смежных с ним внутренних.
  • |a − b| < c < a + b; C острый ⇔ c² < a² + b².
  • Равносторонний треугольник: h = a√3/2, S = a²√3/4; катет против 30° равен половине гипотенузы.
  • Теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab·cos C (две стороны + угол между ними или три стороны).
  • Теорема синусов: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R (пара «сторона + противолежащий угол»).
  • Площадь: S = ½·a·hₐ = ½·ab·sin C = p·r = abc/(4R), формула Герона.
  • Вписанная окружность: r = S/p = 2S/P.

Типичные ошибки

«В теореме синусов сторону умножают на синус угла»

Сторону делят на синус противолежащего угла: BC/sin A = AC/sin B.

«При ∠B < 90° нужно только условие AC < AB + BC»

Для острого угла есть дополнительное условие: AC² < AB² + BC², т. е. AC < 13; кроме того, AC > 12 − 5 = 7.

«В теореме косинусов 2ab·cos C прибавляется»

Вычитается: c² = a² + b² − 2ab·cos C. При тупом угле cos C < 0, поэтому в итоге получается сумма.

«В формуле Герона p — периметр»

p — полупериметр: для 13, 14, 15 p = 21, а не 42.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Два угла треугольника равны 48° и 77°. Найдите третий угол.

180° − 48° − 77° = 55°.

2 · Уровень 1

Две стороны треугольника равны 4 и 9. Сколько целых значений может принимать третья сторона?

5 < c < 13: 6, 7, …, 12 — семь значений.

3 · Уровень 2

Две стороны треугольника 8 и 15, угол между ними 60°. Третья сторона:

c² = 64 + 225 − 2·8·15·½ = 169.

4 · Уровень 2

В треугольнике ABC BC = 9, ∠A = 150°. Радиус описанной окружности:

sin 150° = sin 30° = ½; BC/sin A = 2R → 9 : ½ = 18 = 2R → R = 9.

5 · Уровень ДИМ

Косинус наибольшего угла треугольника со сторонами 7, 8, 9:

Наибольший угол лежит против 9: cos = (49 + 64 − 81)/(2·7·8) = 32/112 = 2/7.

6 · Уровень ДИМ

Радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 13, 14, 15:

S = 84 (Герон), R = abc/(4S) = 2730/336 = 65/8.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 2; B-19, C-5, D-12
  2. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 20; B-2, C-3, D-20
  3. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 23; B-24, C-25, D-26
  4. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 23; B-25, C-26, D-25
  5. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 21; B-4, C-3, D-22
  6. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 24; B-26, C-24, D-24

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки