Векторы

Планиметрия · Тема 42 / 46

Векторы

Этот урок пройдём через летний день на реке: лодка пересекает реку, а течение сносит её вбок, дрон летит к лодке, лебёдка тянет баржу вдоль берега. Каждая сцена покажет одно действие с векторами: координаты и длина, сложение и вычитание, умножение на число, векторы в пространстве и скалярное произведение.

≈ 45 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 5материал 9–11 классов

После урока ты сможешь

• находить координаты и длину вектора (на плоскости и в пространстве);
• складывать и вычитать векторы по правилам треугольника и параллелограмма и в координатах;
• распознавать коллинеарные и противоположно направленные векторы по координатам;
• вычислять скалярное произведение и применять его для угла и перпендикулярности.

Перед началом вспомни

• Теорема Пифагора: a² + b² = c².
• Координаты точки и расстояние между двумя точками.
• cos 0° = 1, cos 60° = 0,5, cos 90° = 0.

Содержание

1. ВведениеСитуация: лодка пересекает рекуистория и предположение
2. Глава 1Вектор, его координаты и длинаAB = B − A · |a| = √(x² + y²)
3. Глава 2Сложение и вычитание векторовправила треугольника и параллелограмма · ДИМ 24.05.2026
4. Глава 3Умножение вектора на число. Коллинеарные векторыk·a · коллинеарность · ДИМ 13.07.2025
5. Глава 4Векторы в пространстве⟨x; y; z⟩ · ДИМ 07.06.2026, 25.05.2025
6. Глава 5Скалярное произведение векторовa · b = x₁x₂ + y₁y₂ · работа · ДИМ 02.03.2025
7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: лодка пересекает реку

История

Летом ученик работает помощником на спасательной станции у реки. Спасатель ведёт лодку к противоположному берегу: держит нос прямо поперёк, мотор движет лодку относительно воды со скоростью 4 м/с. Но река течёт: течение сносит лодку вбок со скоростью 3 м/с.

С какой скоростью движется лодка для ученика, стоящего на берегу? Скорости складываются, вычитаются или объединяются как-то иначе?

Собственная скорость лодки 4 м/с (перпендикулярно берегу), течение 3 м/с. Скорость относительно берега?Сначала предположи

Как ты думаешь, какова скорость лодки относительно берега? Выбери ответ — посчитаем вместе во 2-й главе.

Глава 1

Вектор, его координаты и длина

Задать скорость одним числом мало: по словам «4 м/с» неясно, куда мы движемся. Величины, у которых есть и значение, и направление, — скорость, сила, перемещение — описывают векторами.

Определение

Направленный отрезок называется вектором: у вектора AB→ начало A, конец B. Векторы обозначают и одной буквой: a→. Длина отрезка — длина (модуль) вектора: |a→|. В заданиях ДИМ вектор пишут как →a, а координаты дают в скобках ⟨ ⟩.

Координаты и длина

Если A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то AB→⟨x₂ − x₁; y₂ − y₁⟩ — из конца вычитаем начало. Длина вектора a→⟨x; y⟩ равна |a→| = √(x² + y²). В пространстве добавляется третья координата: |a→| = √(x² + y² + z²).

Векторы с одинаковыми координатами равны: вектор можно отложить от любой точки.

Векторы, у которых одинаковы длины и направления, равны; у них одинаковы и координаты. Поэтому неважно, от какой точки лодки мы рисуем вектор скорости.

Пример 1

A(−2; 3), B(4; −5). Найдите координаты и длину вектора AB→.

1. Из конца вычитаем начало: AB→⟨4 − (−2); −5 − 3⟩ = ⟨6; −8⟩.Почему так?

   Порядок важен: B − A. Если написать A − B, получится противоположный вектор BA→⟨−6; 8⟩.

2. |AB→| = √(6² + (−8)²) = √100 = 10.
3. Ответ: ⟨6; −8⟩, длина 10.

Проверь себя

Найдите длину вектора a→⟨−5; 12⟩.

√(25 + 144).

Глава 2

Сложение и вычитание векторов

Лодка участвует сразу в двух движениях: мотор ведёт её поперёк, вода — вбок. За секунду лодка смещается так, будто прошла сначала 4 м поперёк, а потом 3 м вбок. Это и есть сложение векторов.

Сложение и вычитание

Правило треугольника: от конца вектора a→ отложи вектор b→; a→ + b→ — вектор от начала первого к концу второго: AB→ + BC→ = AC→. Правило параллелограмма: отложи векторы от одной точки, a→ + b→ — диагональ, выходящая из этой точки. В координатах: a→ + b→ = ⟨x₁ + x₂; y₁ + y₂⟩, a→ − b→ = ⟨x₁ − x₂; y₁ − y₂⟩.

Разность a→ − b→ — вектор, направленный от конца b→ к концу a→.История

Примем берег за ось x (направление течения), поперечное направление — за ось y. Скорость от мотора v→⟨0; 4⟩, скорость течения u→⟨3; 0⟩. Скорость лодки относительно берега v→ + u→ = ⟨3; 4⟩, её длина √(3² + 4²) = 5 м/с. Лодка идёт не со скоростью 7 м/с: длины векторов складываются только при одинаковом направлении. Реку шириной 60 м лодка пересекает за 60 : 4 = 15 с, и за это время течение сносит её на 3·15 = 45 м вниз.

Управляй лодкой сам в лаборатории: меняй скорости и угол поворота носа. Чтобы лодка шла прямо поперёк, поверни нос против течения так, чтобы x-координата суммы стала нулевой.

Лаборатория · лодка и течение: сложи векторысобственная скорость |v|4 м/сскорость течения |u|3 м/снос повёрнут против течения0°Так спрашивают на экзаменеДИМ · 24.05.2026

В треугольнике ABC AB=5, BC=12 и ∠B = 90°. Найдите |→BA − →BC|.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 7B) 5C) 13D) 14E) 17

1. По правилу треугольника BC→ + CA→ = BA→, т. е. BA→ − BC→ = CA→.Почему так?

   Разность двух векторов с общим началом — вектор от конца вычитаемого к концу уменьшаемого: от C к A.

2. |CA→| — длина гипотенузы: √(5² + 12²) = √169 = 13.Почему так?

   Ловушка: это не |BA| − |BC| = 5 − 12. Длина разности векторов — не разность длин.

3. Ответ: 13 (вариант C).

Официальное пояснение ДИМ (24.05.2026)

|→BA − →BC| = |→CA| = √(5² + 12²) = 13Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

a→⟨1; 5⟩, b→⟨4; 1⟩. Найдите длину вектора a→ + b→.

a + b = ⟨5; 6⟩; √61 ≈ 7,81.

Глава 3

Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы

Когда спасатель даёт полный газ, собственная скорость лодки удваивается: вектор сохраняет направление, а длина вырастает вдвое. Это умножение вектора на число.

Произведение вектора на число

Вектор k·a→ коллинеарен a→, его длина |k|·|a→|; при k > 0 он сонаправлен с a→, при k < 0 — направлен противоположно. В координатах: k·a→⟨x; y; z⟩ = ⟨kx; ky; kz⟩.

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Отсюда практический признак: два вектора коллинеарны ⇔ их координаты пропорциональны: x₂/x₁ = y₂/y₁ = z₂/z₁ = k. Если отношение положительно, векторы сонаправлены, если отрицательно — направлены противоположно.

Пример 2

Найдите m и n, если вектор b→⟨6; m; −9⟩ коллинеарен вектору a→⟨−2; 4; n⟩.

1. По первым координатам: k = 6 : (−2) = −3.Почему так?

   k находим по паре, где обе координаты известны.

2. m = −3·4 = −12, −9 = −3·n ⇒ n = 3.
3. k < 0, значит, векторы направлены противоположно.
4. Ответ: m = −12, n = 3.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Какой вектор направлен противоположно вектору →a⟨2;1;−1⟩?

A) ⟨2;1;1⟩B) ⟨−2;−1;−1⟩C) ⟨−4;−2;−2⟩D) ⟨−4;−2;2⟩E) ⟨4;2;−2⟩

1. Противоположно направленный вектор имеет вид k·a→, k < 0: все координаты умножаются на одно и то же отрицательное число.Почему так?

   Мало просто поменять знаки — отношения должны быть одинаковыми.

2. Проверяем варианты: для ⟨−4; −2; 2⟩ −4/2 = −2/1 = 2/(−1) = −2 — подходит.Почему так?

   У ⟨−4; −2; −2⟩ третье отношение −2/(−1) = 2 > 0 — вектор не коллинеарен; у ⟨4; 2; −2⟩ k = 2 > 0 — сонаправлен.

3. Ответ: ⟨−4; −2; 2⟩ (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)

Так как отношения соответственных координат противоположно направленных векторов равны одному и тому же отрицательному числу, вектором, направленным противоположно вектору →a⟨2;1;−1⟩, будет ⟨−4;−2;2⟩.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Векторы a→⟨3; −1⟩ и b→⟨p; 4⟩ коллинеарны. Найдите p.

k = 4 : (−1) = −4.

Глава 4

Векторы в пространстве

История

Лодка достигла другого берега: она остановилась в 45 м ниже станции по течению и в 60 м от неё поперёк реки. Со станции спасателям отправляют дроном аптечку: дрон должен зависнуть прямо над лодкой на высоте 40 м.

Вектор перемещения дрона — от станции O до точки P. Каковы его координаты и сколько метров дрон пролетит по прямой?

Дрон летит из O в P: 45 м по течению, 60 м поперёк, 40 м вверх.

В пространстве у вектора три координаты. Все правила те же, что на плоскости, просто третья координата обрабатывается так же: сложение, вычитание, умножение на число — покоординатно, а длина равна √(x² + y² + z²).

История

Возьмём оси так: x — вдоль течения, y — к другому берегу, z — вверх. Тогда OP→⟨45; 60; 40⟩ и |OP→| = √(45² + 60² + 40²) = √7225. Дрон пролетит 85 м — число 85 получается двукратным применением теоремы Пифагора к 45, 60, 40: сначала √(45² + 60²) = 75, затем √(75² + 40²) = 85.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 07.06.2026

Даны векторы →a⟨−1; −1; 2⟩, →b⟨2; 1; 1⟩ и →c⟨1; 0; 3⟩. Найдите компоненты вектора →a − (→b + →c).

A) ⟨4; 3; 3⟩B) ⟨−4; −2; −2⟩C) ⟨−4; −3; −3⟩D) ⟨2; 0; 5⟩E) ⟨−2; 0; −5⟩

1. Сначала сумма в скобках: b→ + c→ = ⟨2 + 1; 1 + 0; 1 + 3⟩ = ⟨3; 1; 4⟩.Почему так?

   Порядок действий как с числами: сначала скобки.

2. Вычитаем: a→ − (b→ + c→) = ⟨−1 − 3; −1 − 1; 2 − 4⟩ = ⟨−4; −2; −2⟩.Почему так?

   Проверка: ⟨−4; −2; −2⟩ + ⟨3; 1; 4⟩ = ⟨−1; −1; 2⟩ = a.

3. Ответ: ⟨−4; −2; −2⟩ (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (07.06.2026)

Так как →b + →c = ⟨3; 1; 4⟩ и →a = ⟨−1; −1; 2⟩, то →a − (→b + →c) = ⟨−4; −2; −2⟩.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 25.05.2025

Даны векторы →a⟨5; k; −2⟩, →b⟨2; 15; 6⟩. При каком значении k длина вектора 3→a + →b равна 17?

A) 6B) 4C) 3D) −5E) −2

1. Считаем покоординатно: 3a→ + b→ = ⟨15 + 2; 3k + 15; −6 + 6⟩ = ⟨17; 3k + 15; 0⟩.
2. Длина: √(17² + (3k + 15)² + 0²) = 17.Почему так?

   Первая координата уже равна 17, значит, сумма квадратов остальных координат должна быть 0.

3. (3k + 15)² = 0, k = −5.
4. Ответ: −5 (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (25.05.2025)

Для решения задания сначала находят компоненты вектора 3→a + →b.3→a + →b = 3·→a⟨5; k; −2⟩ + →b⟨2; 15; 6⟩ = ⟨3·5; 3·k; 3·(−2)⟩ + ⟨2; 15; 6⟩ == ⟨17; 3·k + 15; 0⟩3→a + →b = ⟨17; 3·k + 15; 0⟩По формуле нахождения модуля вектора|3→a + →b| = √(17² + (3k + 15)² + 0²) = √(289 + (3k + 15)²)√(289 + (3k + 15)²) = 17 → 289 + (3k + 15)² = 289 →→ (3k + 15)² = 0 → k = −5Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите длину вектора a→⟨2; −6; 9⟩.

√(4 + 36 + 81).

Глава 5

Скалярное произведение векторов

История

Вечером баржу станции подтягивают вдоль берега к причалу. Лебёдка на берегу тянет трос, а трос тянет баржу под углом: в координатах сила равна F⟨400; 300⟩ Н (x — вдоль берега, y — к берегу). Баржа перемещается вдоль берега на s⟨20; 0⟩ м.

Из физики известно: работа зависит от «части» силы вдоль перемещения. Какую работу совершает сила и сколько было бы, если бы трос тянул баржу прямо вдоль берега?

Трос тянет баржу с силой F⟨400; 300⟩, баржа перемещается на s⟨20; 0⟩.Определение

Скалярное произведение двух векторов — это число: a→ · b→ = |a→|·|b→|·cos φ, где φ — угол между векторами. В координатах: a→ · b→ = x₁x₂ + y₁y₂ (в пространстве добавляется + z₁z₂).

Знак скалярного произведения показывает вид угла; для перпендикулярных векторов оно равно нулю.Следствия

a→ ⊥ b→ ⇔ a→ · b→ = 0. Косинус угла: cos φ = (a→ · b→) / (|a→|·|b→|).

История

Работа силы — скалярное произведение силы на перемещение: A = F · s = 400·20 + 300·0 = 8000 Дж. Хотя натяжение троса |F| = √(400² + 300²) = 500 Н, работа равна не 500·20 = 10 000 Дж, а 8000 Дж, потому что cos φ = 8000 / (500·20) = 0,8: часть силы прижимает баржу к берегу и работы не совершает.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

Найдите скалярное произведение векторов →a⟨4; −3⟩ и →b⟨−5; 2⟩.

A) –14B) 26C) 28D) 14E) –26

1. Складываем произведения соответственных координат: a→ · b→ = 4·(−5) + (−3)·2.Почему так?

   Скалярное произведение — число, а не вектор: в ответе нет скобок ⟨ ⟩.

2. −20 − 6 = −26.Почему так?

   Произведение отрицательно — угол между векторами тупой.

3. Ответ: −26 (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)

→a · →b = 4·(−5) + (−3)·2 = −26.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Пример 3

Найдите угол между векторами a→⟨1; 2; 2⟩ и b→⟨2; −2; 1⟩.

1. Скалярное произведение: 1·2 + 2·(−2) + 2·1 = 0.
2. Произведение равно нулю, значит cos φ = 0, φ = 90°.Почему так?

   Длины считать не понадобилось: ноль, делённый на любое число, — ноль.

3. Ответ: 90°.

Проверь себя

Найдите скалярное произведение векторов a→⟨3; −2; 1⟩ и b→⟨2; 4; 5⟩.

6 − 8 + 5.

Итоги

Запомни

• AB→⟨x₂ − x₁; y₂ − y₁⟩; длина |a→| = √(x² + y²) (в пространстве + z²).
• Сложение: AB→ + BC→ = AC→; вычитание — покоординатно.
• Векторы с общим началом: BA→ − BC→ = CA→.
• k·a→ = ⟨kx; ky; kz⟩; коллинеарны ⇔ координаты пропорциональны; k < 0 — противоположное направление.
• Скалярное произведение: a→ · b→ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = |a→|·|b→|·cos φ.
• a→ ⊥ b→ ⇔ a→ · b→ = 0.

Типичные ошибки

«Длина разности векторов равна разности длин»

Сначала находят вектор-разность, затем его длину: |BA − BC| = |CA| = 13, а не 12 − 5 = 7.

«Координаты вектора AB равны A − B»

Из конца вычитают начало: AB = B − A. A − B даёт противоположный вектор BA.

«Скалярное произведение — это вектор»

Скалярное произведение — число: x₁x₂ + y₁y₂ (+ z₁z₂).

«Векторы с пропорциональными координатами всегда сонаправлены»

При положительном отношении они сонаправлены, при отрицательном — противоположно направлены.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

A(2; −1), B(5; 3). Длина вектора AB→:

AB⟨3; 4⟩, √(9 + 16) = 5.

2 · Уровень 1

a→⟨1; −2⟩, b→⟨3; 5⟩. Вектор 2a→ + b→:

⟨2; −4⟩ + ⟨3; 5⟩ = ⟨5; 1⟩.

3 · Уровень 2

Вектор, сонаправленный с вектором a→⟨−2; 4; 6⟩:

⟨−1; 2; 3⟩ = 0,5·a, k > 0.

4 · Уровень 2

При каком m векторы a→⟨m; 3⟩ и b→⟨6; −4⟩ перпендикулярны?

6m − 12 = 0 → m = 2.

5 · Уровень ДИМ

|a→| = 3, |b→| = 4, угол между ними 60°. |a→ + b→|:

|a + b|² = 9 + 16 + 2·3·4·0,5 = 37.

6 · Уровень ДИМ

a→⟨2; −1; 2⟩, b→⟨k; 3; −4⟩. Если |a→ + b→| = 3, сумма значений k равна:

a + b = ⟨2 + k; 2; −2⟩; (2 + k)² + 8 = 9 → k = −1 или k = −3.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 72; B-69, C-72, D-68
2. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 20; B-22, C-8, D-13
3. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 8; B-10, C-7, D-17
4. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 2; B-12, C-9, D-2
5. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 21; B-16, C-21, D-7

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.