ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Площади фигур

МатематикаПланиметрия

Текст урока
Планиметрия · Тема 39 / 46

Площади фигур

Этот урок пройдём на школьном дворе: садовник разбивает клумбы, сеет газон в углу и делает круглую клумбу. На каждом шаге понадобится формула площади: прямоугольник и параллелограмм, треугольник, трапеция и ромб, круг, сектор и сегмент.

≈ 50 минутГлав: 4Заданий ДИМ: 15материал 8–9 классов

После урока ты сможешь

  • вычислять площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции и ромба по нужной формуле;
  • находить неизвестную высоту или сторону, записывая площадь двумя способами;
  • находить площадь составной фигуры разбиением и вычитанием;
  • вычислять площади круга, сектора и сегмента.

Перед началом вспомни

  • Теорема Пифагора; катет против угла 30° равен половине гипотенузы.
  • sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2.
  • Вписанный угол равен половине дуги.

Содержание

  1. ВведениеСитуация: какой клумбе нужно больше земли?история и предположение
  2. Глава 1Площадь прямоугольника, квадрата и параллелограммаS = a·h · лаборатория · ДИМ 25.05.2025
  3. Глава 2Площадь треугольника½·a·h · Герон · ДИМ 09.03.2025, 09.03.2026
  4. Глава 3Трапеция, ромб и составные фигурытрапеция · ромб · разбиение и вычитание · ДИМ 24.05.2026
  5. Глава 4Площадь круга, сектора и сегментаπR² · сектор · сегмент · ДИМ 13.07.2025
  6. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 10, с ответом и официальным пояснением
  7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: какой клумбе нужно больше земли?

История

Школьный двор благоустраивают. Садовник разбил две клумбы: одна — прямоугольник 6 м × 4 м, другая — параллелограмм: основание тоже 6 м, боковая сторона 5 м, расстояние между основаниями (высота) 4 м.

На клумбы насыплют плодородную землю одинаковой толщины. Ученики спорят: у параллелограмма стороны длиннее — значит, ему нужно больше земли?

Слева прямоугольник 6 × 4, справа параллелограмм: основание 6, боковая сторона 5, высота 4.Сначала предположи

Как ты думаешь, у какой клумбы площадь больше? Выбери ответ — проверим вместе в 1-й главе.

Глава 1

Площадь прямоугольника, квадрата и параллелограмма

Площадь фигуры — мера того, сколько места она занимает на плоскости. За единицу берут квадрат со стороной 1: 1 м², 1 см². У площади два главных свойства: равные фигуры имеют равные площади, а если фигуру разбить на части, её площадь равна сумме площадей частей.

Формулы

Прямоугольник: S = a·b; квадрат: S = a². Параллелограмм: S = a·h, где h — высота, проведённая к стороне a; также S = a·b·sin α.

Если отрезать треугольник с одного края параллелограмма и перенести его на другой, получится прямоугольник с основанием a и высотой h.История

Прямоугольная клумба: S = 6 · 4 = 24 м². Клумба-параллелограмм: S = a · h = 6 · 4 = 24 м². То, что боковая сторона 5 м, на площадь не влияет — важны основание и высота. Обеим клумбам нужно одинаковое количество земли.

В лаборатории сдвигай верхнюю сторону параллелограмма вправо-влево: боковая сторона и периметр меняются, а площадь остаётся прежней. Площадь меняет только высота.

Лаборатория · сдвигай верхнюю сторону параллелограммасдвиг верхней стороны2высота h4Пример 1

Стороны параллелограмма 8 и 12, площадь 48. Найдите его высоты.

  1. У каждой стороны своя высота: S = 8·h₁ = 12·h₂.Почему так?

    Площадь можно считать по любой стороне и высоте к ней — результат один.

  2. h₁ = 48 : 8 = 6, h₂ = 48 : 12 = 4.
  3. Ответ: 6 и 4 (к большей стороне — меньшая высота).
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 25.05.2025

Высоты параллелограмма равны 6√3 см и 8 см, угол между ними 60°. Найдите площадь параллелограмма.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 72√3 см²B) 32 см²C) 96 см²D) 48√3 см²E) 24 см²
  1. В четырёхугольнике FBED углы F и E прямые, ∠FBE = 60°, поэтому ∠D = 360° − 90° − 90° − 60° = 120°. Значит, острые углы параллелограмма равны 60°.Почему так?

    Сумма углов четырёхугольника равна 360°.

  2. В треугольнике BEC ∠C = 60°, BE = 6√3; тогда BC = BE : sin 60° = 6√3 : (√3/2) = 12.Почему так?

    BE — катет против угла C, BC — гипотенуза.

  3. Высота BF проведена к стороне AD = BC: S = AD · BF = 12 · 8 = 96.
  4. Ответ: 96 см² (вариант C).
Официальное пояснение ДИМ (25.05.2025)
Так как в четырёхугольнике FBED два внутренних угла прямые и ∠EBF = 60⁰, получаем ∠ADC = 120⁰. Тогда острые углы параллелограмма ABCD равны 60⁰. Используя свойство катета, лежащего против угла 30° в прямоугольном треугольнике, в △BEC находим EC = 6 см, BC = 12 см, а в △ABF — AF = 8/√3 см, AB = 16/√3 см. Итак, стороны параллелограмма ABCD BC = 12 см и AB = 16/√3 см, угол между ними ∠B = 120⁰, поэтому по формуле площадиS = AB·BC·sin∠B = 12·(16/√3)·(√3/2) = 96(см²).Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Стороны параллелограмма 8 и 5, угол между ними 30°. Найдите его площадь.

S = a·b·sin α, sin 30° = 1/2.

Глава 2

Площадь треугольника

История

В углу двора две кирпичные стены сходятся под прямым углом. Садовник разбивает в углу газон в форме треугольника: края вдоль стен 8 м и 6 м, вдоль третьего края посажена живая изгородь.

Сколько квадратных метров рулонного газона нужно? Какой наименьшей длины должна быть струя разбрызгивателя в углу, чтобы достать до изгороди?

Катеты 6 м и 8 м; кратчайшее расстояние от разбрызгивателя до изгороди — высота к гипотенузе.Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту, а также половине произведения двух сторон на синус угла между ними:

S = ½·a·h = ½·a·b·sin γ

Любой треугольник — половина параллелограмма с тем же основанием и высотой.Частные случаи

прямоугольный треугольник: S = ½·a·b (катеты);равносторонний треугольник: S = a²√3/4;формула Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p — полупериметр;медиана делит треугольник на два треугольника равной площади; наименьшая высота проведена к наибольшей стороне.

История

Газон — прямоугольный треугольник: S = ½ · 6 · 8 = 24 м². Гипотенуза √(36 + 64) = 10 м. Запишем площадь и через гипотенузу с высотой: 24 = ½ · 10 · h, откуда h = 4,8 м. Струя должна быть не короче 4,8 м.

Пример 2

Найдите площадь треугольника со сторонами 13, 14 и 15 и высоту, проведённую к стороне 14.

  1. Полупериметр: p = (13 + 14 + 15)/2 = 21.
  2. Герон: S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84.Почему так?

    p − a, p − b, p − c: 21 − 13 = 8, 21 − 14 = 7, 21 − 15 = 6.

  3. Высота: h = 2S : 14 = 168 : 14 = 12.
  4. Ответ: S = 84, h = 12.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2025

Из вершины B прямоугольника ABCD к диагонали AC проведён перпендикуляр BM. Найдите площадь прямоугольника, если AM=9 см, MC=16 см.

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. Треугольник ABC прямоугольный (при B), BM — высота к гипотенузе: BM² = AM · MC = 9 · 16 = 144, BM = 12.Почему так?

    Высота из вершины прямого угла — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы (треугольники ABM и BCM подобны).

  2. AC = 9 + 16 = 25, S△ABC = ½ · 25 · 12 = 150.
  3. Диагональ AC делит прямоугольник на два равных треугольника: S = 2 · 150 = 300.Почему так?

    Проверка: AB = √(81 + 144) = 15, BC = √(144 + 256) = 20, 15 · 20 = 300.

  4. Ответ: 300 см².
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2025)
I способ: В ΔABCBM² = AM·MC ⇒ BM² = 9·16 ⇒ BM = 12 (см)S_ΔABC = ½·BM·AC = ½·12·25 = 150 (см²)S_ABCD = 2·S_ΔABC = 2·150 = 300 (см²) …Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2026

В треугольнике ABC ∠C = 90°, AD – биссектриса, CD=2,4 см, AB=8,5 см. Найдите площадь треугольника ABD.

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. Свойство биссектрисы: AC : CD = AB : DB, т. е. b : 2,4 = 8,5 : a.Почему так?

    Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

  2. Отсюда a · b = 2,4 · 8,5 = 20,4.
  3. В треугольнике ABD высота к основанию DB = a — это AC = b: S = ½ · a · b = ½ · 20,4 = 10,2.Почему так?

    ABD тупоугольный, высота падает на продолжение DB — в точку C. Находить a и b по отдельности не нужно.

  4. Ответ: 10,2 см².
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2026)
По свойству биссектрисы b/2,4 = 8,5/a, откуда ab=2,4·8,5. I способ: так как в тупоугольном треугольнике ABD высота, проведённая к стороне BD, — это AC, то S_ΔABD = (1/2)ab = (1/2)·2,4·8,5 = 10,2. II способ: S_ΔABD = S_ΔABC − S_ΔACD = (1/2)·b·(a + 2,4) − (1/2)·b·2,4 = = (1/2)·ab + (1/2)·b·2,4 − (1/2)·b·2,4 = = (1/2)ab = (1/2)·2,4·8,5 = 10,2Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

Найдите высоту, проведённую к гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20.

Гипотенуза 25; h = 15 · 20 : 25.

Глава 3

Трапеция, ромб и составные фигуры

Теорема

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, т. е. средней линии на высоту. Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями (например, ромба) равна половине произведения диагоналей.

S = (a + b)/2 · h,   S = d₁·d₂/2

Если разбить трапецию диагональю на два треугольника: ½·a·h + ½·b·h.Пример 3

Диагонали ромба равны 10 и 24. Найдите его площадь и сторону.

  1. Площадь: S = 10 · 24 / 2 = 120.
  2. Сторона: a = √(5² + 12²) = 13.Почему так?

    Диагонали перпендикулярны и делятся пополам.

  3. Ответ: S = 120, a = 13.

Площадь составной фигуры находят двумя путями: либо разбивают её на знакомые фигуры и складывают площади, либо видят её внутри большой фигуры и вычитают лишнее. У подобных фигур отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: S₁ : S₂ = k².

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 24.05.2026

(по общему тексту) Если оба конца гипотенузы находятся на расстоянии 8 м от игровой площадки, вычислите общую площадь частей, засаженных цветами.

Ситуация (ДИМ, перевод): … Во дворе внутри участка в форме прямоугольного треугольника построили игровую площадку квадратной формы, две вершины которой лежат на катетах, а две другие — на гипотенузе; на оставшейся части участка посадили цветы.

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. Пусть сторона квадрата a. Треугольники ADK, KCF и FEB прямоугольные и подобны, поэтому AD : DK = FE : EB, т. е. 8 : a = a : 8.Почему так?

    Если в ADK ∠A = α, то в FEB ∠EFB = α: в обоих случаях сумма острых углов 90°.

  2. a² = 64, a = 8. Гипотенуза: AB = 8 + 8 + 8 = 24.
  3. Так как AD = DK = 8, ∠A = 45°, треугольник равнобедренный: AC = BC = 24/√2 = 12√2, S△ABC = ½ · (12√2)² = 144.Почему так?

    В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза в √2 раз больше катета.

  4. Цветы: 144 − 8² = 144 − 64 = 80.
  5. Ответ: 80 м².
Официальное пояснение ДИМ (24.05.2026)
По условию AD=EB=8. … Тогда AB=8+8+8=24, AC = BC = AB/√2 = 12√2. S△ABC = ½·12√2·12√2 = 144, S_KDEF = a² = 8² = 64, поэтому общая площадь частей, засаженных цветами, S△ABC − S_KDEF = 144 − 64 = 80.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Основания трапеции 7 и 13, высота 5. Найдите её площадь.

(7 + 13)/2 · 5.

Глава 4

Площадь круга, сектора и сегмента

История

В центре двора круглая клумба радиусом 3 м. Она разделена на три равных сектора: розы, жёлтые и лиловые цветы. Угол сектора с розами 120°.

Чтобы внести удобрение в сектор с розами, нужно знать его площадь. Сколько это квадратных метров?

Круглая клумба, R = 3 м; сектор с розами 120°.Круг и его части

Площадь круга радиуса R равна S = πR². Части круга:

сектор (два радиуса и дуга): S = πR² · n°/360°;

сегмент (хорда и дуга): S = Sсектор − S△.

Сектор — это n°/360° часть круга; для сегмента из сектора вычитают треугольник, образованный радиусами и хордой.История

Сектор с розами — это 120°/360° = 1/3 круга: S = π · 3² / 3 = 3π ≈ 9,42 м².

Пример 4

Найдите площадь сегмента, отсекаемого дугой 90° в круге радиуса 6.

  1. Сектор: π · 36 · 90/360 = 9π.
  2. Треугольник: радиусы образуют прямой угол, S△ = ½ · 6 · 6 = 18.Почему так?

    Центральный угол равен дуге: 90°.

  3. S = 9π − 18.
  4. Ответ: 9π − 18 (≈ 10,27).
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Около треугольника ABC описана окружность. Найдите площадь заштрихованной части, если BC = 4 см, ∠A = 30°.

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. ∠A = 30° — вписанный угол, поэтому ◡BC = 60°, центральный угол ∠BOC = 60°.Почему так?

    Вписанный угол равен половине дуги (урок «Окружность и круг»).

  2. Треугольник BOC равнобедренный с углом 60° — равносторонний: R = BC = 4.
  3. Сектор: π · 16 · 60/360 = 8π/3; треугольник: 4²√3/4 = 4√3.
  4. Сегмент: S = 8π/3 − 4√3.
  5. Ответ: 8π/3 − 4√3 см².
Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)
OC и OB — радиусы окружности. … ∠COB=60°. Тогда ΔCOB — равносторонний треугольник, поэтому R=4 см. Заштрихованная часть — сегмент. По формуле площади сегмента … 16π · 60°/360° − R²√3/4 = 8π/3 − 16√3/4 = 8π/3 − 4√3.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Площадь сектора 60° круга радиуса 6 равна kπ. Найдите k.

36π · 60/360.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 02.03.2025

Два сада квадратной формы поливаются с помощью труб, проложенных вокруг них по периметру. Длина каждой из труб между садами и водохранилищем 4 м. Сторона первого сада на 2 м больше стороны второго, а площадь первого сада на 8 м² меньше удвоенной площади второго. Какое наименьшее количество труб используется для полива?

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 64 м.

Пусть сторона сада II равна x, тогда сторона сада I равна x+2. По условию площадь первого сада на 8 м² меньше удвоенной площади второго, т. е. (x + 2)² = 2x² − 8 ⇒ x² − 4x − 12 = 0 ⇒⇒ x₁ = −2, x₂ = 6.Так как x — сторона сада, должно выполняться x>0, т. е. x = 6. Длина труб, проложенных вокруг садов по периметру, равна 4x+4(x+2), а так как длина каждой трубы между садами и водохранилищем … 4 м, общая длина труб для полива 4x+4(x+2)+4+4=64(м).Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
ДИМ · 19.04.2026

Найдите площадь прямоугольного треугольника с катетами 9 см и 12 см.

A) 30 см²B) 90 см²C) 54 см²D) 60 см²E) 50 см²Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 54 см² (вариант C).

Площадь прямоугольного треугольника: S = (1/2)·a·b = (1/2)·9·12 = 54(см²)Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)
ДИМ · 06.07.2025

Найдите площадь прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 10 см.

A) 32 см²B) 90 см²C) 60 см²D) 30 см²E) 16 см²Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 30 см² (вариант D).

Известно, что S = (1/2)·6·10 = 30 см²Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 05.07.2026

Найдите сторону равностороннего треугольника, если его площадь равна √3/2 см².

A) 3√2 смB) √3 смC) 2√3 смD) √2 смE) 3√3 смОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: √2 см (вариант D).

Площадь равностороннего треугольника S = a²√3/4; a²√3/4 = √3/2; a = √2Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 01.06.2025

Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами 24 см, 25 см и 7 см.

A) 5,62 смB) 6,72 смC) 6,5 смD) 6,25 смE) 5,12 смОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: 6,72 см (вариант B).

Так как 24² + 7² = 25², треугольник с данными сторонами прямоугольный с катетами 7 см и 24 см и гипотенузой 25 см. Тогда площадь этого треугольника S = (24 · 7)/2 = 84 см². Так как меньшая высота прямоугольного треугольника проведена к гипотенузе, S = (25 · h)/2 = 84 ⇒ h = 6,72 смИсточник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)
ДИМ · 07.06.2026

В треугольнике ABC ∠BAC = 2·∠ACB, AB = BD = 5 и AC = 11. Найдите S△ABC.

A) 30B) 18C) 26D) 22E) 20Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 22 (вариант D).

Обозначим ∠ACB = α; так как AB=BD, то ∠A = ∠D = 2α. ∠ADB = 2α — внешний угол △BDC, поэтому 2α = ∠DBC + ∠DCB; ∠DCB = ½∠CAB = α ⇒ ∠DBC = 2α − α. Отсюда следует, что △BDC равнобедренный, т. е. BD = DC. Значит, AB = BD = DC = 5. Тогда AD = AC − DC = 11 − 5 = 6. В △ABD высота BH является и медианой. Поэтому AH=HD=3. По теореме Пифагора BH = √(5² − 3²) = 4. BH — также высота △ABC, проведённая к стороне AC. Поэтому S△ABC = ½ · AC · BH = ½ · 11 · 4 = 22.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)
ДИМ · 12.07.2026

В прямоугольном треугольнике ABC точка D лежит на гипотенузе AB. Найдите площадь треугольника BCD, если AC=CD, AD=6 и S△ACD = 27.

Прямой угол при вершине C; точка D лежит между A и B.

A) 72B) 81C) 108D) 144E) 96Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 108 (вариант C).

Опустим высоту CH из вершины C прямоугольного треугольника ABC. Так как AC=CD, в равнобедренном треугольнике ACD по известному свойству AH = HD = ½·AD = ½·6 = 3. А по условию S△ACD = ½·AD·CH = ½·6·CH = 27 ⇒ CH = 9. … 9² = 3·(3+DB) ⇒ DB = 24. Тогда получаем S△BCD = ½·BD·CH = ½·24·9 = 108.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)
ДИМ · 24.05.2026

Из вершины острого угла B треугольника ABC проведена медиана BD. Найдите градусную меру угла ABC, если AB=2 см, BC = 2√2 см и ∠CBD=30°.

«Свойство медианы»: медиана делит треугольник на два треугольника равной площади.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 75°

Из свойства медианы S△ABD = S△CBD и формулы площади треугольника S = ½ab sin α: ½·2·BD sin β = ½·2√2·BD sin 30°. sin β = √2/2, β = 45°. Тогда ∠ABC = 45° + 30° = 75°Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 15.03.2026

Найдите площадь трапеции.

A) 14B) 40C) 18D) 15E) 36Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 36 (вариант E).

По формуле площади трапеции S = ((a+b)/2)·h = ((2+4)/2)·12 = 36Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
ДИМ · 06.07.2025

Найдите площадь футбольного поля.

Ситуация (ДИМ, перевод): На футбольном поле в форме прямоугольника ABCD выделена круглая площадка с центром в точке пересечения диагоналей. Длина окружности этой круглой площадки 9π метров, AB=75 м, BE=58 м. …На рисунке к ситуации диагонали AC и BD пересекаются в точке O; E — точка пересечения диагонали BD с окружностью площадки (со стороны B).

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 7500 м².

По условию длина окружности с центром в точке O и радиусом OE равна 9π, т. е.C = 2πr = 2π·OE = 9πOE = 4,5 (метра)ТогдаBD = 2·(BE + EO) = 2·(58 + 4,5) = 125 (метров)Из △ABD по теореме ПифагораAD = √(BD² − AB²) = √(125² − 75²) = √((125 − 75)(125 + 75)) = √(50·200) = 100 (метров)Тогда площадь футбольного поля 75·100 = 7500 (м²).Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)
Итоги

Запомни

  • Прямоугольник ab, квадрат a², параллелограмм a·h = ab·sin α.
  • Треугольник: ½·a·h = ½·ab·sin γ; прямоугольный ½·ab; равносторонний a²√3/4.
  • Герон: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)).
  • Высота к гипотенузе: h = ab/c; наименьшая высота — к наибольшей стороне.
  • Трапеция (a + b)/2 · h; ромб d₁d₂/2.
  • Круг πR²; сектор πR²·n°/360°; сегмент = сектор − треугольник.
  • Медиана делит площадь пополам; у подобных фигур S₁ : S₂ = k².

Типичные ошибки

«Площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон»

Произведение умножают на синус: S = ab·sin α, или S = a·h. Клумба с боковой стороной 5 м — тоже 24 м², а не 30 м².

«Площадь треугольника равна a·h»

Не забывай множитель ½: треугольник — половина параллелограмма.

«Площадь трапеции равна (a + b)·h»

Берётся полусумма оснований: S = (a + b)/2 · h.

«Сегмент = сектор + треугольник»

Для малого сегмента треугольник из сектора вычитают: S = πR²·n°/360° − S△.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Сторона треугольника 10, высота к ней 6. Площадь:

½ · 10 · 6 = 30.

2 · Уровень 1

Основания трапеции 5 и 9, высота 4. Площадь:

(5 + 9)/2 · 4 = 28.

3 · Уровень 2

Диагонали ромба 10 и 12. Площадь:

10 · 12 / 2 = 60.

4 · Уровень 2

Стороны параллелограмма 6 и 8, угол между ними 150°. Площадь:

sin 150° = 1/2: 6 · 8 · 1/2 = 24.

5 · Уровень ДИМ

Площадь сектора 90° круга радиуса 6:

36π · 90/360 = 9π.

6 · Уровень ДИМ

Площадь треугольника со сторонами 5, 5 и 6:

Высота к основанию 6: √(25 − 9) = 4; S = ½ · 6 · 4 = 12.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 81; B-81, C-81, D-81
  2. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 80; B-80, C-80, D-80
  3. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 17; B-18, C-7, D-10
  4. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 5; B-20, C-18, D-15
  5. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 12; B-6, C-6, D-18; вариант A, 28; B-28, C-28, D-28
  6. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 29; B-29, C-29, D-29
  7. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 83; B-83, C-83, D-83
  8. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 63; B-70, C-70, D-66
  9. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 64; B-61, C-66, D-70
  10. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 30; B-30, C-30, D-30; вариант A, 23; B-23, C-23, D-23
  11. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 9; B-7, C-12, D-6
  12. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 22; B-5, C-7, D-1
  13. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 16; B-3, C-11, D-10

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки