Линейные неравенства: целые решения, отрицательный коэффициент, сравнение

Уравнения и неравенства · Тема 19 / 46

Линейные неравенства: целые решения, отрицательный коэффициент, сравнение

Этот урок пройдём через историю переезда: семья переезжает в новую квартиру. Предельный груз лифта, тарифы двух фирм грузоперевозок и наполнение аквариума приведут нас к линейным неравенствам: свойства, промежутки и целые решения, правила решения и системы неравенств.

≈ 40 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 4материал 6–9 классов

После урока ты сможешь

• применять свойства числовых неравенств, особенно правило умножения на отрицательное число;
• изображать промежутки на числовой оси и находить целые решения двойного неравенства;
• решать линейное неравенство и находить его наибольшее (наименьшее) целое решение;
• решать системы линейных неравенств.

Перед началом вспомни

• Положительные и отрицательные числа, числовая ось.
• Решение линейного уравнения: перенос слагаемых из одной части в другую.
• Целые числа: ..., −2, −1, 0, 1, 2, ...

Содержание

1. ВведениеСитуация: сколько коробок можно загрузить в лифт?история и предположение
2. Глава 1Числовые неравенства и их свойствасвойства · умножение на отрицательное · ДИМ 01.06.2025
3. Глава 2Промежутки на числовой оси и целые решенияпромежутки · целые решения · ДИМ 09.03.2025
4. Глава 3Решение линейного неравенства с одной переменнойравносильные преобразования · ДИМ 09.03.2026
5. Глава 4Переменная в обеих частях: выгодный выборx в обеих частях · особые случаи · ДИМ 19.04.2026
6. Глава 5Системы линейных неравенствпересечение · целые решения
7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: сколько коробок можно загрузить в лифт?

История

Семья переезжает в новую квартиру. Грузовик разгружен у подъезда, в холле сложены одинаковые коробки по 25 кг. Их нужно поднять лифтом на 9-й этаж. Над лифтом табличка: груз не более 400 кг.

Коробки сопровождает грузчик массой 80 кг — он тоже едет в лифте. Какое наибольшее число коробок можно загрузить за один раз?

Лифт поднимает не более 400 кг: грузчик 80 кг, каждая коробка 25 кг.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько коробок можно загрузить в лифт? Выбери ответ — посчитаем вместе в 3-й главе.

Глава 1

Числовые неравенства и их свойства

Надпись «≤ 400 кг» на табличке лифта — это неравенство: груз может быть равен 400 кг или меньше. Прежде чем решать неравенства, вспомним правила сравнения чисел.

Определение

Если a − b > 0, то a больше b: a > b; если a − b < 0, то a меньше b: a < b. Запись a ≤ b означает «a < b или a = b», читается: «a не больше b».

Свойства числовых неравенств

1) a > b и b > c ⇒ a > c;2) a > b ⇒ a + c > b + c (к обеим частям можно прибавить одно и то же число);3) a > b и c > 0 ⇒ ac > bc (при умножении на положительное число знак сохраняется);4) a > b и c < 0 ⇒ ac < bc (при умножении на отрицательное число знак меняется на противоположный).

Смысл 4-го свойства прост: 2 < 3, но −2 > −3. Умножение на отрицательное число «отражает» числа на оси относительно 0, поэтому порядок меняется на обратный. Деление — это умножение (на 1/c), поэтому правило относится и к делению.

Пример 1

Сравните выражения 5 − 3a и 5 − 3b, если a > b.

1. Умножаем обе части на −3: −3a < −3b.Почему так?

   −3 — отрицательное число, поэтому знак «>» меняется на «<».

2. Прибавляем к обеим частям 5: 5 − 3a < 5 − 3b.Почему так?

   Прибавление числа знак не меняет. Проверка: при a = 2, b = 1 −1 < 2.

3. Ответ: 5 − 3a < 5 − 3b.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

Если a>0, b>0, c>0 и a/(−1) = b/(−3) = c/(−2), то какое из неравенств верно?

A) a<c<bB) c<b<aC) b<c<aD) b<a<cE) a<b<c

1. Обозначим общее значение равных отношений через k: a/(−1) = b/(−3) = c/(−2) = k. Тогда a = −k, b = −3k, c = −2k.Почему так?

   Умножаем каждое равенство на знаменатель: a/(−1) = k ⇒ a = −k и т. д.

2. Так как a = −k > 0, получаем k < 0, т. е. −k > 0.Почему так?

   Положительное число — противоположное отрицательному.

3. −k — положительное число, поэтому 1·(−k) < 2·(−k) < 3·(−k), т. е. a < c < b.Почему так?

   Например, при k = −1 получаем a = 1, c = 2, b = 3.

4. Ответ: a < c < b (вариант A).

Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)

Обозначим a/(−1) = b/(−3) = c/(−2) = k. Так как a>0, b>0, c>0, то k<0. Из соотношения a/(−1) = b/(−3) = c/(−2) = k следует, что a = −k, b = −3k, c = −2k. Так как k<0, то a<c<b.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите наибольшее целое значение выражения 5 − 2x, если −3 < x < 2.

При умножении на −2 знаки меняются: −4 < −2x < 6.

Глава 2

Промежутки на числовой оси и целые решения

Решение неравенства — обычно не одно число, а целый промежуток. Промежуток изображают на числовой оси и записывают скобками: квадратная скобка «[ ]» — конец входит, круглая «( )» — не входит. Бесконечность (∞) — не число, рядом с ней всегда ставят круглую скобку.

Закрашенная точка — конец входит (≤, ≥), пустая — не входит (<, >).Определение

Неравенство вида a < x < b называется двойным: x одновременно больше a и меньше b. Его целые решения — целые числа, попавшие в этот промежуток. Наименьшее целое решение — первое целое число справа от a, наибольшее — последнее целое число слева от b (если конец входит и является целым, то он сам).

Будь внимателен с отрицательными числами: первое целое число справа от −5,3 — это −5, а не −6, так как −6 < −5,3. Представь числовую ось: на отрицательной стороне движение «вправо» уменьшает модуль числа.

Пример 2

Найдите количество и сумму целых решений неравенства −7,5 < x ≤ 4.

1. Наименьшее целое решение: −7; наибольшее: 4 (4 входит).Почему так?

   −8 < −7,5, поэтому −8 не подходит; 4 входит из-за знака «≤».

2. Количество: 4 − (−7) + 1 = 12.
3. Сумма: числа от −4 до 4 взаимно уничтожаются, остаётся −7 − 6 − 5 = −18.Почему так?

   Симметричные пары (−4 и 4, −3 и 3, …) дают в сумме 0.

4. Ответ: 12 целых решений, их сумма −18.

Меняй в лаборатории концы промежутка и кнопками выбирай, входят ли концы. Красные точки — целые решения. В начале построен промежуток из задания ДИМ ниже.

Лаборатория · концы промежутка и целые решениялевый конец a-5.3правый конец b6Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2025

Найдите произведение наибольшего и наименьшего целых решений неравенства –5,3 < x < 6.

A) –20B) –24C) –25D) –36E) –30

1. Левый конец: x больше −5,3. Первое целое число справа от него — −5: это наименьшее целое решение.Почему так?

   Так как −6 < −5,3, число −6 условию не удовлетворяет.

2. Правый конец: x < 6, 6 не входит. Наибольшее целое решение — 5.Почему так?

   В строгом неравенстве (<) конец не входит в решение, даже если он целый.

3. Произведение: 5 · (−5) = −25.
4. Ответ: −25 (вариант C).

Официальное пояснение ДИМ (09.03.2025)

Множество целых чисел, удовлетворяющих неравенству: {−5; −4; −3; ...; 3; 4; 5}Наибольшее целое число: 5Наименьшее целое число: –5Произведение: –25Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Проверь себя

Сколько целых решений имеет неравенство −3,7 ≤ x < 4,2?

Целые решения — от −3 до 4.

Глава 3

Решение линейного неравенства с одной переменной

Вернёмся к лифту. Обозначим число коробок n. Масса груза вместе с грузчиком равна 80 + 25n кг, и она не должна превышать 400 кг:

80 + 25n ≤ 400

Определение

Неравенство вида ax + b > 0 (или со знаками <, ≥, ≤) называется линейным неравенством с одной переменной. Каждое значение x, обращающее его в верное числовое неравенство, — его решение; решить неравенство — значит найти множество всех решений.

Равносильные преобразования

1) Слагаемое можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. 2) Обе части можно умножить (разделить) на положительное число — знак сохраняется. 3) При умножении (делении) обеих частей на отрицательное число знак меняется на противоположный: < ↔ >, ≤ ↔ ≥.

Пример 3

Задача о лифте: найдите наибольшее натуральное решение неравенства 80 + 25n ≤ 400.

1. Переносим 80 в правую часть: 25n ≤ 320.Почему так?

   При переносе знак слагаемого меняется: +80 справа становится −80.

2. Делим на положительное 25, знак сохраняется: n ≤ 12,8.Почему так?

   Так как 25 > 0, знак «≤» не меняется.

3. n — натуральное число (число коробок): наибольшее значение n = 12.Почему так?

   Округлять 12,8 вверх нельзя: с 13 коробками груз будет 80 + 325 = 405 кг.

4. Ответ: не более 12 коробок.

История

Грузчик загружает 12 коробок: 80 + 12·25 = 380 кг ≤ 400 кг — меньше предела. С 13-й коробкой груз был бы 405 кг, и лифт подал бы сигнал. Ответ 16 получается, если забыть о самом грузчике: 400 : 25 = 16.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2026

Найдите наименьшее решение неравенства −2x ≤ 8.

A) 4B) –4C) –5D) 2E) –8

1. Делим обе части на −2. Делитель отрицательный, поэтому знак «≤» меняется на «≥»: x ≥ −4.Почему так?

   Проверка: x = 0 должно быть решением (−2·0 = 0 ≤ 8), а x = −5 — нет (10 > 8). Это согласуется с x ≥ −4.

2. Множество решений [−4; +∞); левый конец входит, поэтому наименьшее решение — −4.Почему так?

   Если не поменять знак, получится x ≤ −4, и наименьшего решения не было бы вовсе.

3. Ответ: −4 (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (09.03.2026)

−2x ≤ 8, x≥–4. Здесь наименьшее решение неравенства равно –4.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Проверь себя

Найдите наибольшее целое решение неравенства −3x > 12.

Делим на −3 и меняем знак: x < −4.

Глава 4

Переменная в обеих частях: выгодный выбор

История

Часть вещей осталась в старой квартире, их нужно привезти отдельной машиной. Отец узнаёт цены двух фирм грузоперевозок. I фирма: вызов 30 ₼, каждый километр 2 ₼. II фирма: вызов 12 ₼, каждый километр 3 ₼.

Старая квартира находится в 25 км. На каких расстояниях дешевле I фирма и какую выбрать в этот раз?

I фирма: 30 ₼ + 2 ₼/км; II фирма: 12 ₼ + 3 ₼/км; расстояние x км.

За x км пути цена I фирмы 30 + 2x, II фирмы — 12 + 3x манатов. Переменная оказывается в обеих частях. В таком неравенстве собираем слагаемые с x в одной части, числа — в другой.

Пример 4

Решите неравенство 30 + 2x < 12 + 3x.

1. Слагаемые с x переносим вправо, числа — влево: 30 − 12 < 3x − 2x.Почему так?

   Удобно собирать x в той части, где коэффициент больше: он остаётся положительным, делить на отрицательное не придётся.

2. 18 < x, т. е. x > 18.
3. Ответ: x ∈ (18; +∞) — I фирма дешевле на расстояниях больше 18 км.

История

25 км > 18 км, значит, в этот раз выгоднее I фирма: 30 + 2·25 = 80 ₼, а II фирма взяла бы 12 + 3·25 = 87 ₼. На 18 км цены равны (66 ₼), а на коротких расстояниях дешевле II фирма.

Иногда слагаемые с x полностью исчезают. Например, неравенство 2(x + 3) > 2x + 1 сводится к 0·x > −5: оно верно при любом x, множество решений (−∞; +∞). А 2x + 1 < 2x − 4 даёт 0·x < −5: решений нет.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

Найдите наибольшее целое решение неравенства 2 − 3x < −7 − 5x.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 4B) –5C) 5D) –4E) –1

1. Слагаемые с x переносим влево, числа — вправо: −3x + 5x < −7 − 2.Почему так?

   −5x переходит справа налево как +5x, а 2 слева направо — как −2.

2. 2x < −9, делим на положительное 2: x < −4,5.Почему так?

   2 > 0, знак не меняется.

3. Наибольшее целое число, меньшее −4,5, — это −5.Почему так?

   −4 > −4,5, поэтому −4 не является решением — это самый частый неверный выбор на экзамене.

4. Ответ: −5 (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)

2 − 3x < −7 − 5x ⇔ −3x + 5x < −7 − 2 ⇔ 2x < −9 ⇔ x < −4,5Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)

Проверь себя

Найдите наибольшее решение неравенства 5 − 2x ≥ 3x − 10.

5 + 10 ≥ 3x + 2x.

Глава 5

Системы линейных неравенств

История

Вещи расставлены, очередь аквариума. Высота аквариума 50 см. Для рыбок уровень воды должен быть не меньше 30 см, а чтобы вода не переливалась — не больше 45 см. Отец наливает воду вёдрами: каждое ведро поднимает уровень на 8 см. На рисунке уровень после трёх вёдер — пока мало.

Сколько всего вёдер можно налить в пустой аквариум, чтобы выполнялись оба условия?

Уровень должен быть от 30 до 45 см; каждое ведро +8 см.

После n вёдер уровень равен 8n см. Два условия должны выполняться одновременно: 8n ≥ 30 и 8n ≤ 45. Такая запись — система неравенств.

Решение системы

Реши каждое неравенство системы отдельно, изобрази решения на одной числовой оси и возьми их общую часть (пересечение). Если общей части нет, система решений не имеет. Двойное неравенство a < f(x) < b — тоже система: { f(x) > a; f(x) < b }.

Пример 5

Аквариум: найдите натуральные решения системы { 8n ≥ 30; 8n ≤ 45 }.

1. Первое неравенство: n ≥ 30 : 8 = 3,75.
2. Второе неравенство: n ≤ 45 : 8 = 5,625.
3. Общая часть: 3,75 ≤ n ≤ 5,625. Натуральные числа в ней — 4 и 5.Почему так?

   На рисунке закрашена часть, где лучи перекрываются.

4. Ответ: n = 4 или n = 5.

Решение системы — общая часть двух лучей.История

Отец наливает ещё одно ведро: 4 ведра — 32 см, рыбкам достаточно. С пятым ведром уровень будет 40 см, а с шестым — 48 см > 45 см: вода превысила бы допустимый предел.

Пример 6

Найдите количество целых решений системы { x + 3 > 0; 2x ≤ 6 }.

1. Первое: x > −3; второе: x ≤ 3.
2. Общая часть (−3; 3]: целые решения −2, −1, 0, 1, 2, 3.Почему так?

   −3 не входит (строгое неравенство), а 3 входит.

3. Ответ: 6.

Проверь себя

Найдите сумму целых решений системы { 2x − 1 > 3; x + 4 ≤ 11 }.

x > 2 и x ≤ 7.

Итоги

Запомни

• При умножении (делении) на отрицательное число знак неравенства меняется: −2x ≤ 8 ⇒ x ≥ −4.
• Квадратная скобка — конец входит (≤, ≥), круглая — не входит (<, >, ∞).
• −5,3 < x < 6: наименьшее целое решение −5 (не −6), наибольшее 5.
• x < −4,5: наибольшее целое решение −5 (не −4).
• Если переменная в обеих частях: слагаемые с x — в одну часть, числа — в другую.
• Система: реши каждое неравенство и возьми общую часть.
• Равные отношения: обозначь общее значение через k и вырази числа через k.

Типичные ошибки

«При делении на отрицательное число знак сохраняется»

В −2x ≤ 8 при делении на −2 знак ≤ меняется на ≥: x ≥ −4.

«Если x < −4,5, то наибольшее целое решение −4»

−4 > −4,5, условие не выполняется; наибольшее целое, меньшее −4,5, — это −5.

«Если −5,3 < x, то наименьшее целое решение −6»

−6 < −5,3, условие не выполняется; наименьшее целое решение −5.

«n ≤ 12,8 ⇒ n = 13 (округляем)»

13 > 12,8 — условие нарушено. Наибольшее натуральное решение 12.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Сколько целых решений имеет неравенство −2,5 < x ≤ 3,1?

Целые решения: −2, −1, 0, 1, 2, 3.

2 · Уровень 1

Найдите наибольшее решение неравенства −4x ≥ 20.

При делении на −4 знак меняется: x ≤ −5.

3 · Уровень 2

Найдите наименьшее целое решение неравенства 3(x − 2) < 5x + 4.

3x − 6 < 5x + 4 ⇒ −10 < 2x ⇒ x > −5; наименьшее целое решение −4.

4 · Уровень 2

Если a > 0, b > 0, c > 0 и a/(−2) = b/(−5) = c/(−1), какое неравенство верно?

= k < 0: a = −2k, b = −5k, c = −k ⇒ c < a < b.

5 · Уровень ДИМ

Найдите сумму целых решений системы { 3x + 2 ≥ −7; 4 − x > 0 }.

x ≥ −3 и x < 4: −3, −2, …, 3; сумма 0.

6 · Уровень ДИМ

Сколько целых решений имеет неравенство −1 ≤ (2x + 3)/5 < 3?

−5 ≤ 2x + 3 < 15 ⇒ −4 ≤ x < 6: −4, …, 5 — 10 чисел.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 73; B-68, C-73, D-65
2. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 2; B-7, C-7, D-17
3. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 72; B-73, C-64, D-73
4. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 70; B-63, C-63, D-61

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.