ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Решение задач с помощью уравнений: движение, цена, среднее арифметическое

МатематикаУравнения и неравенства

Текст урока
Уравнения и неравенства · Тема 14 / 46

Решение задач с помощью уравнений: движение, цена, среднее арифметическое

Этот урок пройдём вместе с туристами на базе у реки: съездим на лодке к острову, купим билеты в кассе, а вечером посидим у костра. Каждый вопрос решим уравнением: научимся решать линейное уравнение, составлять уравнение по условию и проверять корень по смыслу задачи.

≈ 45 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 5материал 6–8 классов

После урока ты сможешь

  • решать линейное уравнение и определять число корней;
  • выбирать неизвестное и составлять уравнение по условию текстовой задачи;
  • решать задачи на движение (по реке, навстречу), на цену, отношение и среднее арифметическое;
  • проверять корень и находить именно искомую величину.

Перед началом вспомни

  • Раскрытие скобок: a(b − c) = ab − ac.
  • Формула движения: s = v · t.
  • Наименьшее общее кратное (приведение дробей к общему знаменателю).

Содержание

  1. ВведениеСитуация: как далеко остров?история и предположение
  2. Глава 1Линейное уравнение и его решениеax = b · перенос слагаемых
  3. Глава 2Составление уравнения: задачи на цену и количество5 шагов · ДИМ 15.03.2026
  4. Глава 3Задачи на движение: течение реки и встречное движениеv ± u · сумма и разность времён · ДИМ 02.03.2025, 09.03.2026
  5. Глава 4Отношение, периметр и меняющаяся скорость3k : 4k · ДИМ 07.06.2026
  6. Глава 5Задачи на среднее арифметическоесумма = среднее · количество · ДИМ 06.07.2025
  7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: как далеко остров?

История

Группа туристов приехала на базу на берегу реки. Утром они хотят съездить на моторной лодке к острову ниже по течению и вернуться. Лодочник говорит: «Собственная скорость лодки 8 км/ч, скорость течения 2 км/ч. Туда и обратно — ровно 4 ч».

Один из туристов смотрит на карту: расстояние на ней не указано. Другой быстро считает: «За 4 часа со скоростью 8 км/ч проходим 32 км, значит, до острова 16 км». Верно ли это? На каком расстоянии от причала остров?

Причал, лодка и остров: течение направлено к острову.Сначала предположи

Как ты думаешь, на каком расстоянии от причала остров? Выбери ответ — в 3-й главе составим уравнение и проверим.

Глава 1

Линейное уравнение и его решение

Чтобы решить текстовую задачу, её переводят на язык математики — в уравнение. Большинство школьных задач сводится к простейшему уравнению — линейному. Сначала научимся его решать.

Определение

Уравнение вида ax = b (x — переменная, a и b — числа) называется линейным. Значение x, обращающее уравнение в верное равенство, — корень уравнения.

Свойства уравнений

1) К обеим частям уравнения можно прибавить или вычесть одно и то же число (выражение): слагаемое переносим из одной части в другую с противоположным знаком. 2) Обе части можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число. Эти преобразования не меняют корней.

Уравнение — как весы в равновесии: 3x + 2 = x + 8 → 2x + 2 = 8 → 2x = 6 → x = 3.Пример 1

Решите уравнение 3(x − 2) + 4 = 2x + 7.

  1. Раскрываем скобки: 3x − 6 + 4 = 2x + 7, т. е. 3x − 2 = 2x + 7.Почему так?

    3 умножается на каждый член в скобках: 3 · (−2) = −6.

  2. Члены с переменной — влево, числа — вправо: 3x − 2x = 7 + 2.Почему так?

    Перенесённый член меняет знак: +2x было справа, слева становится −2x.

  3. x = 9. Проверка: левая часть 3 · 7 + 4 = 25, правая 2 · 9 + 7 = 25.
  4. Ответ: 9.

В уравнении с дробями сначала умножаем обе части на наименьшее общее кратное знаменателей: например, умножив уравнение (x + 1)/2 + (x − 2)/3 = 4 на 6, получаем 3(x + 1) + 2(x − 2) = 24, 5x = 25, x = 5.

Число корней

Уравнение ax = b: при a ≠ 0 имеет единственный корень x = b/a; при a = 0, b ≠ 0 корней нет (например, 2(x + 3) = 2x + 5); при a = b = 0 корнем является любое x (например, 2(x + 3) = 2x + 6).

Проверь себя

Решите уравнение 5x − 7 = 2x + 8.

3x = 15.

Глава 2

Составление уравнения: задачи на цену и количество

История

Перед прогулкой туристы подходят к кассе базы. На табличке: взрослый билет 5 AZN, детский 3 AZN. В группе 20 человек, кассир берёт всего 76 AZN.

Руководитель группы должен записать в отчёт: сколько в группе взрослых и сколько детей? А список остался в автобусе.

Касса: взрослый билет 5 AZN, детский 3 AZN; 20 человек заплатили 76 AZN.Шаги составления уравнения

1) Выбери неизвестное и обозначь его x (обычно — искомую величину).2) Вырази остальные величины через x; если нужно, составь таблицу.3) Найди в условии равенство и запиши уравнение.4) Реши уравнение и проверь смысл корня (скорость, количество не могут быть отрицательными или дробными).5) Ответь на заданный вопрос: иногда ответ — не x, а выражение через x.

История

Пусть взрослых x, тогда детей 20 − x. Уплаченная сумма: 5x + 3(20 − x) = 76. Отсюда 5x + 60 − 3x = 76, 2x = 16, x = 8. В группе 8 взрослых и 12 детей. Проверка: 8 · 5 + 12 · 3 = 40 + 36 = 76.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 15.03.2026

В авиакомпании билет в одну сторону стоит 150 манатов, а билет туда и обратно — 180 манатов. В таблице показано число билетов, купленных Асифом и Нурай в этой компании. Каждый из них купил хотя бы по одному билету каждого вида. Если они заплатили одинаковую общую сумму, найдите число билетов в одну сторону, купленных Нурай.

  1. По таблице: Асиф заплатил 150(18 − x) + 180x, а Нурай — 150(x + 4) + 180(15 − x).Почему так?

    Умножаем число билетов на цену и складываем.

  2. Суммы равны: 2700 − 150x + 180x = 150x + 600 + 2700 − 180x, т. е. 2700 + 30x = 3300 − 30x.Почему так?

    18 · 150 = 2700, 15 · 180 = 2700, 4 · 150 = 600.

  3. 60x = 600, x = 10. Но спрашивают не x: билетов в одну сторону у Нурай x + 4 = 14.Почему так?

    Проверка: Асиф 8 · 150 + 10 · 180 = 3000, Нурай 14 · 150 + 5 · 180 = 3000.

  4. Ответ: 14.
Официальное пояснение ДИМ (15.03.2026)
По данным таблицы записывается выражение для суммы, уплаченной Асифом за билеты: (18 − x)·150 + x·180. Аналогично записывается выражение для суммы, уплаченной Нурай: (x + 4)·150 + (15 − x)·180. Так как Асиф и Нурай заплатили одинаковую сумму, составляется и решается уравнение: (18 − x)·150 + x·180 = (x + 4)·150 + (15 − x)·180; 18·150 − 150x + 180x = 150x + 600 + 15·180 − 180x; 60x = 600; x = 10. Число билетов в одну сторону у Нурай равно x+4=10+4=14.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

Тетрадь стоит 2 маната, книга — 5 манатов. За 12 предметов заплатили 39 манатов. Сколько куплено книг?

2(12 − x) + 5x = 39.

Глава 3

Задачи на движение: течение реки и встречное движение

Главная связь задач на движение — s = v · t. Уравнение часто составляют для времён: t = s/v. На воде течение либо помогает лодке, либо мешает.

Течение реки

Если собственная скорость лодки v, а скорость течения u, то скорость по течению v + u, против течения v − u. Плот (собственная скорость 0) плывёт по течению со скоростью u.

История

Пусть расстояние до острова S. По течению лодка идёт со скоростью 8 + 2 = 10 км/ч, обратно — 8 − 2 = 6 км/ч. Сумма времён 4 ч: S/10 + S/6 = 4. Умножаем обе части на 30: 3S + 5S = 120, 8S = 120, S = 15. Остров в 15 км: туда 1,5 ч, обратно 2,5 ч. Ответ «16 км» был неверен: на обратном пути течение отнимает больше времени, чем экономит на пути туда.

В лаборатории меняй v, u и S и сравнивай времена. Обрати внимание: чем сильнее течение, тем дольше путь туда и обратно, хотя в стоячей воде он занял бы 2S : v.

Лаборатория · лодка, течение и времяv — собственная скорость, км/ч8u — скорость течения, км/ч2S — расстояние, км15Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

Во время прогулки туристы на моторной лодке прошли расстояние между двумя пунктами по течению реки и вернулись против течения, затратив в общей сложности 4 часа. Если собственная скорость лодки 6 км/ч, а скорость течения 3 км/ч, найдите расстояние между этими пунктами.

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. Скорости: по течению 6 + 3 = 9 км/ч, против течения 6 − 3 = 3 км/ч.Почему так?

    Течение подталкивает лодку туда и тормозит обратно.

  2. Времена: S/9 и S/3; их сумма 4 ч: S/9 + S/3 = 4.
  3. Умножаем на 9: S + 3S = 36, 4S = 36, S = 9.Почему так?

    Проверка: 9 : 9 = 1 ч, 9 : 3 = 3 ч, всего 4 ч.

  4. Ответ: 9 км.
Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)
Запишем данные в виде таблицы: … По условию на путь между пунктами по течению реки и обратно против течения затрачено в общей сложности 4 часа, т. е. S/9 + S/3 = 4 ⇒ S = 9 (км)Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Когда два тела движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна v₁ + v₂. Например, два велосипедиста, между которыми 54 км, выехав навстречу со скоростями 10 и 8 км/ч, встретятся через 54 : (10 + 8) = 3 ч. Иногда же уравнение составляют для разности времён, и получается дробно-рациональное уравнение — тогда особенно важно проверить корень по смыслу задачи.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2026

Из пунктов A и B, расстояние между которыми 34 км, одновременно навстречу друг другу выехал велосипедист и вышел пешеход. Скорость велосипедиста, выехавшего из A, на 8 км/ч больше скорости пешехода. Если велосипедист прибыл в пункт C, находящийся в 24 км от A, на 0,5 ч раньше пешехода, найдите скорость пешехода (пункты A, C, B лежат на одной прямой).

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. Скорость пешехода x, велосипедиста x + 8 км/ч. Так как AC = 24, то CB = 34 − 24 = 10 км.Почему так?

    Пешеход идёт от B к C, поэтому его путь — CB.

  2. Велосипедист доезжает до C за 24/(x + 8), пешеход — за 10/x ч. Велосипедист приезжает на 0,5 ч раньше: 10/x − 24/(x + 8) = 1/2.Почему так?

    Кто приезжает раньше, у того время меньше: из большего времени вычитаем меньшее.

  3. Умножаем на 2x(x + 8): 20(x + 8) − 48x = x(x + 8), т. е. x² + 36x − 160 = 0.
  4. Корни: x₁ = −40, x₂ = 4. Скорость положительна, значит x = 4 км/ч.Почему так?

    Проверка: велосипедист 24 : 12 = 2 ч, пешеход 10 : 4 = 2,5 ч — разница 0,5 ч.

  5. Ответ: 4 км/ч.
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2026)
Скорость пешехода x км/ч, а скорость велосипедиста (x+8) км/ч. Так как расстояние между A и C равно 24 км, велосипедист проедет его за 24/(x+8) ч. Так как расстояние между B и C равно 10 км, пешеход пройдёт его за 10/x ч. Тогда по условию получаем уравнение 10/x − 24/(x+8) = 1/2. Это уравнение равносильно уравнению x²+36x–160=0. Корни последнего уравнения x₁=–40, x₂=4. Так как скорость — положительное число, скорость пешехода равна 4 км/ч.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

Собственная скорость лодки 10 км/ч, скорость течения 2 км/ч. На путь между двумя пунктами туда и обратно лодка затратила 5 ч. Найдите расстояние (км).

S/12 + S/8 = 5; умножь на 24.

Глава 4

Отношение, периметр и меняющаяся скорость

Если в условии дано отношение двух величин (a : b = 3 : 4), их записывают как a = 3k и b = 4k, где k — общий множитель. Так вместо двух неизвестных остаётся одно.

Пример 2

Стороны треугольника относятся как 3 : 4 : 5, периметр 36 см. Найдите наибольшую сторону.

  1. Записываем стороны как 3k, 4k, 5k.Почему так?

    Отношение показывает лишь «сколько частей»; величина части — k.

  2. 3k + 4k + 5k = 12k = 36, k = 3.
  3. Наибольшая сторона: 5k = 15.
  4. Ответ: 15 см.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 07.06.2026

Грузовик, взяв товары на складе в пункте A, двигаясь по периметру прямоугольника ABCD, развёз их в пункты B, C и D, вернулся на склад и проехал всего 420 км. Расстояние AB относится к расстоянию BC как 3:4. Так как в каждом пункте автомобиль выгружал часть груза, путь до следующего пункта он проезжал со скоростью на 15 км/ч больше, чем предыдущий. Если от B до C автомобиль ехал 2 часа, за какое время он доехал от D до A?

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 80 минB) 78 минC) 85 минD) 72 минE) 75 мин
  1. Так как AB : BC = 3 : 4, то AB = 3x, BC = 4x. Периметр: 2(3x + 4x) = 420, 7x = 210, x = 30.Почему так?

    Автомобиль проехал весь периметр прямоугольника: A → B → C → D → A.

  2. AB = 90 км, BC = 120 км. Скорость на BC: 120 : 2 = 60 км/ч.
  3. На каждом следующем участке скорость на 15 км/ч больше: на CD 60 + 15 = 75, на DA 75 + 15 = 90 км/ч.Почему так?

    Скорость растёт после разгрузки в пункте, поэтому порядок: AB, BC, CD, DA.

  4. DA = BC = 120 км (противоположные стороны прямоугольника равны), время: 120 : 90 = 4/3 ч = 80 мин.Почему так?

    4/3 ч = 1 ч 20 мин.

  5. Ответ: 80 мин (вариант A).
Официальное пояснение ДИМ (07.06.2026)
Так как AB:BC=3:4, можно записать AB=3x и BC=4x. По условию 2·(3x + 4x) = 420; 7x = 210; x = 30. Тогда AB=3x=90 км, BC=4x=120 км. Скорость автомобиля на участке BC равна BC/2 = 120/2 = 60 км/ч. По условию участок CD он проехал со скоростью … 75 км/ч, а участок DA — со скоростью 75 км/ч + 15 км/ч = 90 км/ч. Отсюда DA : 90 = 120 : 90 = 1⅓ ч = 80 мин.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Стороны прямоугольника относятся как 2 : 5, периметр 56 см. Найдите большую сторону (см).

2(2k + 5k) = 56.

Глава 5

Задачи на среднее арифметическое

История

Вечером в лагере разжигают костёр. Гид шутит: «Знаете ли вы, что средний возраст 12 туристов — 20 лет, а если присоединюсь я, средний возраст всех нас станет 22. Сколько мне лет?»

Один турист говорит: «Средний возраст вырос всего на 2 года, значит, гиду 22». Другой сомневается. Сколько лет гиду?

У костра 12 туристов и гид.Определение

Отношение суммы n чисел к n называется их средним арифметическим: среднее = (a₁ + a₂ + … + aₙ)/n. Отсюда самое полезное следствие: сумма = среднее · количество.

В задачах на среднее работают не с самими средними, а с суммами: сумму каждой группы находят как «среднее · количество», затем суммы складывают или вычитают.

История

Сумма возрастов 12 туристов 12 · 20 = 240, вместе с гидом у 13 человек 13 · 22 = 286. Возраст гида: 286 − 240 = 46. Средний возраст вырос на 2 года, потому что гид старше среднего на 46 − 20 = 26 лет, и эта разница делится на 13 человек: 26 : 13 = 2.

Пример 3

Средний балл 5 учеников равен 72. Когда добавили балл учителя, среднее 6 человек стало 75. Какой балл у учителя?

  1. Сумма 5 учеников: 5 · 72 = 360.
  2. Сумма 6 человек: 6 · 75 = 450.
  3. Балл учителя: 450 − 360 = 90.Почему так?

    Новая сумма отличается от старой ровно на добавленное число.

  4. Ответ: 90.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

В судействе игры участвуют один главный судья и два боковых судьи. Если среднее арифметическое возрастов судей и всех футболистов на поле равно 26, найдите среднее арифметическое возрастов судей.

Ситуация (ДИМ, перевод): … На поле у каждой из команд M и N по 11 игроков, и средний арифметический возраст их игроков равен соответственно 24 и 26. …

  1. Сумма возрастов игроков: команда M 11 · 24 = 264, команда N 11 · 26 = 286.Почему так?

    На поле по 11 футболистов от каждой команды.

  2. Вместе с судьями 3 + 11 + 11 = 25 человек, средний возраст 26: сумма возрастов 25 · 26 = 650.Почему так?

    Главный судья и два боковых — 3 человека.

  3. Сумма возрастов судей: 650 − 264 − 286 = 100; среднее: 100/3 = 33⅓.
  4. Ответ: 33⅓.
Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)
По условию на поле по 11 игроков команд M и N, и средний возраст их игроков соответственно 24 и 26. Отсюда сумма возрастов 11 игроков команды M равна 11·24=264, а сумма возрастов 11 игроков команды N — 11·26=286.Обозначим возраст судей x₁, x₂ и x₃. По условию(x₁ + x₂ + x₃ + 264 + 286)/(3 + 11 + 11) = 26x₁ + x₂ + x₃ + 550 = 650x₁ + x₂ + x₃ = 100Отсюда (x₁ + x₂ + x₃)/3 = 100/3 = 33 1/3.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Средний возраст 10 игроков 20 лет, а вместе с тренером у 11 человек — 22 года. Сколько лет тренеру?

11 · 22 − 10 · 20.

Итоги

Запомни

  • Линейное уравнение ax = b: при a ≠ 0x = b/a; слагаемое переносят в другую часть с противоположным знаком.
  • Уравнение с дробями умножь на НОК знаменателей, чтобы избавиться от дробей.
  • Составление уравнения: неизвестное → выражения (таблица) → равенство → решение → проверка → искомое.
  • На реке: по течению v + u, против v − u; времена t = s/v.
  • При встречном движении скорость сближения v₁ + v₂.
  • Отношение a : b = 3 : 4 → a = 3k, b = 4k.
  • Среднее арифметическое: сумма = среднее · количество; работай с суммами, а не со средними.

Типичные ошибки

«Корень уравнения — всегда ответ»

В задаче о билетах x = 10, а спрашивают x + 4 = 14. Перед ответом перечитай вопрос.

«Скорость против течения равна v + u»

Течение тормозит лодку: против течения v − u (6 − 3 = 3 км/ч), по течению v + u.

«Оба корня квадратного уравнения — ответы задачи»

Скорость не может быть отрицательной: x = −40 отбрасываем, остаётся x = 4.

«Если среднее выросло на 2, новое число на 2 больше старого среднего»

Считай через суммы: 13 · 22 − 12 · 20 = 46, т. е. новое число больше среднего на 26.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Найдите корень уравнения 4x + 7 = 2x + 19.

2x = 12, x = 6.

2 · Уровень 1

Собственная скорость лодки 9 км/ч, скорость течения 3 км/ч. Скорость лодки против течения:

9 − 3 = 6.

3 · Уровень 2

Взрослый билет стоит 6, детский — 4 маната. За 15 билетов заплатили 74 маната. Сколько куплено взрослых билетов?

6x + 4(15 − x) = 74 → 2x = 14 → x = 7.

4 · Уровень 2

Собственная скорость лодки 8 км/ч, скорость течения 2 км/ч. Лодка прошла 30 км по течению и вернулась. Сколько часов занял весь путь?

30 : 10 + 30 : 6 = 3 + 5 = 8 ч.

5 · Уровень ДИМ

Средний рост 8 учеников 160 см. Когда присоединился учитель, средний рост 9 человек стал 162 см. Рост учителя:

9 · 162 − 8 · 160 = 1458 − 1280 = 178.

6 · Уровень ДИМ

Расстояние между городами 120 км. Автобус проходит этот путь на 1 ч дольше легкового автомобиля. Скорость автомобиля на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорость автобуса.

120/x − 120/(x + 20) = 1 → x² + 20x − 2400 = 0 → x = 40 (x = −60 отбрасываем).

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 84; B-84, C-84, D-84
  2. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 29; B-29, C-29, D-29
  3. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 79; B-79, C-79, D-79
  4. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 84; B-84, C-84, D-84
  5. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 5; B-12, C-9, D-3

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки