Показательная функция и простейшие показательные уравнения

Показательная функция: y = aˣ, где a > 0, a ≠ 1. Область определения — все действительные числа, множество значений — (0; +∞): функция всегда положительна. График всегда проходит через точку (0; 1), ось Ox (y = 0) — горизонтальная асимптота. При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 — убывает.

Простейшее показательное уравнениеaˣ = b: при b > 0 единственный корень x = logₐ b; при b ≤ 0 корней нет, потому что aˣ > 0. Например, 2ˣ = 8 → x = 3; (1/2)ˣ = 4 → x = −2. Уравнения часто решают, приводя к одному основанию: 3ˣ⁺¹ = 27 → x + 1 = 3 → x = 2.

y = aˣ, a > 0, a ≠ 1график проходит через (0; 1)a > 1 растёт, 0 < a < 1 убываетмонотонностьaˣ = b ⇒ x = logₐ bb ≤ 0 — корней нетменяй основание и правую часть уравнения ↓2ˣ = 8 → x = 3

Синяя кривая — y = aˣ, синяя точка — (0; 1). Красный пунктир — y = b; абсцисса точки пересечения — корень уравнения aˣ = b.

Основание, a2Правая часть уравнения, b8

• Монотонность
• Свойства

Задание 1 / 3○○○

Построй убывающую показательную функцию.

Настрой ползунки и кнопки…

Что показывает симуляция?

языком ползунков

• a = 2, b = 8: пересечение в x = 3 — 2³ = 8.
• Сделай a меньше 1: график убывает, но всё так же проходит через (0; 1).
• Сделай b равным 0 или отрицательным: прямая не пересекает график — корней нет.
• График никогда не пересекает ось Ox — aˣ всегда положительно.
• При a = 1 получаем y = 1 — это не показательная функция.

Свойства показательной функции

a > 1 и 0 < a < 1

Свойство	a > 1	0 < a < 1
Область определения	ℝ	ℝ
Множество значений	(0; +∞)	(0; +∞)
Монотонность	возрастает	убывает
x → −∞	y → 0	y → +∞
x → +∞	y → +∞	y → 0

Самые частые ошибки

красной ручкойИскать корень уравнения 2ˣ = −4

aˣ всегда положительно: при b ≤ 0 уравнение aˣ = b корней не имеет.

Считать степень с отрицательным показателем отрицательным числом

2⁻³ = 1/8 — положительная дробь, а не −8.

Сохранять знак неравенства для убывающей функции

При 0 < a < 1: aˣ > aʸ ⇔ x < y — знак меняется.

Разобранные задачи

сначала реши сам

Задача 1

Решите уравнение: 3ˣ⁺¹ = 81.

Показать решение81 = 3⁴x + 1 = 4 → x = 3

Ответ: x = 3.

Задача 2

Решите уравнение: (1/2)ˣ = 16.

Показать решение(1/2)ˣ = 2⁻ˣ, 16 = 2⁴−x = 4 → x = −4

Ответ: x = −4.

В реальной жизни: размножение бактерий

экспоненциальный ростОдна бактерия делится каждые 20 минут

Показательная функция описывает и рост (бактерии, сложные проценты), и убывание (радиоактивный распад, выведение лекарства из крови). В реальной среде рост замедляется, когда кончается пища.

Проверь себя: 5 тестовых заданий

5 вопросов

1Через какую точку всегда проходит график y = aˣ?

2Какая функция убывает?

3Каков корень уравнения 2ˣ = 32?

4Сколько корней у уравнения 3ˣ = −9?

5Открытый вопрос: решите уравнение (1/2)ˣ = 4. Запиши ответ числом.

Источник

Программа вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Показательная и логарифмическая функции: свойства и график показательной функции, показательные уравнения.