Длина окружности, площадь круга, дуга и сектор

Длина окружности C = 2πr, площадь круга S = πr². Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Если его центральный угол α, сектор составляет α/360° всего круга.

Поэтому: длина дуги l = 2πr · α/360° (в радианах: l = rα), площадь сектора S = πr² · α/360° (в радианах: S = r²α/2 = lr/2). Например, r = 4, α = 90° → сектор — четверть круга: S = 4π, l = 2π.

C = 2πr, S = πr²окружность и кругl = 2πr·α/360°длина дугиS = πr²·α/360°площадь сектораменяй радиус и центральный угол ↓α = 90°: сектор — четверть круга, S = 4π

Жёлтый — сектор, красный — дуга, зелёная дужка — центральный угол α. Справа длина дуги сравнивается со всей окружностью, а сектор — со всем кругом: оба составляют α/360°.

r4Центральный угол, α90°

• Длина дуги
• Длина окружности
• Площадь круга

Задание 1 / 3○○○

Построй сектор площадью 4π (r = 4).

Настрой ползунки и кнопки…

Что показывает симуляция?

языком ползунков

• α = 90°: сектор — четверть круга.
• α = 180°: полукруг, дуга — половина окружности.
• Увеличь радиус вдвое: дуга вырастет вдвое, площадь сектора — вчетверо.
• α = 360°: сектор — весь круг, дуга — вся окружность.
• Дуга и сектор составляют одну и ту же долю — α/360°.

Формулы

градусы и радианы

Величина	В градусах	В радианах
Длина окружности	2πr	2πr
Площадь круга	πr²	πr²
Длина дуги	2πr·α/360°	rα
Площадь сектора	πr²·α/360°	r²α/2

Самые частые ошибки

красной ручкойСчитать площадь сектора по 2πr·α/360°

Это длина дуги. Для площади берут πr².

Подставлять диаметр вместо радиуса

d = 2r: если диаметр 10, то r = 5 и S = 25π (а не 100π).

Думать, что при увеличении радиуса вдвое площадь растёт вдвое

S ~ r²: радиус вдвое — площадь вчетверо.

Разобранные задачи

сначала реши сам

Задача 1

Найдите площадь сектора и длину дуги для круга радиуса 6 и центрального угла 60°.

Показать решениеS = π·36·60/360 = 6πl = 2π·6·60/360 = 2π

Ответ: 6π и 2π.

Задача 2

Площадь круга 49π. Найдите длину окружности.

Показать решениеπr² = 49π → r = 7C = 2π·7 = 14π

Ответ: 14π.

В реальной жизни: площадь, которую «заметает» минутная стрелка

площадь сектораМинутная стрелка за 60 минут поворачивается на 360° — 6° в минуту

Формулы сектора и дуги широко используют в технике: площадь, очищаемая дворниками автомобиля, куски пиццы, экран радара, круговые диаграммы.

Проверь себя: 5 тестовых заданий

5 вопросов

1Какова длина окружности радиуса 5?

2Какова площадь круга радиуса 3?

3Какую часть круга составляет сектор с α = 90°?

4Радиус увеличили втрое. Как изменится площадь круга?

5Открытый вопрос: r = 4, α = 90°. Площадь сектора равна kπ. Найди k. Запиши ответ числом.

Источник

Программа вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Планиметрия: длина окружности, площадь круга, длина дуги, площадь сектора.